乾貨！兩萬字長文帶你走近神秘的量子糾纏（下）_風聞

糾纏的骰子

糾纏的骰子

為了加深對糾纏態的理解，我們再用上圖所示的擲骰子的例子進一步説明兩個粒子的“糾纏”。糾纏着的粒子，就像上圖機器中發射出來的骰子。這兒用骰子來比喻疊加態中的粒子。我們這個能發射成對骰子的機器很特別，這些成對的骰子分別朝兩條路 (這兒所謂的“路”到底是什麼，鐵管？空氣？我們也不予考究) 射出去，互相分開越來越遠；並且，每個骰子在其各自的路徑上不停地隨機滾動，它的數值不定，是 1-6 中的一個，每個數值的幾率為六分之一。圖中也用 Alice 和 Bob 來代表兩個不同的觀察者，如果 Alice 和 Bob 在相距很遠的地方分別觀察這兩路骰子，會得到什麼結果呢？

首先，他們如果只看自已這一邊的觀測數據，每個人都是得到一連串的 1 到 6 之間的隨機序列，每個數字出現的幾率大約等於六分之一，這絲毫也不令人奇怪，這正是我們單獨多次擲一個骰子時的經驗。但是，當 Alice 和 Bob 將他們兩人的觀測結果拿到一起來比較的話，就會看出點奇怪之處了：在他們同時觀測的那些時間點，兩邊的骰子所顯示的結果總是互相關聯的 (這種情況下，關聯意味着“ 相等”)，如果 Alice 看到的結果是 6，Bob 看到的也是 6；如果 Alice 看到的結果是 4，Bob 看到的也是 4……

量子力學中的糾纏態，就和上面例子中的一對骰子的情況類似。換言之，量子糾纏態的意思就是，兩個粒子的隨機行為之間，發生了某種關聯。上面例子中的關聯是“結果相同”，但實際上也可以是另外一種方式，比如説，兩個結果相加等於 7：如果 Alice 看到的結果是 6，Bob 看到的就是1；如果 Alice 看到的結果是 4，Bob 看到的就是3……。只要有某種關聯，我們就説這兩個粒子互相糾纏。

約翰·惠勒

剛才談到過的約翰·惠勒，曾經與玻爾和愛因斯坦在一起工作過，被人稱為“哥本哈根學派的最後一位大師”。惠勒也是“黑洞”一詞的命名者。學物理的也許記得他和他兩個學生合寫的那部大塊頭著作：《引力論》(Gravitation)。此書洋洋灑灑 1279 頁，拿起來像塊大磚頭，是一部既學術嚴謹又風格詼諧的鉅著。

惠勒是在 2008 年 96 歲高齡時去世的。難能可貴的是，90 多歲高齡的他還一直在繼續思考量子力學中的哲學問題。去世後，人們發現他的本子上還留有 95 歲時寫下的物理研究筆記。

惠勒對量子論的貢獻非同一般。上世紀 80 年代初期，筆者在德州奧斯汀大學時，有幸與惠勒博士在一起工作，並準備和翻譯當時他去中國訪問的講稿，那篇講稿是基於他的一篇論文 Law without Law ( 沒有定律的定律 )，後來，此講稿由中國科學技術大學的方勵之編著，1982 年出版，取名為《物理學和質樸性——沒有定律的定律》[9]。

也許正是因為在晚年時思考了太多有關量子力學的哲學問題，惠勒在談話中經常會冒出幾句哲理深奧的話語，剛才説的演講稿的標題就是一例：《沒有定律的定律》。此外，他還説過“沒有質量的質量”、“沒有規律的規律”等意味深長的妙句，發明了“黑洞”、“真子(geon)”、“量子泡沫”等使人遐想聯翩的科學名詞。記得惠勒曾引用玻爾的話説，“任何一種基本量子現象只在其被記錄之後才是一種現象”，其意思正代表了哥本哈根派的觀點！

當年的記憶

在筆者1983 年對惠勒教授的一次訪談中，重視教育的惠勒談到了玻爾當年的研究所及他個人的一些教育理念[10]。惠勒説：“……早期的玻爾研究所，樓房大小不及一傢俬人住宅，人員通常只有

5 個，但玻爾卻不愧是當時物理學界的先驅，叱吒着量子理論的一代風雲。在那兒，各種思想的新穎和活躍，在古今的研究中是罕見的。尤其是每天早晨的討論會，既有發人深思的真知灼見，也有貽笑大方的狂想謬誤，既有嚴謹的學術報告，也有熱烈的自由爭論。然而，所謂地位的顯赫、名人的威權、家長的説教、門户的偏見，在那斗室之中，卻沒有任何立足之處”。“沒有矛盾和佯謬，就不可能有科學的進步。約麗斑駁的思想火花往往閃現在兩個同時並存的矛盾的碰撞切磋之中。因此我們教學生、學科學，就得讓學生有‘ 危機感’，學生才覺得有用武之地。否則，學生只看見物理學是一座完美無缺的大廈，問題卻沒有了，還研究什麼呢？從這個意義上來説，不是老師教學生，而是學生‘教’老師。”

“對愛因斯坦來説，古怪的並協性完全不可接受。”談到玻爾和愛因斯坦的量子力學之爭時，惠勒説，“很難再找到其他先例能和這場論戰相比擬，它發生在如此偉大的兩個人之間，經歷瞭如此長久的時間，涉及如此深奧的問題，卻又是在如此真摯的友誼關係之中……”。

延遲選擇實驗

在《物理學和質樸性》講稿中，惠勒提到他在 1979 年為紀念愛因斯坦誕辰 100 週年的普林斯頓討論會上，提出的所謂“延遲選擇實驗”(delayed choice experiment)。這個“延遲選擇實驗”，是我們討論過的“電子雙縫干涉”實驗的一個令人吃驚的新版本。在新構想中，惠勒戲劇化地將實驗稍加改變，便可以使得實驗員能在電子已經通過雙縫之後，作出“延遲決定”，從而改變電子通過雙縫時的歷史！惠勒曾經用一個龍圖來説明這一點。這個龍圖也可以用費曼的路徑積分觀點來理解：龍的頭和尾巴對應於測量時的兩個點，在這兩點測量的數值是確定的。根據量子力學的路徑積分解釋，兩點之間的關聯可以用它們之間的所有路徑貢獻的總和來計算。因為要考慮所有的路徑，因此，龍的身體就將是糊里糊塗的一片。

惠勒想象中的龍圖。只有龍頭和龍尾這兩個觀測點是清晰的，其餘部分則是一團迷霧

在惠勒的“延遲選擇實驗”構想提出5 年後，馬里蘭大學的卡洛爾·阿雷(Carroll O Alley)實現了這個延遲選擇實驗，其結果和玻爾一派預言的一樣，和愛因斯坦的預言相反！後來，慕尼黑大學的一個小組也得到了類似的結果。

惠勒提出“ 延遲選擇實驗”時，已經到了 1979 年。我們先回到 1964 年。出於捍衞愛因斯坦 EPR 論文的初衷，追尋愛因斯坦之“實在論”之夢，另一位傑出的英國物理學家，約翰·斯圖爾特·貝爾 (JohnStewart Bell)，帶着他的“貝爾不等式”，瀟灑登場。

可行的實驗方案

John Wheeler

(1984 年筆者攝於美國德克薩斯州立大學奧斯汀分校)

惠勒不僅構想了“延遲選擇實驗”，也是提出驗證光子糾纏態實驗的第一人。他在1948 年提出，由正負電子對湮滅生成的一對散射光子應該具有兩個不同的自旋，即如果一個是左旋，另一個就應該是右旋。也就是説，這一對光子互相糾纏。一年之後，吳健雄和薩科諾夫成功地完成了這個實驗，證實了惠勒的預言，生成了歷史上第一對互相糾纏的光子。

物理理論是必須用實驗來驗證的，這就是為什麼諸如玻爾、愛因斯坦、惠勒這些大理論物理學家都非常熱衷於提出一個又一個思想實驗的原因。量子糾纏態近年來宏圖大展，也是以實驗中的不斷突破為基礎。這個突破起始於英國物理學家約翰·斯圖爾特·貝爾 (JohnStewart Bell)，他用著名的“貝爾不等式”將 EPR 佯謬中的思想實驗推進到一個切實可行的物理實驗。

圖2 John Stewart Bell(圖片來自網絡http://www.dipankarhome.com/)

貝爾其人

貝爾於

1928 年出生在北愛爾蘭的一個工人家庭，那是玻爾和愛因斯坦索爾維會上首次開戰後的第二年。也許這是上帝在冥冥之中派來的一個將來能夠突破“玻愛世紀之爭”僵局的使者吧。小時候的貝爾一頭紅髮，滿臉雀斑，為人誠實，聰明好學，長大後則迷上了理論物理。他嚴謹多思，意志頑強，不屈不饒，敢作敢當，對疑難問題一頭紮下去，不弄個水落石出絕不罷休。

然而，量子論的理論研究只是貝爾的業餘愛好。他多年供職於歐洲高能物理中心 (CERN)，做與加速器設計工程有關的工作，與理論物理，特別是量子論的理論基礎的工作，相距甚遠。貝爾只能利用業餘時間來研究理論物理。正是這一業餘研究使貝爾留名於物理史。

EPR 佯謬背後的矛盾

我們再回到玻愛之爭的頂峯——EPR 佯謬的問題上來。當時玻爾寫文章回擊了愛因斯坦等人的質疑，世紀爭論似乎平息了，哥本哈根詮釋成為量子論的正統解釋。再説，既然問題是出在兩大巨頭不同的哲學觀上，便引不起多少人的興趣了。大多數科學家已經很少關心他們的爭執。量子論的成功有目共睹，科技革命的果實每個人都樂於分享，每天早上太陽照樣從東方升起，誰也看不見波函數如何坍縮，又有誰管那些微觀世界中被理論物理學家們描述得神乎其神的奇怪的量子現象呢？玻爾代表的量子論的正統解釋也有其道理，當我們沒有去進行量子測量，沒有抓住薛定諤的貓之前，討論這隻貓到底是死是活也許沒有什麼意義。反正只要在進行測量時，能知道它是死的還是活的就行了！

當然，也總有那麼一些腦袋停不下來的理論物理學家仍然在冥思苦想這個問題：應該如何解釋量子論中詭異的相干性和糾纏性？在此，我們順便用幾句話簡單總結一下前幾講中提到過的有關知識。相干性涉及光和粒子的波粒二相性，最簡單的例子是雙縫干涉實驗；糾纏性是 EPR 論文中提出的，涉及多個粒子的量子糾纏態。這是瞭解量子論詭異性的兩個不同層次。

雙方的爭執為什麼三番五次總不能平息？關鍵問題是：愛因斯坦這邊堅持的是一般人都具備的日常生活中得來的經典常識，玻爾一方卻更執着於微觀世界的觀測結果。那麼，既然愛因斯坦不同意玻爾的幾率解釋，有人就總想找出別的解釋，既能照顧到愛因斯坦的“經典情結”，又能導出量子論的結論。這其中，支持度較多的有“多世界詮釋”和“隱變量詮釋”。

多世界詮釋

可以再借用薛定諤的貓來簡述“多世界詮釋”。持這種觀點的人認為，兩隻貓都是真實的。有一隻活貓，有一隻死貓，但它們位於不同的世界中。當我們向盒子裏看時，也就是説進行量子測量的時候，整個世界立刻分裂成它自己的兩個版本。這兩個版本在其餘的各個方面都是全同的。唯一的區別在於，在其中一個版本中，原子衰變了，貓死了；而在另一個版本中，原子沒有衰變，貓還活着。

多世界詮釋下對薛定諤的貓的解釋

惠勒、霍金、費曼、温伯格等都在一定程度上支持過“多世界詮釋”。據一些簡單的統計調查，支持“多世界詮釋”的物理學家似乎越來越多。有人認為，它已經在逐漸代替“哥本哈根詮釋”。但是，也有許多物理學家不喜歡它，包括愛因斯坦，有人詼諧地説：“我不能相信，僅僅是因為看了一隻老鼠一眼，就使得宇宙發生了劇烈的改變！”的確，量子力學只涉及到微觀粒子的問題，要解釋它，大可不必牽動整個宇宙！這其中的詭異性，恐怕比“哥本哈根詮釋”，有過之而無不及。因此，我們也迴避迴避，暫時不在這裏討論它。

隱變量詮釋

貝爾當初所熱衷的，是“隱變量”的問題。

在前面的“玻愛之爭”一講中，我們用擲硬幣的例子來説明“上帝擲骰子”與“人擲骰子”的區別。上拋的硬幣，實際上是完全遵循確定的力學規律的，它之所以表現出隨機性，是因為我們不瞭解硬幣從手中飛出去時的詳細信息。也就是説，我們放棄了一些“隱變量”：硬幣飛出時的速度、角速度、方向、加速度……等等。如果忽略外界的影響，把這些隱變量全都計算進去，我們可以説上拋硬幣掉回原處時的狀態是在離開手掌的那一刻就決定了的！

現在，愛因斯坦等人提出的

EPR 佯謬，是否也是因為我們忽略了某些隱變量的原因呢？貝爾在感情上更偏向愛因斯坦，相信愛因斯坦的觀點：既然兩個互相糾纏的粒子，當它們被測量儀器觀測到的那一剎那，是不可能瞬時超距地傳遞信息的，那麼，它們被測量時候的狀態，就應該是在它們產生之時，或者説互相分開的那一刻，就已經決定了。這就和我們擲硬幣的情形類似，隨機性來源於我們尚未認識的某些隱變量，而不是像玻爾所認為的那樣，後來被觀測的那一刻，才臨時隨機選擇而坍縮成某個量子態的！因此，貝爾下決心要用實際行動來支持偉人愛因斯坦，要研究這其中潛藏着的隱變量！

馮 · 諾依曼的證明

馮 · 諾依曼 ( 圖片來自 Wikipedia )

可是，他一開始就碰到了高手。早在1932 年，馮·諾依曼在他的著作《量子力學的數學基礎》中，為量子力學提供了嚴密的數學基礎，其中捎帶着做了一個隱變量理論的不可能性證明。他從數學上證明了，在現有量子力學適用的領域裏，是找不到隱變量的！

馮·諾依曼何等人物啊！天才神童，計算機之父。這位數學大師一言既出，二十年內量子論的隱變量理論無人問津。還好，當貝爾在60年代碰到這堵高牆的時候，前面已經有人為他開路：美國物理學家戴維·玻姆 (David Bohm)在 50 年代的工作，為馮·諾依曼的隱變量不可能性證明提供了一個實際的反例。而且，玻姆還將原來 EPR 論文中非常複雜的測量位置和動量的實驗，簡化成了測量“電子自旋”的實驗。

頑強的貝爾雖然是“業餘”理論物理學家，卻有“敢摸老虎屁股”的精神。他仔細研究了馮·諾依曼有關“隱變量不可能性證明”的工作後，找出了大師在數學和物理的交接之處，有一個小小的漏洞。

馮·諾依曼在他的證明中，用了一個假設：“兩個可觀察量之和的平均值，等於每一個可觀察量平均值之和”。但是，貝爾指出，如果這兩個觀察量互為共軛變量，也就是説，當它們滿足量子力學中的不確定性原理的話，這個結論是不正確的。

一點小插曲

這兒可以插入一段有趣的歷史。貝爾是在 1964 年才指出馮·諾依曼的錯誤的。其實，早在 1935 年，有一個鮮為人知的德國女數學家格雷特·赫爾曼 ( Grete Hermann, 1901-1984 ) 就指出了天才數學大師的這點失誤。

格雷特·赫爾曼是享有“代數女皇”之稱的著名數學家艾米·諾特（Emmy

Noether）在哥根廷大學的第一個學生。她早期對量子力學的數學哲學基礎作了重要的貢獻。1935 年，格雷特在一篇文章中提出對馮·諾依曼有關“隱變量不可能性證明”的駁斥。但遺憾的是，格雷特·赫爾曼的文章長期被忽略。即使貝爾1964 年提出馮·諾依曼有關隱變量問題的錯誤之後，也沒有人想到當年格雷特·赫爾曼的那篇文章。又過了10 年，直到1974 年，格雷特·赫爾曼的原文已經發表了將近四十年之後，才被另一位數學家Max Jammer 發掘出來，為這位默默無聞的數學家正名。由此一事，充分顯示了名人威力之強大。

Grete Hermann ( 圖片來自 wikipedia )

第二次世界大戰開始後，格雷特·赫爾曼積極參與了反納粹組織的各種活動。後來幾十年，她也不再涉獵數學和物理，而將她的人生興趣轉向了政治，此是與主題無關的後話。

幫「倒忙」的貝爾

確認了數學大師的這個小錯誤之後，貝爾探索隱變量的道路暢通了。於是，他開始構想他的理論，以此來支持他的偶像愛因斯坦，企圖將量子物理的圖像搬回到經典理論的大廈中！不過，他萬萬沒料到，他最終是幫了愛因斯坦的倒忙，反過來證明了量子力學的正確性！接下來，我們稍微用點簡單的數學，扼要地説明貝爾是如何得到他的著名的不等式的。

1963-1964 年，在長期供職於歐洲核子中心 (CERN) 後，約翰·貝爾有機會到美國斯坦福大學訪問一年。北加州田園式的風光，四季宜人的氣候，附近農莊的葡萄美酒，離得不遠的黃金海灘，加之斯坦福大學既寧靜深沉又寬鬆開放的學術氣氛，孕育了貝爾的靈感，啓發了他對 EPR 佯謬及隱變量理論的深刻思考。

貝爾開始認真考察量子力學能否用局域的隱變量理論來解釋。貝爾認為，量子論表面上獲得了成功，但其理論基礎仍然可能是片面的，如同瞎子摸象，管中窺豹，沒有看到更全面、更深層的東西。在量子論的深處，可能有一個隱身人在作怪：那就是隱變量。

根據愛因斯坦的想法，在 EPR 論文中提到的，從一個大粒子分裂成的兩個粒子的自旋狀態，雖然看起來是隨機的，但卻可能是在兩粒子分離的那一刻 ( 或是之前 ) 就決定好了的。打個比喻説，如同兩個同卵雙胞胎，他們的基因情況早就決定了，無論後來他 ( 她 ) 們相距多遠，總在某些特定的情形下，會作出一些驚人相似的選擇，使人誤認為他們有第六感，能超距離地心靈相通。但是實際上，是有一串遺傳指令隱藏在他們的基因中，暗地裏指揮着他們的行動，一旦我們找出了這些指令，雙胞胎的“心靈感應”就不再神秘，不再需要用所謂“非局域”的超距作用來解釋了。

粒子的自旋

儘管粒子自旋是個很深奧的量子力學概念，並無經典對應物，但粗略地説，我們可以用三維空間的一段矢量來表示粒子的自旋。比如，對 EPR 中的糾纏粒子對 A 和 B 來説，它們的自旋矢量總是處於相反的方向，如下圖所示的紅色矢量和藍色矢量。這兩個紅藍自旋矢量，在三維空間中可以隨機地取各種方向，假設這種隨機性來自於某個未知的隱變量 L。為簡單起見，我們假設 L 只有 8 個離散的數值，L=1，2，3，4，5，6，7，8，分別對應於三維空間直角座標系的 8 個卦限。

8 個卦限中糾纏態粒子 A 和 B 的自旋

由於 A，B 的糾纏，圖中的紅色矢量和藍色矢量總是應該指向相反的方向，也就是説，紅色矢量的方向確定了，藍色矢量的方向也就確定了。因此，我們只需要考慮 A 粒子的自旋矢量 (簡稱紅矢) 的空間取向就夠了。假設紅矢出現在 8 個卦限中的概率分別為 n1，n2…n8。由於紅矢的位置在8 個卦限中必居其一，因此我們有：

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 = 1

現在，我們來描述 A，B 的自旋矢量在三維空間可能出現的 8 種情況。下表左半部分列出了在這些可能情況下，自旋矢量在 x，y，z方向的符號。

表1 AB 糾纏態自旋矢量的 8 種可能性以及 4 個相關函數的值

既然 A、B 二粒子系統形成了互為關聯的糾纏態，我們便定義幾個關聯函數，用數學語言來更準確地描述這種關聯的程度。比如，我們可以如此來定義 Pxx(L)：觀察 x 方向紅矢的符號和 x 方向藍矢的符號，如果兩個符號相同，函數 Pxx(L) 的值就為 +1，否則，函數 Pxx(L) 的值就為 -1。我們從上表列出的紅矢和藍矢的符號不難看出，Pxx(L) 的 8 個數值都是 -1。然後，我們使用類似的原則，可以定義其他的關聯函數。比如説，Pxz(L)，是 x 方向紅矢符號與 z 方向藍矢符號的關聯，等等。在上表的右半部分，我們列出了 Pxx(L)，Pxz(L)，Pzy(L) 和 Pxy(L) 的數值。

貝爾的思路

現在，貝爾繼續按照經典的思維方式想下去：一個大粒子分裂成兩個粒子 A 和 B，A，B 的自旋看起來是隨機的，但實際上是按照上面的列表互相關聯着的。然後，它們朝相反方向飛去。經過一段時間之後，兩個粒子 A 和 B 分別被兩方的觀測儀器俘獲了。兩方的觀測者分別對 A 和 B 的自旋方向進行測量。因為 L  是不可知的隱變量，因此，只有關聯函數的平均值才有意義。根據表 1 中的數值，我們不難預測這幾個關聯函數被測量到的平均值：

Pxx = -n1 - n2 - n3 - n4 - n5 - n6 - n7 - n8 = -1

Pxz = -n1 + n2 + n3 - n4 + n5 - n6 - n7 + n8

Pzy = -n1 - n2 + n3 + n4 + n5 + n6 - n7 - n8

Pxy = -n1 + n2 - n3 + n4 - n5 + n6 - n7 + n8

讓我們直觀地理解一下，這幾個關聯函數是什麼意思呢？可以這樣來看：Pxx 代表的是 A 和 B 都從 x 方向觀測時，它們的符號的平均相關性。因為糾纏的原因，A，B 的符號總是相反的，所以都從 x 方向觀察時，它們的平均相關性是 -1，即反相關。類似地，Pxz 代表的是從 x 方向觀測 A 且從 z 方向觀測 B 時，它們符號的平均相關性。如果自旋在每個方向的概率都一樣，即 n1 = n2 = … = n8 = 1/8 的話，我們會得到 Pxz 為 0。對 Pzy 和 Pxy，也得到相同的結論。

換言之，當概率均等時，如在相同方向測量 A，B 的自旋，應該反相關；而如果在不同方向測量 A 和 B 的自旋，平均來説應該不相關。

我們可以用一個通俗的比喻來加深對上文的理解：兩個雙胞胎 A 和 B，出生後從未見過面，互相完全不知對方情況。一天，兩人分別來到紐約和北京。假設雙胞胎誠實不撒謊。當紐約和北京的警察問他們同樣的問題：“你是哥哥嗎？”，如果 A 回答“是”，B 一定是回答“不是”，反之亦然。對這個問題，他們不需要互通消息，回答一定是反相關的，因為問題的答案是出生時就因出生的順序而決定了的 (這相仿於 Pxx = -1 的情況)。但是，如果紐約警察問 A：“兩人中你更高嗎？”，而北京警察問 B：“你跑得更快嗎？”，按照我們的經典常識，兩人出生後互不相識，從未比較過彼此的高度，也從未一起賽跑。所以，他們的回答就應該不會相關了 (這相仿於 Pxz = 0 的情況)。

貝爾不等式

現在再回到簡單的數學：我們在 Pxz，Pzy 和 Pxy 的表達式上做點小運算。首先，將 Pxz 和 Pzy 相減再取絕對值後，可以得到：

然後，利用有關絕對值的不等式，我們有：

這樣，從 (1) 式和 (2) 式，我們得到一個不等式：

這就是著名的貝爾不等式。上述不等式是貝爾應用經典概率的思維方法得出的結論。因此，它可以説是在經典的框架下，這3個關聯函數之間要滿足的一種約束條件。也就是説，如果大粒子分裂成的兩個小粒子A和B 是經典粒子的話，它們便必須遵循經典統計的規律，必須滿足由經典概率方法得到的貝爾不等式！

但是，如果我們考慮量子力學，將兩個小粒子A和B 當成是量子力學中的粒子，情況又將如何呢？它們的行為當然只有兩種情形：遵循貝爾不等式，或者不遵循貝爾不等式。如果遵循貝爾不等式的話，那就好了，萬事大吉！愛因斯坦的預言實現了。量子力學中的粒子也應該是滿足“局域實在論”的，雖然在微觀世界中的量子有時候表現得行為詭異，那隻不過是因為有某些我們尚且不知道的隱變量而已，那不用着急，將來我們總能挖掘出這些隱變量來。

第二種情況，那就是量子現象不遵循貝爾不等式，也就是説，不能簡單地用隱變量的理論來解釋量子現象。貝爾用他的“貝爾定理”來表述這種情形：“任何局域隱變量理論都不可能重現量子力學的全部統計性預言”。如果是這樣的話，世界好像有點亂套！不過沒關係，貝爾説，重要的是，這幾個關聯函數都是在實驗室中可以測量到的物理量。這樣，我的不等式就為判定 EPR 和量子力學誰對誰錯提供了一個實驗驗證的方法。那好，理論物理學家們説，我們就暫時停止毫無意義的、純理論的辯論，讓將來的實驗結果來説話吧。

糾纏態及其實驗

在談到實驗之前，還得順便提一句，我們在本文中所談到的量子糾纏以及推導貝爾不等式的過程，用的都是 EPR 佯謬簡化了的波姆版。也就是説，我們使用了兩個不同的自旋 (“上↑”和“下↓”) 來表述量子態，這使得問題敍述起來簡化很多，因為在這種只有兩個離散變量的情況下，單個粒子的量子態，只對應於二維的希爾伯特空間。

希爾伯特空間可以理解為將維數擴展到無窮大、變量擴展到複數的歐幾里德空間。一個量子態被表示為希爾伯特空間中的一個矢量。單粒子的自旋空間是一個簡單的二維希爾伯特空間。如果考慮兩個粒子系統的自旋狀態，便對應於四維的希爾伯特空間。

在愛因斯坦等人的原始 EPR 文章中，是用兩個粒子的位置及動量來描述粒子之間的“糾纏”。位置和動量是連續變量，可以取無窮多個數值，如此表示的量子態則對應於無窮維希爾伯特空間中的矢量。因而，描述和推導都非常複雜，解釋起來也困難多了。為簡單起見，我們使用自旋或類似的可數離散變量來描述和解釋量子態，包括糾纏態。這種方法稱之為“離散變量”的方法。但在實際的物理理論和實驗中，描述和製備糾纏態時，也可以使用“連續變量”的方法。連續變量和離散變量的糾纏態，在理論和實驗研究上有所不同，而在量子信息的應用方面，也各有其優缺點。

自旋空間

在前面的內容中，我們介紹了“疊加態”和“糾纏態”，現在，不妨用點簡單的數學來重新整理一下這幾個基本概念。

單粒子的自旋量子態，可以表示為二維希爾伯特自旋空間中的一個矢量。著名的英國物理學家狄拉克為量子態空間定義了一套十分優雅的符號系統，比如説，狄拉克用下面兩個符號來表示粒子自旋的兩個基本狀態：|上> 和 |下>，或者記作 |0> 和 |1>。這兩個基態是自旋空間的基矢，如下圖所示。

普通空間和自旋空間(a)二維歐幾里德空間；(b)自旋量子態的希爾伯特空間

一個粒子的自旋疊加態，可以表示成這兩個基態(自旋本徵態)的線性疊加，如圖1(b)所示，

這裏的 C1 和 C2 是滿足 |C1|2 + |C2|2 = 1 的任意複數，它們對應於兩個本徵態在疊加態中所佔的比例係數。當 C1 = 0，或者 C2 = 0 時，疊加態就簡化成兩個本徵態。兩個比例係數的平方 |C1|2 或 |C2|2 ，分別代表測量時，測得粒子的狀態為本徵態 |0> 或本徵態 |1>的幾率。

狄拉克符號下的「貓」

除了自旋系統之外，狄拉克符號及公式 (1) 也可以用以表示其他系統的本徵態。比如，在楊氏雙縫實驗中，電子或光子位置的疊加態可以寫成：

薛定諤理想實驗中的貓，也可以寫成疊加態的形式：

這個薛定諤貓的例子可以敍述得更具體一些。比如，如果在實驗中我們能夠確定 C1 = 0.8 和 C2 = 0.6，那麼打開蓋子時，見到活貓的幾率是 0.82 = 0.64，而見到死貓的幾率是 0.62 = 0.36。就是説，實驗者有 64 % 的概率看見一隻活蹦亂跳的貓，而只有 36 % 的概率看見一隻死貓。感謝上帝，他並不會看到一隻可怖的又死又活的貓！

薛定諤和愛因斯坦認為那種貓很可怕，但根據玻爾一派的觀點，那種疊加的“|貓態>”只有可能存在於打開蓋子之前，蓋子被揭開之時，疊加態便立刻“塌縮”到了其本徵態之一。至於打開蓋子之前，玻爾等人認為：貓可能根本就不存在，也不用去想它到底是什麼模樣，那是個毫無意義的問題！

上述兩個例子中的狀態，諸如|縫1>、|縫2>、|活貓>、|死貓>，都是“本徵態”。根據上面的公式(1)可看出，疊加態是普遍的大多數，而本徵態只代表 (C1 = 1，C2 = 0)或者(C1=0，C2=1) 的少數極端情況。還可以看出，如果一個粒子處於本徵態，那麼，它的測量結果是確定的 (幾率 = 1)。

本徵態是確定性的，因此，只有疊加態才表現出量子力學“既在這兒、又在那兒”的詭異特徵。現在，我們從簡單的數學表述，更為深刻地理解了：疊加態的存在是量子力學最大的奧秘，是理解量子力學的關鍵。

糾纏態的數學表述

那麼，又應該如何從數學上來表示“糾纏態”呢？我們以最簡單的兩個粒子的糾纏為例説明。如果有兩個粒子 A  和B，它們分別都有兩種自旋本徵態 |0>，|1>，將它們簡寫為 (A1, A0) 和 (B1, B0)。從兩個單粒子的自旋本徵態，應該可以組合成 4 種雙粒子自旋本徵態：A1B1、A1B0、A0B1、A0B0。

類似於單粒子的情形，這 4 種本徵態可以作為 4 維空間的基底，如果以滿足一定歸一化條件的複數 C1, C2, C3, C4 為係數，便能線性組合成許多混合疊加態。這些疊加態可以分成兩大類：糾纏態和非糾纏態。如果一個雙粒子疊加態可以寫成單個粒子狀態的 (張量) 乘積的話，就是非糾纏態，比如下面是一個非糾纏態的例子：

因為它可以寫成第一個粒子的疊加態 (A0 + A1) 和第二個粒子的疊加態 (B0 - B1) 之乘積的形式。為簡單起見，我們在上述量子態的表達式中略去了幾率歸一化的係數 Ci。

雙粒子疊加態

現在，研究下面這幾種雙粒子疊加態：

可以證明，上述疊加態無法表達成兩個單粒子狀態的乘積，這在物理上意味着兩個粒子的狀態糾纏在一起不可分。也就是説，如果對其中一個粒子 A 的狀態進行測量的話，當 A 塌縮到某個本徵態時，粒子 B 的狀態也立即塌縮到一個與 A 所塌縮狀態相關的本徵態，即對 A 的測量將影響對 B 的測量。用上面的量子態“糾纏1”為例來説明這種多粒子複合態如何糾纏。

首先，“糾纏 1”是一個由兩個本徵態 A0B1 和 A1B0 組成的疊加態。測量之前的狀態“既是 A0B1，又是 A1B0”。一旦測量任何一個粒子，比如對粒子 A 進行測量的話，A 的狀態立即塌縮成 0，或者 1，幾率各半。然而，在測量 A 的瞬時，怪事發生了：雖然 B 沒有被測量，但卻同時塌縮到與 A 相反的狀態，即使這個時候 A 和 B 已經相距很遠很遠。這便是 A 和 B 互相糾纏的意思。

實際上，薛定諤的貓態並不是簡單的死貓和活貓的疊加態，而應該是“貓”和實驗中“放射性原子”兩者構成的糾纏態：

如果使用量子論的正統解釋，上面表達式的意思是説，薛定諤的貓與原子組成的兩體系統，處於兩個本徵態的混合，即

盒子打開之前，總狀態不確定，是 |本徵態1> 和 |本徵態2> 的混合疊加。盒子一旦打開，總狀態塌縮到兩個本徵態之一，幾率各半。

量子與貝爾不等式

現在再回到貝爾不等式。大家還記得，在上一節中，我們是用經典概率方法導出這個不等式的。所以，經典粒子的行動規律一定會受限於這個不等式。但量子理論中的粒子又如何呢？會不會遵循這個不等式？簡單的理論推導可以證明：量子粒子的行為是違背貝爾不等式的。

仍然考慮(2)式的疊加態“糾纏1”，它對應的量子態又叫做自旋單態。根據量子力學，如果在夾角為 θ 的兩個不同方向上對這個自旋單態粒子對進行觀測，理論預言的關聯函數平均值將會是 -cosθ。這個結果的推導過程需要用到量子力學自旋的計算，在此不表。但是，我們下面利用這個結論，加上幾步簡單的代數運算，可以檢驗量子力學的理論是否符合貝爾不等式。

我們之前得出了貝爾不等式

其中的 x，y，z 不一定需要構成三維空間的正交系。比如説，可以取位於同一個平面上的 3 個方向，依次成 60° 的角。這樣就有：

代入貝爾不等式左邊，則為 |-1/2 - 1/2| = 1，代入貝爾不等式右邊，則為 1 - 1/2 = 1/2，因此，對量子力學的這種情況，貝爾不等式不成立。

實驗結果

剛才的例子説明，量子理論已經違背了貝爾不等式，實驗結果又如何呢？儘管糾纏態是多粒子量子系統中的普遍形式，但是，要在實驗室中得到好的糾纏態，可不是那麼容易的。有了糾纏度高、效率高、穩定可靠的糾纏態，才有可能在實驗室中來驗證我們在上一節中説到的貝爾不等式，作出愛因斯坦和量子力學誰對誰錯的判決，也才有可能將量子糾纏態實際應用到通訊和計算機工程技術中，實現“量子傳輸”及“量子計算機”等激動人心的高科技。

上世紀 70 年代早期，一位年輕人走進了哥倫比亞大學“吳夫人” (美籍華人物理學家吳健雄) 的實驗室，向吳夫人請教 20 多年前，她和薩科諾夫第一次觀察到糾纏光子對的情況，那是在正負電子湮滅時產生的一對高能光子。當時的吳夫人沒有太在意年輕學生提出的這個問題，只讓他和她的研究生卡斯蒂談了談。這位年輕人名叫克勞瑟，出生於美國加利福尼亞的物理世家，因為他的父親、叔叔及家中幾個親戚都是物理學家，克勞瑟從小就聽家人們在一起探討和爭論深奧的物理問題，後來，他進了美國加州理工大學，受到費曼的影響，開始思考量子力學基本理論中的關鍵問題，他把一些想法和費曼討論，並告訴費曼説，他決定要用實驗來測試貝爾不等式和 EPR 佯謬。據他自己後來半開玩笑地描述當時費曼的激烈反應：“費曼把我從他的辦公室裏扔了出去！”

貝爾定理和貝爾不等式被譽為“物理學中最重要的進展”之一。之後，貝爾不等式被一個緊緊糾纏在一起的美國物理學家四人小組 (CHSH) 的工作所改良，稱為 CHSH 不等式。這四個人的名字是：克勞瑟、霍恩、西摩尼、霍爾特。上面提到的年輕人就是其中之一。儘管當克勞瑟對費曼説，他要用實驗來檢驗貝爾定理，費曼激動得把他從辦公室趕了出去。但克勞瑟卻堅信實驗的必要性，他總記得同是物理學家的父親常説的一句話：“別輕易相信理論家們構造的各種各樣漂亮的理論，最後，他們也一定要回過頭來，看看實驗中你得到的那些原始數據！”後來，克勞瑟及其合作者果然成為 CHSH - 貝爾不等式實驗驗證的第一人。

參考文獻

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