1+1=2：數學的原點_風聞

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1+1=2

這個最簡單的公式，

就像是一場人類誕生的“簡潔”慶典。

——節選自《人類最美的54個公式》

發現世界上最簡單的方程1+1=2，意味着什麼？

**這個連三歲小孩都能秒懂的公式是人類文明誕生的起點，**它昭示着自然數的誕生，引發持續數千年的數字大爆炸。數學創生的全部基本公理都藴含其中。

而它究竟從何而來，又將引領人類向何而去？

人生識字憂患始，人類的所有煩惱，也是不是因為知道了1+1=2呢？

從老祖先開始追溯

早在遠古時代，我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時，逐漸產生對數的感覺。

當2只牛、3只羊、5只豬擺在一塊，只有這些東西可過冬時，強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性，並開始擺弄着自己僅有的10隻手指計數。然而，從這種原始的抽象感覺到具體的“數”的概念的形成，卻經歷了極其漫長的歷史歲月。

因此，當某位古代先祖第一個意識到“1+1=2”，從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時，就發現了“數學”一個非常重要的性質——可加性，這是人類文明史上一個極其偉大的時刻。

如同鑽木取火，1+1=2的最初使用也僅是迫不得已地為了生存，兩者同樣至少有着30萬年的歷史，造福人類，但自然數的形成卻遠比火的誕生有深遠影響。

1+1=2，關於這個公式，最直觀涉及到的就是自然數和加法。

我們已經無法考證，加法究竟是在何時被人類發明的，因為沒有足夠詳細的文獻記錄，甚至可能沒有文字。但加法的出現，無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算。

“＋”、“－”出現於中世紀。

據説，當時酒商在售出酒後，曾用橫線標出酒桶裏的存酒，而當桶裏的酒又增加時，便用豎線條把原來畫的橫線劃掉，於是就出現用以表示減少的“－”和用來表示增加的“＋”。最後直到1630年，“＋”作為運算符號才得到大家的公認。

**而關於自然數的出現，卻比“＋”、“－”開始地更早，大約在1萬年以前，**冰河退卻了。石器時代，那些馬背上的遊牧狩獵者，在中東的山內悄悄地開始了一種新的生活。他們摒棄掉兇橫獵殺的本性，開始乖乖下田，播種，進行農耕，這時，如何記錄日期、季節，如何計算收藏穀物數、種子數可難為住了這羣四肢發達的壯漢。

特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發拉底河流域，還發展起了更復雜的農業社會，這羣剛進入新時代的農民還遇到了交納租税的問題。顯然，過去石器部落文化裏總結的“一”、“二”、“三”、“多”已遠遠不夠用了，人們迫切需要“數”有名稱，而且計數必須更準確些。

然而，沒有人見過自然數，也沒有人知道它是怎麼排列分佈的。

它是用以計量事物的件數或表示事物次序的數，它的分佈或許是兜兜轉轉一個圈，或許是螺旋交錯纏繞式，或許是放射爆炸發散式的，不同選擇就會有不同的數學世界。但最終數學世界最後選擇的是圖1-1“1、2、3、4、5……”這樣一個不可逆的直線式的有序體系。

圖1-1

如何巧用皮亞諾公理證明？

我們都知道1+1=2，但你是否有想過為什麼1+1就等於2呢？

這個問題，不去深思還好，一深思就像雞生蛋還是蛋生雞這個難題一樣，會把你繞得雲裏霧裏，好在總會有那麼幾位具有哲學思維的數學家愛孜孜不倦地去思考、證明它。

而在這其中，**意大利數學家皮亞諾用公理把自然數安放在了數學世界裏面，用五條公理建立了一階算術系統，**可以用來推導出“1+1=2”這一數學世界的原點。

公理1：0是自然數。

茫茫的數學宇宙裏，如圖1-2所示，從此有了第一個身影存在——0。

圖1-2

公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a’，a’也是自然數。

那麼，這個自然數起點“0”是怎麼爆發的呢？後繼陪伴者會以什麼樣的形式出現？調皮地圍着0四處發散，或是偷偷地跑到0的後面，亦或是狠心地留0一個數在那？

**公理2做出了選擇，讓偌大的數學空間中，出現的每個數都擁有着一個確定的後繼數陪伴着自己，**如圖1-3：

圖1-3

公理3：0不是任何自然數的後繼數。

為了避免後繼者不守規矩跑到0的跟前，公理3確定了0必須也只能是自然數的第一個數。但是防不勝防，這羣后繼者可能也沒那麼安分，他們還可能因為同一個姑娘爭風吃醋。也就是説，**有可能3的後繼數3’ = 3，也可能2的後繼數2’ = 3。**如下圖1-4，出現這種情況：

圖1-4

公理4：不同的自然數有不同的後繼數。

為避免上述情況，公理4趕忙着出來定義，如果n與m均為自然數且n ≠ m，那麼n’ ≠ m’；如果b、c均為自然數，且b’ = c’ ，那麼b = c；同一個自然數的後繼數相等，不同自然數的後繼數不相等，**這樣，3就不可能既是2的後繼數，也是3的後繼數了。**但如果出現圖1-5裏2.5這樣的數呢？

圖1-5

為了幹掉2.5這樣非自然數的出現，公理5冒泡了。

公理5：假定P(n)是自然數的一個性質，如果P(0)是對的，且假定P(n)是正確的，則P(n’)也是真的，那麼命題對所有自然數都為真。

它還有另外一種形式：設S是自然數集的一個子集，且滿足(i)0屬於S；(ii)如果n屬於S，那麼n’也屬於S；則S是包含全體自然數的集合，即S = N。

這裏的説法可能會有點“繞”，讀者可能不是很理解。具體細剖，**這是數學中的歸納公理，**也就是説如果有一個自然數的性質，那麼所有自然數都將滿足這個性質，不滿足的就不是自然數。這樣，我們可以定義自然數系：存在一個自然數系N，稱其元素為自然數，當且僅當這些元素滿足公理1-5。

再定義加法是滿足以下兩種規則的運算：

1. 對於任意自然數m，0 + m = m；

2. 對於任意自然數m和n，n’ + m = (n + m)’。

這樣，我們就可以證明1+1=2：

1 + 1 = 0’ + 1 = (0 +1)’ = 1’ = 2；

或者，1 + 1 = 0’ + 0’ = 0’’ = 2。

或者，因為1+1的後繼數是1的後繼數的後繼數，即3；又因為2的後繼數也是3，根據皮亞諾公理4，不同自然數的後繼數不同，所以1+1=2。

這樣，根據皮亞諾五條公理建立起來的皮亞諾一階算術系統，我們就推導出了1+1=2。

哥德巴赫猜想

另一個“（1+1）”

推導出1+1為什麼等於2，並不能為難那些腦路清晰，異於常人的數學家們。怎麼解決世間另一個“1+1”，這才是這羣數學家的心頭痛。

哥德巴赫猜想，是數學皇冠上一顆可望不可即的“明珠”，堪稱世界近代三大數學難題之一。

大概在18世紀左右，德國一富家子弟哥德巴赫，厭倦了錦衣玉食的生活，不顧家人阻攔，偏要跑去一名中學教師，還從此一發不可收拾地愛上數學，就連晚上回家休息，也在搗鼓着阿拉伯數字。而他生平最喜歡玩的遊戲竟是加法運算，而且還在玩加法遊戲的過程中發現了一個奧妙：任何大於5的奇數都是三個素數之和。

但令他無奈的是，他越玩越失敗，怎樣也無法證明自己的發現。後來，只能求助於當時數學界的權威大咖歐拉。

**1742年6月7日，哥德巴赫寫信給歐拉，提出：****任何大於5的奇數都是三個素數之和。**隨便取個奇數77，可寫成三個素數之和，77=53+17+7；再任取一個奇數461，461=449+7+5，也是三個素數之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。

**沒想到獨眼巨人歐拉居然也被這個問題給為難住了，**1742年6月30日，歐拉給哥德巴赫回信：這個命題看來是正確的，但是他也給不出嚴格的證明。為了挽回下自己居然也給不出證明的面子，狡猾的歐拉同時還提出了另一個等價命題：任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和。但這個命題他也沒能給予出證明。

而這樣一個**“任一充分大的偶數，都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數，與另一個素因子不超過b個的數之和”命題，就被統記作“a+b”，**哥德巴赫猜想（也稱哥德巴赫-歐拉猜想），也就被稱為另一個“（1+1）”。

二進制世界裏的1+1

在德國圖靈根著名的郭塔王宮圖書館，有一份彌足珍貴的手稿，它的標題為：

“1與0，一切數字的神奇淵源。這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。”

這是德國天才大師萊布尼茨的手跡，**他用幾頁異常精煉的描述，發明了一個神奇美妙的數字系統——二進制，**他告訴我們，1 + 1 ≠ 2，在計算機代碼世界裏，1 + 1 = 10。

**二進制是計算技術中廣泛採用的一種數制。**二進制數據是用0和1兩個數碼來表示的數。它的基數為2，進位規則是“逢二進一”，借位規則是“借一當二”。當前的計算機系統使用的基本上就是二進制系統，數據在計算機中主要是以補碼的形式存儲的。

可以説，從20世紀第三次科技革命爆發以來，人類就開始進入了計算機時代，我們在虛擬的網絡裏遊戲、社交、狂歡。到現在21世紀，開始致力於人工智能的開發，而這些東西本質上都是由計算機實現的。

**而未來，完全身處於數字時代的我們，必將被二進制代碼全身籠罩，**這個世界，1+1就只可能等於2嗎？

結語

回到最初的原點

不管是現實生活中簡明易懂的1 + 1 = 2，或是數論世界裏令人絞盡腦汁的“1 + 1”，還是虛擬世界裏的1+1=10，都以其自身的客觀性和普適性在時間的歲月裏不證自明，**讓人類能以其為始，在接受這些公式和定理的條件下，繼續用理性的方法推導衍生出萬事萬物。**並在萬事萬物中，能輕易地窺視其蹤跡。

欲罷不能的王者榮耀是由0和1的代碼編寫運行；

置放蘋果的天秤則完全滿足可加性的量；

總質量總是等於每個物體的質量之和；

……

**1+1=2撐起了人類理性世界的基本運轉，**跨越人類文明始終，不需要名稱，不需要翻譯，也不需要解釋。

它無處不在，藏匿於天地之間，本身就擁有着妙不可言的美感。