你知道為了測博爾特的速度，我們有多努力嘛？_風聞

原創：中科院物理所

作者：Steven Strogatz

翻譯：Nothing

審校：loulou

2008年北京奧運會，博爾特獲得冠軍

“藝術是讓我們認識真理的謊言。”畢加索（Pablo Picasso）如是説。同樣的話也適用於微積分，微積分可以幫我們打造認識自然的模型，但它不見得可以真實的反映自然。為了説明背後的原因，不妨讓我講一個關於地球上最快的短跑運動員的故事。

2008年8月16日，在北京的一個無風的夜晚，地球上最強的八名短跑運動員站在100米跑道的起跑線前。他們中有一位名為尤賽恩•博爾特的牙買加短跑運動員，他是這項賽事的一個新面孔，年僅21歲。之前，博爾特更多的是以200米短跑運動員的身份出現在公眾面前，但是他花了幾年的時間説服教練讓自己改練100米，前一年他就已經是100米短跑這個項目中相當有實力的選手了。

其實他並不是一個典型的短跑運動員。他身高195cm，身材頎長，步幅巨大。小時候，他專注於足球和板球這兩項運動，直到他的板球教練注意到他的跑步速度並建議他試試田徑。作為一個少年，他的跑步成績一直在進步，但他一直沒有特別認真地對待這項運動。他又憨又淘氣，喜歡惡作劇。

在北京的那個夜晚，在介紹完所有運動員之後，體育場一篇寂靜。所有運動員都在起跑器上做好了準備姿勢，隨着一聲槍響，比賽開始。

博爾特聽槍起跑但是啓動慢了一點，起跑反應時間排在第七位。接着他開始加速，前三十米他已經衝到了中間位置。接下來他像一輛大馬力機車一樣繼續加速，他逐漸和其他選手拉開距離。

在80米處，他回頭望月看了一眼其他對手。當意識到終點就在眼前時，他明顯的放鬆下來，雙臂垂在身體兩側，在衝過終點時他抬手拍打胸口。顯然，博爾特並沒有用盡全力就拿到了冠軍，這使得人們好奇他到底可以跑多快。這次比賽中他創造了9.69秒的百米世界紀錄。

他跑的有多快？9.69秒跑完100米相當於平均速度10.32m/s。也就是説大約37km/h。但這是他整個比賽中的平均速度，他在起跑時速度較慢但是在中間部分速度較快。

通過對每十米內的運動情況進行分析可以得到更詳細的信息。他在1.83秒內跑完前10米，相當於平均速度為5.46米/秒。他在50到60米，60到70米和70到80米之間速度最快。在這段距離內，他在0.82秒內跑完了10米的距離，平均速度為每秒12.2米。在最後10米，他放鬆下來，平均速度降至11.1m/s。

現在人們更喜歡看圖表，因此，與其像我們剛才那樣仔細研究數字，不如把它們形象化，這通常能提供更多信息。下圖顯示了博爾特跑過10米、20米、30米等距離的經過時間，直到他在100米處通過終點線用時9.69秒。

我把這些點用直線連接起來，但要記住的是隻有這些點才是真實的數據。這些點和它們之間的線段一起形成一條折線。前端的折線斜率比較小，對應於比賽開始時博爾特較低的速度。當我們的視線向右移動時發現折線彎曲；這意味着他在加速。然後，折線中出現了一段直線，這表明他在比賽的大部分時間裏都保持着高且穩定的速度。

人們自然會想問他什麼時候跑得最快，在賽道上什麼地方跑得最快。我們知道他十米內最快的平均速度，發生在50到80米之間，但這不是我們想要的；我們對他的最高瞬時速度更感興趣。想象一下，烏塞恩·博爾特戴着速度表。他什麼時候跑得最快？那到底有多快？

我們要找的是一種測量他的瞬時速度的方法。這個概念看起來幾乎是自相矛盾的。任何時刻，博爾特都在一個固定的位置。他被固定住了，就像在快照裏一樣。那麼説他那一刻的速度意味着什麼呢？位移只能在一個時間間隔內發生，而不能在一個瞬間發生。

瞬間速度之謎可以追溯到大約在公元前450年的芝諾和他那可怕的悖論。回想一下，在他關於阿基里斯和烏龜的悖論中，芝諾聲稱，一個跑得快的人永遠也無法超越一個跑得慢的人，不管在北京的那個夜晚博爾特跑得有多快。在他的飛矢不動悖論中，芝諾認為飛行中的箭永遠不會移動。數學家們仍然不確定他試圖用他的悖論來説明什麼觀點，但我的猜測是，瞬時速度的概念困擾着芝諾、亞里士多德和其他希臘哲學家。他們的不安也許可以解釋為什麼希臘數學總是對運動和變化保持沉默。像無窮大一樣，這些討厭的話題似乎已經從日常的談話中被排除了。

芝諾之後兩千年，微分學的創始人解決了瞬時速度的難題。他們直觀的解決方案是將瞬時速度定義為一個極限——特別是在更短的時間間隔內平均速度的極限。

為了使這一方法取得成功，我們必須假設他在賽道上的距離是連續變化的。否則我們正在考察的極限就不存在了，而且隨着時間間隔的縮短，結果也不會變得合理。但是，作為時間的函數，他的距離真的是連續變化的嗎？我們並不能確定。我們僅有的數據是博爾特在跑道上每10米標記處運行時間的離散樣本。為了估計他的瞬時速度，我們需要超越這些數據，有根據地猜測他在這些點之間的位置。

進行這種推測的方法叫內插法。其思想是在可用數據之間繪製一條平滑的曲線。換句話説，我們連接已知的數據點，但不是像我們已經做的那樣用直線段連接，而是用平滑曲線穿過這些點，或者至少是讓我們繪製的曲線非常靠近數據點。這條曲線的幾個前提是：它應該是平滑的；它應該儘可能靠近所有的點；它應該可以體現出，博爾特的初始速度是零，因為我們知道他在蹲姿時是靜止的。有許多不同的曲線符合這些標準。統計學家設計了一系列將平滑曲線擬合到數據上的技術。它們都給出了相似的結果，而且由於它們都滿足了我們提到的那些前提，所以我們可以選擇其中一個。

下面是一個滿足所有要求的平滑曲線示例。

由於曲線光滑是光滑的，所以可以計算出各點的斜率。所得圖表給出了烏塞恩博爾特在北京創紀錄比賽的每一瞬間的速度估計。

這表明博爾特在比賽的四分之三處達到了每秒12.3米的最高速度。在那之前，他一直在加速。在那之後，他減速了很多，以至於當他越過終點線時，他的速度降到每秒10.1米。這張圖表證實了大家所看到的；博爾特在接近終點時，特別是在最後20米時，速度明顯減慢。

第二年，在2009年柏林世界錦標賽上，博爾特以9.58秒的驚人成績打破了在北京創造的9.69秒的世界紀錄。由於人們對博爾特破紀錄抱有很大期待，生物力學研究人員手持激光槍記錄了博爾特的比賽，這些高科技儀器使研究人員能夠以每秒100次的頻率測量短跑運動員的位置。當他們計算博爾特的瞬時速度時，他們發現：

整條曲線上的小波動代表了跨步過程中不可避免的速度上下波動。畢竟，跑步包含一系列的騰空和落地。每當博爾特一隻腳着地，瞬間剎車時，他的速度就變了一點，然後向後蹬地，他就再次騰空。

儘管它們很有趣，但對於數據分析師來説，這些小的波動是討厭並且令人困擾的。我們真正想看到的是趨勢，而不是波動，在收集了所有的高分辨率數據並觀察了這些波動之後，研究人員無論如何都必須清除它們。他們把它們過濾掉，以揭示更有意義的變化趨勢。

對我來説，這些波動還有更多的意義。如果我們試圖把測量值的分辨率提高到非常高，如果我們在時間或空間中以極高的精度來觀察任何現象，我們就會開始看到各種不平滑的現象。在博爾特的速度數據中，整體的趨勢很平穩。同樣的事情也會發生在任何形式的運動中，如果我們能在分子尺度上測量它。在這個水平上，運動會變得不平穩。微積分將不再有什麼信息可告訴我們的，至少不是直接的信息。然而，如果我們關心的是整體趨勢，那麼消除這種抖動就足夠了。微積分使我們對宇宙運動和變化的本質有了深刻的瞭解，這證明了光滑的力量，儘管它可能是近似的。

這裏還有最後一點內容。在數學建模中，就像在所有科學中一樣，我們總是要對什麼值得關注，什麼要被忽視掉做出選擇。伽利略發現了沿着斜坡滾動的球的運動公式，但要找到它，他必須忽略摩擦力和空氣阻力。艾薩克•牛頓用微積分和他的運動定律和引力定律來解釋為什麼行星繞着太陽作橢圓軌道運動，但要做到這一點，他必須忽略太陽系中所有其他行星相互競爭的引力。抽象的藝術在於知道什麼是本質，什麼是細節，什麼是信號，什麼是噪音，什麼是趨勢，什麼是擾動。這是一門藝術，因為這樣的選擇總是涉及到冒險的因素；略去某些因素的做法和欺騙之間只有一線之隔。像伽利略和牛頓這樣最偉大的科學家，正是沿着懸崖前進。

原文地址：

https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/