中國福利彩票是簡單的概率問題嗎？_風聞

以雙色球為例。「雙色球」每注投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成。紅色球號碼從1--33中選擇；藍色球號碼從1--16中選擇。如果6個紅色球和1個藍色球全部正確，那麼中一等獎；如果6個紅色球正確但是藍色球不正確，那麼中二等獎。

因此，隨便買一注雙色球彩票，它中一等獎的概率為：

【雙色球歷史數據】

，我們可以下載到從2003年至今共1756期雙色球的中獎情況。其中，總投注額除以2就等於當期的投注數量。那麼，按照每一期的投注數量和每一注的中獎概率，我們可以用蒙特卡洛模擬來算出每一期的一等獎數量。先做三次模擬：

三次模擬之間的形狀有一些細微的差別，

平均值在6.04到6.1之間，標準差為4.2左右。他們的一項共同特點是：尾部縮小很快，且一期中很少有可能會開出超過20注一等獎。

20注一等獎？

我們再多做一些模擬，每次仍然模擬1756期，並且每次模擬都記錄下來有幾期開出了20注以上一等獎。為了編程方便，我們共做了1756次模擬，得到下圖：

可以看到，共有3.4%的模擬是沒有一期開出超過20注一等獎的，有21.8%的模擬開出了3次超過20注一等獎。在1756期裏開出9、10次超過20注一等獎的模擬，佔全部模擬的0.62%。

上面是理論的計算，但實際上發生了什麼呢？

可以看到，我們得到的1756期真實開獎結果有一條非常長的尾部——有許多期不只是開出了20多注一等獎，最多一次甚至開出了117注一等獎。

計算機的模擬和真實世界的結果畢竟還是有區別的，否則就不會有那麼多「黑天鵝」事件了。例如，每注彩票的選擇不是相互獨立的，還有選中一個號碼然後倍投的現象呢。此時，如果開出了20注以上的一等獎，也有可能因倍投的情況而使得該期的一等獎遠大於20注。但好在雙色球是一個可以用古典概率簡單算出來的東西，我們可以不去考慮到底開出了幾注一等獎，而是考慮開出20注以上一等獎的可能性有多大。用簡單的概率可以算出，一期開出超過20注一等獎的概率等於

為當期的總投注數量，

為每一注的中獎概率。

使用這1756次的真實投注數代入後，可以算出：

理論上，會出現3.3期開出20注及以上一等獎，佔總期數比。

但實際上，共有86期開出20注以上一等獎，佔總期數比4.9%

0注一等獎？

使用真實的投注量，我們可以算出這1756次開獎平均每期應當可以開出6.09注一等獎，其99%置信區間在5.96到6.23之間。

而真實的數據中，每期平均開出了6.18注一等獎，哇，接近理論值的99%置信區間上限呢，這是不是説明開獎的情況和理論值是相符的呢？

​別忘了，真實數據中出現了反常多的期數開出了20注以上一等獎。當我們把20以上的尾部排除後，剩下的結果的平均值卻僅剩下了4.76，遠遠低於於理論預測值的99%置信區間的下限。

上圖是排除了開出20次以上一等獎的情況後畫出的圖。問題出在哪兒呢？一個很明顯的差別出現在0注一等獎的情況。在模擬中，1756期中開出0注一等獎的期數一般在80到90次之間。但事實上，共有195期連一注一等獎都沒有開出來。

在模擬中，最後一次開出0注一等獎的時期一般都會早於2009年——在2009年之後，由於每期投注量大增，連一注一等獎都開不出的可能性已經趨近於零。

但在實際情況中，09年之後還有17期連1注一等獎都沒有開出來，最近一次出現在2014年4月17日，當時的總投注量為186509167注，開出0注一等獎的概率僅有十萬分之2.7。但是，0注一等獎還是給開出來了。

問題不僅出在0註上。在模擬中，一期開出0到3注的比例大約在三分之一，也就是590次左右。但事實上，這1756期中有837期開出了3注以下一等獎，佔比為47.7%，接近一半。

換句話説，雙色球的開獎情況，由概率論計算出的分佈，和真實出現的分佈，出現了很大的差異。

在開出20注以上一等獎的比例與3注以下一等獎的比例上，真實值都要遠高於理論值。如此保證了平均每期的一等獎注數和理論值吻合。

那麼，「雙色球」到底是怎麼開的呢？這個判斷，交給讀者。

畢竟，給猴子一台打字機和無限多的時間，它也一定能夠打出莎士比亞全集。所以，即使我們看到了猴子真的打出了莎士比亞全集，也不要激動，那有可能是真的呢。

當倍投存在時，一等獎的開出分佈和之前的理論分佈會有所不同，我在之前沒有考慮到這點。

由於全部數據暫不可得，我們首先假設人們在購買雙色球時的倍投分佈在2003年到2014年間不變，各倍的倍投佔總投注額的比例如下圖所示：

可以看到，單注購買佔總投注額的73.7%，接下來是5倍倍投，佔比5.5%；以及2倍倍投，佔比5.08%。甚至有1%的銷售額是來自100倍的倍投。將這一系列倍投比例分配到每期的投注額，可以每期分別計算一等獎的開出次數。將一等獎開出次數的真實值、預測值（不考慮倍投）和預測值（考慮倍投）放在一起，可以得到下圖：

可以看到，考慮了倍投之後，0到2次的一等獎開出次數比起不考慮倍投的紅色柱狀圖上升了，由407次上升至496次；20注以上一等獎的比例也有所上升，由原本的預測的5次上升至42次。但是，這個分佈仍然距離真實的一等獎分佈甚遠。

要計算能夠產生真實分佈的投注分佈，一個最簡單的方法就是從單注開始計算。由於只出一次一等獎的情況只可能由單注購買的投注產生，因此只要計算出在什麼比例下，1756次雙色球能夠產生230次一注一等獎即可。容易計算出，大約為53%的投注份額需要是單注投注。

但是，按照2010年某省的單注投注份額在73.7%的結果來看，要讓全國總體達到53%的單注投注份額，相當困難。

因此，在獲取全國所有更多的數據之前，我還是保留對雙色球開獎所產生的一等獎分佈的疑問。