芝諾的烏龜_風聞

知識就是力量，説了這麼多歷史，換個口味聊聊其他的。古希臘數學家、哲學家芝諾（公元前490年~公元前430年）提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論，其中比較著名的就是“阿基里斯追烏龜悖論”。這是記錄在亞里士多德《物理學》中的一道數學題。

悖論一詞的英文 paradox 出現於 16 世紀， 源自拉丁文的 paradoxum， 後者又源自希臘文的παράδοξος (parádoxos)， 意為有悖於正統、 出乎定見之外等。 悖論長期以來就很受哲學家青睞，由於要 “有悖於正統” 或 “出乎定見之外”， 故免不了要包含觀點之辨——包括詭辯， 這跟單純闡述學説是有差別的， 這種差別使芝諾被很多人視為是辯證法 (Dialectics) 的鼻祖。 

據公元 4 世紀的希臘哲學家普羅克洛 (Proclus) 記述， 芝諾的著作包含了 40 個悖論。 可惜那著作早已不存， 後世依據的只是柏拉圖、 亞里士多德 (Aristotle) 等人的轉述。在亞里士多德《物理學》中記載了芝諾4個運動悖論，其中我們今天耳熟能詳的是：阿基里斯與烏龜悖論 (Paradox of Achilles and the Tortoise)。 

該悖論中的阿基里斯 (Achilles) 是希臘神話中的勇士，體力過人、長於奔跑，烏龜則是被廣泛視為移動緩慢的動物。阿基里斯與烏龜悖論宣稱如果阿基里斯與烏龜賽跑，只要讓烏龜先爬一段路， 阿基里斯就不可能追上。理由是：每當阿基里斯追到烏龜先前所在的位置時，烏龜總是又往前爬了一段…… 這個過程無法窮盡，故而阿基里斯不可能追上烏龜。

​當然在實際生活裏這是不可能發生的。在歷史上，亞里士多德在《物理學》 (Physics) 一書中就給出了一個很漂亮的反駁，要點是指出芝諾只對空間進行了無窮分割， 卻忘記了同樣的手法也可用於時間。 只要對時間和空間作同樣的無窮分割， 走完芝諾分割出的無窮多箇中點 (或兩兩之間的無窮多段路徑) 就只需有限的時間， 因為那實際上是從用有限時間中分割出的無窮多個時間點 (或兩兩之間的無窮多段時間) 來完成的。

芝諾可謂是最早對無窮這一概念進行深入思考的古希臘先賢，芝諾的悖論並非普通的詭辯，而是一段漫長探索的起點。為無窮這一概念建立可靠基礎後來成了數學基礎研究的重要組成部分。芝諾悖論引出的這種思想，正是微積分的思想基礎。微積分其實就是把函數分割為無窮多份，然後再累加。