無窮小量的回憶錄丨混亂博物館_風聞

我們曾經多次提及數學史上的“第一次數學危機”，這場危機過後，人類確立了無理數，有了將有理數上的運算拓展到了全體實數上，實在是收穫頗豐。

但新的數學危機也在漫長的潛伏中逐漸爆發出來，這就是微積分研究中無窮小量的定義問題，尤其是無窮小量是不是0的問題。

而與第一次數學危機一樣，無窮小量的妥善解決，最終給我們帶來的嶄新的天地，成為了強大的武器。

－文字稿－

古希臘的智者時代，有一個著名的前蘇格拉底哲學家，芝諾，他提出了一個最經典的佯謬，“追着烏龜的阿基里斯”：阿基里斯的速度是烏龜速度的100倍，但烏龜先走了99個單位。阿基里斯要追上烏龜，就要先走完這個99個單位，但烏龜將在同樣的時間內再走0.99個單位，阿基里斯於是還早再追0.99個單位，然而烏龜已經又走了0.0099個單位，阿基里斯還得再追0.0099個單位……以此類推，儘管阿基里斯與烏龜的差距將成為無窮小量，但無窮小量畢竟不是0，

芝諾認為這證明了快的永遠追不上慢的，也就證明了速度不存在，運動也不存在。

與此同時，就以圓周率計算來説，早期的割圓法暗示了這樣一種思想：兩個量雖然有差距，但只要能使這個差距無限縮小，就可以認為兩個量最終將會相等。

接着在計算圓形的面積時，沿着半徑將圓拆分成無窮多個扇形，然後認為這個直與彎之間的無窮小量就是0，由此得出了圓形面積的精確公式——這些微妙的矛盾在西方的阿基米德時代和東方的九章算術時代就埋伏確立下來了。

南北朝時，祖沖之的孫子，祖𣈶在計算球體體積時提出了祖𣈶原理：對於平面上的任意兩個形狀，如果它們等高，且在相同高度上等寬，那麼這兩個形狀面積相等；同樣，空間中任意兩個形體，如果它們等高，且在相同高度上橫截面積也相等，那麼，這兩個形體體積相等。

這看起來非常顯然，但是暗含了了不得想法：線本來沒有面積，但是無窮多條線加起來就有面積；面本來沒有體積，但是無窮多個面加起來就有體積。

但在歷史上的大多數時間裏，數學都不是什麼嚴謹論證的學問，正如我們在第一次數學危機中看到的，數學家往往首先是哲學家，它們更關心如何從數學現象中提煉出自己喜歡的結論——所以無窮小量繼續潛藏了1200多年，才緩緩走了出來。

1635年到1647年之間，意大利幾何學家博納文圖拉·卡瓦列裏（Bonaventura Francesco Cavalieri，1598－1647）重新發現了祖𣈶原理，他的論文很快受到了英國教會數學家約翰·沃利斯的重視，後者奠定了冪的表示法，給非正整數次冪賦予了意義——1656，沃利斯利用祖𣈶原理考慮了的圖象從0點開始對X軸投影圍成的面積，算出那剛好是將投影補完成一個矩形，再除以m+1。

學過高等數學的人都會注意到這個結論稍加變化就是一次完好的定積分計算——的確，17世紀正是海外殖民地的建設高潮，遠洋航線的測繪涉及了大量的曲線計算，萊布尼茲在1686發表論文創立了現代微積分——他將曲線下方的面積分割成無窮窄的矩形，用離散的級數運算代替了連續的函數計算，解決了各種複雜的問題，牛頓也在1704年也獨立創建了英國版本的微積分，將無窮小量稱為“最終會消失的量”。

無窮小量究竟是不是0的問題終於徹底爆發了出來。

微分討論了函數的自變量改變一點的時候，函數的值會相應地改變多少一點。萊布尼茲的d就表示這一點無窮小量。在一元函數中，兩者的商即微商，他也認為這等於導數，也就是微分關係最常見的表示的由來。

但導數是一條切線的斜率，而微商描述了一段割線的斜率，同時，割線的端點如果重合就不再能確定一條直線，談不上斜率。

更尖鋭的矛盾是，利用微分推算X2的導數，x的無窮小量既然出現在分母上，後來還當作公因數約了分，就不是0；但是到頭來又把它省略了，顯然是認為它是0——無窮小量一會兒是0，一會兒不是0，徹底違反了實數的“阿基米德公理”，幾乎動搖了數學的根基——貝克萊主教抓住這個把柄，強烈地抨擊了當時的微積分學，但微積分的研究早已經碩果累累，成為數學分析的利器——在嚴謹與成就之間的取捨，就是第二次數學危機。

最終解決問題的是柯西，他在1821年明確了無窮小量不是一個不確定的量，更不是一個實數，而是一個以0為極限的變量，並且嚴格地定義了序列的極限：

對於一個實數序列，如果無論給定多麼小的數字，都能確定該序列在某一項之後的所有元素都更小，那麼這個序列的極限就是0，它在項數趨於無窮大時就是無窮小量。

就這樣，微積分重新建立在了明確的極限概念上，19世紀後的數學家據此重新推導出了所有的微積分結論，也消除了無窮小量是不是0的疑惑：無窮小量是個變小的過程，可能是序列，也可能是函數，而不能直接視作0，但反過來，0作為一個常函數或者常序列卻滿足無窮小的定義，是無窮小量的一個特例。

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