從小到大隻會做個紙飛機？關於摺紙的「高端」技巧通通告訴你_風聞

中科院物理所-中科院物理所官方账号-2018-12-09 15:28

2018-12-09

原創：中科院物理所

設計精巧的紙模型

摺紙，無論是東南西北，還是千紙鶴，紙飛機，都可以説是童年生活裏不可或缺的一部分了。

摺紙數學

Mathematics of Paper Folding

摺紙如今已經被數學家廣泛研究，比如討論給定紙張模型的平面可摺疊性——也就是模型是否可以在不損壞的情況下展平，以及使用摺紙來解決數學方程式。

摺紙中常用的幾種摺疊符號，在摺紙教程中作者只需要在紙上畫出這些符號，就可以明白摺紙的全部流程

在一個一般的摺紙問題中，人們只需要處理兩種摺痕，峯線和谷線。當然，也有很多小技巧去折騰曲線就是了，就像指甲，劃一劃就能方便地在紙上劃痕，從而輕鬆地折出複雜的曲線。實際上，利用經緯排列的正方形格眼 (格數多為 2 和 3 的倍數) 及 45 度的折線我們就能折出非常非常非常多的東西了 [1]。

這樣摺疊可以產生一個簡單的長度處理器，任意給定 P，都能輸出特定的 Q。通過勾股定理和相似三角形我們可以得到兩者間的具體數值關係

不過科學家們的腦洞總是停不下來，在摺紙裏，他們都想要玩點花樣。比如如何三等分一條線段，如何實現在尺規作圖中不可能完成的三等分角。如果我們把一張正方形的一個頂點摺疊到與其相對的那條邊上，我們就可以得到一個簡單的長度處理器 [2]。

餵給它一個長度，它就會在另一邊吐出一個長度。**假如我們把正方形的頂點摺疊到對邊的中點上，我們就可以得到三等分的線段。**假如我們摺疊的是 2/3 處，就能得到五等分的線段。

更詳細的數據表格，不斷地對上表中的數據迭代計算，我們可以得到很多不同等分的方式

紙飛機

Paper Airplane

紙飛機的折法人盡皆知。在上個世紀 30 年代，約翰·諾斯洛普（美國航空工業家）就曾用它作為研究大飛機的模型。隨着科技的不斷發展，如今研究紙飛機的手段也越來越先進。

利用 Solidworks 進行簡單的流體力學模擬計算 [3]

快捷有效的流體力學計算，可以讓人們設計出更為高效的紙飛機形狀。重心和升力中心的位置，機翼的形狀等通通都可以優化。利用打印機，再複雜難懂的摺紙圖案，都可以準確無誤地還原到紙上。

創下最長飛行距離記錄的紙飛機實錄

與之相對應，紙飛機的各項世界紀錄也水漲船高。其中兩項最為重要的記錄為飛行時長和飛行距離。目前的世界紀錄分別為由 Takuo Toda 保持的最長飛行時長 27.9 s 和由 Joe Ayoob 保持的最長飛行距離 69.14 m。[4]

一個自動摺疊紙飛機並把它準確地投遞到紙箱裏的機器，發明者應該對紙飛機愛得深沉……

龍形曲線

Dragon Curve

龍形曲線 [6]

在無聊的時候，很多人會有拿起手頭的紙亂疊的癖好。不斷地對摺一條紙帶，然後將其展開，讓線段之間的夾角均為 90 度，我們就能得到一條龍形曲線[5]——因為它真的長得很像一條龍。不過因為疊紙的厚度增長是指數型的，每次摺疊以後紙的厚度都會變為摺疊前的兩倍，所以在摺疊 6-7 次以後就無法摺疊了。所以我們在現實生活中看到的龍形曲線並不那麼完美。

所幸計算機技術已經十分發達，利用計算機，我們可以看到摺紙生成大型龍形曲線的樣子。

因為龍形曲線最早由 NASA 物理學家 John Heighway 等人開始相關探索和研究，所以也被稱為 Heighway 曲線。

不斷地通過同一個規則迭代生成的龍形曲線

數學上可以通過不斷迭代的方法產生龍形曲線：

1.選定兩個起始點

2**.左右交替**地將線段轉換為以其為斜邊的等腰直角三角形的另外兩條邊

3.不斷重複第 2 步

回到我們的摺紙問題上，龍形曲線其實也可以理解為一個人隨機地選擇左轉或者右轉前進，但是又從來不走重複的路，最後走過的路徑最後會變成什麼樣？

龍形曲線具有分形特性，局部和整體具有相似性

説起龍形曲線本身最吸引科學家關注的地方，當然還是他的分形特性，以及帶來的自相似性質了。在一幅龍形曲線圖中，我們總可以找到一個較大的部分和一個較小部分的相似關係，宛如一條完全曲折的海岸線。通過比較圖形尺寸變化與面積之間的關係，即可「定義」圖形的維度。有趣的是，龍形曲線的維度恰好為 2。分形圖案很多並不是 2，一般他們擁有分數維的維度。如科赫曲線，其維度為 1.26。這也就説明，龍形曲線有可能用來填充平面。也就是我們平常所説的鋪地磚。