一個大活人，還能讓尿活活憋死？能…_風聞

科普中国-科普中国官方账号-中国科协科普工作官方微平台2019-03-22 09:43

2019-03-22

一個大活人，還能讓尿憋死？？？

在高中物理課本上，有那麼一位貢獻卓越的天文學家，名為第谷·布拉赫。他詳細而又準確的行星觀測數據，直接幫助其助手開普勒總結出了行星運動三大定律，進而為牛頓建立萬有引力定律奠定基礎。

第谷·布拉赫畫像，圖片來自維基百科

然而這麼一個人……參加宴會時想上廁所……

他出於禮儀，拒絕離開會場……

最後憋尿憋到……膀胱破裂……

去世了……[1]

最近天氣逐漸轉暖，春天來了，萬物復甦，又到了在屋子裏宅了一個冬天的人們出門溜達溜達的季節。不過一旦出門在外的時候，無論是不是選擇困難症，都可能要在要人生難題清單裏面加上：**去哪裏才能上廁所？還有多久才能排到我？**這樣的人生「終極」問題。

為了讓大家都能有一個良好的出行體驗！為了幫助大家順利找到廁所，小編通過詳實的論證和細緻的數學分析，總結出了兩條簡單實用的出門找廁所兩大規律。並結合實際場景分析了一下這兩條規律的使用方法和注意事項，幫助大家從零開始，會找，能找，找好廁所，安心出門 ~

1、“預測”未來的馬爾科夫鏈

要給日常生活中恐怖的東西排個序的話，不知道大家的選擇是什麼樣的，小編第一個選擇排老長老長的隊……

以前，我相信動態平衡這一説，如果有兩列隊伍的話，長的那一列的人會自動補到短的那一列去，所以安心選擇一條等着就好了。直到有一天，我瞭解了可以預測未來的馬爾科夫鏈（Markov Chain）……

馬爾科夫鏈描述的系統，其任一時刻的狀態僅僅由其上一個時刻決定，而和更早的歷史沒有關係。就像鏈條一樣，相鄰兩個環緊緊相扣，而更遠的兩個環之間並沒有交集

馬爾科夫鏈説的是這麼一回事。小明在每天下午 5 點的時候有兩種狀態：一、認真學習。二、愉快摸魚愉快玩耍。如果他今天是認真學習，那麼明天有 40% 的概率會在玩耍；而如果他今天這個時候是在玩耍，那他會因為羞愧難當，在明天有 70% 的概率會認真學習。我們現在想要看小明之後每天下午 5 點在幹啥。

每天下午 5 點，小明可能所處的狀態和其相互之間的轉移的概率關係示意圖

假設小明剛開始下午這個時候都是在學習的，那麼明天，他玩耍的概率就會變為 40%，學習的概率變成 1 - 40% = 60%。到了後天，他玩耍的概率分為兩部分：昨天玩了今天繼續玩，40% × (1 - 70%) = 12%；昨天學習了今天才玩，60% × 40% = 24%。所以後天他玩耍的概率為 36%，學習的概率為 64%。重複這樣的計算，最後，他每天玩耍的概率為 36.4%，而學習的概率為 63.6%。

這正是馬爾科夫鏈的精髓。

2、人該多的地方永遠人多

回到我們關心的廁所問題上來。現在這個工具已經放到了你的面前，那上廁所能夠用馬爾科夫鏈來分析嗎？

給我們不斷變化的隊伍建一個馬爾科夫鏈適用的情形

首先，我們要構造一個馬爾科夫鏈適用的場景。在景區裏面，由於不斷有來上廁所的人，也不斷有走的人，不失一般性，**我們可以假設在外面排隊的人數是處於動態平衡，相對固定的。每隔一段時間，兩個廁所裏面排隊的人都會做出選擇，是繼續排這個隊伍，還是換一條隊伍。**那麼這個「雙廁所」系統，就可以開「馬」了。

為了方便理解，我們依舊沿用上面小明同學的概率，只不過這時候他的概率不是學習還是玩耍，而是去上哪個廁所的概率。我們可以把這中間所有選擇的過程歸納成為下面這張圖。箭頭和箭頭上的數字代表了你每次做選擇時候的方向和概率。

在廁所 A 和在廁所 B 排隊的人在下一時刻的不同選擇的概率的示意圖

廁所 A 比較受歡迎，在所有到廁所 A 的人裏面，下一時刻有 60% 的人會選擇——就是你了，不管怎樣都要排隊等候。而還有 40% 的人可能因為人太多等原因選擇另外一個廁所。廁所 B 則不那麼受歡迎，在所有到廁所 B 的人裏面，只有 30% 的人選擇繼續等候，剩下 70% 的人要溜。

和上一節中的計算相同，無論開始時候兩個廁所外排隊人數如何，經過多次選擇以後， B 佔比約為 36.4%，而 A 佔比為 63.6%，也就是最終的狀態會停留在 4：7，正好和兩個廁所中間的轉移的概率成正比。

這裏面的殘酷事實就是，雖然兩者之間會不斷有人員交換，但是，人該多的的地方永遠是人多的。

這個定律的精髓在於，我們平時看到的樣子，其實已經是系統平衡以後的樣子，系統之間內部狀態的轉移已經全都被自然地考慮進去了。這種時候我們一般只需要……直接選人少的就好了。

3、死理性派上廁所

現在手機地圖使用起來已經非常地方便，比如可以打開地圖，輸入「廁所」進行查詢，身邊哪裏有廁所一目瞭然。

結合地圖可以直觀看到我們附近到底有多少廁所，遇到了三急也有去處。假如遇到了人多到爆炸的情況，我們也可以再進行挑選。

這一類選擇問題其實是一個十分古老的問題。

穿過一大片麥田，要求讓你帶一個最大的麥穗回來。中途你不能夠回頭，也不能夠進行更換，用什麼樣的策略，撿到大麥穗的可能性最大？

這個問題最難的地方在於我們面對的是徹底的未知，用統計學術語來説的話，我們缺少先驗分佈。在進入麥田之前，我們不知道麥穗到底有多大。如果我們太早做出選擇，則很有可能**「撿了芝麻」；如果我們太晚做出選擇，則會「丟了西瓜」**。選擇廁所的過程其實和選麥穗很類似，我們也不知道地圖裏的廁所長什麼樣。

選麥穗策略示意圖，假設 A > B > C，我們拒絕掉最開始的第一個，那麼會有一半的概率選到整個序列中的最大值。

傳統的選麥穗問題套路很簡單，**最優的策略為拒絕掉開始的所有 r - 1 個選擇，在這之後，一旦遇到比之前所有都好的，直接決定。**利用這種策略得到了最佳選擇需要滿足兩個條件：

1.第 i 個為最佳選擇

2.前 i - 1 個選擇的最大值被我們拒絕掉了，也就是在開頭的 r - 1 個裏面。這樣我們才能一直看到第 i 個選項

由此我們可以得到計算這個策略成功的概率為 [2]

如果希望最後選中最佳選擇的概率最大，我們大約需要拒絕 1 / e ，也就是 37% 的選擇。

但是，在找廁所的路途之中，我們完全可以回過頭來選擇之前已經遇到的最好的，這並不是一件丟臉的事情。在我們的找廁所的方法裏，這個 1 / e 原則很可能有點水土不服了。

4、好馬要吃回頭草

我們這時候新的策略完全就是**「吃回頭草」**。在觀察完 k 個選項以後及時止損，回頭選擇已經看到的最好的那個。

一共有 N 個選擇，我們同樣先看前 r 個選項，記錄最佳的結果。接下來在第 k 個（我們選擇的終點）之前，一旦我們遇到了比記錄結果更好的，直接選擇。但是如果我們沒有找到更好的，那就回頭，從過去的 N - k 個選項裏面選擇最好的。

這個策略和之前的至多都只能做 N 個選擇，在這點上兩者是公平的，唯一的區別在於能不能回頭。

為了直觀瞭解兩個策略哪個更強，我們人為地隨機生成了 10000 個長度為 100 的序列進行模擬，按照原來的 1 / e 策略和我們的吃回頭草策略從序列中找出最大值。下圖中橫軸為 k 的取值，也就是選擇的終點，到達這裏以後就不再繼續看新的選項了。縱軸為 r 的取值，在一開始需要拒絕的選項的數量。因為我們選擇的終點顯然要大於需要拒絕的數量，所以在我們的結果中只展示了上面半個三角形的部分。圖中顏色的深淺代表了在這個參數下取到最大值，撿到最大的麥穗的可能性。

數值模擬結果，橫軸為 k，考察的所有選項個數；縱軸為 r，在最開始拒絕的選項的個數。顏色的深淺代表在這個參數下撿到最大的麥穗的可能性。可以看到，不同的參數選取會影響我們的最終結果

在圖中可以看到，顏色最深的兩個分別集中在中間，以及最右邊的邊界上。**而這最右邊的邊界不是別的，正是我們的 1 / e 策略。**因為如果我們取把選擇的終點取到頭的話，我們的回頭草策略實際上看完了所有的選項。而且 N - k = 0，此時也失去了「吃回頭草」的能力。

我們單獨把對角線上的結果和最右邊的結果拿出來進行比較。

數值模擬結果，橫軸為數值模擬時選擇的參數。圖中藍線代表原來的 1/e 策略，此時的橫軸參數代表最開始拒絕的選項的個數。我們可以看到在 37 附近，藍線確實取到了最大值。圖中紅線代表回頭草策略，在 r = k = 50 的時候，我們可以以 50% 的概率取到最好的那個選擇。此時對應的策略為只考察系統中一半的選擇，然後回頭選擇之前看過的最好的那個

圖中藍線代表原來的 1 / e 策略，可以看到如果我們開始拒絕了 37% 的選擇的話，藍線確實取到了最大值 0.37。**而圖中紅線代表吃回頭草策略，直接在看完前一半的選項以後回頭選擇最好的，就能夠以 50% 的概率取到整個隊列中最好的那個。**此時也確實發揮了吃回頭草的極致……

光説這點好處肯定不能讓你們堅定地選擇吃回頭草策略，接下來還有一些更猛的發現。

前面我們比較的是選中了最大的概率，但是我們並不只是想要最好的體驗，我們還很關心下限。在找廁所的時候，我們平均的體驗其實會更重要，比如比起一個稍微不那麼幹淨的廁所，沒有紙這一點顯然更尷尬。所以我們接下來分析了 1 / e 策略和吃回頭草策略中結果的均值。從下圖看上去，大家好像都很優秀的樣子……