三代師生接力半世紀中外數學家聯手破解“丘成桐猜想”

2014-05-15

“弦論”是目前主流科學界廣泛接受的一種解釋宇宙的理論。在弦理論中空間不是3維的，而是9維或10維的，再加上時間維，時空就是10維或11維的。“弦論”認為，複雜的更高維度是緻密蜷縮在一起的，這些隱藏空間目前不能用任何實驗感知探測，要探索其結構只有靠數學方法。中外數學家最近聯手破解的“丘成桐猜想”，就是用數學揭示宇宙時空奧秘的重要一步。

中科大數學院教授陳秀雄和英國數學家、菲爾茲獎得主唐納森，以及英國帝國理工大學博士後孫崧合作，近期在國際幾何分析領域取得重大突破，成功解決了第一陳類為正時的“丘成桐猜想”，最終給出了卡勒—愛因斯坦度量的存在性之丘成桐猜想的完整證明。這一數學進展將加深“弦論”的發展。讀過科幻小説《三體》的讀者一定會記得外星人在宇宙戰爭中發動“降維攻擊”的橋段，小説設定宇宙的三維空間是從遠古時代的高維空間“降維”而成。《三體》中作家展開想象所依據的科學理論正是“弦論”對宇宙本質的猜想。這一理論看似飄渺，但人類對其的認識可能是下一階段技術進步的基礎，就如愛因斯坦的“相對論”後來的實際意義那樣。

為解釋萬有引力的本質，愛因斯坦於1916年創立廣義相對論，並試圖用一個二階非線性偏微分方程組來度量引力場，即著名的“卡勒—愛因斯坦度量”。後來的物理學家們進一步發展出“弦”理論，認為宇宙是十維時空，但這些複雜的高維空間必須是“卡勒—愛因斯坦度量”。

為探索高維空間，意大利數學家卡拉比1954年提出了“卡拉比猜想”：複雜的高維空間是由多個簡單的多維空間“粘”在一起，也就意味着高維空間可通過一些簡單的幾何模型拼裝得到。1975年，數學家丘成桐等人攻克了陳類為負和零的“卡拉比猜想”，但只有第一陳類為正的問題得以解決，才能證實“卡勒—愛因斯坦度量”。丘成桐提出，可將其轉化為代數幾何的穩定性問題，這個“丘成桐猜想”之後困擾國際學界幾十年。

數學家丘成桐

近日，陳秀雄、唐納森和孫崧的3篇系列論文發表在國際頂級數學期刊《美國數學會雜誌》上。在系列論文中，他們結合微分幾何、代數幾何、多複變函數、度量幾何等數學分支的方法，經過多種方法創新，最終解決了第一陳類為正時的“丘成桐猜想”，給出了卡勒—愛因斯坦度量的存在性之丘成桐猜想的完整證明。《美國數學會雜誌》審稿人評價説：“陳—唐納森—孫的證明是突破性的，不僅解決了一個基本性的問題，同時還發展了許多新穎有力的工具，以揭示卡勒幾何、代數幾何和偏微分方程之間的深刻聯繫。”據介紹，這項重大國際研究成果的取得有賴於對近20年來各個領域眾多數學家取得的基礎性成果的關鍵運用，也標誌着卡勒幾何的研究達到一個全新的高度。國際數學大師德馬依説：“毋庸贅述，這一進展已在全世界範圍內引起了強烈反響。”

有趣的是，陳秀雄是卡拉比教授的最後一位博士研究生，而本次成果另一位作者孫崧則畢業於中科大少年班，是陳秀雄的學生。三代師生超過半個世紀的接力合作，最終讓“猜想”得以證實。

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丘成桐和絃理論

1915年，愛因斯坦發表廣義相對論，綜合了狹義相對論和牛頓的萬有引力定律，以幾何語言建立了引力理論，將引力描述為因時空中物質與能量而彎曲的時空，取代了引力是一種力的傳統看法。

愛因斯坦在生命的後30年裏一直在尋找統一理論，一個能在單獨的包羅萬象的數學框架下描述自然界所有力的理論。

弦理論認為，自然界的基本粒子和基本作用力是極小微小的“弦”振動的結果，人類生活在有十維空間的宇宙中，但日常生活中只能感知四維空間，另外六維空間則以奇妙結構卷藏在宇宙中，這個結構就是被幾何學家丘成桐證明的“卡拉比—丘流形”。

物理學家們發現，為了與量子論一致，弦需要在十維度中震動：三維是空間、一維是時間，另外六維則是“緻密空間”，隱藏在“緻密空間”中的維度如此之小，以至於人們不能通過任何可感知的實驗來探測。實際上，它們是純粹的結構。

迄今為止，因為尚有待實驗驗證，弦理論仍然是一個理論物理概念。

以丘成桐為代表的部分數學家認為，他們可以通過五維時空（四維空間和一維時間）來統一這個理論。但物理學家們發現了新粒子，這些粒子需要額外的維度來解釋其強作用力和弱作用力。當物理學家們解決了這些問題後，他們發現需要一種名為弦理論的東西才能解釋宇宙，所謂的弦理論就是將“弦”看做是物質組成的最基本單元，所有的粒子如電子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振動激發態，以代替經典物理學模式中的基本粒子。

包含六維空間的“卡拉比—丘流形”所擁有的特殊拓撲學性質正好是弦理論所需要的，丘成桐説：“如果這些空間真正模擬了弦理論所需要的六維空間，那麼它們將有助於我們推導出隱藏在宇宙中的幾何學和物理定律。”

卡拉比–丘流形的3維投影

丘成桐認為，弦理論是現在最有希望將自然界的基本粒子和引力等四種相互作用力統一起來的理論，它第一次將20世紀的兩大基礎理論——廣義相對論和量子力學結合到一個數學上自洽的框架裏，有可能解決一些長期困擾物理學家的世紀難題，如黑洞的本質、宇宙的起源等。