不可解的物理學難題：源於數學核心悖論

文章來源：環球科學

理論物理學家的最新研究表明，哥德爾不完備性定理與量子力學中無法計算的問題相關聯。

庫爾特?哥德爾(左)證明，總有一些數學命題是不可判定的；阿蘭?圖靈(右)則將哥德爾的證明延伸到了計算機科學裏無法解決的算法中。圖片來源：L: Pictorial Press Ltd/Alamy, R: Photoshot

一個數學與計算機科學領域核心的邏輯悖論或許在現實世界也產生了影響：正是它讓我們無法解答一些關於物質的基本問題。

1931年，出生於奧地利的數學家庫爾特?哥德爾(Kurt G?del)宣佈，他證明了總有一些數學命題是“不可判定”的，即我們永遠無法證明或證偽它們，這一發現震驚了學界。如今，三位研究者又發現，正是同一原理讓物理學家無法計算物質的一項重要性質——原子的理想模型中，電子的最低能級間隙。

這項研究的作者之一，倫敦大學學院的量子信息理論物理學家託比?丘比特(Toby Cubitt)表示，研究結果表明，在粒子物理學界，另外一個懸賞100萬美元的相關問題可能也是從本質上就無法解決的。

該研究於發表在12月9日的Nature上，研究者還把一個更長的論文版本(長達140頁)發佈在論文預印本網站arXiv上(點此查看http://arxiv.org/abs/1502.04573)。來自西班牙巴塞羅那光子科學研究所的量子信息理論物理學家克里斯蒂安?戈戈林(Christian Gogolin)説：“令人震驚的發現，對所有研究凝聚態理論的人來説都會是一大意外。”

從邏輯學到物理學

哥德爾的發現首次與物理世界相聯繫是在1936年，由英國數學家阿蘭?圖靈完成。“在物理學與邏輯學的關係方面，圖靈比哥德爾想得更清楚。”哥德爾傳記的作者，美國作家麗貝卡?戈爾茨坦(Rebecca Goldstein)説。

圖靈設想了一個理想化的計算機，每次可讀/寫1比特的數據，並利用它以算法的形式把哥德爾的結果重新表示了出來。他證明，我們永遠都不可能知道該計算機能否在有限的時間內完成計算，也不存在一個通用的測試能知道任意給定的算法是否不可判定。同樣的限制也適用於真實計算機，因為它們在數學上與圖靈機是等價的。

從20世紀90年代開始，理論物理學家就一直在嘗試將圖靈的工作具體表達為物理現象的理想模型，“但他們得到的不可判定問題都沒能與物理學家關心的具體問題產生聯繫。”加拿大西部大學的理論物理學家馬庫斯?米勒(Markus Müller)説，他曾與戈戈林和另外一位合作者於2012年共同發表了一個類似的模型。

丘比特説：“可以這麼説，我們的研究是不可判定性首次體現在一個人們真正會去嘗試解決的重大物理問題上。”

光譜間隙

丘比特與合作者集中研究的是“譜隙”(spectral gap)——即材料中電子佔據的最低能級與次低能級之間間隙——的計算。這一物理量決定了材料的一些基本性質，比方説在有些材料中，降低温度會縮小這個間隙，使材料變成超導體。

研究團隊以一種理想的材料模型——無窮二維原子晶格作為研究對象。晶格中原子的量子態可以被看作一個具象化的圖靈機，包含了為找出該材料譜隙的每一步計算所需的信息。

丘比特和同事證明，對於無窮晶格而言，你永遠無法知道計算過程什麼時候結束，因此，關於譜隙是否存在這一問題是得不到答案的。

不過對於有限大小的二維晶格，計算步驟永遠能在有限時間內結束，得到一個確定的答案，因此，無窮晶格的情況似乎與真實世界相距甚遠：畢竟真實的材料永遠都是有限大的，它們的性質完全可以通過實驗測量或計算機模擬得出。

但無窮情況的不可判定性，意味着即使我們知道了某一個有限大小晶格的譜隙，在材料尺寸增加時它也可能會出現劇烈的變化，如從無能隙變成有能隙等等，即使僅僅增加了一個原子。此外，由於研究已經證明我們無法預測這樣的情況是否出現、何時出現，我們就無法從實驗或模擬結果中得出普遍結論。

懸賞百萬的問題

丘比特説，他們的最終目標是研究粒子物理領域的一個相關問題，稱為“楊-米爾斯質量間隙問題”(Yang–Mills mass-gap problem)，該問題被美國克萊數學研究所(Clay Mathematics Institute)列為“千年數學大獎問題”(Millennium Prize Problems)之一，並懸賞100萬美元徵求解決方案。

所謂質量間隙問題，跟傳遞弱相互作用和強相互作用的粒子具有質量這一事實有關，而這也正是弱相互作用和強相互作用只在一定範圍內有效，而不像引力和電磁相互作用那樣在任意距離上都能發生作用的原因，同時也是夸克只能作為複合粒子(如質子和中子)的一部分，無法單獨存在的原因。然而，現在還沒有任何嚴格的數學理論可以解釋為什麼強、弱相互作用的載體有質量，而電磁力的載體，即光子沒有質量。

丘比特希望他們團隊的思想和方法最終可以證明楊-米爾斯質量間隙問題是不可判定的，但目前他們還沒有明確的思路。“我們離那100萬美元的獎金還遠着呢。”他説。(撰文 達維德?卡斯泰爾韋基(Davide Castelvecchi) 翻譯 丁家琦)

參考文獻：

1. Cubitt, T. S., Perez-Garcia, D. & Wolf, M. M. Nature 528, 207–211 (2015)。

2. Cubitt, T. S., Perez-Garcia, D. & Wolf, M. M. Preprint available at http://arxiv.org/abs/1502.04573 (2015)。

3. Goldstein, R. Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt G?del (W. W. Norton, 2006)。

4. Moore, C. Phys. Rev. Lett. 64, 2354 (1990)。

5. Eisert, J., Müller, M. P. & Gogolin, C. Phys. Rev. Lett. 108, 260501 (2012)。