人類第一次將33寫成了3個整數的立方和_風聞

作者，數學西瓜，哆嗒數學網羣友。

校對，Math001

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公元2019年3月的一天，一位叫Tim Browning（與Timothy Browning是同一人）的數學家在其個人主頁上更新了一個網頁，網頁上的內容非常簡單，沒有任何多餘的東西：

33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

上面的算式是將自然數33用整數的立方和表示了出來。但是，可能出乎你預料的是，這是人類第一次知道，世間還存在着這樣一個等式，第一次——我們第一次把33用這種方式寫了出來！

為什麼我們對這樣一個等式如此着迷，讓我們一起看下去。

建造房子式的“堆壘數論”

我們知道我們茅草堆壘出來能建造茅屋、磚石堆壘起來能建造磚房、鋼筋混凝土堆壘起來能建造高樓大廈。

現在許多高樓大廈都是鋼筋混凝土建築的，但是是不是所有的高樓大廈都可以由鋼筋混凝土來建築呢？

這其實就是“堆壘數論”的思想。我們用簡單的語言表達這個堆壘數論考慮的問題，如果考慮A、B兩個整數的子集。如果A中的數都能被B中的某幾個數相加得到，我們就説A能被B堆壘出來。大多時候，我們還要限制使用B中數字個數的數量。這時候，所使用的B中的數叫做堆壘項。

舉幾個例子：

如果A是所有不小於6的偶數集合，B是素數集合，並限制只能用2個B中的數。那麼問題就是著名的哥德巴赫猜想。

如果A是自然數集合，B所有完全平方數集合，並限制只能用2個B中的數。自然數的能不能寫成兩個數平方和問題。

如果A是自然數集合，B所有完全平方數集合，並限制只能用3個B中的數。自然數能不能寫成三個數平方和問題。

以此類推……

有時候，我們還可以反過來研究，比如，如果所有自然數都能被B中的數加出來，那麼多少個數之內一定能辦到？

我們用233來舉例子把：

下面這些正整數方程是否有解呢：

233 = x² + y²

233 = x² + y² + z² 

233 = x² + y² + z² + w²

233 = x² + y² + z² + u² + v²

以上方程中的所有未知數地位是一樣的，我們把那種通過交換順序能變得一樣的解看成相同的解,並且我們只考慮所使用數字互不相同的解，可以得到：

第一個方程，有一組解：

233 = 8² + 13²

第二個方程，有兩組解：

233 = 1² + 6² + 14²

233 = 5² + 8² + 12²

第三個方程，有三組解：

233 = 2² + 6² + 7² +12²

233 = 3² + 4² + 8² +12²

233 = 4² + 6² + 9² +10²

第四個方程，有一組解

233 = 2² + 4² + 7² +8² +10²

在第三個方程的正整數解中，我們可以看出可以出現一樣的元素12；

關於第四個方程有一則小故事，根據迪克遜的《數論史》(History of the Theory of Numbers)記載。1867年，史密斯(H. J. S. Smith)開始推廣表為5個,7個平方數的結果。一位不為人知的委員會成員曾向巴黎科學院建議舉辦1882年的數學科學大獎(grand prix des science mathématiques)賽題目為“表為5個平方數的方法數”。實際上1881年春天就發佈了公告懸賞這個問題，後來才將其作為賽題。史密斯和閔可夫斯基(H. Minkowski)（值得注意的是，閔可夫斯基當時才18歲）都獲得了該大賽的全額獎金。他們倆都發展了n元二次型理論來求出表為5個平方數的方法數。

迷人的平方和

上面第一個方程為費馬雙平方和定理(Fermat’s two-square theorem)的一個特例。費馬還是“一如既往地”只寫命題不給證明，這個命題也一樣。這個命題最早被歐拉證明的。費馬的這一命題即給出了所有4n+1型的素數都可以唯一地分解為兩個平方數之和（至於如何求其唯一表示可以參看西爾弗曼的《數論概論》第26章）。那麼其他數呢？

有下面一個定理：

一個大於1的整數可以寫成兩個平方整數之和，當且僅當的它的標準素數分解中不包含4n+3型素數或者4n+3型素數是偶次。

比如637 = 7²·13有兩個素因子7與13，而是4n+1型，而7是4n+3型，但素數7的次數為偶數2，故637 可以表示為兩個平方數之和。實際上，637 = 14²+21²。

關於平方，我們還有勒讓德三平方和定理(Legendre’s three-square theorem)：

整數可以寫成三個整數的平方和（即允許堆壘項為零），當且僅當的它不為4^a(8b+7)型的數。（其中,4^a表示4的a次方，a與b都取自然數）

值得注意的是這裏用的是“三個整數的平方和”與雙平方和情形的描述有所不同。

勒讓德的這一定理可以寫為等價形式：

整數可以寫成少於四個平方數之和（默認平方數從1開始），當且僅當的它不為4^a(8b+7)型的數。（其中,4^a表示4的a次方，a與b都取自然數）

對於平方數且時，有拉格朗日四平方和定理(Lagrange’s four-square theorem)

每一個自然數可以寫成四個整數的平方和（即允許堆壘項為零）。

我們不應該去糾結於當需要表示的數比較小時（比如取5、6，堆壘項總有零出現），四個整數中會出現零。我們應該看到當需要表示的數為很大很大的整數時，都可以由四個平方數來表示，就像再厲害的野馬（大整數）都可以被這位馴馬師（拉格朗日四平方和定理）馴服，這便就是此定理的重要意義。

華林問題

什麼是華林問題呢？

1770年，英國當時的領袖數學家華林(Waring)（別因為音譯名將其當作華人）在其《代數沉思錄》（Meditationes Algebraicae）第二版中提到一句話：

每一個正整數可以寫成4個整數的平方和（即允許堆壘項為零）；可以寫成9個正整數的立方和，可以寫成19個整數的四次方和，如此等等。

當然這句話的一部分就是拉格朗日的定理，第二部分是華林通過大量數值試驗得出的猜想，第三部分也是他得出的猜想。

對於每一個給定的正整數k，存在一個最小的正整數g(k)，使得每一個自然數都可以寫成不超過g(k)個整數的k次方和。

其中求g(k)的問題便是華林問題。經過上面關於平方數的介紹，我們知道了g(2) = 4。

1909年，德國數學家韋伊費列治(Wieferich)證明了g(3) = 9；後發現漏洞，於1912年由生於英國的美國數學家肯普納(Kempner)補正；

1940年，印度數學家皮萊(Pillai)證明了g(6) = 73；

1964年，我國數學家陳景潤證明了g(5) = 37；

1986年，三位數學巴拉蘇布拉瑪尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)證明了g(4)=19；

再回來，整數立方和還有42

好了，回到我們最初的問題：自然數的整數立方和表示。在k=3時的華林問題中，我們知道每一個正整數都可以為不超過9個正整數的立方和；

如果將前面華林問題的堆壘項只允許用加法的條件放開，我們允許用減法，是什麼情況呢？——這個問題其實就是簡易華林問題——不要因為其命名為“簡易華林問題”就覺得其比“華林問題”簡單。

而將正整數表示成三個整數立方和的問題，就是堆壘項限制為3的簡易問題。現在這個問題依然是沒有解決的問題。

我們用v(k)表示滿足相應條件最小的正整數，即對應於華林問題中的g(k).

1932年，V. Vesely證明了v(k)存在。

接着賴特(E. M. Wright)於1934年得到一個粗糙的估計：（此估計不等式的證明可以參看陳景潤寫的《初等數論Ⅲ》132頁的內容）

v(k)≤2^(k+1) + k!/2

不久，賴特又對其改進，符號比較專業就不詳述了。

再後來賴特還得到了v(k)≤2^(k+1) +4k，並研究了具體值。

1936年，莫德爾(Mordell)證明了除極少一部分數不能確定外，大部分整都適合v(3) = 4.

我國數學家柯召曾列出一張表，將100以內的數分解為4個立方數之和，表中幾乎每一個數均可分解為x³+y³+2z³的形式，僅有兩個例外

76 = 10³+7³+4³-11³,

99 = 5³-3³+1³

柯召教授這樣做的目的或許是為了説明v(3)=4是正確的，但是這僅僅只能作為一些數值試驗。

2003年，科學出版社出版了中文版的《數論中未解決的問題（第二版）》。其作者是為蓋伊（1916年9月30日~）現在已經102歲高齡了。

在《數論中未解決的問題（第二版）》的第D章（該書編寫了A~F章節）的D5問題中，提到除了形如9n±4數尚且不知道結論，對於所有其他的數都證明了是4個整數的立方和。

瞭解同餘的小夥伴們，可以做下計算，任何整數的立方在mod 9 的情況下只有-1，0，1三種可能。所以 x³ + y³ + z³ 在mod 9 的情況下，只有0，±1，±2，±3這7種可能，而±4是不可能的。

所以形如9n±4數一定不能表示為三個整數的立方和。由此我們也可以知道v(3)>3，也就是説所有自然數不能僅由三個整數的立方和表示。但是退而求其次，哪些數可以由三個立方數表示呢？數學家們希望有像“費馬雙平方和定理”、“勒讓德三平方和定理”這樣的定理來引導人們，但是目前為止還沒有。

接下來我們要步入主題了！

所有不為9n±4型的數都是三個整數的立方和嗎？蓋伊書中寫道：1992年，他對所有小於1000的數用計算機搜索後發現,除了下面（標紅部分截止2019年3月都還沒有被解決）表中的數以外，對於其他小於1000的數都找到了這樣的表示。

在1993年5月25日的一封電子郵件中，Andrew Bremner告訴蓋伊有：

75 = 435203083³+(-435203231)³+4381159³

Conn和Vaserstein發現了

84 =  41639611³+(-41531726)³+(-8241191)³

後來人們找到了（上表標黃部分）

30=(-283059965)³+(-2218888517)³+2220422932³

52=60702901317³+23961292454³+(-61922712865)³

110=109938919³+16540290030³+(-16540291649)³

195=(-2238006277)³+(-5087472163)³+5227922915³

290=426417007³+2070897315³+(-2076906362)³

435=4460467³+(-4078175)³+(-2755337)³

444=3460795³+14820289³+(-14882930)³

452=(-2267462975)³+(-3041790413)³+3414300774³

462=1933609³+(-1832411)³+(-1024946)³

478=(-1368722)³+(-13434503)³+13439237³

2007年，Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant與Kim Yarbrough Jensen這四位數學家的論文指出小於1000的數還沒有找到解的剩下：

33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975

2016年，Sander G. Huisman指出小於1000的數還沒有找到解的就剩：

33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975

最近，由Booker Andrew提交了一篇論文"Cracking the problem with 33"，論文中找到33這個文章開頭的結果，由Browning公之於眾。我們可以看到每個元素都是10的16次方的數量級，要讀出來應該快讀到億億位了！

另外在數學節目Numberphile中，Timothy Browning做了一期名為“The Uncracked Problem with 33”的問題介紹，可惜目前沒有中文字幕。可以從論文"Cracking the problem with 33"的摘要與論文標題看出Andrew Booker寫這篇論文正是源於該視頻。

也就是説到目前為止，100以內的自然數就剩下42還沒有找到關於立方和的整數解了！

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