考上清華和中500萬，哪個更難？_風聞

來源：微信公號“李永樂老師”

有人説他一生有兩大理想：考上清華大學，中500萬大獎。對大多數人來説，這兩件事都不容易。但是大家有沒有想過這兩件事哪件更難呢？

我們不妨首先從概率論角度來討論一下這個問題。

概率論

首先説中500萬。如果我們只是買一注雙色球，那麼在33個紅球中選擇6個，在16個藍色球中選一個，利用組合數可以計算出一共有大約1772萬種可能。中大獎只有一組號碼，因此中獎的概率為1/1772萬。實在是太難了。

那麼考清華呢？

清華大學每年招生大約3000人，以2017年為例，全國考生842萬。如果所有考生都報名清華大學，清華大學採取抽籤方式決定錄取，則錄取概率是3000/942萬=3/萬.

也就是説，每一萬名考生中只有3名同學能夠被錄取，真是萬里挑一。

然而，這個概率還是遠遠超過雙色球中500萬的概率，考上清華大約是中500萬大獎概率的5000倍！也就是説：考上清華比中五百萬大獎要容易5000倍。

有人説：你算錯了，因為高考是分省錄取的，有的省考生多，名額少，所以會更難。

我們不妨來看看河南省。2017年河南省考生83萬，清華大學錄取100人，錄取率100/83萬=1.2/萬。每1萬名考生錄取1.2人。這雖然比全國平均錄取率低了不少，但是仍然是中500萬大獎概率的2000倍。

所以説：清華的學生長什麼樣見過，中五百萬的人從來沒見過長啥樣。

以上的模型非常粗糙，因為清華大學並不是抽籤決定錄取的，而是要看考試成績。於是有同學會説，我從小學習就不好，就算把3000個名額都投到我們省我也考不上啊。統計學告訴你，其實不一定。

正態分佈

在統計學上有一個著名的實驗：高爾頓釘板實驗。

英國生物統計學家高爾頓提出了高爾頓釘板實驗。在一個漏斗中裝有一些小球，漏斗下方有一些水平釘子，小球碰到釘子就會隨機反彈。經過一次次碰撞，小球最終掉落到下方的豎直槽中。

如果只下落一個小球，那麼小球掉落在哪個槽中是隨機的。但是如果一次次讓小球下落，或者一次性釋放許多小球，就會發現中央的小球多，兩側的小球少。球的數量滿足一種規律。

不僅僅是高爾頓釘板，人們發現只要一個結果是由許多隨即量影響的，那麼這個結果就會滿足這種“中間多，兩頭少”的規律。例如一個年齡段某地區男性的身高就近似滿足正態分佈。

被譽為數學王子的德國數學家高斯對正態分佈理論有重大貢獻，因此人們也把正態分佈稱為高斯分佈。以前的德國十馬克貨幣上就印有高斯和他的正態分佈曲線。

我們來介紹一下正態分佈曲線。

正態分佈的橫座標表示取值，例如人的身高，可能是3250px-5000px之間，把這些數據每隔一小段作為一個值畫作橫座標。縱座標表示概率密度，即在一個很小的身高範圍內人數佔總人數的比例。在這種規定下，曲線下方的面積就表示一個範圍內身高人數佔總人數的比例。顯而易見，整條曲線下方的面積為1。

在這條曲線上，最高的部位剛好在曲線中間，稱為期望μ。而曲線的寬窄用標準差σ表示。σ越大，則線條越矮胖；σ越小，則線條越瘦高。

人們經過計算得出了結論：滿足正態分佈的隨機量，最後取值在μ-σ到μ+σ之間的概率大約是68.2%，在μ-2σ到μ+2σ之間的概率大約是95%等。

一個人的考試成績也受到多種因素的影響。比如自己學習成績高低、考試那天的身體狀態、題目的難易程度，甚至是考場上的風吹草動。所以考試成績並不是一定的，而會有波動和起伏。學習好的同學期望μ比較高，成績穩定的同學σ比較小。雖然我們不知道自己最終成績如何，但是可以通過正態分佈假設計算出自己成績在各個區間的概率，從而推測自己是不是能考上清華。

舉個例子

例如：小明同學在高三參加了四次模擬考試，成績分別是580，600，680和620。而清華的分數線為690分，這名同學是不是一定考不上清華呢？

我們假設這位同學的成績滿足正態分佈，根據數據計算出他的平均分和標準差。

平均分公式：

標準差公式：

所以，清華的分數線比這位同學的平均分高了Δx=690-620=70=1.87σ

畫出正態分佈曲線，在μ+1.87σ右側部分的面積就是他考上清華的概率。這個概率可以通過查表獲得。

這個表表示x的取值小於某值時出現的概率。例如第三列第四行0.5832表示x<μ+0.21σ的概率。

利用這個表格我們可以查詢到x<μ+1.87σ的概率為0.9693，因此小明考上清華的概率（x>μ+1.87σ）為1-0.9693=0.0307，大約為3%。

即便一個同學每次考試都在600分以下，他依然有一定概率在高考中考到690分清華的分數線，只不過可能是萬分之幾量級。

高考在即，李老師祝大家考試順利，都能夠考出μ+2σ以上的成績，考上自己理想的大學。