理解黎曼猜想（六）朝聞道_風聞

【袁嵐峯 中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員，科技與戰略風雲學會會長，青年科學家社會責任聯盟理事】

在上一期節目中，我們介紹了黎曼猜想的意義以及它的重要性。許多數學家把黎曼猜想看作數學中最重要的問題。雖然哥德巴赫猜想與孿生質數猜想在公眾中的名氣比黎曼猜想大得多，但其實黎曼猜想比它們高一個層次。

下一個問題就是，人們嘗試證明黎曼猜想的努力，達到什麼程度了呢？

基本的回答是：離真正解決問題，看起來還離得遠。

下面是自從1859年提出黎曼猜想以來，在這個領域中最重要的一些進展。

1896年，阿達馬和德·拉·瓦·布桑證明了質數定理。

1905年，德國數學家曼戈爾特（Hans Carl Friedrich von Mangoldt，1854 - 1925）證明了，黎曼ζ函數的非平凡零點有無窮多個。

1914年，丹麥數學家玻爾和德國數學家朗道證明了玻爾-朗道定理（Bohr–Landau theorem）：對於任何δ > 0，離臨界線的距離大於等於δ的非平凡零點在全部非平凡零點中所佔的比例是無窮小。換句話説就是，對於以臨界線為中心的任意窄的豎直條帶，其中都包含了幾乎所有的非平凡零點。

乍看起來，這條定理好像已經離黎曼猜想非常近了。但仔細想想你就會發現，這條定理甚至都沒有證明有一個非平凡零點位於臨界線上！你很容易構造一種情況，使得隨着虛部t的上升，零點離臨界線越來越近，卻永遠不落到臨界線上。

順便説一句，一提到玻爾，你八成就會想到著名的丹麥物理學家、量子力學的先驅尼爾斯·玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885 - 1962）。但我們在這裏説的玻爾是丹麥數學家哈羅德·玻爾（Harald August Bohr，1887 - 1951），他是尼爾斯·玻爾的弟弟。

哈羅德·玻爾

這兄弟倆都是專業水平的足球運動員，不過弟弟在這方面的成就更高，他作為丹麥足球隊的主力球員參加了1908年奧運會，並且獲得了銀牌。在半決賽上，丹麥隊以17：1血洗了法國隊，這項奧運會紀錄保持至今。在哈羅德·玻爾1910年進行博士答辯的時候，據説現場慕名而來的球迷比數學家還多，其中大概也有不少迷妹……對於玻爾兄弟，以後我們有機會再詳細介紹。

一提到朗道，你八成就會想到著名的蘇聯物理學家列夫·朗道（Lev Davidovich Landau，1908 - 1968）。但我們在這裏説的朗道是德國數學家埃德蒙·朗道（Edmund Georg Hermann Landau，1877 – 1938），他跟列夫·朗道並不是親戚，兩人之間的聯繫似乎僅限於他們都是猶太人這一點。

埃德蒙·朗道

所以，玻爾-朗道定理並不是物理學家玻爾和物理學家朗道的定理，而是數學家玻爾和數學家朗道的定理。人生總是充滿意外啊！

同樣也是在1914年，英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）證明了，有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。

哈代

哈代的結果固然十分重要，但是，無窮多個臨界線上的非平凡零點對無窮多個非平凡零點，前者佔後者的比例是多大呢？卻還完全不知道。可能是全部，可能是一半，可能是1/10，甚至可能是0！你很容易構造一種情況，使得隨着虛部t的上升，臨界線上的零點佔總的非平凡零點的比例越來越低，無限趨於0。

哈代是一個非常有幽默感的無神論者。他有一年列出了六大新年願望，其中第三號願望是找到一個能説服大眾的對於“上帝不存在”的證明，而第一號願望是證明黎曼猜想。當然，他這兩個願望都沒有實現。

哈代還有一個關於黎曼猜想的軼事，是這個樣子的。哈代跟剛才説的哈羅德·玻爾是好朋友，他們經常在丹麥共度暑假，討論問題。有一次當哈代要從丹麥坐船回英國時，發現只剩下一條小船了。面對汪洋大海，其他乘客大都在祈求上帝保佑。而哈代的做法，卻是寫了一張明信片發給哈羅德·玻爾，上面只寫了一句話：“我已經證明了黎曼猜想。”

哈代真的證明黎曼猜想了嗎？當然沒有。那他為什麼要發這樣一張明信片呢？平安回到英國後，他向哈羅德·玻爾解釋了原因：如果他乘坐的小船沉沒了，那人們就只好相信他真的證明了黎曼猜想。但既然他堅決不信上帝，那麼如果上帝存在的話，上帝肯定不會願意把這麼巨大的榮譽送給他。因此，上帝一定不會讓這艘小船沉沒的！

好吧，這個理由真是好有道理，簡直無法反駁！用現在的語言説，毋寧説是哈代的豬腳光環開啓，王八之氣亂放。無論如何，數學家面對生死的超脱態度，大家感受到了吧？

1942年，挪威數學家塞爾伯格（Atle Selberg，1917 - 2007）證明了，臨界線上的非平凡零點佔全部非平凡零點的比例大於0。

塞爾伯格

外行可能會覺得這是個很弱的結論，但其實這是個很強的結論。回顧一下，假如非平凡零點的實部是在0到1之間隨機取值，那麼它剛好取到1/2的概率應該等於0。黎曼卻認為這個概率是100%！塞爾伯格雖然沒有證明這個概率達到100%，但這個概率不等於0，本身就已經是一件非常驚人的事了。

1974年，美國數學家萊文森（Norman Levinson，1912 - 1975）證明了，臨界線上的非平凡零點佔全部非平凡零點的比例至少有34%。在這裏最驚人的還不是這個數學結果，而是萊文森的年齡：他當時已經62歲了！而且他當時已經身患重病，第二年就去世了。

我以前一直以為，數學家極少有在50歲後做出重大成果的，張益唐可能是唯一的例外，他57歲時在孿生質數猜想上取得了歷史性的突破。但看了盧昌海的《黎曼猜想漫談》我才知道，萊文森在62歲做出了這個重大成果。

不但如此，在第二年也就是1975年，萊文森又把這個下限提高到了34.74%。這雖然是一個很小的改進，但這種計算每一個都異常繁複，而萊文森當時的身體狀況已經極差，他能夠完成這樣的計算堪稱一個奇蹟。在當年的10月10日，萊文森因腦瘤去世，享年63歲。

當我讀到這裏時，不禁淚流滿面。萊文森堪稱真正的“朝聞道，夕死可矣”！

朝聞道，夕死可矣

1989年，美國數學家康瑞（John Brian Conrey）證明了，臨界線上的非平凡零點佔全部非平凡零點的比例至少有40%。

康瑞

2012年，中國數學家馮紹繼在萊文森和康瑞的基礎上，把臨界線上的非平凡零點佔全部非平凡零點的比例的下限提高到了41.28%。這是目前人類在這個方向上的最佳結果。

不過，我們必須要強調一下：即使我們證明了臨界線上的非平凡零點佔全部非平凡零點的比例達到100%，也不等於證明了黎曼猜想。這是因為，我們在討論的是無限對無限。你很容易構造一種情況，使得這個比例為100%，但同時有有限多個甚至無限多個非平凡零點位於臨界線之外。

因此你可以看到，我們離證明黎曼猜想還差得很遠，甚至連方向都還沒有搞清楚。《黎曼猜想漫談》裏提到，據説在對有關黎曼猜想的研究進行評述時，有一種比較“規範”的總結詞，就是：“這確實是一個重要進展，但如何才能證明黎曼猜想仍不是很清楚。”科學家的誠實和禮貌，大家可以體會一下……

（動圖）尷尬而不失禮貌的微笑

有些朋友問我：既然黎曼猜想自從1859年提出以來，已經過了150多年沒有被證偽，絕大多數數學家都相信它成立，而且還有十萬億個非平凡零點的計算結果的支持，那麼我們能不能乾脆把黎曼猜想作為一個公理得了？

回答是：不行！

不行的根本原因，是數學的本質。像物理、化學、生物這樣的自然科學知識，正確性來自與實驗的符合。但數學不是這樣。數學跟邏輯學屬於同一類，它們不是經驗的科學，而是先驗的科學。它們的正確性只能來自證明，而不能來自實驗。事實上，你也不可能設計一個實驗去檢驗數學命題，因為當你分析實驗結果時，已經要用到數學知識了。

不行的原因之二，是一件非常有趣的事實：**你覺得十萬億個數據的支持很多嗎？其實一點都不多！**下面就是一個有趣的例子，而它又是在研究黎曼猜想的過程中發現的。

讓我們回顧一下質數定理，它説的是隨着x的增大，質數計數函數π(x)與對數積分函數Li(x)的比值趨近於1，如這個圖所示。不過，π(x)與Li(x)的比值究竟是大於1還是小於1呢？也就是説，π(x)跟Li(x)相比是大還是小呢？

質數定理的相對偏差

目前在人們計算過的所有數值中，π(x)總是小於Li(x)的。這樣的計算持續到10的19次方，即1千億億，都沒有發現反例。事實上，隨着x的增大，π(x)與Li(x)的差的絕對值還有越來越大的趨勢，如下圖所示。

質數定理的絕對偏差

因此，數學家們在很長時間內都認為，很可能對於所有的x，都有π(x) - Li(x) < 0。這是一個非常合理的推測，對不對？

但是到了1914年，卻發生了石破天驚的變化。英國數學家李特爾伍德（John Edensor Littlewood，1885 - 1977）證明，隨着x的增大，一定會出現π(x) - Li(x) > 0的情況！而且這個符號會翻轉來翻轉去，翻轉無窮多次！

李特爾伍德

不過，李特爾伍德給出的只是一個存在性的證明，他並沒有指出第一次翻轉出現在哪裏。1933年，李特爾伍德的學生、南非數學家斯丘茲（Stanley Skewes， 1899 - 1988）對此給出了第一個定量估計。在假定黎曼猜想正確的前提下，斯丘茲證明了，第一次翻轉的x不會大於……不會大於下面這個嚇死人的大數：e的（e的（e的79次方）次方）次方。用“^”來表示乘方的話，就是e^(e^(e^79)))。用10的乘方來表示的話，就大約是10^(10^(10^34)))。

同學們可能需要沉思一會兒，才能理解這是多麼大的數字。

（動圖）陷入沉思

沉思好了嗎？我們繼續。

從此以後，人們就把第一個使得π(x) - Li(x) > 0的數稱為斯丘茲數（Skewes’s number）。目前對斯丘茲數最佳的估計是，它不小於3.7乘以10的114次方，不大於1.4乘以10的316次方。想想看，這是些什麼量級？一億是10的8次方，114/8 = 14.25，316/8 = 39.5，所以10的114次方等於1百億億……億，總共出現14個“億”字！而10的316次方等於1萬億億……億，總共出現39個“億”字！你在日常生活中，不會看到任何東西的變化橫跨這麼大的數量級！

回顧一下，目前我們只計算到10的19次方，即1千億億，沒有發現π(x) - Li(x) > 0的。現在你明白了吧，這只是因為我們的取樣範圍太小！1千億億真是太小了！

回到黎曼猜想，我們對它的數值驗證只做到十萬億個非平凡零點，即10的13次方個。現在，你還會覺得十萬億是個很大的數字嗎？

因此在原則上，在後面發現黎曼猜想的反例的可能性是始終存在的。而且這個所謂“後面”，後的程度可能遠遠超出一般人的想象。

為什麼會出現這種令人目瞪口呆的現象呢？在原理上，這是因為在這種命題中可能涉及一些增長非常慢的函數，例如ln(lnx)。在很大的範圍內，它們跟一些常數相比可以忽略。但最終，它們會變成無窮大，壓倒任何常數的貢獻。這也就是為什麼，在斯丘茲的估計中會出現多次的乘方，因為它來自多次的對數。

基本的經驗教訓是：在跟無窮打交道的時候，人類必須慎之又慎！

最後，讓我們來談談本系列文章的起源，阿蒂亞（Michael Francis Atiyah）爵士聲稱的對黎曼猜想的證明。

阿蒂亞

嗯，這個其實沒什麼好談的，因為阿蒂亞壓根就沒有向數學家羣體提交一份完整的論文。他的證明過程跳躍太多，很難被嚴肅認真地看待。

這就尷尬了

阿蒂亞生於1929年，現在已經89歲高齡了。即使他沒有證明黎曼猜想，甚至是搞成了一出鬧劇，我們也不需要為他的名譽擔心。因為他早已在1966年得到了菲爾茲獎，2004年得到了阿貝爾獎，被公認為在世的數學家中最偉大的之一。阿蒂亞-辛格指標定理（Atiyah–Singer index theorem）是二十世紀最重要的數學成果之一，不過鑑於我完全不知道這個定理是啥意思，在這裏就不多談了……嗯，數學科普真是太不容易了。

笑着活下去

在這裏值得一提的是，阿蒂亞對自己的處境也有充分的理解。在2018年9月24日的海德堡獲獎者論壇（Heidelberg Laureate Forum）上，當他開始講述自己的“證明”時，首先開了幾句玩笑：“如果你解決了黎曼猜想，那麼你會變成名人。但如果你已經是名人了，那麼你會聲名狼藉。”（Solve the Riemann hypothesis and you become famous. If you are famous already, you become infamous.）

關於阿蒂亞的證明思路，雖然我們也有不少可以講的，不過鑑於許多同學需要時間來消化前面的內容，而我們這個系列需要在這一期結束，我們在這裏就不具體介紹了。值得一提的是，其中涉及到一個物理學常數“精細結構常數”（fine-structure constant），它是一個由若干個物理常數組合而成的數字，約等於1/137。以後有機會時，我們再來介紹精細結構常數以及相關的有趣故事。

在這裏只需要解釋一點。因為阿蒂亞的證明用到物理學，有些朋友就來問我：數學在不同的物理世界裏有沒有可能是不同的？回答是：不可能！

我們必須再次強調，在任何行星、任何星系、任何維度、以至於任何可以想象的世界裏，數學都不會改變，質數分佈都不會改變。因為，數學是先驗的科學。這正是為什麼，我們可以用質數作為跟外星文明交流的第一條信息。

實際上，力圖證明黎曼猜想的前輩數學家，除了阿蒂亞爵士之外，還有不少人。最近許多媒體報道，北京大學數學系前系主任、82歲的李忠教授宣稱自己證明了黎曼猜想，引起了一陣熱議。後來發現，李忠教授只是要在2018年10月11日開一個討論會，但被媒體這麼一攪和，討論會也沒法開了。

不過後來又有報道説，10月13日下午，李忠教授在中科院數學所以內部討論組的形式做了關於證明黎曼猜想的報告。此次報告長達2小時，得到了專家們的積極評價。最終的論文評審結果將會如何？讓我們拭目以待。

李忠

順便説一句，李忠老師有一篇文章**《數學的意義與數學教育的價值》**，對數學的重要性與特殊性進行了深入的闡述，對許多違反教育規律的所謂“教育改革”提出了尖鋭的批評，在這裏向大家推薦。

還有一位壯心不已的前輩，是法國數學家孔涅（Alain Connes）教授。孔涅生於1947年，因為對算符代數的貢獻獲得了1982年的菲爾茲獎。二十世紀九十年代中期，孔涅開始研究黎曼猜想，引起了數學界的廣泛關注。

孔涅

1997年，孔涅到普林斯頓高等研究院做了一個演講，向包括前面説的塞爾伯格在內的本領域巨頭們報告了自己的思路。令人遺憾的是，這些巨頭們發現孔涅的方法有個本質的缺點，就是不能發現那些不在臨界線上的非平凡零點。好比有一堆紅色和藍色的小球，你帶着一副藍色的眼鏡去看，那麼你除了看到所有的小球都是藍色的，還能看到什麼呢？

現在孔涅仍然在繼續鑽研黎曼猜想，雖然已不再是鎂光燈下的焦點。他説過：

“對我來説，數學一直是一所教人謙虛的最好學校。數學之所以有價值，主要就是因為那些極其困難的問題，它們就像數學的喜馬拉雅山。登頂是極其困難的，甚至必須為之付出代價，但千真萬確的是，如果我們能登頂，那裏的風景將是美妙的。”

孔涅的這番話，正如一位登山者在回答別人問他為什麼要去登山時説的，“因為山在那兒”。關於那“必須為之付出”的代價，孔涅在2000年發表的一篇文章的開頭曾經這樣説：

“按我第一位老師肖蓋（Gustave Choquet，1915 - 2006）的説法，公開面對一個著名的未解決問題是一種冒險，因為別人將更多地記住你的失敗而不是其他。”

肖蓋

但是，真正重要的是，孔涅仍然選擇了去攀登“數學的喜馬拉雅山”，原因是：

“在到達某個年齡之後，我意識到‘安全地’等待自己生命的終點同樣是一種讓自己失敗的選擇。”

當我在《黎曼猜想漫談》的結尾讀到孔涅的這句話時，不禁再次淚流滿面。就像我在《三體》的結尾讀到“宇宙的最後審判日”時，那樣淚流滿面。

總有一種力量讓我們淚流滿面，包括宇宙的真相，包括人類的命運。數學的意義遠遠不只是用來炫耀智力或者開玩笑，還包含了宇宙的密碼。

**地球作為一個文明，憑什麼在宇宙中立足？難道不正是憑科學的成就嗎？**在面對其他智慧文明時，我們將會對這一點有深刻的領悟。現在付出再多的努力，都比到那時才發現自己的愚昧無知要好。

我希望，當我們終有一天面對其他智慧文明時，能夠有充分的信心告訴他們，我們已經理解了質數的分佈，能夠有充分的信心，向他們發去這串信息：

2，3，5，7，11，13……