e^iπ+1=0：史上最完美的數學公式_風聞

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e^iπ+1=0

原來上帝與我同在，

歐拉也與我同在。

——節選自《人類最美的54個公式》

在人類的學問裏，最接近上帝的是數學。

數學追求最高的精確、最合理的邏輯。但更奇妙的是，這個宇宙竟都是經得起每一個極簡公式的一再推敲考證。

不過，世界只有極少數人天生對數具有強有力的直覺與天賦，這種天賦拉着他們有如拋物線般地迴歸，不斷試圖偷取上帝的語言以幫助人類面對和解釋宇宙裏最基本的存在。

在這樣一小撮天才之中，卻只有猶如“上帝之子”的歐拉，將世上最基本的5個數學常數0，1，e，iπ簡潔地聯繫起來，同時也將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、概率波等聯繫在一起……宇宙最簡潔的縮影在數學與物理中從此有了最簡易的表達。

歐拉的存在也成了科學界屹立不倒的神話。他不僅智慧超人，而且勤勉感人，甚至以德服人，為眾高手所仰慕，是許多科學家窮極一生想要追趕的對象。

“一筆畫”解決

哥尼斯堡七橋問題

18世紀東普魯士首府——哥尼斯堡，是當時名噪一時的寶地，不僅專門誕生偉大人物，如哲學家康德，還有網紅景點普雷格爾河坐鎮。

這條河橫貫其境，可把全城分為下圖3-1所示的四個區域：島區（A）、東區（B）、南區（C）和北區（D）。

圖3-1

其間還有七座別緻的橋，橫跨普雷格爾河及其支流，將四個區域連接起來，引得遊客絡繹不絕。遊玩者都喜歡做這樣一個嘗試：如何不重複地走遍七橋，最後回到出發點。

然而，幾乎每個嘗試哥尼斯堡七橋問題的人，最後都精疲力竭，垂頭喪氣，他們發現不管怎麼繞都會重複。

本來獨眼巨人歐拉剛右眼失明，內心十分苦悶，但看到周圍的居民竟都為這個問題如此抓耳撓腮，覺得很有意思。因為就算不用腳走，照樣子畫一張地圖，把全部可能路線都嘗試一遍也能把人整得心力交瘁，畢竟各種可能線路加起來有種。

為解決這個問題，歐拉巧妙地把它化成了一個幾何問題，將四個區域縮成4個點，以 ABCD 四個字母分別代替4個區域，然後橋化為邊，得到了圖3-2。

 

圖3-2

再簡化些，就變成圖3-3。

圖3-3

這樣，難解的七橋問題瞬間搖身變為了孩子們最愛玩的一筆畫問題，如果能在紙上一筆畫完，又不重複的話，這個問題也就解決了。

整整一個下午，歐拉躲在屋子裏閉門不出，桌上滿是丟棄的紙團，複雜的線條像股雜繩。許久過後，沾滿鉛筆屑的手指終於離開了歐拉的臉頰，他迅速地再抽出一張白紙，寫下：對於一個可以“一筆畫”畫出的圖形，首先必須是連通的；其次，對於圖形中的某個點，如果不是起筆點或停筆點，那麼它若有一條弧線進筆，必有另一條弧線出筆，如圖3-4所示。也就是説，交匯點的弧線必定成雙成對，這樣的點必定是偶點。

圖3-4

而圖形中的奇點（經過此點的線的條數為奇數的頂點），只能作為起筆點或落筆點，在此基礎上，歐拉最終確立了著名的“一筆畫原理”，即一個圖形可以一筆畫的充分必要條件是：

1. 所有點都連通

2. 奇點的個數為0或2

顯然，從圖3-3中，我們可以看到奇點的個數為4，不符合條件2。因而，多少年來，人們費盡心思試圖尋找的經過七橋而不重複的路線，其實根本就不存在。

將七橋問題轉化為一筆畫問題，是一個把實際問題抽象成合適的“數學模型”的過程，這當中並不需要運用多麼深奧的理論，但想到這一點，卻是解決難題的關鍵。後來，我們將此種研究方法稱為“數學模型方法”，而這也是歐拉作為18世紀最偉大的數學家，異於常人之處。

多面體歐拉公式

透視幾何之美

1736年，《哥尼斯堡的七座橋》論文的發佈，同時也開創了數學的一個新分支——圖論與幾何拓撲，而這時，歐拉年僅29歲。

當然，這對於13歲考入名校，15歲本科畢業，16歲碩士畢業，19歲博士畢業，24歲成為教授的歐拉來説，其實並不稀奇。即使年紀輕輕就被上帝奪走了有形之眼，但其始終保持着那雙透視幾何之美的無形之眼。

繼解決七橋問題之後，作為拓撲學的奠基人，歐拉還提出了拓撲學中最著名的定理——多面體歐拉定理。即對於簡單凸多面體來説，其頂點數V、稜數E及表面數F之間的關係符合歐拉公式：V-E+F=2。

舉個例子：如圖3-5所示，一個立方體有8個頂點，12條稜和6個表面，帶入拓撲學裏的歐拉公式中，顯然8-12+6=2。

圖3-5

​其神奇地揭示了簡單多面體頂點數、面數及稜數間的特有規律，並證實了一個有趣的事實：世上只存在五種正多面體。如圖3-6，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

圖3-6

後來，為了洞悉其他多面體的特有規律，如對於油炸圈餅狀的多面體來説，V-E+F=0，並不等於2。現在數字V-E+F也被稱為歐拉示性數：它是一個“拓撲不變量”，用以區分不同的二維表面。球狀表面的歐拉示性數永遠為2；油炸圈餅狀表面的歐拉示性數永遠為0；扭結餅乾狀表面的歐拉示性數永遠為-4，如此，等等。

拉扯微積分長大成人

作為科學史上最多產的數學家，歐拉孜孜不倦共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論佔40%，幾何佔18%，物理和力學佔28%，天文學佔11%，彈道學、航海學、建築學等佔3%。後來，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

然觀其一生，在歐拉的所有工作中，首屈一指的還得論對分析學的研究，其成功地拉着牛頓和萊布尼茨的孩子微積分長大成人，被譽為“分析的化身”。

比起牛頓和萊布尼茨為誰是微積分的親生父母爭得頭破血流，歐拉這個養父顯然敬業得多，一連出版《無窮分析引論》 （1748），《微分學》（1755）和《積分學》（共三卷，1768-1770）三本書，堪稱微積分發展史上里程碑式的著作，並且在長時間內，一直被作為分析課本的經典典範而普遍使用。

其中，《無窮分析引論》中給出了著名的極限（e=2.7182818……），而複變函數論裏的歐拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ更是在微積分教程佔據了重要地位。這個公式能力超強地把微積分的三個最為重要的函數聯繫在了一起，而這些函數可是人們研究了千百年的課題！

指數函數exp(x)，可等價寫為ex，這是微積分中唯一一個導數和積分都是它本身的函數。而三角函數中的餘弦函數cos和正弦函數sin則是微積分中榜眼探花。阿爾福斯曾感慨：“純粹從實數觀點處理微積分的人，不指望指數函數和三角函數之間有任何關係。”歐拉卻能獨具慧眼地將三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係。

更直觀點理解，我們可以到複平面上看，θ代表平面的角，e^iθ看作通過單位圓的圓周運動來描述單位圓上的點，通過複平面的座標來描述單位圓上的點，是同一個點不同的描述方式，所以有，如圖3-7所示：

圖3-7

後來，我們還會在各個領域看到這個公式帶來的變體，比如在經濟學中的演變：

專用來求解消費者的需求函數或生產者的生產函數，而這是整個微觀經濟學的基礎。

遙想當年，牛頓、萊布尼茨創立微積分基礎不穩，應用有限，主要還是從曲線對微積分進行研究，而歐拉卻與一批數學家拓展了微積分及其應用，產生一系列新的分支，並把它們共同形成“分析”這樣一個廣大領域，同時明確指出，數學分析的中心應該是函數。

自此，18世紀的數學形成了代數、幾何、分析三足鼎立的局面，而工業革命以蒸汽機、紡織機等機械為主體的運動與變化，也得到了最適合的數學工具進行精確計算。

上帝創造的公式

如果取一個特殊值，令θ=π，代入複變函數論裏的歐拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ中，可得：e^iπ=cosπ+i sinπ，即e^iπ=-1+0，簡單變換後也就是我們最為熟知的“有史以來最優美的等式”：e^iπ+1=0，其極具號召力地將數學上最重要的5個常數0、1、π、e和i聚一堂，並以一種極其簡單的方式將數學上不同的分支聯繫起來。

老祖宗0和1，是最簡單的兩個實數，是羣、環、域的基本元素，更是構造代數的基礎。任何數與“0”相加都等於它本身，任何數與“1”相乘也都等於它本身，有了0和1，就可以得到其他的數字。

小弟無理數π，引爆數字狂熱的同時，隱藏着世界上最完美的平面對稱圖形——圓。其在歐氏幾何學和廣義相對論中無處不在，有了 π，就有了圓函數，也就是三角函數。

大哥無理數e，是自然對數的底，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，四處可見其身。有了e，就有了微積分，也就有了和工業革命時期相適宜的數學。

甚至，連數學的隱士高手虛數單位i也在其中，其是-1的平方根，也是方程“x²+1=0”的解。有了i，就有了虛數，平面向量與其對應，也就有了哈密爾頓的四元數，接連着，在歐拉之後的未來，虛數還引發了電子學革命的量子力學的理論基礎。

還有最重要的運算符號“+”和最重要的關係符號“=”含於其中。減法是加法的逆運算，乘法是累計的加法……有了加號，就可以引申出其餘運算符號；而等號則在我們最初接觸算術時，便教會了我們世上最重要的一種關係——平衡。

 歐拉恆等式彷彿一行極為完美而簡潔的詩，道盡了數學的美好，數學家們評價它為“上帝創造的公式，我們只能看它卻不能完全理解它”。而在三角函數、傅立葉級數、泰勒級數、概率論、羣論等領域，我們卻能隨處可見它的倩影，就連數學王子高斯也不得不承認：“欣賞不了它的人，一輩子都成不了一流的數學家。”

結語

致敬“所有人的老師”

晚年60歲時，歐拉不幸雙目失明，但他依舊能運用強大的記憶力和心算能力，通過口述形式完成了400多篇論文，獨自創立了剛體力學、分析力學等新學科。

法國大數學家拉普拉斯曾感慨：“歐拉是所有人的老師。”

而這不僅僅是因為幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、複變函數的歐拉公式……也不僅僅是因為他的全部創造在整個物理學和許多工程領域裏都有着廣泛的應用。

更是因為歐拉在為我們留下極其豐富的科學遺產時，還為我們照亮了為科學獻身的精神。在極少天賦異稟的天才之中，我們很難再見到有一人像歐拉這般一生勤勉而頑強，為學術而失明，但卻不曾因失明而停止前進的步伐，甚至保持充沛的精力到最後一刻。

其猶如上帝之子耶穌，不只極富靈氣地寫下了e^iπ+1=0這樣的上帝語言，更以其接地氣的博愛品質，讓每個人都能跟隨他在各處留下的腳步，潛心修煉，理性思索。