史上最偉大的公式：麥克斯韋方程組_風聞
量子学派-量子学派官方账号-专注于自然科学领域（数理哲）的教育平台2018-12-30 09:02
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宇宙間任何的電磁現象，
皆可由此方程組解釋。
——節選自《人類最美的54個公式》
實驗室裏，鴉雀無聲。
赫茲正全神貫注地盯着兩個相對的銅球，下一秒他合上了電路開關。
**頓時，電的魔力開始在這個簡單的系統裏展現出來，**無形的電流穿過裝置裏的感應線圈，開始對發生器的銅球電容進行充電。隨着“啪”的一聲，赫茲的心彷彿被提到了嗓子眼，發生器上已經產生了火花放電，接收器又是否會同時感應生出美麗的火花？
赫茲的手心早已出汗，真的有一種看不見、摸不着、玄而又玄的電磁波嗎？
歷史性的時刻終於到來——
瞬間，一束微弱的火花在接收器的兩個小球間一躍而過！
赫茲激動地蹦了起來，是的，**他勝利了！麥克斯韋的理論也勝利了！**電磁波的確真真實實地存在於空間之中，正是它激發了接收器上的電火花。
萬有引力般的超距作用力
很久以前，人類就對靜電和靜磁現象有所發現，但在漫長曆史歲月裏，兩者井水不犯河水。
由於摩擦起電，在古希臘及地中海區域的古老文化裏，早有文字記載，將琥珀棒與貓毛摩擦後，會吸引羽毛一類的物質，“電”的英文語源更是來自於希臘文“琥珀”一詞。
**而關於磁，中國是對磁現象認識最早的國家之一。**公元前4世紀左右成書的《管子》中就有：“上有慈石者，其下有銅金。”這是對磁的最早記載。其他古籍如《山海經》、《呂氏春秋》中也可以找到一些磁石吸鐵現象的記載。
**發現電與磁之間有着某些相似規律，則要追溯到物理學家庫侖的小小野心。**1785年，作為牛頓的忠實追隨者，庫侖正在試圖變得比牛頓本人“更牛頓”，把萬有引力的套路應用到靜電學中，如同星球間發生萬有引力的作用，兩個帶電球之間的作用力是否也同樣遵循着平方反比律？**為此，他精心設計了一個扭秤實驗，**如圖9-1所示，在細銀絲下懸掛一根秤桿，秤桿掛有一個平衡小球B和一個帶電小球A，在A旁還有一個和它一樣大小的帶電小球C。
A球和C球之間的靜電力會使得懸絲扭轉，轉動懸絲上端的懸鈕，進而使小球回到原來位置。在這個過程中，可通過記錄扭轉角度、秤桿長度的變化，計算得知帶電體A、C之間的靜電力大小。
圖9-1 庫侖扭秤實驗
**實驗結果正如庫侖所料，靜電力與電荷電量成正比，與距離的平方反比關係。這一規律後來被總結為“庫侖定律”。**既然庫侖定律與萬有引力之間存在着這樣驚奇地相似之處，那麼，是否在磁的世界裏也存在同樣的情況？隨後，庫侖對磁極進行了類似的實驗，再次證明：同樣的定律也適用於磁極之間的相互作用。這就是經典磁學理論。
**庫侖發現了磁力和電力一樣遵守平方反比律，卻並沒有進一步推測兩者的內在聯繫。**和當時大多數數學物理學家一樣，他相信物理中的“能量、熱、電、光、磁”甚至化學中所有的力都可描述成像萬有引力般的超距作用力，而力的強度取決於距離。只要再努力找到幾條力學定律，那整個物理理論就能完整了！
庫侖這種天真的想法很快就被迅速打臉，萬有引力般的超距作用顯然沒有那麼強大，但是庫侖定律的提出還是為整個電磁學奠定了基礎。
終成眷屬的電與磁
最先發現電和磁之間聯繫的，是丹麥物理學家奧斯特。
1820年的奧斯特，是哥本哈根大學一位頗有魅力的教授，從不照本宣科，凡事只講究實踐是檢驗真理的唯一標準，所以一上課常二話不説就帶着學生做實驗，學生也很少翹課。有一天，他意外地在實驗中發現了電流的磁效應：當導線通電流時，下方的小磁針產生偏轉。
這一驚人的發現，首次將電學和磁學結合了起來。從此，電磁學蓬勃發展，有眼力的年輕人紛紛轉行投身其中進行深入研究，這當中就包括數學神童——安培。
當安培得知奧斯特發現電和磁的關係時，他立馬放棄了自己小有成就的數學研究，進軍物理學領域，**並以其野獸般的敏鋭直覺，提出了我們廣為熟知的右手螺旋定則，**用來判斷磁場方向，如圖9-2所示，大拇指的方向為電流方向，四指的繞向為磁場方向。
圖9-2 安培右手螺旋定則
在實驗中，安培發現不僅通電導線對磁針有作用，而且兩根平行通電導線之間也有作用，同向電流相互吸引，反向電流相互排斥。
數理本一家，在通往物理的康莊大道上，安培沒有忘本，反而利用了老本行的優勢，將電磁學研究真正數學化。他在1826年直接推導得到了著名的安培環路定理，用來計算任意幾何形狀的通電導線所產生的磁場，這一定理後來成為了麥克斯韋方程組的基本方程之一。
安培也由此成為了電磁學史上不容或缺的人物，被麥克斯韋譽為“電學中的牛頓”。
法拉第：
麥克斯韋背後的男人
1860年，麥克斯韋見到了他生命中最重要的男人：法拉第。
法拉弟喚醒了麥克斯韋方程組中除了安培環路定理之外的另一個基本方程，是麥克斯韋成功邁向電磁學巔峯的背後的男人。
家境貧寒的法拉第，童年是在曼徹斯特廣場和查里斯大街度過的。年幼的他曾在書店當裝訂工，憑着一腔孤勇的科學慾望，他毛遂自薦成為了英國皇家學院“電解狂魔”戴維的助手，從此與電磁學結下不解之緣。
1831年，法拉第發現了磁與電之間的相互聯繫和轉化關係。只要穿過閉合電路的磁通量發生變化，閉合電路中就會產生感應電流，如圖9-3所示。這種利用磁場產生電流的現象被稱為電磁感應，產生的電流叫做感應電流。
圖9-3 電磁感應實驗
但這些觀察結果還只屬於零碎的作用證據，電流的實質是什麼？通電線圈如何在沒有直接接觸時作用於磁鐵？運動的磁鐵如何產生電流？那時，並沒有人能夠以系統或綜合的方式來真正理解它們。
大多數人還沉迷於用超距力理論來對電和磁的現象做出解釋。**而法拉第卻播下了一顆與眾不同的思維火種，他以自己的慧眼看到了力線在整個空間裏穿行，**如圖9-4，這實際是否認了超距作用的存在。**他還設想了磁鐵周圍存在一種神秘且不可見的“電緊張態”，即我們今天所稱之為的“磁場”。**他斷定電緊張態的變化是導致電磁現象產生的原因，甚至猜測光本身也是一種電磁波。
圖9-4 法拉第力線示意圖
**不過，將這些想法打造成為完整的理論超出了他的數學能力，**只讀了兩年小學的法拉第，數學水平還停留在只知道一些代數和三角函數上。或許，一個不懂數學，另一個卻精通數學，這正為法拉第和麥克斯韋的一見如故埋下了伏筆。
法拉第發現電磁感應這一年，恰逢麥克斯韋誕生。
整整40歲的年齡差，可麥克斯韋在讀到法拉第《電學實驗研究》一書時，還是輕易地就被法拉第的魅力吸引。數理功底紮實的他，決定用數學定量表述法拉第的電磁理論。
1855年麥克斯韋發表了第一篇電磁學論文《論法拉第的力線》，**通過數學方法，他把電流周圍存在磁力線的特徵，概括為一個矢量微分方程，導出了法拉第的結論。**而在這一年，法拉第告老退休，看到論文時大喜過望，立刻尋找這個年輕人，可是麥克斯韋卻杳如黃鶴，不見蹤影。
直到5年後，孤獨的法拉第在1860年終於等來了麥克斯韋，看着眼前這個不善言辭卻老實誠懇的年輕小夥，法拉第面露喜色，語重心長地囑咐：**“你不應停留於用數學來解釋我的觀點，而應該突破它！”**聽了這句話，麥克斯韋雖表面波瀾不驚，內心卻洶湧澎湃，他開始全力進攻電磁學。
1862年麥克斯韋發表了第二篇電磁學論文《論物理力線》，這不再是簡單地將法拉第理論進行數學翻譯，**這一次他首創“位移電流”概念，預見了電磁波的存在。**兩年後他發表第三篇論文《電磁場的動力學理論》，在這篇論文裏，他完成了法拉第晚年的願望，驗證了光也是一種電磁波。
最後，麥克斯韋在1873年出版了他的電磁學專著《電磁學通論》。
**這是電磁學發展史上一個劃時代的里程碑。**在這部著作裏，麥克斯韋總結了前輩們各大定律，以他特有的數學語言，**建立了電磁學的微分方程組，揭示了電荷、電流、電場、磁場之間的普遍聯繫。**這個電磁學方程，就是後來以他的名字著稱的“麥克斯韋方程組”。
世上最偉大的公式
麥克斯韋方程組
花開兩朵，各表一枝。以電磁的藍色火花幻化成的4個完美無缺的公式，共有積分和微分兩種綻放形式。
以積分為對象，我們來解讀一番麥克斯韋方程組專屬數學語言背後的含義。
（1）電場的高斯定律：
**第一個式子
在靜電場中，由於自然界中存在着獨立的電荷，電場線有起點和終點，始於正電荷，終止於負電荷，如圖9-5所示。只要閉合面內有淨餘電荷，穿過閉合面的電通量就不等於零。計算穿過某給定閉合曲面的電場線數量，即其電通量，可以得知包含在這閉合曲面內的總電荷。
圖9-5 靜電場電荷
高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性，即它描述了電場的性質。
（2）磁場的高斯定律：
第二個式子
在磁場中，由於自然界中沒有磁單極子存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，如圖9-6所示，所以通過任何閉合面的磁通量必等於零，即磁場是無源場。
圖9-6 磁場與磁感線
這一定律和電場的高斯定律類似，它論述了磁單極子是不存在的，描述了磁場性質。
（3）法拉第定律：
**第三個式子
圖9-7 電磁感應
在此式中，L是路徑積分的運算路徑，E是電場，dl是閉合曲線上的微分，
它表示電場E在閉合曲線上的環量，等於磁場B 在該曲線包圍的曲面S上通量的變化率，即閉合線圈中的感應電動勢與通過該線圈內部的磁通量變化率成正比，係數是-1。
**這一定律反映了磁場是如何產生電場的，即它描述了變化的磁場激發電場的規律。**按照這一規律，當磁場隨時間而變化時可以感應激發出一個圍繞磁場的電場。
（4）麥克斯韋—安培定律：
第四個式子
其中，左邊L、B、dl物理意義同上，分別是路徑積分的運算路徑、磁場、閉合曲線上的微分。右邊
它表示，磁場B在閉合曲線上的環量，等於該曲線包圍的曲面S裏的電流Ι（係數是磁常數
原安培環路定律是一系列電磁定律，它總結了電流在電磁場中的運動規律，如圖9-8所示。安培定律表明，電流可以激發磁場，但它只限用於穩恆磁場。
圖9-8 安培環路定理
**因此，麥克斯韋將安培環路定理推廣，提出一種“位移電流”假設，**得出一般形式下的安培環路定律，揭示出磁場可以由傳導電流激發，也可以由變化電場的位移電流所激發。
傳導電流和位移電流合在一起，稱為全電流，這就是麥克斯韋—安培定律。
這一定律反映了電場是如何產生磁場的，即描述了變化的電場激發磁場的規律。這一規律和法拉第電磁感應定律相反：當電場隨時間變化時，會誘導一個圍繞電場的磁場。
一言以蔽之，這一組積分方程由4個式子組成，其中2個關於電場、2個關於磁場，一起反映了空間某區域的電磁場量（E、B）和場源（電荷q、電流I）之間的關係。
從數學上來説，積分和微分互為逆運算。
因此，**如果將這一組積分方程進行轉化，就可以得出一組如下的微分方程，兩者數學形式不同，但物理意義是等價一致的，**在實際應用中，微分形式會出現得頻繁些。
它們表明，電場和磁場彼此不是孤立的，變化的磁場可以激發渦旋電場，變化的電場可以激發渦旋磁場，它們永遠密切地聯繫在一起，相互激發，組成一個統一的電磁場的整體。
這就是麥克斯韋方程組的基本概念，也是電磁學的核心思想。
英國科學期刊《物理世界》曾讓讀者投票評選了“最偉大的公式”，最終榜上有名的十個公式裏，有著名的E=mc2、複雜的傅立葉變換、簡潔的歐拉公式……但“麥克斯韋方程組”排名第一，成為“世上最偉大的公式”。
或許，並不是每個人都能看懂這個公式，但任何一個能把這幾個公式看懂的人，都一定會感到背後有股涼風。雖然自然界冥冥之中自有感應，但怎麼有人能解釋如此完美的方程？
這組公式融合了電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律，完美地揭示了電場與磁場相互轉化中產生的對稱性優美，統一了整個電磁場。比較謙虛的評價是：“一般地，宇宙間任何的電磁現象，皆可由此方程組解釋。”
光電磁一統江湖
與後世獲得如此盛譽相反的是，麥克斯韋方程組首次亮相時，其實幾乎無人問津。
**麥克斯韋預言了電磁波的存在，並從方程組中推測出光是一種電磁波。這些想法驚世駭俗，但當時大多數人並不買賬。**人們對於這個尚未得到實驗驗證的理論懷疑甚深，世界上只有少數科學家願意接受這個理論並給予支持，赫茲就是其中一位。
**他是第一個研究驗證麥克斯韋觀點的人，**儘管他與麥克斯韋素未謀面，卻對這位前輩的理論深信不疑，並自1886年起就孜孜不倦地地投入到尋找電磁波的研究之中。
赫茲的實驗裝置極為簡單，主要是由他設計的電磁波發射器和探測器組成，**但這拉開了無線電運用的序幕，成為了後來無線電發射器和接收器的開端。**如圖9-9所示，兩塊鋅板，每塊都連着一根端上裝着銅球的銅棒，兩個銅球離得很近。兩根銅棒分別與高壓感應圈的兩個電極相連，這就是電磁波發生器。在離發生器10米遠的地方放着電磁波探測器，那是一個彎成環狀、兩端裝有銅球的銅棒，兩個銅球間的距離可用螺旋調節。
圖9-9 赫茲實驗示意圖
如果麥克斯韋是對的話，那麼合上電源開關時，發射器的兩個銅球之間就會閃出耀眼的火花，產生一個振盪的電場，同時引發一個向外傳播的電磁波，在空中飛越穿行，到達接收器，在那裏感生一個振盪的電動勢，從而在接收器的開口處也同樣激發出電火花來。
實驗室裏，赫茲把門窗遮得嚴嚴實實，不讓一絲光線射進來。他再一次緊張地調節着探測器的螺絲，讓兩個銅球越靠越近。突然，兩個銅球的空隙也跳躍着微弱的電火花，一次，兩次，三次，他的眼睛沒有看錯，這就是電磁波！兩年來，歷經千百次探究，赫茲終於成功用實驗證明了電磁波的存在。此後，再也沒有人懷疑麥克斯韋的理論。
比這個更值得欣喜的是，1888年的初春，赫茲通過其他實驗證明了光是一種電磁現象，可見光僅僅只是電磁波的一種。
在麥克斯韋年代尚屬完全未知的不可見光，經赫茲的開拓性研究帶來了無線電波後，**不可見光在後世可是發揮了巨大威力，演化成了現代科技的源泉。**正如赫茲所感慨的：“麥克斯韋方程組遠比它的發現者還要聰明。”
以後人的角度來看，這組方程的最大貢獻在於明確解釋了電磁波怎樣在空間傳播。
根據法拉第感應定律，變化的磁場會生成電場；根據麥克斯韋-安培定律，變化的電場生又成了磁場，正是這不停的循環使得電磁波能夠自我傳播，如圖9-10所示。
圖9-10 電磁波
但這種對物質世界的新描繪，打破了當時固有的思維，引起一片譁然。
**光的本性是什麼？究竟粒子還是波？有關這一問題，人類已喋喋不休地爭論了幾個世紀。**第一次波粒大戰發生在17世紀，牛頓以“光的色散實驗”直搗胡克站台的波動説，那時，胡克已垂垂老矣，禁不起再三折騰，於是，波動説就這樣被牛頓打入冷宮100多年。
**直到托馬斯·楊的雙縫干涉實驗的出現，才吹響了第二次波粒戰爭的號角，**波動説卧薪嚐膽多年也終於找到了絕地反擊的機會。尤其在麥克斯韋預言“光是一種波”以及這一預言為赫茲的實驗所證實後，波動説更是意氣風發，把微粒説弄得灰頭土臉。
當時，麥克斯韋提出：電可以變成磁，磁可以變成電，電和磁的這種相互轉化和震盪不就是一種波嗎？電磁場的振盪是週期存在的，這種振盪叫電磁波，一旦發出就會通過空間向外傳播。**但更神奇的是，當他用方程計算電磁波的傳播速度時，結果接近300000公里/秒，恰與光的傳播速度一致。**這顯然不只是個巧合。
電磁擾動就是光，光在本質上不過是電場和磁場的擾動。
**藉助麥克斯韋的這一睿智洞察和後來赫茲鐵證如山的驗證，人類成功地在認識光的本性上跨越了一大步。****波動説也開始開疆擴土，太陽光不過只是電磁波的一種可見的輻射形態。**不限於普通光線，我們可以向不可見光進軍，從無線電波到微波，從紅外線到紫外線，從X射線到Y射線……將這些電磁波按照波長或頻率的順序排列起來，就形成了電磁波譜。
而後，無線電波用於通信、微波用於微波爐、紅外線用於遙控、紫外線用於醫用消毒……**這些不同形式的“光”逐漸組成了現代科技的根基。**因此可以説，如果沒有麥克斯韋，收音機、電視、雷達、電腦等有關電磁波的東西都將不復存在。
一統光電磁，完成了科學史上第二次偉大的綜合之後，麥克斯韋於1879年溘然長逝。也就在這年，一個嬰兒誕生了，這個嬰兒名為愛因斯坦。
52年後，這個已長大成人的嬰兒，於麥克斯韋百年誕辰的紀念會上盛讚麥克斯韋對物理學做出了**“自牛頓以來的一次最深刻、最富有成效的變革”**。並一生都以麥克斯韋方程組為科學美的典範，試圖以同樣的方式統一引力場，將宏觀與微觀的兩種力放在同一組式子中。
往後，這一信念深刻影響了整個物理界，在“大一統理論”這條路上，物理學家們前赴後繼地探究着科學的終極。
結語
黑暗從此消失
如果説17世紀是一部牛頓力學史，那麼19世紀便是一部麥克斯韋電磁學史。
17世紀，牛頓定律讓現代機械原理催生出蒸汽機，機器首次取代人力，人類進入“蒸汽時代”。
而後19世紀，麥克斯韋方程組啓迪了愛迪生等發明家，電首次取代蒸汽，人類進入“電力時代”。
相比於自然律隱沒在黑暗中，萬有引力讓天地萬物遂成光明，麥克斯韋方程組則突破了自然律，讓黑暗從此消失。
1888年，赫茲實驗裏那束微弱的只有指縫大小的電火花，讓光與電、電與磁處於電磁力的統一掌握之中，人類文明呈幾何級迅猛前進。
然而，比赫茲料想的更為驚人的是，在他死後的第7年，1901年，那束電火花又通過無線電報穿越大西洋，實現了全球的實時通訊，整個人類進入了一個嶄新的“信息時代”。