再論“古代中國沒有科學”-古希臘科學的崛起_風聞

“古代中國沒有科學”的觀點，引發了網友們的廣泛爭議。之所以產生爭議，很大程度上是對“科學”的定義有不同的理解。很多網友已經指出：科學是對於自然現象背後規律、原理的系統性總結，這樣的科學（也就是嚴格意義上的科學），中國古代確實沒有。

不過，讓許多愛國情結深厚的網友難以接受的，是我的下述觀點：古代全球各文明都沒有科學---古希臘除外。網友們的不接受完全可以理解：希臘，一個孤懸地中海的貧瘠半島，與同時代富饒、廣闊的中國完全無法相比，憑什麼就能夠獨享發明了科學的榮譽呢？！憑什麼古希臘發明的就是科學，而其他文明發明的（比如中國的“四大發明”）就不是科學呢？！

我發現，網友們普遍忽視了（或者不瞭解）古希臘數學的價值！記得馬克思説過大意如下的話：一門學問只有在達到能夠應用數學研究的水平時，才能真正稱之為科學。可以説，現代科學之所以能夠取得如此輝煌的成就，就是因為數學為它插上了翅膀！！

而古希臘之所以能夠獨享發明了科學的榮耀，首先就是因為在數學領域取得了其他古代文明望塵莫及的巨大成就，並且成為整個古希臘科學傳統的源頭。

下面就讓我們來看看他們是怎樣取得這樣的成就的吧。以下內容引自香港陳方正教授的專著《繼承與叛逆》。（另外，必須做一個更正：以前我把陳方正教授的名字誤寫為“陳與正”，在此向陳教授道歉！）

                                       一

古希臘之所以能夠取得其他古代文明遠遠達不到的數學成就，首先是因為---他們站在了巨人的肩膀上！他們繼承了兩大古代文明---古埃及和古巴比倫---的數學（還有其他科學）成就。

蘇格蘭律師林德在埃及掘墓得到的“林德數學手卷”（用草紙或羊皮記錄），以及現在世界各大博物館中收藏的幾十萬塊古巴比倫陶泥板，確切地記錄了這兩大古老文明令人震驚的數學水平。這些數學手卷和陶泥板屬於公元前1800---1600這200年間，相當於中國商代以前的三皇五帝時期。

先看看埃及當時的數學成就：

1.單分數，即分子為1的分數。如2/11=1/6+1/66;2/71=1/40+1/568+1/710。2複比例問題。3.長方形、三角形和梯形面積，圓柱體、方柱體體積，斜率。4.圓周率的有效值達到3.16。5.計算截錐體，即金字塔截去尖端而成為平頂立體的體積公式。6.計算“開口籃子”（即半球）的表面積公式：A=2r.r.圓周率。

再看看古巴比倫的。他們使用60進制計數法，最傑出的成就是解方程式，包括大量線性方程和一般二次方程的通解。因為當時還沒有未知數的概念，所以方程問題都是用長方形、面積、邊長這些幾何詞彙來建構，解方程則用面積剪貼、長度加減來表達。求平方根則用近似公式、反覆代入法。還有解不齊三次方程的成功嘗試，以及冪數表。他們十分熱衷於各種幾何圖形分割，技巧亦十分純熟、巧妙。他們顯然知道並經常運用畢達哥拉斯定理，甚至可能已經證明了它。

遠古數學給我們的啓示是：數學雖然起源於實用，但它的進一步發展也就是“突破”卻有賴於“超實用”的興趣與動機，也就是純粹為了好奇或者炫耀而做的探究，以及容許甚至鼓勵這種探究的環境。

有專家認為，數學的突破出現於舊巴比倫王朝，很可能是因為它大規模發展了氣氛寬鬆、帶有人文氣息和自主性的文士學堂。這些學堂提供了具有普遍意義的教育，即所謂博雅教育，而不僅僅是狹隘的技術、職業訓練。數學欲發展到相當複雜的程度，似乎必須依靠一個有閒暇也有高度專業興趣和自豪感的階層之形成。而這種體制和階層之消失，也可能就是數學突然中衰的原因。

                                       二

古希臘人認為，他們的文化包括數學、哲學承受於埃及、巴比倫、波斯這些遠古文明。他們最早的哲人泰勒斯和畢達哥拉斯相傳都到過埃及和巴比倫，並且曾經長時期在那裏的神廟跟隨祭司學習。柏拉圖在《對話錄》中也一再借埃及祭司的口吻，提到他們悠久的傳統和深不可測的累積智慧，在其面前希臘哲人只不過像是孩童。

希臘信史大致從首屆奧林匹克競技會（公元前776年）開始。毫無疑問，希臘文化上第一件大事是荷馬史詩的出現，其確切年代希羅多德認為是在公元前850年左右。希臘科學是從自然哲學開始的。早期科學家就是自然哲學家。希臘哲學從頭就與科學相近：它致力於探究自然奧秘而忽略人事，喜好抽象理論而忽視實用技術，反映的是所謂“重智”精神。這與中國講究人倫、實用的“重德”精神，分別代表兩種完全不同的文化傾向。

希臘哲學以柏拉圖為宗師，他極端重視數學，認為它是完美與恆久理念的代表，也是培育“哲王”的理想教材；中國聖人孔子看重的則是“克己復禮”和忠恕之道，而絕少談論自然事物。兩大文明的基本分野至此也就昭然若揭了。這種差別的原因，應該與中國的終極目標是維繫農業社會的和諧穩定，而希臘由彼此獨立的小城邦構成，沒有強大政治傳統有關。

公元前6---5世紀是雅斯貝爾斯所謂的“軸心時代”。古代主要文明的核心思想文化都形成於此時：在印度，這是佛陀時代；在波斯，這是瑣羅亞斯德時代；在中國，這是孔子、墨子和孫子時代；在希臘，這是泰勒斯、畢達哥拉斯等自然哲學家的時代。不過，孔子代表正統思想的振興，而希臘的自然哲學卻是個“周邊現象”，它是以邊緣影響中心，然後逐步滲透中心，成為主流的。

具體而言，希臘哲學的米利都學派、愛利亞學派和原子論學派都出現於希臘周邊，並且與其時的希臘主流文化相異：它們的基本關懷在於無關實際的宇宙和大自然問題，因此稱為“自然哲學”，而並非主宰希臘人心靈的奧林匹克諸神，或者迫在眉睫的政治、軍事問題。不僅如此，其思維模式也幾乎全然以思辨為主，也就是推理的、抽象的，絕少涉及政治和社會的實際考慮。

希臘自然哲學起源於公元前6世紀的愛奧尼亞，其始祖是泰勒斯，他建立了米利都學派。在此學派之外，愛奧尼亞還有3位重要哲人：色諾芬、畢達哥拉斯和赫拉克利特。他們聲氣相通，相互激發，他們就是希臘哲學與科學的開創者。此外，希臘早期好些重要科學家，例如數學家希波克拉底和尤多索斯，還有希臘醫學始祖希波克拉底，也都是愛奧尼亞人。因此，愛奧尼亞是名副其實的希臘哲學的搖籃。

泰勒斯是希臘哲學的開山祖師。他和雅典憲政之父梭倫一樣，被公認為古希臘“七賢”之一，而泰勒斯居於首席。這顯示他不僅僅以學問、見識和思想知名，也還有實際才能和城邦領導地位。無論如何，希臘哲學傳統是由他觸發，並且在相當程度上是由於他的魅力、典範而走上“重智”道路。泰勒斯首先以數學和天文學知名。

他被認為是把幾何學從埃及傳入希臘的第一人。據説他首先發現以下幾何學定理：1.圓為其直徑所等分；2.對頂角相等；3.三角形為其任何一邊及其旁兩角所決定；4.半圓中對應於直徑的內接角是直角。泰勒斯又是希臘第一位天文學家。曾經測定冬至與夏至點，又曾經準確預言在公元前585年會發生日食。

其後不久，他就被推尊為賢人，而日食之年，以後也被視為希臘哲學的起點。其實在當時，準確預測日食超出了科學計算能力。泰勒斯的預言大概是基於巴比倫的“沙羅斯”週期，即日月食大約每18年又10日重現的粗略經驗規律，以及埃及在公元前603年曾經發生日食的事實，而並非來自對日月食成因的認識。

其次，泰勒斯更重要的貢獻，是提出宇宙“原理”，即其基本質料和運行原則為何的問題，這就把希臘人從神話中解放出來，改變了他們觀察世界的角度和方向。他提出原理就是水，即把水看成萬物的來源和本原。以某種自然界事物來解釋自然萬象，這是從原始宗教轉向理性思維的關鍵，也就是希臘哲學與科學的開端。這些觀念主要源於埃及、巴比倫。

不過，首先提出一套具體宇宙學説，從而創立米利都學派的，是繼承泰勒斯的阿那克西曼德。他認為大地自然地懸浮於空中，沒有任何支撐也不會移動。他對於天體、天象都提出了具體構想，很多看法接近於現代科學觀念。他把泰勒斯的“原理”稱為“原質”，認為現存事物的原質是“無窮”。學派的第三代傳人是阿那克西米尼，他把“無窮”原質確定為“氣”，成為日後地、火、水、氣四元素説的雛形。

泰勒斯的崇高聲望，激發了才智之士另樹旗幟，以求馳譽當世的雄心。色諾芬認為宇宙沒有生滅，就不需要有“原質”；一切都從大地而生，最後迴歸大地；大海是風、雲、雨、水以及河流的源頭。赫拉克利特最重要的發明是辯證思維模式，提出“人不能兩次踏足於同一條河流”，所有事物都包括對立成分，而價值判斷是相對的，因此可以統一。

愛奧尼亞哲學家之外，還有屬於大希臘的意大利愛利亞學派。巴門尼德劃時代的貢獻是區分了確定不移的“真理”和因時因人而異的“意見”，前者只有通過嚴格邏輯推理的方法才能達到。他堅持現實世界是變動和虛幻的，而真實世界是恆久不變的，它只能憑我們的心智（即後來的‘理性“）來認識。這樣，西方傳統中最基本的二元論，即感覺和心智之間、實體世界和抽象世界之間，還有變化和恆久之間的截然對立，就都出現了。

巴門尼德的愛徒芝諾的詰難法被亞里士多德稱之為”辯證法“，最有名的論題是阿喀琉斯追不上烏龜、飛矢不動，以證明運動不可能。此外，恩培多克勒劃時代的貢獻是發現了日食和日夜成因。雅典第一位哲學家是阿納克薩格拉，他對於月光和月食成因做出了正確解釋，在宇宙學上繼恩培多克勒之後提出了徹底的多元論，即宇宙間有無數不同的元素，還把非物質性的”心智“作為宇宙一切事物的主宰。這樣西方哲學的心物二元論正式出現。

公元前5世紀下半葉，醖釀超過一個世紀的自然哲學終於成熟，達到第一個高峯---原子論。原子論的始祖其實是德謨克利特的老師留基伯，他們師徒最重要的貢獻是提出了”大虛空“（真空、空間）和”原子“這兩個觀念。原子是不可分割的，有無數不同大小、形狀的原子，但其構成”質料“都一樣。萬物有生滅，但原子永存不滅。這樣的天才觀念令人驚歎。

                                              三

公元前530年，畢達哥拉斯神秘教派誕生。它結合永生追求與宇宙奧秘探索的教義，日後成為柏拉圖哲學及其學園背後的精神力量。在此強大力量鼓勵下，以嚴格證明為特徵的希臘數學誕生，它最後成為整個古希臘科學傳統的源頭。畢達哥拉斯的人格、事蹟、信念，更成為西方智慧的象徵和泉源，其影響歷代相傳不衰，一直延續到開普勒和牛頓。

畢達哥拉斯幼時有東方經歷，曾經在埃及、巴比倫學習，然後建立了自己的教派。其教派有嚴格制度和紀律，對外嚴格保密。其教義的核心觀念是：人的靈魂是生命的主宰，是永存的。通過冥想、數學與哲學探究可以恢復純潔的靈魂，人死後靈魂根據修煉的深淺而投身於不同等級的生物，即所謂“轉世”。人的個別靈魂是宇宙大靈魂的”流溢“。

畢氏教派的特點是宗教與科學並重，二者融為一體。這可能是它對信眾和學者都具有強大魅力的秘密。按照教義，人的靈魂本來就是宇宙整體的一部分，要使受世俗軀體污染的靈魂得以分享宇宙的條理、秩序，從而得以自由自在，長存不滅，首先就要充分明白宇宙本身的原理、結構和奧秘。柏拉圖説：”愛知者親近神聖秩序“。因此，宇宙奧秘的探索便成為潔淨身心、修煉靈魂的法門。

畢派認為數目是萬物的基礎---一切可知事物都有數目。數先生出幾何形體，後者才轉而化為天體和地上萬物。偶數代表混沌和邪惡，奇數代表秩序和善良。4代表公義，5代表婚姻，10是”偉大、完整、無所不能“的數目，因為它由1、2、3、4構成，而這四者是構成幾何形體以及音階比例的基礎。將數目觀念應用到可見形體而有幾何學，到可聞者而有音樂理論，到天體運動而有天文學。

畢派認為，1相當於沒有大小的點，2相當於直線---兩點決定直線，3相當於平面---三點決定平面，4相當於四面體或空間。四面體、立方體、八面體、12面體、20面體分別對應於火、土、氣、天球的整體、水。天文學即自然哲學傳統中的宇宙論，畢派認為宇宙中心有個”中央火球“，恆星在最外層環繞運行，其內是五大行星，然後依次是日、月、地球，以及最接近火球的”反地球“。

畢達哥拉斯所建立的，是一個組織嚴密，思想深刻，具有整套人生觀、靈魂觀、宇宙觀的龐大教派。它不但在當時聲勢浩大，而且在畢氏去世後，通過傑出的後代傳人深刻影響柏拉圖及其學園，並且在此前後觸發了一場決定性的數學革命，由是開創了古希臘乃至整個西方文明的數理科學大傳統。這個大傳統在17 世紀經過再一次觀念上的大革命而蜕變為現代科學。

但是，諸如幾何學與天文學這些困難、高度抽象而又沒有明顯實際應用價值的智力探索，何以能夠捕獲柏拉圖和他的弟子的心靈，並且在學園中成為學術主流呢？事實上，在柏拉圖時代，有許多不同思潮風起雲湧於雅典。其中最有勢力的，是以言辭論辯技巧為尚的所謂“智者運動”；至於思想最鋒鋭、最能吸引年輕人的，則是柏拉圖最初的老師蘇格拉底，他所關心的是道德和政治。

智者和蘇格拉底對於抽象的數理天文都毫無興趣，認為是虛耗精力的不急之務。甚至柏拉圖才華超眾的大弟子亞里士多德也不好數學---他的哲學偏向於“目的論”，而他雄心勃勃的科學研究則以博物學為主。因此，學園的強大數理傳統絕非順理成章，而是在背離雅典思想風尚，亦即在“逆流而上”的情況下建立起來的。畢派學者何以能夠經歷一兩個世紀之久而仍然不隨流俗，維持輕忽現實而究心天外的傳統，實在很不尋常，需要探究和解釋。

在我們看來，解釋就在於畢派所首先發現，而柏拉圖所發揚光大的宗教與科學之結合，亦即永生追求與宇宙奧秘探索的相通。這一結合為原始的希臘宗教締造了一個嶄新的，比前遠為高超奧妙的境界，同時也為數理天文的探究送上了絕大動力。柏拉圖《對話錄》中的《蒂邁歐篇》是一部科學百科全書，其中有一段畫龍點睛的話：“倘若他對於知識與智慧的熱愛是認真的，並且運用心智過於身體其餘部分，那麼自然就會有神聖和永恆的思想；倘若他獲得真理，就必然會得到人性所能夠賦予的最充分的永生。。。。。他就將得到無上幸福。”

畢氏教派即將覆滅之時，有一些人逃了出來，其中有費羅萊斯。柏拉圖就是從費羅萊斯和他的弟子阿基塔斯那兒獲得了畢氏學説、思想的。家世顯赫的柏拉圖，本來有意在政治上建功立業，但是老師蘇格拉底之死改變了他的命運，令他改變初衷，決定以思辨、學術、探索和追求理念的永恆國度為終身職志。這是希臘文明的大轉折----即其思辨、愛智精神從周邊進入核心，然後逐漸成為思想主流的轉折。柏拉圖正是處於這個時期當中的樞紐人物。

.柏拉圖對西方學術思想的深遠影響是通過《對話錄》和學園兩者產生的，這兩者有一個共同點---對數學的極端重視。這裏所謂數學，是泛指算術、幾何、天文、樂理等“四藝”，也就是以數學為核心的數理科學。此外，《對話錄》還充滿了對靈魂、前世、永生、天神等的討論。因此，柏拉圖所建立的西方學術傳統，是以科學與宗教兩者為核心，很顯然，這個大方向是從畢達哥拉斯教派那裏承接過來的。

柏拉圖學園並非以傳授知識為主的學院，而更接近於一羣地位平等的獨立學者的非正式聚會，其目的在於共同研討、論難，但也不排除對年輕學者的教導。柏拉圖樹立了辨析論難的學風，並且影響研討的主要方向。學園的研討以數學為主，有門楣上的警句為證：“不習幾何學者不得入此門。”畢氏學派與柏拉圖學園的結合，導致了西方第一次科學革命，那可以很恰當地借用柏拉圖對畢達哥拉斯的美譽，稱之為“新普羅米修斯革命”。這次革命，可以以它的成果---歐幾里得的《幾何原本》來代表。

                                     四

革命往往是由嚴重衝突所產生的危機引起，政治革命如是，科學革命也不例外。新普羅米修斯革命起源於算術與幾何兩方面的危機與挑戰，亦即無理數與幾何三大難題的出現。我們知道，“萬物皆數”是畢氏學派的最基本信念，而這“數目”只能是正整數，即所謂“自然數”；而分數的分子、分母也都必須是自然數。但是有一天，畢氏的學生髮現：如果直角三角形的兩條直角邊都為1，那麼它的斜邊的長度就不能表示為任何自然數之比，也就是説，它是一個無理數。

無理數的發現，對於畢氏教派是一個極大的震撼，因為這將使他們的基本信念面臨崩潰的危險！因此，這一發現被視為教派絕大的秘密，向外界泄露者等同叛徒而要被處死。然而，這一發現也激起了徹底瞭解無理數的好奇和決心，從而觸發了西方第一次科學革命。首先做出貢獻的是柏拉圖的老師特奧多魯斯，他證明了3---17之間的非平方數（即其方根並非整數者）的平方根都是無理數。他的學生泰阿泰德則證明了所有非平方數的平方根都是無理數，並且對無理數做了詳細分類。

幾何三大難題的挑戰和無理數危機大致同時出現，都在公元前5世紀中葉。這三大難題是：“圓方等積”問題，即求與圓有相同面積的正方形的邊長，也就是求所給圓的面積；“倍立方”問題，即求將所給立方體的體積加倍時，其新的邊長為何；“三分角”問題，即將所給角度三等分。這三個不可能用初等方法（即只用直尺和圓規）解決的難題，在一個多世紀時間裏，引起了幾乎所有重要自然哲學家、數學家的濃厚興趣，但涉及的主要是希臘本土學者。

真正接受三大難題挑戰的，是希臘第一位專業數學家希波克拉底。他證明了“倍立方”問題相當於連比例或者複比例問題。另一個有重大貢獻的是智者安提芳，他已經意識到內接正多邊形在邊的數目無限增加時，圓面積是其面積的“極限”，這成為日後尤多索斯和阿基米德更精確工作的基礎。另一位智者希皮亞斯則發現了稱為“求積線”或“三分線”的高次曲線，可用於解決圓方等積以及三分角問題。

學園出現後大半個世紀間，希臘數學出現了三個新方向：從平面走向立體，從個別證明走向系統方法，以及脱離直線與圓的限制，邁向圓錐曲線和高次曲線，乃至超越曲線的探究。尤多索斯對這些新發展做出了革命性貢獻，他建立了嚴格、普遍與系統的方法，其核心是比例理論與歸謬法，這日後成為希臘數學乃至天文理論的基礎與典範。此外，他還是利用幾何學來建構天體運行模型的第一人。無論在數學還是天文學上，他都是開創新時代的人物，堪稱為古希臘的牛頓。

尤多索斯的著作已經全部失傳，但阿基米德卻在自己著作中將發明歸謬法的功勞歸於他。他最重要的貢獻是提出了比值的精確定義和極限觀念。比值的定義之所以是一個問題，是因為要將“比例”應用於幾何形體的測比，就必須把它由希臘人心目中的“數目”（只能是自然數）擴展到“實數”（包括有理數和無理數）。尤多索斯的比例理論，為比值a/b在實數範圍內找到了嚴格定義，即找到了清楚劃分兩組有理分數的“分割數”。它事實上就是19世紀的所謂“狄德金分割”。這一劃時代的發明，為幾何學中各種線段的精確測度奠定了穩固基礎。

要研究曲線所包圍的面積，或者曲面所包圍的體積，最基本的辦法是用多邊形（多面體）來逼近曲線（曲面）。但到底何謂“逼近”？尤多索斯為解決此問題提出了歸謬法。此法的核心是“尤多索斯--阿基米德引理”：從任何數值減去其本身的一部分，再從餘數減去同樣比例部分，如此反覆進行，那麼最後所剩餘數必將小於任何預先決定的數值。把它用於以兩組多邊形分別逼近兩條不同曲線，然後通過多邊形面積的比較來作相應曲線所圍面積的比較，並且用歸謬法（即如果A既不大於亦不小於B，則兩者必然相等），就可以嚴格證明後二者的精確關係。

到了尤多索斯，希臘科學的基本精神---追求非常嚴格的證明，專注於幾何形體的測比---就確立了。這就是所謂的“代數幾何學”。這種精神集中反映在集雅典時代數學大成的《幾何原本》。尤多索斯還有兩位非常優秀的學生---門那木發現了拋物線、雙曲線和橢圓三種圓錐曲線，另一個學生則證明了“求積線”可以用於求圓面積。天文學因為所涉及的自然現象規律性最強，因此有最大可能與數學結合。

公元前4世紀中葉，尤多索斯提出第一個天體運行數學模型，這是個革命性創舉：人不再單純以言辭解釋自然，而首次擬想自然圖像（或曰原理），然後利用數學模型來模擬自然現象。而希臘天文學是建立在東方文明，尤其是巴比倫天文學基礎上。古埃及天文學一片空白，對後代的影響主要是每年365天的日曆和每日劃分為日夜兩半，每一半又分為12份。而兩河流域的天文學則發達得多。

從公元前18世紀開始，巴比倫有11個世紀的量化觀測的發展，此後系統、準確的觀測大量增加，發現了各種現象規律，最重要的是發現了各種天文週期，比如金、木、水、火、土的會合週期。到尤多索斯時，希臘天文學遠遠比不上巴比倫的水平與成就，但是到柏拉圖為止的許多學者已經取得了很大進步。柏拉圖提出了“天體運行軌道是由某些基本圓形軌道複合而成”的思想，統治了西方天文學幾乎兩千年之久。

尤多索斯據説在公元前380年左右赴埃及向神廟中的祭司學習天文，並且做做實際觀測，前後達18個月之久，回來建立了觀象台，並且寫出了《天象》一書。他建構的人類歷史上第一個天體運行幾何學模型---“同心球面”模型，雖然因為過於複雜而在100年之內就被放棄，但是空間模型建構理念則自此成為希臘天文學的主導思想。後來很多學者對尤多索斯的模型進行過修訂，包括亞里士多德，後者還提出了著名的“地心説”，認為地是球形，完全不動，居於宇宙中心。

這樣，到了公元前3世紀末，主要由於尤多索斯在幾何學和天文學上的突破，希臘科學不但累積了大量知識和建立起深厚傳統，而且已經發展出系統性的新方法。西方第一次科學革命可以説已經處於飛躍發展的前夕了。隨後亞歷山大城“學宮”就為它的躍升提供了跳板。柏拉圖去世以後，亞里士多德另起爐灶，開辦了“呂克昂學堂”，形成了新的學派和傳統。亞里士多德哲學在中世紀佔據了主導地位。

                                     五

希臘科學萌芽於雅典，開花結果卻在亞歷山大城，我們今天稱頌為“希臘奇蹟”的就是亞歷山大科學，它是與歐幾里得、阿基米德等名字緊緊聯繫在一起的。曾經是亞里士多德學生的亞歷山大大帝的東征摧毀了民族藩籬，從而將希臘文明散播到廣大地區。他死後帝國一分為三，部將中最有文化意識的是立足於埃及的托勒密。從公元前3世紀開始，希臘文化重心就逐步從雅典轉移到尼羅河口的亞歷山大城，托勒密所建立的學宮成為西方世界的學術中心。

由於王室的長期資助，亞歷山大城的學術發展獲得了非常優越和穩定的環境，西方古代科學因此攀上巔峯。除了幾何學、天文學之外，還有阿基米德的靜力學和幾何光學，埃拉托色尼和喜帕克斯的地理學，斯特拉託的機械學。此外，亞歷山大還有極為活躍的醫學傳統，它上承希波克拉底，下開蓋倫，還開啓了西方的解剖學和生理學傳統。

建立亞歷山大學宮的構想，來自呂克昂學堂，這與亞里士多德的繼承人亦即第二任校長的兩位弟子有密切關係。其中一位是斯特拉託，他發展了非常接近現代觀念的真空理論，形成了亞歷山大的強大機械學傳統，那包括氣體力學、液體力學、彈道學、發石機設計和製造等等。學宮後來以數學、天文學和實證科學著稱，還開創了將科學與應用技術結合的新傳統，無疑與斯特拉託的廣泛影響有密切關係。

公元前3世紀，作為古希臘理性精神代表的幾何學達到了巔峯，這一時期主要數學家有3位：集雅典數學大成，起承上啓下之功的歐幾里得；應用歸謬法將度量幾何學發揮到極致的阿基米德；研究圓錐曲線精細入微的阿博龍尼亞斯。他們的成就都不限於數學，不過方法與精神還是以幾何學為核心，即是將其推理模式應用、擴展到自然現象上去。阿基米德與阿博龍尼亞斯都屬於歐幾里得徒孫輩。

歐幾里得13卷本的《幾何原本》，既非純粹的幾何學著作，也不是初級教材，更非原創性專著。它其實是將此前所有已知數學成果加以編纂而成。歐幾里得最重要的貢獻，就是將此前許多思想家的推論、定理、結果，以相同結構熔鑄於一爐，形成渾然整體---最少，這是他的目標和理想。這一理想深刻影響了西方科學，從此，科學被視為一個具有統一邏輯結構的系統，並且與數學嚴格聯繫了起來。

《幾何原本》全書接近500道題，都是根據10條公設和公理以及相關定義推斷出來，它們形成了一個龐大而嚴密的邏輯結構。不過書中某些定義有欠周全，更重要的是邏輯結構還不完備。例如他並沒有列出所有不可定義的基本觀念，更沒有意識到著名的第五公設並非必然。直到20世紀前夕，希爾伯特初次重新全面整理幾何學系統，使它更為簡潔和嚴格。需要強調的是，本書的嚴謹推理形式不一定是歐幾里得所發明。

《幾何原本》包含了3個傳統---幾何學、畢氏學派的數論以及巴比倫的“幾何代數學”。古希臘數學可以説是全面幾何化的。歐幾里得還有許多其他著作，包括最早研究透視法的《光學》，可能是解析幾何學雛形的《推論》，涉及天體運動與球面幾何學的《天象》，討論分割平面圖形的《圖形分割》以及研究圓錐曲線的《面上軌跡》，等等。

.與集希臘數學之大成的歐幾里得相比，阿基米德則是具有無比旺盛原創能力的科學家，他將《幾何原本》的推理方法與精神發揮到極致，將之應用於靜力學和許多其他方面，並且都做出了卓越貢獻。事實上，他應該是古代最偉大的科學家，因為他在數學、物理學、天文學、機械科學等各方面都有超卓成就，其嚴謹和精妙令人歎服，其重要性與價值也歷久不衰。

阿基米德留下了11部傳世作品，包括9部數學和2部靜力學，此外失傳的也有七、八部。這些作品都是原創性論文或專著，所以篇幅簡短，題材也高度專門。其結構仿照《幾何原本》。從其作品來看，阿基米德是一位幾何學家，特別是“度量幾何學”專家，因為他最精妙的發現，都是與幾何形體的度量，即其長度、面積、體積密切相關。他指定自己的墓碑刻上一個為外切圓柱體包圍的球，藉以紀念他發現了二者表面積與體積之比都是3:2，而它決定於球面面積為圓周率乘以半徑的平方再乘以4.

《宇宙沙數》與《數牛問題》可能是阿基米德的即興之作，前者估計宇宙容納的沙粒數目為10的63次方，後者提出了一個有8個未知數的不定方程，一個可能解也涉及驚人的巨大數目。有6部著作探究了各種幾何形體的量度，包括：圓、球體、圓柱體、圓錐體、圓錐曲線及其旋轉體、螺線，等等，基本上屬於今日大學微積分課程水平，但是在2000多年前，其每一項成果都是發揮絕頂智力的精妙之作。這差距主要是因為古代缺乏符號算式、解析幾何、微積分等強有力現代數學工具，以致於每一個發現和證明都必須獨闢蹊徑。

在《圓的測度》中，他嚴格證明了（1）圓面積等於半徑乘圓周之半；（2）223/71<圓周率<22/7。阿基米德還是第一位數學物理學家，他這方面的成就完全是橫空出世。他在浴盆中找到靈感的故事膾炙人口，但是他還找到了更為根本的液壓原理，並據此證明靜止的液麪必然是以地球中心為中心的球面。他還研究了各種平面形體的重心，包括梯形、平行四邊形、三角形、拋物截面，等等。可以説，在靜力學方面，他基本上已經達到現代水平了。

與阿基米德相比，才華相若的另一位科學大師阿博龍尼亞斯則寂寞多了，這應該是因為在當時他的領域太過專門和高深，一般人難以明白其中奧妙，而今日則又已經成為明日黃花之故吧。他堪稱圓錐曲線專家，有七卷《圓錐曲線》傳世，第八卷失傳。在沒有方程式可依據時，如此精深的研究，需要超卓的智力和精微的思考。不幸的是，他的其他作品幾乎都失傳了。

不能不提到與柏拉圖爭輝的另一位大哲學家亞里士多德。他對於大自然的研究雄心勃勃，其中一個主要領域是物理學。然而很不幸，由於他深受目的論思想，特別是所謂“四因説”的影響，因此幾乎他所有與物理學相關的觀念、結論都是錯誤的，在後世都成為反面教材，他的權威地位也成為科學進步的最大障礙。阿基米德等人卻全然不同：他們承受和醉心的是純粹的數學傳統。在此傳統中所發現的靜力學（包括浮體力學）完全經得起時間考驗，成為古代自然科學最主要成就之一。

                                          六

由於尤多索斯開創性工作的刺激，更加上亞里士多德及其弟子的推動，希臘天文學從公元前4世紀中葉開始脱離巴比倫的傳統模式獨立發展，而且和數學一樣，從公元前3世紀開始，其中心就轉移到亞歷山大去了。不過，以幾何模型來“重現‘天體運行景象並非其全部，事實上，以理性精神來探索、解釋天象背後的成因，以及測度有關的數據，也同樣是此時期的重要方向。換言之，希臘天文學不僅僅是”數學性“的，也同樣有其”物理性“的一面。

事實上，亞歷山大天文學最少有三個相關但不相同方向的發展：1.以奧托呂克思、歐幾里得為主要人物的球面幾何學；2.以阿里斯它卡斯和埃拉托色尼為主要人物的天體測量；3.以喜帕克斯為代表的天體運行模型建構---但必須強調，他在實際觀測和”物理性“探索的工作同樣重要，甚至更為突出。由於這一大批學者所奠定的寬廣基礎，天文學到公元2世紀終於產生像曼尼勞斯和托勒密那樣的大師，結出豐碩成果。

在此時期最重要的天文實證研究，走了一條和”觀星“傳統完全不同的道路：它採取現代科學態度，要從觀測所得到的數據來”推斷“某些本質數量，即距離和大小---事實上，從一開始，所有觀測就都是圍繞着明確目標而展開。和阿基米德的靜力學一樣，這是希臘理性精神應用於自然現象的最佳典範。我們所指的，就是”古代哥白尼“阿里斯它卡斯的工作。他最突出的貢獻，是首先提出了日心説。但由於超越時代2000年而沒有得到任何支持。

阿里斯它卡斯真正重要且發生廣泛影響的工作是《論日月之大小及距離》。此書在結構上受《幾何原本》影響，通過嚴格證明求得地球、日、月三者的直徑，以及日距、月距這5個天文數據之間的比例的上下限。另一位廣博的學者埃拉托色尼準確測得了地球的周長。他還發明瞭至今被認為很有效的所謂”埃拉托色尼篩子“---決定素數的方法。另外，他首先使用”地理學“這一詞語，被尊為“地理學之父”。

天文學大師喜帕克斯在希臘天文學上的地位，與尤多索斯在希臘數學上的地位大致相當。他的星表在公元前130年編纂完成，準確至20’。他最重要的天文學發現是地軸的“進動”，其得到的進動率與現代值相當接近。他運用“均輪--本輪”模型來描述複雜的月球運動。他還是三角學先驅，他編制的“弦表”意味着平面三角學的萌芽。喜帕克斯是托勒密王朝科學傳統的殿軍。

公元前212年，阿基米德為羅馬士兵所殺，象徵着時代鉅變的來臨：崇尚思辨的希臘文明正走向終結，無情的羅馬遲早將掃蕩一切障礙，建立大一統帝國，在其中，城邦和區域文化消失，為大眾化宗教所取代。不過，希臘科學並沒有立刻衰落下去。事實上，經過接近四個世紀的發展，它已經建立起強韌傳統。所以，在其後漫長的6個世紀，它仍然人才輩出。然而，在陌生艱苦環境中的科學，卻再也無力獨領風騷，走上了日趨沉淪的道路。

比喜帕克斯稍晚的迪奧多西留下了一部三卷本的球面幾何學教本《論球面》。此書第一卷相當於《幾何原本》第三卷，但是將平面的圓圈立體化成為球面，由是圓的直徑相當於球面上的“大圈”，弦相當於球面的切面亦即“小圈”，平面上的許多定理由是可以在球面上找到對應。其餘兩卷是與天文學相關的球面幾何學。公元1世紀的赫倫則是亞歷山大城機械學傳統的繼承者。他還寫出了《反射光學》。

柏拉圖之後，希臘哲學出現了大轉向，主要興起了3大派別，即伊壁鳩魯創立的伊壁鳩魯學派，芝諾創立的斯多葛學派，以及懷疑論派。它們的共同點是極為注重人生道德與倫理，將眼光投向此生與社會。柏拉圖學園本身，也逐步陷入懷疑論學風，專以攻擊其他哲學思想為能事。這對數學與科學的發展顯然是極端不利的。

羅馬人務實，專注於法律與政治，雖然對先進的希臘文化相當仰慕，但他們對大自然本身缺乏好奇和熱誠，因而產生不了追求新發現的衝動，而僅僅視科學為有用的常識。因此，科學在羅馬的傳播僅限於其粗淺和表面的部分，這就是翻譯和重編希臘的各種手冊，至於其深刻、精微和先進部分則全然無從窺見。即使西塞羅這樣的求知慾最旺盛的羅馬人，也都滿足於從手冊獲得希臘科學知識。

接下來出現的新畢達哥拉斯學派和新柏拉圖學派，與其説是科學，不如説是神學。只有尼高馬可斯值得一提。他的《算術導論》是西方第一部獨立成書的算術著作。他對數目進行了詳細分類，還記錄了各種有關數列和級數的定則。他讓算術脱離幾何，獲得了獨立地位。他在書中使用阿拉伯而不是希臘數目字。書中還出現了第一個乘數表。但他卻拋棄了嚴格證明的觀念，這不能不説是一個大倒退。

西方古代科學奠基於雅典，發揚光大於托勒密王朝的亞歷山大城，而完成於羅馬帝國治下的亞歷山大。説“完成”，主要指天文學家托勒密，特別是他的《大彙編》。此百科全書式的鉅著融匯了大量前人工作與作者自己的觀測和理論創見，構成了一個宏大、完整的宇宙體系，直到15世紀仍然為西方學術界宗奉。在托勒密完成大業之後700年間，竟然再無值得稱道的天文學家出現。換言之，在古代西方，他竟然成了絕響。

公元1世紀的曼尼勞斯的《論球面》是球面三角學的開山之作。第一卷是有關球面三角形的幾何學，其中包括3內角之和必然大於180度的證明。第二卷是球面三角與天文學關係的論述，內容相當於迪奧多西《論球面》第三卷的推廣。最重要的第三卷論述球面三角學。全書不僅推理嚴謹，而且構思精妙，可以視為歐幾里得平面幾何學在球面上的再現。不過他注重實用，偏離了古希臘純粹幾何學傳統。

《大彙編》共13卷，約40萬字，包括20個表，近200幅圖解，基本上是一部專業數理天文學彙編。主要內容有：1.球面三角學；2.天文觀測數據，包括歷史資料和本人觀測數據；3.由觀測所決定的星表；4.計算所得到的大量天體運行數表；5.前人（主要是喜帕克斯）理論工作述評；6.天文儀器的原理與構造。它實際上相當於一套專業天文學百科全書。

托勒密發展了三角學，編制了一個非常精確的弦表。另外他還形成了函數觀念，甚至出現了多變量函數。《大彙編》引用的天文數據時間跨越千年，觀測地點也相距萬里。他依據的原理是“本輪---均輪”模型。為了追求精密，模型變得越來越複雜。但總起來説，這是人類以量化方式瞭解自然界動態現象的最早嘗試，是非常成功的，因此激起了無數後來者的好奇與雄心，最後令他們超越了原來的觀念侷限，更上一層樓。

托勒密星表一共列出分佈在48個星座中的1022顆恆星，每一顆都有位置描述、黃經、黃緯以及星等（表觀亮度從1---6等的劃分）。他憑肉眼訂定的星等相當精確，3等以上頗接近現代值。行星理論是喜帕克斯未曾涉足而由托勒密開創的領域。《大彙編》之外，托勒密還有5種其他天文學專著，其中《數表手冊》是《大彙編》裏面所有與天文、數學計算有關的數表的集子。他還有8卷本的《地理學》，是古代地理學的典範。

西方地理學真正成為一門獨立學科，要從斯特拉波算起。他在公元1世紀完成的17卷《地理志》成為古代西方地理學內容最豐富，也最重要的百科全書。馬林諾斯提出以方格網作為地圖座標，其中橫方向代表經度，縱方向代表緯度。托勒密時代的“已知世界”約為地球表面的四分之一，他從地球儀上知道，這樣廣大的區域是高度彎曲的。為了在平面上準確表現，他採用了相當於圓錐投影法和透視法的方案繪製地圖。這對西方地理學、繪圖法有決定性影響。

托勒密還以其勤懇和博學寫出了5卷本《光學》。他討論了視覺原理、反射和折射現象，最值得注意的是它題材之寬廣以及與現代實驗精神之接近。這特別表現在儀器的設計與應用：他不但製造實驗儀器來研究由雙眼並用而產生的立體視覺，而且已經懂得應用凸透鏡、凹透鏡以及它們的組合來成像，並且試圖發現有關影像規律和大小的規律，更曾經用一個周圍刻上角度度數的圓盤來研究光線以不同入射角在不同介質之間的折射，從而得到接近於現代斯涅爾定律的結果。

托勒密的系統雖然輝煌壯觀，但説到底，羅馬時代並不屬於科學與哲學，而屬於帝國與宗教，所以在它之後，西方科學便進入夕陽階段。不過，這仍然是一段漫長時光，而且不乏動人心絃的晚鐘，像3---4世紀的傑出數學家丟番圖和泊布斯。丟番圖的13卷《算術》有6卷傳世，使我們得以窺見古代西方代數學雛形的誕生。此書主要解決兩類代數方程：1.決定型的一次和二次代數方程，包括聯立方程；2.不定型的方程和相關問題。

此書最重要的創新在於符合的應用，例如未知數、相等、倒數、二次---六次冪、相減等運作，在書中都用特殊符合表達，因此就出現了類似於方程式的數式。不過，它所應用的符合種類不足（例如只有一個未知數符號，加、乘缺乏符號，相除仍然用文字表達，等等），所以，這還只是“類方程式”；而且，它仍然未曾意識到二次方程有兩個