麻麻，證明題太難了!!!_風聞

作者：Patrick Honner

翻譯：loulou

審校：Nothing

在下面一組數字中，你能發現規律並且能找出後面的數嘛？

1, 2, 4, 8

怕你在寫出結果之前還需要更多數，我還是給你第五個數吧

1, 2, 4, 8, 16

那麼，下一個數應該是32了，對吧？那麼，規律就很明瞭了：下一個數是前一個數的兩倍。即1 × 2 = 2; 2 × 2 =4; 4 × 2 = 8; 8 × 2 = 16。第五個數應該是16 × 2 = 32。那麼，我們還需要多少其他的證據驗證這個規律呢？

儘管認為下一個數字是32是完全合情合理的，但它可能碰巧是錯的。考慮以下推理。

這裏我們計算由圓上的連接點連線劃分的區域。一個點產生一個區域(圓的內部)；兩點形成兩個區域；三個點劃分出了四個區域；4個和5個點分別產生8個和16個區域。這就得到了以下數列:

1, 2, 4, 8, 16

那麼，一個圓上的六個點連接起來，形成了多少個區域呢?

如果你像其他第一個遇到這個問題的人一樣，認為答案是32，那也是情有可原的。但它不是。答案是惱人的31個區域!你可以數一數，再數一遍確認一下。

當然，有些模式是1 、2、 4、 8 、16 、32 、64等等，每一項都翻倍。但是也有另一些模式，比如一個圓上連接點形成的最大區域數，可以是1、2、4、8、16、31、57、99等等。當我們看到序列1 、2 、4、8 、16時，我們可能認為所有的證據都指向下一項是32，但也可能出現別的情況。

長期以來，數學一直在出乎人的意料，它迫使我們擴大想象力。這正是數學家們不只是滿足於尋找一些例證，而是要通過嚴格的步驟證明一個命題的原因。嚴格的證明可以保證數學的正確性。即便所有的跡象都指向我們序列中的下一個數字可能是32，但如果沒有嚴格的證明，我們就不能確定下一個數一定是32。

當然，例子在數學中是重要以及有用的。通常，在證明某件事之前，我們會先試一試、探索一下、細想一些例子並收集數據。我們反覆檢查和權衡這些例子，然後才會預測接下來會發生什麼。這些結果最終形成了我們的觀點，告訴我們應該嘗試證明某些定理，而不是其他的。

例子和證明一樣指導着我們的數學思維。孿生素數猜想就是這樣一個例子。孿生素數是一對相差2的素數對，例如，3和5、11和13、101和103都是孿生素數對。孿生素數猜想假設存在無窮多個素數對。

我們稱之為孿生素數猜想而不是孿生素數定理，是因為儘管它是數論中最著名的問題之一，卻沒有人能證明它。然而，幾乎每個人都相信這是真的，因為有很多證據支持它。

這就好比説，當我們找大的素數時，我們會不斷地找到非常大的孿生素數對。目前已知的最大的一對雙素數各有近40萬位數。一個與孿生素數相似的猜想已經得到證明。2013年，張益唐證明了有無窮多對素數相差7000萬（或者更小），這震驚了數學世界。得益於後來一個公開的“博學者”項目，我們現在知道有無窮多對質數相差不超過246。我們還沒有證明有無窮多對質數相差2，也就是孿生質數猜想。但比起無窮大來説，246已經很接近2了。

基於以上原因，我們相信孿生素數猜想是正確的，即使它還沒有被證明。但在數學的其他領域，例子正被用來以更具爭議的方式表達觀點。

在橢圓曲線的研究中，一條曲線的“秩”，簡單來説就是一條曲線解的複雜程度的數值度量。多年來，人們一致認為橢圓曲線的秩是無界的，這意味着曲線的秩有多高或解有多複雜沒有限制。

但最近的研究讓一些數學家認為，秩可能還是有界的。這項工作提供的證據表明，可能只有有限多的橢圓曲線的秩大於21。

不過，我們仍有理由保持謹慎。他們收集到的這些極具説服力的證據並不是來自橢圓曲線的領域。它來自矩陣領域，研究人員用矩陣來建模橢圓曲線。數學模型在科學中無處不在，甚至可以用來研究數學本身。它們是非常強大的工具，使得我們可以把一個我們不完全理解的問題變成一個我們更好地處理的問題。

但使用模型本身就很棘手。我們永遠不能確定我們的模型的行為是否足夠像我們試圖研究的對象，從而得出正確的結論。我們也不能確定我們的模型在研究對象的機理方面是否足夠接近真相。因此，很難知道我們從模型中收集到的證據是否真的是關於我們想研究的東西的證據。接下來我們用一個簡單猜想的簡單模型來探討其中的一些問題。

假設我們想研究這個命題:任意兩條直線相交或平行。

我們説的“相交”是指這兩條線有一個共同點，而説“平行”是指它們沿着同一方向上延長，但不相交。(定義平行有不同的方法，但為了簡單起見，我們將採用這種方法)。

為了研究這個命題，我們將創建一個模型。你們可能還記得代數課上的內容，我們假設每一條線都是斜截式。也就是説，我們假設每一行都可以寫成一個方程:

y = mx + b

其中m是直線的斜率(本質上是直線的陡度)，b是y軸截距(直線通過垂直軸的地方)。

用這種方法建模直線為我們進行實驗提供了一種方便的方法。這個模型讓我們通過選擇一對隨機數m和b來創建一條隨機線，因此，我們可以選擇一對隨機線並測試它們:它們相交嗎?它們指向同一個方向嗎?還是會發生了什麼其他事?

下面是一些實驗的例子。

在上面的三個例子中，我們看到隨機選擇的直線對相交的情況。如果我們做這個實驗1000次，或者10000次，或者100萬次，我們會發現，在所有的情況下，直線要麼相交，要麼平行。(事實上，所有對直線都可能相交，因為不太可能兩條直線的斜率完全相同。)

在看了100萬個例子之後，你可能會得出結論，這個猜想可能是正確的。所有的證據都一致地支持任何一對直線要麼相交要麼平行的説法。

但是證據就和模型一樣，有可能是危險的。讓我們看看我們給自己製造了什麼危險。

有一個問題是，某些類型的線似乎比其他類型的線更容易被選擇。這幅圖顯示了50條直線，其中b = 0，且0≤m≤1。

下面圖顯示了50條直線b = 0, m≥1。

看起來，四分之一的平面被斜率在0到1之間的直線覆蓋，而另外四分之一的平面被斜率大於1的直線覆蓋。選擇一個大於1的數字似乎比選擇一個介於0和1之間的數字更有可能，因此從第二個區域選擇一條直線的可能性比從第一個區域選擇一行的可能性大得多。這意味着某些直線——斜率在0到1之間的直線——在我們的模型中被選中的可能性可能被嚴重低估。如果在平面的這個區域發生了奇怪的事情，我們的模型就不太可能告訴我們。

仔細看第二幅圖，我們會發現另一個問題。m越大，直線越陡。最陡的線是垂直的。垂直線的斜率是多少?根據定義，垂直線的斜率是沒有定義的:我們不能通過選擇m來創建垂直線。這意味着這些線在我們的模型中不存在，所以我們永遠無法用它們來做實驗。在我們開始收集證據之前，我們就已經特地排除了這些可能性。

然後就涉及到我們模型中最嚴重問題的核心。任何習慣三維思維的人都可能馬上注意到我們的猜想是錯誤的。直線不僅有相交或者平行兩種情況。想象一下，在一棟建築的不同樓層，兩條走廊是沿着不同的方向。這種情況就是不相交也不平行的“斜交線”。

關於斜線的一個重要事實是它們很多情況下是位於不同的平面上的。但是由於我們的模型用方程y = mx + b來標識每條直線，就默認了每條直線都處在同一個平面上。我們的模型就只會產生支持我們猜想的證據，因為如果兩條線在同一平面上，它們要麼相交，要麼平行，這確實是真的。我們將永遠不會看到任何相反的證據:在我們的模型中不存在斜交線。就像我們看到的垂直線一樣，我們的模型排除了我們無法想象的東西。

這是一個簡單的例子，使用了一個有很多問題的愚蠢的模型，包括我們如何從無限集合中選擇隨機數這樣的麻煩問題。研究橢圓曲線秩的專業數學家絕不會犯這裏所強調的那種簡單而明顯的錯誤。

那些數學家知道在處理他們的模型時要小心謹慎。因為他們知道，無論他們的模型多麼有用和有趣，無論他們收集的證據多麼有説服力，橢圓曲線還是有可能存在一些他們想象不到的東西。如果你想象不出來，你的模型就能捕捉不到，這意味着證據不能反映全部的事實。

但無論對錯，這個新模型使數學家們對橢圓曲線有了卓有成效的思考。如果這個模型確實反映了事實，那麼來自矩陣世界的見解或許可以解釋橢圓曲線的行為模式。如果沒有，弄清楚為什麼橢圓曲線不能全部用這種方式建模，也可能會使我們對這個問題有更深的理解。我們收集的證據可能會使我們以某種方式更接近證明。

原文地址：

https://www.quantamagazine.org/where-proof-evidence-and-imagination-intersect-in-math-20190314/

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