奇妙的數學：藍眼睛島和強弱共識_風聞

【作者 袁嵐峯，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室副研究員，科技與戰略風雲學會會長，青年科學家社會責任聯盟理事】

大家好，又到了講數學的時間了~同學們是不是很開心呀？

歡呼雀躍

最近，我有一位朋友給大家出了一道題目：

“在一個島上，住着一個部落。這個部落由1000個人組成，這些人有多種眼睛顏色。他們有一種宗教信仰，禁止他們瞭解自己眼睛的顏色，甚至禁止他們討論眼睛顏色這個話題。因此，每個居民都能看到所有其他居民的眼睛顏色，但卻不能發現自己的眼睛顏色（這裏沒有鏡子或者諸如此類的東西）。如果一個島民知道了自己的眼睛顏色，那麼他們的宗教就會強制他們第二天中午在村莊廣場上自殺，讓所有人都看到。所有的島民都非常邏輯和非常虔誠，他們也都知道其他人也非常邏輯和非常虔誠。在這裏，‘非常邏輯’的意思是，如果從島民已知的信息和觀察中可以推理出任何結論，那麼島民必定會知道這個結論。

實際上，在這1000個島民中，100個人的眼睛是藍色，900個人的眼睛是棕色。不過，島民最初並不知道這些數據。因為，每個人只能看到除自己之外的999個人的眼睛顏色，看不到自己的眼睛顏色。

有一天，一個藍眼睛的遊客來到了島上，並且獲得了部落的完全信任。一天晚上，他向整個部落的人致辭，感謝他們的款待。

然而，由於不瞭解當地的風俗習慣，這位遊客犯了一個錯誤，在他的講話中提到了眼睛的顏色。他説了一句：‘真是有趣呀，在這裏能看到像我這樣的藍眼睛的人！’

請問，遊客的失言對部落會不會產生影響？如果有，是什麼影響？”

好，問題講完了。如果你以前沒有做過這個問題，那麼建議你先深入思考一下，得出你的結論，然後再往下看。

藍眼人

我在聽到這個問題後，稍加思考，就對出題人説：

這裏用到的是遞歸推理，跟另一個著名的問題“海盜分金”類似。如果只有一個藍眼人，那麼他原本看不到藍眼人，聽到遊客的話，就知道了遊客説的藍眼人就是自己，因此他在一天後會自殺。

由此可以推出，如果有兩個藍眼人，那麼他們原本都只看到一個藍眼人，聽到遊客的話，都會想：對方是不是島上唯一的藍眼人？如果是的話，那麼一天後他應該自殺。但過了一天沒人自殺，因此兩人都明白了，對方沒自殺是因為島上還有一個藍眼人，就是自己。因此，在遊客講話的兩天後，這兩人會一起自殺。

繼續推理，如果有n個藍眼人，結果就是在遊客講話的n天后，這些人一起自殺。

出題人的反應是：如果從只有一個藍眼人的情況開始推理，感覺是明白的。但初始狀況是藍眼人有100個，這就有點迷惑了。為什麼迷惑呢？這些藍眼島民一開始就看到了99個藍眼人，所以他們面對的兩種選項是99人和100人，一上來就知道不可能只有一個藍眼人，那麼他們還能從一個的情況開始遞推嗎？

我思考了一段時間，然後發現，可以把我剛才的答案換一種更容易理解的表述：島民們並不需要在一開始就做出所有的推理，他們完全可以跟着時間走，過一天推理一次。

過了一天，沒人自殺，説明藍眼人數不是1。請注意，這是個嚴格的推理，雖然你一開始通過觀察就知道藍眼人數不是1，但也不妨礙你從“過了一天沒人自殺”這一點推出藍眼人數不是1。

過了兩天，沒人自殺，説明藍眼人數不是2。

如此等等，過了n - 1天，沒人自殺，説明藍眼人數不是n - 1。這個結論就不是在遊客來之前通過觀察能得到的了，因為在遊客來之前他們面對的是兩種可能：n - 1和n。

既然現在知道了不是n - 1，那麼只能是n了。因此，每一個藍眼人都明白了，除了自己看到的n - 1個藍眼人之外，第n個藍眼人就是自己。於是在第n天，所有這n個藍眼人都自殺了。

這種表述的優點是，不需要顯得島民們無比的深謀遠慮，他們只需要跟着時間走就是了。好比打開了一個計數器，每天如果看到沒人自殺，就把藍眼人數的下限加1。這樣一來，就解開了那個“已知藍眼人數多於1，為什麼要從1開始推理”的疑問。

然而，許多人在聽到我的答案後，還是覺得將信將疑。令他們疑惑的是：遊客説的是“島上有藍眼人”，但是這一點對於島民來説並不是個新信息。每個島民都能看到至少99個藍眼人，所以他們當然早就知道島上有藍眼人了。既然沒有新的信息輸入，結果不就應該是沒有任何事情發生嗎？從這個角度看來，遊客這話應該説了跟沒説一樣，大家照常過日子，沒有任何人自殺。

還有另一個很容易產生的疑惑是：既然島民本來就知道島上有藍眼人，那麼他們是不是應該根據同樣的推理，在遊客到來之前就得知哪些人是藍眼，然後這些人自殺？得，從這個角度看來，事情剛好相反，沒有遊客時藍眼人也該自殺。

你能解釋清楚這兩個疑惑嗎？如果你以前沒有考慮過這些問題，請先認真思考一番，然後再繼續往下看。

我的朋友、風雲學會會員陳經告訴我，著名的數學家、加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學教授陶哲軒對這個問題有很深入的研究。陶哲軒1975年生於澳大利亞，他的父母是從香港移民過去的。陶哲軒2006年31歲時獲得了數學界的最高獎菲爾茲獎，是丘成桐之後第二位獲得菲爾茲獎的華人。

1985年，10歲的陶哲軒和偉大的數學家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）在一起

作為當代著名的天才數學家，陶哲軒是一個非常有趣的人。有趣在哪裏呢？有趣在他是一個“超級正常”的人，他不是個媒體喜歡塑造的“瘋子天才”！有人開玩笑説，好萊塢永遠也不可能給陶哲軒拍電影，因為他的生活安定，家庭幸福，他總是在微笑（http://article.yeeyan.org/view/531444/466314）。

陶哲軒

關於陶哲軒和他的研究成果，有許多可以説的，以後我們再來詳細介紹。在這裏，讓我們集中在藍眼睛島這個問題上。

陶哲軒把藍眼睛島問題稱為他最感興趣的邏輯問題，三次在自己的博客上貼出這個問題（http://www.math.ucla.edu/~tao/blue.html，https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/，https://terrytao.wordpress.com/2011/04/07/the-blue-eyed-islanders-puzzle-repost/），並且跟許多留言者進行了深入的交流。在這個意義上，我們非常感謝陶哲軒對數學普及的熱情和貢獻。他樂於花費時間跟許多業餘的讀者交流，而且非常温文有禮，而留言中也有不少有趣的討論，這樣的交流氛圍十分值得讚賞。

陶哲軒對於藍眼睛島問題，用專業的數理邏輯語言給出了一個嚴格的解答（https://terrytao.wordpress.com/2011/05/19/epistemic-logic-temporal-epistemic-logic-and-the-blue-eyed-islander-puzzle-lower-bound/），定義了一種“包含時間的認識論邏輯”（temporal epistemic logic），並用它闡述了其他的一些邏輯難題，例如“出乎意料的絞刑”悖論（the unexpected hanging paradox，關於這個問題，我們以後再討論）。不過，這個專業的解答充滿了邏輯學符號，超出了大多數讀者的理解範圍。下面，我們仍然用日常語言來介紹藍眼睛島問題，而這樣做也足以達到大部分的效果了。

陶哲軒對藍眼睛島問題的表述，是在描述了題目後，立刻給出了兩種可能的答案（https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/）。第一種答案是，沒有任何事發生。因為遊客説的是島民本來就知道的，沒有帶來新信息。第二種答案是，過了100天之後，所有的藍眼人自殺了。陶哲軒推理的過程跟我上面説的一樣，只是他用了數學歸納法的語言。

現在的有趣之處是，這兩個答案看起來都很有道理，但它們是直接矛盾的，不可能同時正確。於是陶哲軒問：如果這兩個答案中有一個是正確的，那麼是哪一個？另一個答案又為什麼不正確？

在正面回答陶哲軒的問題之前，讓我們首先來做出一點提醒。許多評論者説了一大堆，但沒有把注意力集中在這個問題的本質上，而是提出了種種看似機智實則無聊的評論。

例如，有人説，你這裏隱含了一個前提，就是島民中沒有人是聾子，他們都聽到了遊客的話，而且都知道其他人不是聾子。或者，即使有人是聾子，他也會讀唇語……又如，有人説，島民如果嚴格推理，就會有人自殺，但他們可以不求甚解，這樣就大家都稀裏糊塗地活着……

對於這些不得要領的評論，陶哲軒給出了一個明確的答覆：

“毫無疑問，這個邏輯難題的假設是非常不現實的，而且違反常識。然而，這並不會導致上述問題失效，這個問題就是：存在兩個獨立的、看似合理的論點，它們從相同的假設開始，但得出了相互矛盾的結論。這個狀況需要解決，即使問題的假設在任何合理的情況下都極其不可能完全滿足。只有當這些假設在邏輯上不可能完全滿足時，這個狀況才沒有必要進一步分析。”

如果你還沒有看懂陶哲軒的話，那麼我再解釋得明確一點。“不可能”分為兩種，一種是邏輯上的不可能，一種是實證上的不可能。邏輯上的不可能，例如1 ≠ 1，或者2 + 2 = 5。你無法想象一個1不等於1或者2 + 2等於5的世界，這樣的世界必定自相矛盾。實證上的不可能，例如你的百米速度超過了博爾特，或者你的財富超過了巴菲特，或者中國男足拿了世界盃（如果是中國女足拿了世界盃，當然大家就不會感到意外了）……雖然這些事情怎麼看都不像是能發生的樣子，但你完全可以想象一個這樣的世界，沒有內在矛盾。

陶哲軒強調的是，藍眼睛島問題中的那些前提，屬於實證上的不可能，而不是邏輯上的不可能。因此，對這些前提吹毛求疵是沒有意義的，屬於逃避問題。存在兩個貌似合理但截然相反的答案這一點，是一個真正深刻的問題，這個問題強烈地需要一個解答。這是一種智力上的挑戰，這個挑戰真實存在。任何對自己的智力有信心、對這個世界有好奇心的人，都應該正面應對這個挑戰，而不是希望通過扯一通俏皮話來消解這個挑戰，那是腦子不夠用、不敢面對真實問題的表現。

事實上，藍眼睛島問題有許多種其他的表述形式。只要你願意，你很容易就能找到某種表述形式，避開那些關於實證性質的評論。例如，一位漫畫家“xkcd”的表述形式是這樣的（https://xkcd.com/blue_eyes.html）：

xkcd的藍眼睛島漫畫

“一羣眼睛顏色各異的人，住在一個島上。他們都是完美的邏輯學家，也就是説，如果能從邏輯上推導出一個結論，他們就會立刻推導出來。沒有人知道自己眼睛的顏色。每天午夜，會有一艘渡輪停靠在島上。任何一個島民如果知道了自己眼睛的顏色，就坐船離開這個島，而剩下的人留在島上。每個人都可以在任何時候看到其他人，並且記得他看到的每一種眼睛顏色的數量（當然不包括他自己），但是除此之外，他們就不能以其他方式交流了。島上的每個人，都知道所有這些規則。

事實上，在這個島上有100個藍眼睛的人，100個棕眼睛的人，還有一個宗教領袖，她的眼睛是綠色的。所以，任何一個藍眼人都能看到100個棕眼人、99個藍眼人和一個綠眼人，但不知道自己眼睛的顏色。在他看來，除了那位宗教領袖之外，總的狀況可能是101個棕眼人和99個藍眼人（如果他自己是棕眼），或者100個棕眼人和100個藍眼人（如果他自己是藍眼），或者100個棕眼人和99個藍眼人加上他自己有其他顏色的眼睛（比如説紅色）。

有一天中午，宗教領袖站在所有的島民面前，説：‘我看到島上有藍眼睛的人。’

請問，會不會有人離開島？如果有的話，是哪些人在什麼時候離開島？”

又如有人在陶哲軒博客的評論區裏指出，有這樣一個類似的問題：

“在一個村子裏，住着100對夫妻。如果有一個丈夫出軌，那麼所有的女人都會知道這一點，除了他的妻子以外。而如果一個妻子知道她的丈夫出軌，那麼她就會殺了後者。實際上，這個村子裏所有的丈夫都出軌。有一天，從外面來了一個老太太，告訴大家：在村子裏至少有一個出軌者。請問，會發生什麼？”

你看，同樣實質的問題可以千變萬化。因此，前面説的那位漫畫家xkcd特意強調了一番，讓大家把注意力集中到問題的本質上來，他説：

“這裏沒有鏡子或反射面，沒有隱情。這不是一個腦筋急轉彎的問題，答案是合乎邏輯的。它既不依賴於微妙的措辭，也不依賴於任何人撒謊或猜測，也不涉及人們做一些愚蠢的事情，比如創造一種手語或做遺傳學研究。那位宗教領袖並沒有與任何人進行特別的眼神交流。她只是簡單地説:‘我看到，在這個島上至少有一個藍眼睛的人。’”

可想而知，xkcd先生已經見到了很多種離題萬里的評論，以至於在這裏忍不住強烈吐槽一番！

好，下面我們就來正面回答那個真正的難題：遊客究竟有沒有帶來新信息？

回答是：遊客確實帶來了新信息！

這才是藍眼睛島問題中，真正出人意料的地方。

你也許會很驚訝：遊客帶來什麼新信息了？在遊客光臨之前，島民不是早就知道島上有藍眼人嗎？他們不但知道島上有藍眼人，甚至還知道島上至少有99個藍眼人。那麼遊客説的這句“島上有藍眼人”，能有什麼新信息可言？

要説清楚這個問題，先讓我們給這100位藍眼人起個代號。對於任何一位藍眼人而言，他不妨把自己稱為A1，把其他99位藍眼人稱為A2、A3……一直到A100。當然，最初他只知道A2到A100是藍眼，不知道自己這個A1是不是藍眼。現在我們可以説，遊客給A1帶來了一個新信息，如下所述：

A1****知道，A2知道，A3知道，……，A99知道，A100知道，“島上有藍眼人”。

這句話可能一時難以理解，因為它裏面出現了100次“知道”，可以稱為一個100階的知識。而我們平時面對的，大多是一階的知識，即某人知道某事，完了。從一階到100階，這個跨度太大，無怪乎你會暈頭。

沒關係，我們換一種方式來表述這個100階的知識：A100知道“島上有藍眼人”；而且A99知道這一點（現在“這一點”指的是前面這一句，即A100知道“島上有藍眼人”）；而且A98知道這一點（現在“這一點”指的又是前面的一句，即A99知道A100知道“島上有藍眼人”）；而且A97知道這一點……最後，A1知道這一點。也就是説，A1知道A2知道……A100知道“島上有藍眼人”。

如果你現在還沒有徹底搞明白，沒關係，這是正常的。只要你有個感覺，遊客帶來的新信息並不是“島上有藍眼人”這件事本身，而是一連串嵌套的“我知道你知道他知道某某某”，就足夠了。要明確地理解這句話為什麼是新信息，最好還是從最簡單的情況開始。

最簡單的情況是什麼？就是島上只有一個藍眼人A1的情況。這時，遊客的話本身就是新信息了，因為A1本來看不到藍眼人，現在他知道，遊客看到的藍眼人只可能是他自己。因此，他會在一天後自殺。

其次，如果島上只有兩個藍眼人A1和A2。這時，遊客的話本身不是新信息，因為兩人本來就各自能看到一個藍眼人。但是對於A1來説，A2是否知道島上有藍眼人呢？A1原本無法確定，因為如果A1不是藍眼，那麼A2就不會看到藍眼，A2就不知道島上有沒有藍眼人。遊客發言以後，A1就知道了，A2也知道島上有藍眼人。這對A1是一個新的知識。這個新知識會產生什麼後果呢？後果就是，A1等待一天，看A2是否自殺。如果過了一天，A2沒有自殺，那就説明A2看到了某些藍眼人。但A1知道A1和A2之外沒有藍眼人，所以A2看到的藍眼人只能是A1自己。因此，兩天之後，A1和A2都自殺。

然後，如果島上有三個藍眼人A1、A2和A3。這時，遊客的話本身不是新信息，而且像“A1知道A2知道島上有藍眼人”這樣的二階知識，也不是新信息。因為A1一眼看去，A2和A3互相能看見，所以他當然知道A2知道島上有藍眼人，——至少有A3嘛。但是那個三階的知識，“A1知道A2知道A3知道島上有藍眼人”，原來A1是否知道呢？他不知道，因為如果A1不是藍眼，只有A2和A3兩個藍眼人，A2就不知道A3是否知道島上有藍眼人了。用《三體》的語言説，大家的思維方式構成了一條“猜疑鏈”。遊客的話，給A1帶來了這個三階的知識。這個三階知識會產生什麼後果呢？後果就是A1等待兩天，看A2和A3會不會自殺。如果兩天之後，沒有人自殺，那麼A1就能推導出，A2和A3是在等他，猜疑鏈得到了結論。《阿Q正傳》裏説得好：同去同去，於是一同去！於是在第三天，三人一起自殺。

按照這樣的邏輯線路，一路推理下來，你就可以明白，在有n個藍眼人的情況下，遊客帶來的新信息就是那個n階的知識：A1知道A2知道A3知道……An知道“島上有藍眼人”。

理解這種表述，當然比理解我最初説的“每過一天計數器加1”的推理要難不少，而且這種n階知識的表述冗長得要命。但最重要的是，我們確實可以給出一個明確的新信息，因此確認了第二個答案（即n天之後n個藍眼人都自殺）的正確，也解釋了第一個答案（即沒有任何事發生）為什麼不正確！

更進一步來思考，遊客的話為什麼能帶來新信息呢？因為他做的是一個公佈，是一個廣播。即使他公佈的內容是大家早已知道的，但公佈這個動作本身就會造成一個重要的區別，就是現在所有人不但知道了公佈的內容，而且知道所有人都知道，還知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至於無窮。而在公佈之前，大家只知道那個內容本身，不知道別人的知道。

由此可以引出一個重要的哲學辨析。陶哲軒對藍眼睛島問題的標準回答是，參見維基百科的“共識”詞條（Commonknowledge (logic)，https://en.wikipedia.org/wiki/Common_knowledge_%28logic%29）。這個詞條告訴我們，如果一件事是所有人都知道的，那麼這件事稱為mutualknowledge。而如果一件事不但是所有人都知道，而且所有人都知道所有人都知道，所有人都知道所有人都知道所有人都知道，……如此等等，以至於無窮，那麼這件事稱為common knowledge。

這兩個術語怎麼翻譯呢？有人把mutual knowledge稱為一般性共識，把common knowledge稱為更深入的共識。也人把mutual knowledge稱為共識，把common knowledge稱為常識。我的感覺是，mutual knowledge和common knowledge這兩個名字從一開始就起得不是很好，因為英文裏mutual和common都是“共同”的意思，讀者很難看出區別，甚至都很難看出這兩者哪個強哪個弱。為了表達這兩個術語的內涵，我建議把mutual knowledge稱為弱共識或者沉默共識，把common knowledge稱為強共識或者公開共識。用這樣的名稱，應該就一目瞭然了，有助於讀者理解。

在遊客發言之前，“島上有藍眼人”是一個弱共識，或者説沉默共識，但不是一個強共識，或者説公開共識。在遊客發言之後，“島上有藍眼人”被提升成了一個強共識，或者説公開共識。強共識包含了比弱共識更多的信息，所以當然可以導致更多的後果。

理解清楚這個理論框架，我們就可以輕鬆解決一些常見的疑難了。

提問：島上的眼睛顏色是兩種還是更多種，重要嗎？

回答是：不重要，因為在這裏重要的只是兩個選項：藍色，或者不是藍色。實際上，xkcd的表述就特意強調了這一點，他説島上有藍色的、棕色的，宗教領袖是綠色的，而每個人還可以懷疑自己是紅色的。因此，在陶哲軒給出的問題版本中，有人説在第101天，剩下的900名棕眼人也自殺了，因為他們知道了自己是棕眼，這一點其實是無關緊要的。如果題目裏明確了，島民知道島上只有兩種眼睛顏色，那麼這種情況會發生。而如果島民不知道島上有多少種眼睛顏色，那麼就不會發生。

提問：為什麼在遊客來之前，島上沒有人自殺？

回答是：因為那時大家只有弱共識，沒有強共識。在這個問題的條件下，弱共識是不會產生後果的。因為在只有一個藍眼人的最簡單情況下，他沒有任何線索判斷自己的眼睛顏色。因此在藍眼人多於一個的情況下，人們也無法開始遞歸的推理。換句話説就是，沒有計時開始的日期。

提問：遊客能不能通過改變説話的內容，消除傷亡？比如説，遊客説的不是“島上有藍眼人”，而是“你們每個人都能看到藍眼人，所以你們每個人都知道島上有藍眼人”，或者“你們每個人都能看到至少三個藍眼人，所以你們每個人都知道島上有藍眼人”，或者諸如此類看起來滴水不漏的話，那麼會不會使得這句話的信息量降為0，從而無人自殺呢？

回答是：不能，因為真正重要的不是遊客説的內容，而是公佈這個動作。事實上，你可以推理出來，如果遊客説“你們每個人都能看到至少三個藍眼人”，就會使所有藍眼人自殺的時間提前三天。我們把這個推理留給讀者，作為練習（慈祥的微笑.jpg）。重要的結論是，遊客一旦開口談論了島上的某種眼睛顏色，就必然會造成傷亡，他不可能通過改變談論的方式來消除傷亡。

提問：如果沒有遊客光臨，而島民之間交流過，比如A1跟大家説“你們每個人都能看到藍眼人，所以你們每個人都知道島上有藍眼人”，那麼會怎麼樣呢？

回答是：這跟遊客發言的效果是一樣的，一旦公佈就把弱共識變成了強共識，因此還是會死一片。由此我們可以理解，題目裏面為什麼強調，島民平時不許談論眼睛顏色的話題。

提問：如果沒有遊客光臨，而一些島民之間做過私下交流，比如A1跟A2互相説“你能看到藍眼人，所以你知道島上有藍眼人”，那麼會怎麼樣呢？

回答是：如果是私下交流，那麼就沒有把弱共識變成強共識，遞歸推理仍然沒有起點，所以不會有後果。最有趣的是，即使有很多組人進行了私下交流，比如説A1和A2、A1和A3、A1和A4……一直到A1和A100都聊過了，A1跟所有其他人都單獨聊了一圈，他掌握了其他所有人的情報，這個私下交流的網絡已經覆蓋了整個集體，但是由於這樣的交流沒有把弱共識變成強共識，所以仍然不會造成後果。我們把這個推理留給讀者，作為練習（慈祥的微笑.jpg）。

慈祥的微笑

提問：如果題目中沒有自殺只能在每天中午或者渡輪只在每天晚上來這樣的設定，變成自殺或離開這樣的事件可以在任何時間發生，那麼會怎麼樣？

回答是：這樣就會導致所有人都互相看着，誰也無法得到任何結論。因為這裏沒有一個時間的步長了，把離散的測量變成了連續的測量。在量子力學中有一個有趣的效應，叫做“量子芝諾效應”，説的就是這種現象：如果對處於某個狀態的體系不斷地進行測量，就會導致這個體系停在最初的狀態上。量子芝諾效應經常被比喻為“盯着的水壺總是燒不開”，大家可以去了解一下。

以上，我們考慮了藍眼睛島問題的幾種變體。實際上，我們可以説，這個問題還有兩個官方變體。這話的意思是，陶哲軒在他的博客上提出了兩個附加問題（http://www.math.ucla.edu/~tao/blue_variant.html）：

一，如果遊客在發言後的第二天意識到了自己的錯誤，他有沒有辦法減少傷亡？

二，如果遊客意識到錯誤不是在發言後的第二天，而是又過了幾天以後，他有沒有辦法減少傷亡？

這兩個附加問題，又非常有意思了。如果你以前沒有見過這兩個問題，請先仔細思考一番，然後再往下看。

我和陳經討論以後，給出的答案是：

遊客可以在第二天指着某個藍眼人説：“他就是藍眼！”這樣一來，此人就會死掉，而其他人的推理鏈條會中斷，因此其他人就不會死了。我們把這個推理留給讀者，作為練習（慈祥的微笑.jpg）。

慈祥的微笑

這個補救的辦法可以看作是犧牲了一個人，拯救了一羣人。當然，選擇犧牲誰是一個道德困境，不過這也是沒有辦法的事。

而如果遊客是在m天以後（m > 1）才意識到錯誤，這時只指出一個藍眼人就不夠用了。即使死掉一個，其他人最終還是會推理出自己是藍眼人。所以這時的補救辦法是，指出m個藍眼人，這樣他人的推理鏈條才會中斷。我們把這個推理留給讀者，作為練習（慈祥的微笑.jpg）。

慈祥的微笑

除此之外，陳經又考慮了一種有趣的可能性：遊客可以把一個或一些藍眼人帶走，其他人不知道這些人後來怎麼樣了，推理鏈條就會中斷。我們把這個推理留給讀者，作為練習（慈祥的微笑.jpg）。

慈祥的微笑

這裏要注意，遊客帶走的必須是藍眼人，如果是其他顏色的就沒用。由此得到一個有趣的要點：被帶走的人千萬不能知道自己為什麼會被遊客挑出來帶走，如果知道的話，他們就明白自己是藍眼了，還是要死。所以，遊客必須要假裝仍然不知道島上的規矩，忽悠一個或一些藍眼島民跟他走。怎麼忽悠呢？比如説，請島民跟他去遊覽外面的世界，完全不提眼睛顏色。總之，遊客不能説出他的計劃，必須默默地做事。這真令人想起了——《三體》中的面壁者！

繼續思考下去，如果遊客的計劃成功了，第二天就帶着一個藍眼人A1走了，那麼事情會變得很有趣。你可以論證出來，所有人都不會死，因為隔斷了A1和其他島民的聯繫。但是，既然是旅遊，不就總該有回來的一天嗎？假如過了三年，這位老兄A1回到了島上，會怎麼樣呢？

留在島上的人，當然知道去旅遊的人是不會自殺的，所以他們看到A1回來了，絲毫不會意外。但A1看到島上沒人自殺，卻會感到意外。他立刻就推理出，正是自己的離開使得這些人沒死，所以自己必然是藍眼。因此，A1仍然會自殺。其他人一看，A1死了，沒法繼續推理了，於是都繼續活着。這一串故事令人想到量子力學中的一個實驗，叫做“延遲選擇”，大家可以去了解一下。

因此，遊客這一圈操作的結果就是，被帶走的這位A1多活了三年，但最終還是掛了，拯救了其他人。實際上，遊客在挑選出某個藍眼人A1的時候，無論是直接指認他，還是忽悠帶走，最終結果都是一樣的，就是A1跟其他人一交流就死定了。

以上，我們討論完了藍眼睛島這個問題本身。下面，我們來考慮一下，其中的道理在生活中有什麼應用。

強弱共識之間的區別，有一個笑話反映得很生動。有一個人得了妄想症，總是幻想自己是一條蟲子，生怕雞來把自己吃掉。醫生費了九牛二虎之力，終於説服他相信自己不是蟲子了。醫生問他：現在你知道自己不是蟲子了吧？此人回答：我知道我不是蟲子了，但我不知道雞知不知道！

在文學作品中，強弱共識最經典的例子，就是安徒生的童話《皇帝的新裝》。皇帝沒穿衣服這一點，本來是個沉默共識或者説弱共識。當那個勇敢的小孩説出來之後，就變成了公開共識或者説強共識。

皇帝的新裝

事實上，陶哲軒曾經引用《皇帝的新裝》和藍眼睛島問題，在2016年6月，美國大選期間，寫過一篇博文（https://terrytao.wordpress.com/2016/06/04/it-ought-to-be-common-knowledge-that-donald-trump-is-not-fit-for-the-presidency-of-the-united-states-of-america/）。他説，特朗普不適合當總統是一個弱共識，應該有人把它説出來，變成一個強共識。這真是一篇很有趣的文章，不過令人遺憾的是，特朗普還是當上了美國總統，給世界製造了很多混亂和笑料。

川普式英語

我的科大師兄朱松純是著名的人工智能專家、UCLA的統計學和計算機科學教授，他跟陶哲軒是同一個學校的同事。

朱松純寫過一篇很長的演講稿，叫做《淺談人工智能：現狀、任務、構架與統一》。標題叫“淺談”，內容卻是我見過的對人工智能最深刻的分析。

朱松純

其中有一部分，是他對語言通訊提出的一個認知模型。朱松純説：“兩個人之間至少要表達五個腦袋minds：我知道的東西、你知道的東西、我知道你知道的東西、你知道我知道的東西、我們共同知道的東西。”你看，強弱共識就是這裏的一個基礎。

語言通訊認知模型

朱松純的這篇演講，大家可以在2018年8月7日的風雲之聲看到（淺談人工智能：現狀、任務、構架與統一 | 朱松純），強烈推薦大家去閲讀。雖然此文很長很硬，但你如果啃下來了，一定會大有收穫的。

還有一個稱得上強弱共識例子的，是芯片業中的摩爾定律。大多數人都知道，這條定律是英特爾的創始人之一戈登·摩爾（Gordon Moore）提出來的，説的是芯片的性能大約每過一到兩年翻一番。但這是一條什麼性質的定律呢？許多人就不太清楚了。

實際上，摩爾定律可以理解為英特爾公司技術發展意志的體現（參見餘鵬鯤《英特爾走過的50年，中國高科技企業能借鑑什麼》，https://www.guancha.cn/yupengkun/2018_08_09_467457_s.shtml）。總結出摩爾定律這個規律可能並不複雜，而把這個規律説出來作為路線圖卻尤為不易。

摩爾定律和戈登·摩爾

高科技創新作為一種市場行為，具有高風險、高投入、長週期的特點，因此很多企業對待行業科技變化的態度都是咬牙勉強跟隨甚至能省就省。比如世界上大多數運動鞋品牌的生產線都是4-5年更換一次，卻很少有運動鞋品牌宣傳説自己的生產線保證4年就更新一次，搞出個“耐克定律”之類。又如世界上的藥企平均大約每12-15年研發一種比較成功的新藥，卻沒有哪一家藥企提出個12年研發一款特效藥的所謂“拜爾定律”。

企業這種對研發風險的抗拒和厭惡是天然的，不分國內國外的。當然藉口可能是多種多樣的，淺顯的有“我們售後好”或者説“我們的優勢是服務”，深奧的可以説“消費者買的是我們的文化”、“走貿工技路線”或者號稱“引進吸收再創新”。相比之下，英特爾敢於直面技術競爭的勇氣就顯得非常可貴！

摩爾定律從弱共識變成了強共識之後，整個芯片業的產業鏈就以此作為明確的目標，相關行業的主流企業羣體，都按照這個路線圖來規劃，互相配合。這種事如果在中國，就應該是發改委安排的。業界的緊密合作，創造了芯片業幾十年的輝煌。在這個意義上，摩爾定律就好比五年計劃，是一個強共識的典型代表。

最後，還有什麼事情是強共識呢？

通過一個概念框架，我們能夠把這麼多包羅萬象的事物聯繫起來，這就是數學的威力。“數學是有趣的”，這一點應該成為強共識！讓我們一起説出來：

數學，是有趣的！

歡呼雀躍