理解黎曼猜想（三）你真的相信全體自然數的和等於-1/12嗎？_風聞

【袁嵐峯，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員，科技與戰略風雲學會會長，青年科學家社會責任聯盟理事】

在前兩期節目（文章見理解黎曼猜想（一）背景 | 袁嵐峯和理解黎曼猜想（二）兩個自然數互質的概率是多少？ | 袁嵐峯，視頻見https://www.bilibili.com/video/av34580488和https://www.bilibili.com/video/av35082418）中，我們介紹了黎曼猜想的背景，即質數分佈問題，以及研究質數分佈的基本工具，即歐拉乘積公式。到目前為止，我們講的都是歐拉的工作，正主黎曼還沒出來呢！

那麼黎曼究竟做了些什麼呢？黎曼做了很多事情，他的基本目標就是對質數的分佈獲得一個明確的表達式。在這個過程中他做出了一個著名的猜想，就是黎曼猜想。與此同時，他的推導過程有一個副產品也變得非常著名，在普通公眾中的名氣甚至比黎曼猜想還要大得多。這個副產品是什麼呢？就是下面這個式子：

全體自然數的和等於-1/12，你八成聽説過這個説法，對不對？！

實際上，我的不少朋友不但是聽説過這個説法，而且是真的相信了，真的是按照字面上理解這個説法。這樣一來，就造成了嚴重的矛盾：自然數依次相加，不是應該越來越大，超過任何限制嗎？怎麼可能得到一個有限的值？更不可思議的是，怎麼還能得到一個負值？正數加正數只可能得到正數，怎麼會變成負數？

按照這樣想下去，就越想越可怕了。難道常識都是靠不住的？難道數學是一門違反常識的學科？難道數學家是一羣陰謀家，他們向大眾隱瞞了許多可怕的秘密？……

愛德華·蒙克《吶喊》

更加令公眾恐慌的的是，還有不少所謂的科普節目沿着這個調調搞了不少大新聞。他們典型的説法就像這樣：

“這個計算是數學中隱藏得最好的秘密之一，數學家之外沒人知道這件事。”

“這是一個驚悚的結果。”

“這確實有悖常識，因為你內心總想讓這個序列停下來，而一旦序列停止，你就再也沒法理解這個結果。”

“在數軸的無窮遠處，藴藏着嶄新的數學體系等待我們建立。”……

於是乎，我的不少朋友就來憂心忡忡地問我。用他們的話説，簡直是世界觀都要崩潰了！

好吧，我們就借這個機會，向大家講清楚這個所謂“全體自然數的和等於-1/12”是怎麼回事。還有許多跟它類似的説法，例如所謂“無窮多個1加起來等於-1/2”，“全體自然數的平方和等於0”，都是同樣的道理，我們順便可以一網打盡。

首先，來告訴大家基本的答案：你的常識是正確的，這些説法都是錯誤的，數學並沒有推翻常識。數學家也不是陰謀家，數學家沒有向你隱瞞任何東西。你完全不需要害怕，完全可以保全你的世界觀和安全感。

然後，這些説法雖然是錯誤的，但也並不是毫無意義的胡説八道。只要改造一下，它們都可以變成有意義的。正如那句俗話所説：我覺得我還可以再搶救一下！

我覺得我可以再搶救一下

搶救什麼呢？就是搶救這些説法中的“和”的定義。也就是説，如果按照最基本的加和方法，1加2等於3，3加4等於7等等，那麼這些説法都是胡扯。但如果定義一些其他的加和方法，那麼這些説法可以變成正確的。

下面，我們就來講黎曼是在什麼意義上，算出了全體自然數的和等於-1/12。

在前兩期中，我們已經講過，研究質數分佈的基本出發點是歐拉乘積公式：

這個公式左邊的n指的是所有的自然數，1、2、3、4、5等等，右邊的p指的是所有的質數，2、3、5、7、11等等。公式兩端都出現的s是一個變量，當且僅當s > 1的時候，歐拉乘積公式成立。

數學家經常用大寫的希臘字母Σ來表示求和，用大寫的希臘字母Π來表示連乘。用這種表達方式，我們可以把歐拉乘積公式簡寫成下面這樣：

讓我們把歐拉乘積公式左邊的這個無窮級數記為ζ(s)（ζ是一個希臘字母，發音zeta）。我們再次強調一下，歐拉乘積公式只在s > 1的時候成立，在s ≤ 1的時候是不成立的。為什麼呢？原因我們在上一期節目中解釋了，ζ(1)，也就是全體自然數的倒數和，等於無窮大。全體自然數的倒數和又被稱作調和級數（harmonic series），它等於無窮大，換句話説就是，調和級數是發散的。而當s < 1的時候，n的-s次方會變得更大，ζ(s)會變得更大，當然就更是發散的了。因此，歐拉乘積公式只能在s > 1的範圍內使用。

按照歐拉的路線走下去，到這裏基本就結束了，翻不出什麼大浪了。讓我們歡送大神歐拉~

歐拉

山重水複疑無路，柳暗花明又一村，我們新一代的大神黎曼出場了！

黎曼

黎曼一出來，就指出了幾個要點：

一，我們應該把ζ(s)中的自變量s理解為複數（complex number），而不只是實數；

二，我們可以通過解析延拓（analytic continuation），讓ζ(s)在s < 1的地方也獲得定義；

三，通過對ζ(s)的研究，我們可以對小於等於某個數x的質數的個數給出一個明確的表達式，在這個表達式中唯一未知的就是ζ(s)的零點的位置；

四，黎曼猜測，ζ(s)的零點都位於某些地方，這個猜測就是黎曼猜想。

也許你對這四條不能完全聽懂，甚至是完全聽不懂。沒關係，如果你一上來就完全聽懂了，那只有一種可能，就是你本來就知道黎曼猜想是什麼，那麼你也就沒有必要聽我在這裏講了。如果你對黎曼猜想不甚瞭然，那麼我可以告訴你，以上就是黎曼提出這個猜想的基本脈絡。至於這四條具體的意思，我們可以循序漸進地講述。

更有意思的是，考慮到讀者之間數學水平的巨大差異，我會提供若干種不同分辨率層次的描述，先講簡略的，再講精細的。就像對前面講過的藍眼睛島問題從藍眼睛問題，看羣眾理解能力的巨大差異 | 袁嵐峯，我分成了十個層次來解讀。如果你缺乏基礎，那麼你只看那些簡略的描述就夠了。這至少足以讓你獲得一個正確的大圖景，不會再被那些危言聳聽的偽科普咋呼得世界觀崩潰。而如果你的數學基礎不錯，而且你很有好奇心，那麼歡迎繼續去看精細的描述，這會讓你獲得更多數學的快樂。

當前我們的目的，是理解所謂“全體自然數的和等於-1/12”。這裏的關鍵在於黎曼的第二條，也就是通過解析延拓，可以讓ζ(s)在s < 1的地方也獲得定義。也就是説，

這就是我們在上一期中説過的，歐拉ζ函數升級為黎曼ζ函數。

假如仍然用s > 1時的定義，那麼ζ(-1)就是全體自然數的和，因為這時n的-s次方就是n的1次方，也就是n。但實際上，ζ(-1)已經不是這麼定義的了，它換了一個定義，在新的定義下，它等於-1/12。所謂“全體自然數的和等於-1/12”，如果要有意義的話，就是這個意思，它説的其實是黎曼的ζ(-1) = -1/12。

如果你問：就其本身而言，全體自然數的和等於多少？答案當然是無窮大了！所以這裏沒有任何矛盾或者陰謀，數學家從來沒有欺騙過你。

有人説，物理學家經常會用到“全體自然數的和等於-1/12”。沒錯，物理學家確實會在量子場論、超弦理論等地方用到這個命題，但在用的時候他們當然知道這話是什麼意思，是解析延拓的意思，而絕不是字面的意思。只有一些一瓶子不滿半瓶子晃盪的偽科普，喜歡在這裏咋咋呼呼，製造大新聞，嚇唬那些聽風就是雨的naïve的聽眾。報道出了偏差，你們也有責任的好吧！

如果你不打算探究更多有趣的細節，那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點，你就會問了：解析延拓是什麼意思？

作為一個最簡略、最直觀的理解，解析延拓就是擴大一個函數的定義域，使得它在一些原本沒有定義的地方也有了定義，而在原本有定義的地方跟原來一樣。

具體怎麼做呢？舉一個最平凡、最沒有技術含量的例子，你在-1 < x < 1的區間裏定義了一個函數y = x。它的函數圖像是一條線段，從(-1, -1)連到(1, 1)。任何人一看這個圖像，都會感到它意猶未盡。顯然，你可以把這條線段向兩邊延伸，而且可以延伸得任意遠。這樣一來，你就把這個函數的定義域從(-1, 1)這個區間擴展到了整個數軸。這就是一個最簡單的解析延拓。

如果你不打算探究更多有趣的細節，那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點，你可能就會問了：一條線段向外延伸，並不見得一定要按照直線來延伸，也可以延伸成折線、或者圓、或者橢圓、或者拋物線、或者雙曲線、或者任何其他的曲線，這些也都是解析延拓嗎？

回答是：不是！請注意在“延拓”前面的那兩個字，“解析”。什麼叫做解析呢？在直覺層面，可以認為就是延續原始函數的自然趨勢，自然地過渡到新的區域。從直覺就能理解，如果你不是把一條線段擴展到它的延長線，而是擴展到其他的任何曲線，這樣的擴展方法都很生硬，沒有延續那條線段的自然趨勢，因此這些都不是解析延拓。

實際上，解析延拓的一個驚人的要點就是：一個函數的解析延拓是唯一的！也就是説，在一個比較小的定義域內給定一個函數，那麼在它解析延拓之後，在更大的定義域裏的任何一點都只可能有一個取值，這個取值完全由這個函數在原始定義域裏的表現決定。比如説我們上面那個例子，這條線段解析延拓之後，在x = 3的地方必然得到y = 3，而不可能得到2或者4或者任何其他的值。

如果你不打算探究更多有趣的細節，那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點，你可能又會問了：對於不像y = x這麼簡單的函數，如何進行解析延拓？

回答是：解析延拓的一般方法，是通過冪級數（power series）來進行的。

什麼叫做冪級數？就是冪次越來越高的多項式相加形式的級數，即

假如一個函數y = f(x)在某個點x0附近等於一個冪級數，那麼我們就説這個函數在這一點是解析（analytic）的。這其實就是“解析”這個詞的嚴格定義。

對於前面那個最簡單的例子，y = x這個表達式本身就是一個冪級數，其中的x0 = 0，也就是説它在原點附近等於一個冪級數，其中只有一次項的係數等於1，其他項的係數都等於0。而在原點之外的某個x0附近，你可以把它寫成y = x0 +(x-x0)，這仍然是一個冪級數，一次項的係數仍然是1，二次及更高次項的係數仍然是0，只是零次項也就是常數項從0變成了x0。所以在x0附近，這個函數也是解析的。

對於一個冪級數，一個很重要的性質是它的收斂半徑（radius of convergence）。也就是説，一個冪級數並不見得總是收斂的，或者説總是能算出一個有限值。如果離中心點x0太遠，冪級數就可能變成無窮大，也就是説發散了。對於y = x，它的收斂半徑是無窮大，也就是説在任何地方都收斂，這當然是最簡單的情況。讓我們來看一個稍微複雜一點的情況，一個由等比數列組成的冪級數：

請問，這個等比級數等於什麼？

學過等比數列求和的同學，立刻就知道它的前k項加起來等於

現在我們要求的不是前k項的和，而是無窮多項的和。如果x的絕對值小於1，也就是説-1 < x < 1，那麼你立刻可以看出當k趨於無窮的時候，x的k次方趨於0，所以這整個求和Sk會趨於1/(1-x)。而如果x的絕對值大於1，也就是説x > 1或者x < -1，那麼當k趨於無窮的時候，x的k次方趨於無窮大，所以求和Sk也趨於無窮大。很好，這樣我們就知道了原來那個等比級數的收斂半徑等於1，在這個收斂半徑之內它等於1/(1-x)，而在收斂半徑之外它發散，所以這個等比級數的定義域最大隻能到(-1, 1)這個區間。

有了這些基礎知識的準備之後，這個等比級數的解析延拓就呼之欲出了。在收斂半徑之外，我們就定義它等於1/(1-x)。這樣一來，我們獲得了一個定義域更大的函數，定義域擴大到了除x = 1之外的所有的點，而在原來的定義域(-1, 1)之內跟原來的函數相等。

為什麼要除掉x = 1這一點呢？因為x如果等於1，分母1 - x就等於0，整個式子就會變成1/0，沒有意義。如果把解析延拓比喻成搶救一個函數，那麼“我覺得我還可以再搶救一下”，——確實在其他各處都搶救回來了，只有x = 1這一個點不行！

我覺得我可以再搶救一下

不過對於收斂半徑上另外一端的點，即x = -1，我們的搶救確實成功了，在這一點可以算出1/(1-x) = 1/2。在這裏我們可以做一件有趣的事，就是把x = -1代回到等比級數里，假裝不知道這時函數的定義已經改變了，那麼就會在形式上得到：

在這裏出現的1之後交錯減1和加1的級數，叫做格蘭迪級數（Grandi’s series），格蘭迪（GuidoGrandi，1671 - 1742）是一位十七世紀和十八世紀的意大利數學家。格蘭迪級數在歷史上曾經引起熱烈的討論。你覺得，這個級數應該等於什麼呀？等於0？還是1？還是1/2？還是別的什麼？

格蘭迪

實際上，就最基本的意義而言，應該説格蘭迪級數不等於任何一個數，因為它的前k項的和交替地取值1和0，並不趨於一個極限。但在若干種推廣的意義上，可以説它等於1/2。這裏給出的就是一種推廣的意義，即等比級數的解析延拓。所謂全體自然數的和等於-1/12，也只是在像這樣的推廣的意義上才能成立。

如果你不打算探究更多有趣的細節，那麼瞭解到這個程度也就夠了。如果你思考得多一點，你可能又會問了：黎曼是如何對ζ函數進行解析延拓的？他為什麼對ζ(-1)得出了-1/12這個結果？

很好的問題！鑑於許多同學們需要時間來消化這堂課的內容，黎曼的具體做法，我們放到下次來講。

（感謝著名科普作家、《黎曼猜想漫談》的作者盧昌海博士、美國新墨西哥大學數學與統計系助理教授黃宏年博士、哆嗒數學網網主以及浙江大學數學博士“賊叉”在科學方面的指教。）