引力彎曲光線的那些事兒 | 賢説八道_風聞

引力偏折光線緣起牛頓研究光學而來的疑問，然後引力偏折光線的偏折角就被德國人索爾德納當個重物的引力散射經典問題給計算了。後來，德國人愛因斯坦從1911年經1915年用不同成熟度的廣義相對論一路計算到了1936年最終提出了引力透鏡的概念。 1919年英國人愛丁頓的日蝕照片宣稱精確測量了光經過太陽附近的偏折角從而“驗證”了廣義相對論，一舉將愛因斯坦送上了神壇。1979年，實在架不住人們對愛丁頓處理照片數據的強烈質疑，英國組織了對愛丁頓照片數據的再處理，結論是“愛丁頓的結果是合理的”。通過計算照片“驗證”廣義相對論的説法，此乃為其濫觴。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1. 光線的直與彎

光走直線，這是幾何光學的基本出發點。雨後雲邊直射的陽光給我們以光線（射線、直線）的印象。然而，光線又是可以彎折的。觀察水中直立的蘆葦和遊動的魚兒，容易得出光線在水面處彎折（refraction，中文譯為折射）的結論。光的反射和折射是自然現象，其規律早已為人們所掌握。光在水面處彎折，那是因為兩邊的空氣和水是兩種不同的物質。不同物質彎折光線的能力由其折射率所表徵。倘若光線經過的空間中折射率連續變化，光線就會被連續彎折，或者説是沿着一條光滑曲線傳播。光線沿直線傳播的觀念，在人類還無意識的時候就已經嵌入到我們的視覺詮釋體系中了。不管光線經過怎樣的波折到達我們的眼底，我們一概按照光沿直線的規律去構造那個可能的光源。水底的魚兒反射的光，經過水麪折射後進入我們的眼睛，我們會按照光沿直線傳播的規律搜尋作為光源的那條水底的魚兒。在魚叉無數次錯過了目標後，人們總結出了水裏的魚兒在我們看到的位置前下方的結論（圖1）—是光沿直線傳播後進入我們眼睛的這種淺薄認識誤導了我們的視覺判斷。沙漠中容易遇到海市蜃樓，那是因為地表空氣密度連續、大範圍地變化，是遠處的風景（光）經扭曲後進入我們的眼睛而我們的大腦又固執地認為看到的光線都有單純的直線傳播歷史才造成了這樣的幻象。

光可以被物質偏轉，説到底是被電磁場偏轉。這不奇怪。光本身是電磁現象，是電磁相互作用的傳遞者（carrier）。那引力呢？引力也能偏轉光線嗎？

圖1. 因為光的折射，我們看到的水中的魚兒應該在我們以為的那地方的前下方

2. 牛頓的疑問

牛頓研究光學，發現了陽光的光譜，還有牛頓環。 牛頓在1704年出版的Opticks （《光學》）一書中列舉了自己的一些疑問，其第一條就是Do not bodies act upon light at a distance, and by their action bend its rays; and is not this action （caeteris paribus） strongest at the least distance （物體不作用於遠處的光並因此彎折光線嗎？這作用不是距離最近的地方最強嗎）? 牛頓既研究引力，又研究光學。力學中物體的軌道是可以被外力彎曲的，光線在介質中也能被彎折，所以牛頓問這個問題一點兒也不奇怪。 

物體能否憑引力彎折遠處的光線，在牛頓就是個疑問，出現在其著作的queries中，在別人那裏可就當成真事兒了。1784年英國人卡文迪許 （Henry Cavendish, 1731-1810）， 1801年德國人索爾德納（Johann Georg von Soldner 1776-1833），都認定牛頓引力論預言了經過一個大質量天體附近的星光會被彎曲——牛頓好冤枉啊。索爾德納的計算於1804年發表並流傳至今。 1911年愛因斯坦基於等價原理計算出了和索爾德納同樣的結果。但是，在構造廣義相對論的過程中，愛因斯坦於1915年認識到從前的計算結果只得到了偏轉角的一半，於是又作了修正，愛因斯坦因此成為了第一個得到引力彎曲光線正確計算的人。1919年，英國人愛丁頓（Arthur Stanley Eddington, 1882-1944） 領導的探險隊拍攝日全食時刻的星空照片，據説驗證了引力偏折的愛因斯坦理論的正確性。這大體就是引力彎曲光線現象被提出和對待的歷史簡述。

3. 光線偏折的計算

索爾德納的計算結果表明，遠處來的星光經一個表面處加速度為 g 的星球所造成的偏折角

由公式 

 給出，其中 v 是光在星球表面的速度。 注意，那時候c還不是光速的專用符號，也沒有光速不變的理念。先不談這個公式對不對，我們首先要問的是星球的重力憑什麼能讓光線偏折？索爾德納很不好意思地承認 “I treat a light ray almost as a ponderable body （我拿光當重物對待了）. ” 他接着説 “That light rays possess all absolute properties of matter, can be seen at the phenomenon of aberration, which is only possible when light rays are really material. And furthermore, we cannot think of things that exist and act on our senses, without having the properties of matter （光具有物質的所有絕對性質這一點，可以從光行差現象看出，這隻有光是物質性的才有可能。再説了，我們也想象不出任何事物能存在還作用於我們的感覺卻沒有物質的性質）.”  這個，這個，這麼論證就有點撒潑了。不過，索爾德納接着説，由這個公式估算，地球甚至太陽造成的光的偏折角都太小，無法觀察。他又接着論證儘管觀察不到，他的計算也是有益的，因為對能觀察到和觀察不到之影響的認識都同樣擴展我們的知識。 讀到這句話時，我總想起中國人算卦的一個標準套路——兩頭堵，怎麼説他都有理。

只要我們認可引力可以偏折光線，偏折角有個簡單的基於量綱分析的推導，而不必管具體的物理機制或理論。筆者的思路如下。偏折角

是個無量綱量。就引力偏折光路這個問題來説，光的唯一性質就是速度 c，而物體的引力強度由 Gm 來表徵，其中 G 是萬有引力常數，m 是質量。此外，決定彎折多少的另一個量是光線靠物體有多近，即還要考慮一個特徵距離 R。這個特徵距離就是散射問題中的瞄準距，當光線從星體表面掠過時，瞄準距近似就是星體的半徑。Gm，c 和 R 可組成一個恰當的無量綱量 

。這樣，可得偏折角的公式 

 ，f 是一個形式未知的函數。函數 f 必是一個關於變量的正相關函數， 

 越大，它應該越大。其次，有類似邊界條件 

，意思是無引力就無偏折。對於很小的偏折，近似地有 

。現在只剩下一個需要確定的比例係數 α 了。可以看到，前述索爾德納假設光是重物的計算，得到的結果對應 α=2  。

對引力偏折光線的相對論計算，愛因斯坦 1911年是基於等價原理的計算，即基於均勻引力場和加速度等價的觀念進行的計算 （圖2），結果與索爾德納同。這篇文章愛因斯坦承認是因為對自己四年前關於這個問題的文章 （見Jahrbuch für Radioaktivität und Elektronik, 4, 1907）不滿意才舊話重提的。後來，等廣義相對論構造出來，愛因斯坦又基於廣義相對論重新計算，結果是在原來的結果上加上一個2倍的修正因子。愛因斯坦1936年又關於此問題發表了一篇正式文章， 其中就有引力透鏡的概念了。

圖2. 愛因斯坦1912年4月左右記錄其關於引力彎曲光線計算的筆記，收錄於愛因斯坦文集第3卷585頁。

愛因斯坦1911年的文章假設在加速參考框架內和一個具有均勻引力場的參考框架內，物理過程是一樣的。引力場中光的速度是位置的函數， 則光的波，根據惠更斯原理（敲黑板，劃重點，愛因斯坦這裏是作光學計算），會發生偏折。愛因斯坦由此導出結果為 

，其中 Φ 是引力勢。這個結果與近似後的索爾德納結果完全相同。由此計算的太陽對遠處恆星光線的偏折是 0".83 （愛因斯坦原文）。

關於基於廣義相對論的偏折角計算，愛丁頓爵士在其《相對論的數學原理》第41節有個簡潔的表述。計算的出發點是光的性質

，引力偏折光線此時有了略顯正當的理由：“質量彎曲了時空，而光線是時空中的零測地線。”在球形的靜止質量體附近，光的軌道方程為

，由此得到偏角

 。關於這個問題，還有其它版本的計算（Carroll）。假設物體的引力場是弱場，引力勢由泊松方程給出 

。該引力勢引起時空的微小擾動，有距離公式 

。 研究光線偏折要解該空間中的測地線方程，一番近似後得到偏轉角為 

，其中

 是與路徑垂直的方向上的引力勢梯度投影。 記瞄準距為 R，有 

， 即 

。對於太陽來説，Gm/c2=1.47 km， R=697000 km，所以偏角約為 1".75。

如你所見，引力偏折光線所用的理論基礎是朝秦暮楚的，（近似）計算過程是顛三倒四的。但是，不管這係數是基於什麼樣的考量得到的，由簡單的量綱分析分析得來的 

 這樣的簡單物理卻永遠是對的。

4. 光線偏折的觀測

愛丁頓爵士是相對論的擁躉。據説，1919年11月6日當Ludwik Silberstein，一個自認也是相對論專家的人，問他是不是説過他是世界上真正懂得相對論的三人之一時，愛丁頓猶猶豫豫不肯回答。Ludwik Silberstein堅持讓愛丁頓回答這個問題，並催促他不必“so shy”嘛， 愛丁頓回答道： “Oh, no!  I was wondering who the third one might be （呃，我不是不好意思。我就是在想那第三個會是誰啊）!” 愛丁頓自認懂得相對論是有證據的，其《相對論的數學理論》一書第一版出現在1923年，《關於引力相對論的報告》出版於1918年，僅在廣義相對論面世兩年之後。愛丁頓這樣懂相對論的宇宙學家以後不易見到了。

愛丁頓為了驗證光線偏折的理論，參與組織了到非洲西海岸觀測1919年5月29日日全食的探險，並拍攝了大量太陽附近天區的照片 （圖3）。愛丁頓爵士處理了照片得到的結果， 在其《相對論的數學理論》一書第41節，愛丁頓寫道根據廣義相對論計算太陽附近光的偏折應為 1"75 ，而1919年英國兩支探險隊得到的結果分別為 

和

 。呵呵，理論和實驗 fit very well （符合得很好）的感覺有沒有啊？ 一時間，英國人民，還有歐洲大陸和美洲大陸的人們，都在歡呼愛因斯坦廣義相對論的偉大勝利，介紹相對論的文章鋪天蓋地。

圖3. 愛丁頓爵士獲得的1919年日全食的照片之一

5. 光線真的會彎曲嗎？

所謂引力場彎折光線的説法可能也過時了，它反映的是陳舊的概念體系。對於光線偏折的問題，我們還可以有另一種看法，就是重新審視"什麼是直的”的這個重大問題。筆者以為，正確的觀念是光線永不彎曲，光走的路徑才是直線。就算按照經典力學的理解，光線走光程為極值（按説該是最短）的路徑，這就是直線的定義（圖4）！如果我們接受費馬定理以及物理空間遵循黎曼幾何這樣的觀念，我們就應該習慣光走的路徑才是直線的觀念。以筆者的理解，非極性標量的最小值是0。光程就是非極性標量，取最小值意味着 

，這就是時空中直線的定義。筆者甚至認為應該進一步地理解為，光的世界是平直的時空。

圖4. 光路永不彎折，只是在非均勻空間中的光路給了你光路彎折的誤解

6. 多餘的話

引力場偏折光線的驗證，首重的是光線到底是否被重力偏折了。只要這偏折足夠大，且能夠排除其它因素（遠處恆星的光在路上遭遇了什麼，不是容易弄清楚的），就足夠了。至於 

 中的比例因子α 是2還是4倒在其次了。這就像海王星的發現，驗證了基於經典力學對天王星不規則軌道的詮釋，至於預言的海王星的質量及其軌道有多麼（不）精確，那有什麼打緊。至於説到測量結果接近 α=4 時的計算值是驗證了愛因斯坦引力理論對牛頓引力理論的勝利，持這種觀點的人顯然是太多情了些，愛因斯坦1911年基於相對論等價原理的結果（儘管不是基於1915年成型的廣義相對論），那裏也是 α=2 ，與牛頓力學何干？再説了，廣義相對論場方程是非線性方程，偏折角的公式是近似計算而來的結果，測量數值符合得 very well 就有點兒令人起疑了。至於愛丁頓給出的1919年測量值，一直以來飽受爭議。據説因為爭議太大，1979年英國又組織人重新分析數據，結論是愛丁頓的數據處理是合理的。對此，我的評論是 “沒有評論”。1919年的實驗條件，類似圖3那樣質量的照片，要是測量準了那才叫見鬼呢！

有評論認為，“The measurements are difficult, and the results were not accurate enough to decide which theory was right（測量很難，結果也不夠準確到能判斷哪個理論是對的）”，這是中肯之論。但是，1919年是第一次世界大戰後的第一年，英國的科學家竟然去驗證德國科學家的理論（Soldner和Einstein都是德國佬）， 這是多麼啊那個什麼的事情啊。觀測精確驗證了理論，是多麼值得歡呼啊！ 

據説愛因斯坦的理論後來被射電天文學給證實了。 有人又提出了這樣的疑問：“如果望遠鏡的精度是由

決定的，為啥射電望遠鏡會比光學望遠鏡能更精確地測定光線的偏折呢，兩者的波長可是差七八個數量級的啊？ 關於這個問題，筆者沒花時間研究過，或許有專業的解釋吧。

我從來不懷疑物理學家的人品，我懷疑物理學和大自然！

本文改編自曹則賢著《驚豔一擊-數理史上的絕妙證明》（外語教學與研究出版社，2019）。

建議閲讀

1. Johann Georg von Soldner, Über die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung （論光自直線運動的偏折）, Berliner Astronomisches Jahrbuch,   161-172 （1804） .

2. Albert Einstein, Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitimg des Lichtes," Annalen der Physik 35, 898-908（1911）.

3. Albert Einstein, Lense-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field, Science 84, 506-507（1936）. 

4. Arthur Stanley Eddington, The mathematical theory of relativity, Cambridge University Press （1923）.  

5. Sean Carroll, Space time and geometry, Addison Wesley （2004）.  

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