萬有引力簡易計算DIY（二）——我們是如何發現並糾正space.com的數據錯誤_風聞

原創：牧夫天文

原作：徐鵬暉

編排：葛明紅

雖然上期閲讀量沒有達到預期值，但是讀者朋友們的留言呼聲很高，希望能將這個欄目開下去，所以筆者決定回來繼續寫這個系列，基本保證兩週一更的頻率，歡迎關注。

另外本期開頭先針對上期部分讀者留言中的問題進行解答：

有讀者反映説這個式子左邊的替換沒看懂，其實這個替換用到了這個式子：

這個是圓周運動中所需的向心力與運動半徑、週期、質量的關係，與此類似的還有以下的式子：

這些式子還會在下文出現，具體後面細講。用這個式子替換到左邊的含義為“萬有引力提供小物體做圓周運動的所需的向心力，兩者大小相等”。

下面正式開始本期內容。另外如果沒有特殊説明，以下默認m1>>m2以保證計算結果的嚴謹性，原因詳見上期的説明。

上期回顧：（插入上期鏈接）

去年9月底的時候，我們翻譯了一篇space.com關於TESS發現山案座πc的文章。這篇文章引用了在預印本網站arXiv.org上的一篇論文的研究結果，但是好巧不巧的是，space.com的原文中用來描述軌道的兩個數據竟然對不上！（Σ(っ °Д °;)っ，筆者當時就這個表情）

（space.com的原文，時至今日仍留着錯誤的數據沒有改動）

文中説山案座πc的軌道半徑約為0.07AU，然後這一距離比水星的到太陽的距離小了約50倍。如果拿這兩個數據一乘就會發現得到的水星軌道半長軸有3.5AU，地球也才1AU,這説明水星居然成了外行星……（筆者曾經一度以為自己的計算能力出了問題，0.07×50應該=0.35？……(￣▽￣)”）

這也就是説0.07AU和1/50於水星軌道半長軸這兩個數據至少有一個有問題，但是到底是哪一個呢，還是兩個都有問題？這個時候就需要原論文童鞋出來發言了。於是我們去arXiv.org網站找到了這篇文獻並且把pdf下載了下來。在論文裏關於山案座πc的軌道的描述中筆者找到了這樣幾個數據【1】：

（圖上劃線部分翻譯：每個對山案座π進行觀測的通道都探測到了約300ppm的信號值，週期約6.27天，信號時長3小時。）

（翻譯：山案座π是一顆裸眼可見的G0V（這個是它的光譜型）恆星，距我們約18.27光年，質量約為1.1個太陽質量，半徑約為太陽的1.1倍。）

縱觀全文似乎沒找到有關山案座πc的軌道半徑的描述，怎麼辦？但其實現有的數據加上上期的公式結論已經足夠，下面是計算過程（想跳過數學運算的讀者可跳至運算小結）：

將上面兩式合併並將數據帶入，可得

運算小結：

結果在誤差範圍內，所以相互衝突的兩個數據裏面，0.07AU這個數據應該是沒有問題的。

因此1/50於水星軌道半長軸這個説法有問題。具體要改成多少就得請水星老鐵發言了。據查水星的軌道半長軸為0.387AU【3】。兩者一比約為5.63，考慮數據準確度問題就取個整，約為5倍。

所以看起來應該是space.com的小編或者原文作者一時手抖加了個零……至此本案圓滿告破。

其實將圓周運動公式和萬有引力公式結合起來還能得到很多有用的結論，下面列舉最常用的幾個。

1、速度關係

在圓周運動中向心力和線速度有如下關係：

將它和萬有引力公式聯立，

兩邊消元整理可得

然後將這個v-r關係轉化成圖像

（圖中數據以地球為例，橫座標單位為米，縱座標單位為米每秒）

當然，在地球半徑以下的數值是沒有意義的，畢竟沒有什麼飛船或者衞星能在地球內部飛行……

從這一分支下去可以引申出三個宇宙速度的來源乃至對引力彈弓的解釋，這個將在以後的推送中介紹。

2、週期關係

當然圓周運動的向心力公式還可以有另外的形式：

同樣將它和萬有引力公式聯立，

可以得出結論

這和我們的常識也是相符的，離地球越遠，繞一圈所需的時間就越長。對於球形星體，這一公式甚至能用來直接估計星體的質量。在地面上通過望遠鏡觀測等手段確定天體直徑，然後通過探測衞星上的激光高度計可得知軌道半徑，之後只要記錄衞星繞軌一週的時間就可以估算天體的大致質量了。

3、角速度關係

與角速度相關的圓周運動公式

emmmmmmmmmmm

大家應該知道接下來要幹嘛了吧（瘋狂暗示(～￣▽￣)～）

得

同樣將這個ω-r關係轉化為圖像

（圖中數據以地球為例，橫座標單位為米，縱座標單位為rad/s）

可以看出這不是一個線性關係，而且是一個遞減關係。也正是因為ω-r關係的這個性質，太空電梯原本是一個不可能實現的構想。

誒？為什麼這麼説呢？

我們下期揭曉。

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另：據上海天文台消息，今晚9點到10點EHT（事件視界望遠鏡）項目將舉行新聞發佈會，公佈一項重大成果，據猜測可能是人類歷史上第一張黑洞照片，歡迎大家提前關注，明天牧夫天文公眾號也將推出此新聞的專題報道。

參考文獻：

【1】：Chelsea X. Huang, Jennifer Burt, Andrew Vanderburg, et al. TESS Discovery Of A Transiting Super-Earth In The π Mensae System.arXiv:1809.05967v1,2018

【2】：Wikipedia: Earth’s orbit, url: https://en.wikipedia.org/wiki/Earth%27s_orbit

【3】：Wikipedia: Mercury, url: 

https://en.wikipedia.org/wiki/Mercury_(planet)#Orbit,_rotation,_and_longitude

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Moon Occults Saturn Image Credit & Copyright: Cory Schmitz