黑洞信息佯謬，一場探索黑洞的奧德賽_風聞

撰文丨安宇森（中國科學院理論物理研究所）

來源：中科院理論物理研究所

1. 問題起源

經典物理中，物體的自由度由位置和動量組成的相空間來刻畫，隨着系統的演化，粒子相空間的軌跡不會分叉和合並，此即著名的劉維爾定理。劉維爾定理的物理內容是信息不發生丟失，如果我們在一個時刻知道了物體的狀態，那麼它之前的任意時刻的物理狀態也可以知道。而對於量子力學，粒子由量子態來描述，經典相空間變成了量子態的希爾伯特空間，孤立系統的量子態通過哈密頓量做幺正演化，這一幺正性保證了信息的守恆。

信息守恆是量子力學的基本原理，但是對於黑洞系統，Hawking卻對這一基本原理提出了質疑。Hawking在1975年發現，黑洞並不是全黑的，考慮半經典量子引力的效應之後，黑洞會發出霍金輻射。霍金輻射是嚴格的黑體譜本身不攜帶信息，考慮一個純態塌縮形成黑洞然後完全變成黑體輻射，那麼這一過程就對應一個從純態到一個混合態的演化。而根據量子力學的幺正性，也就是信息守恆，這一過程是不可能的，此即“黑洞信息佯謬”。從它提出至今，物理學家們對這個問題依然沒有一個好的回答，但是探索的過程中，湧現了許多傑出的想法。這些想法大大加深了對於黑洞的認知。

關於黑洞演化是否違背信息守恆，人們進行了長時間的辯論，有三種可能的想法：第一，輻射不是黑體譜，信息通過輻射之間的關聯被帶出黑洞。第二，演化就是非幺正的，量子力學需要修正，霍金本人也曾考慮過這個觀點。第三、在黑洞輻射的最後，量子引力效應顯現，阻止黑洞完全輻射掉，剩下一個儲存信息的殘留物。黑洞信息問題的轉機出現在1997年，Maldacena發現AdS時空（宇宙學常數是負數的時空）中的引力理論對應於一個純粹的量子理論，黑洞的塌縮輻射過程理論上可以通過量子理論來描述，因此至少在AdS時空這種玩具模型中，幺正性應該是滿足的。因此，人們開始相信信息是被輻射帶出來的。Dan Page曾經猜想，當輻射粒子超過黑洞質量的一半時，信息開始被帶出來。他提出輻射熵隨時間的變化關係滿足如下的Page曲線。在開始和結束的時刻，因為黑洞的自由度和輻射的自由度相差比較懸殊，可以利用量子信息中的page定理來證明這個曲線，而在中間部分，現有的理論則無能為力。能夠完全的計算page曲線宣告着黑洞信息問題的解決。

圖1：實線表示Don Page猜想的輻射的熵隨着時間的變化，也叫Page curve。

2. 火牆帶來的挑戰

如果信息被輻射以糾纏的形式帶走，那麼Almheiri, Marolf, Polchinski, Sully在2012年的文章證明以下我們約定俗成的事實將不再同時成立。

1. 量子力學滿足幺正性，信息被輻射帶走。

2. 等效原理保證的黑洞視界是光滑的。

首先，根據Page曲線，當輻射超過一半之後，輻射出來的粒子B將和早先的輻射R相互糾纏。而當我們看視界附近的區域時，區域的尺度遠小於曲率時，根據等效原理，這一視界處附近的尺度將類似閔式時空。此時視界如果要求是光滑的，那麼視界內外的A和B模式將會相互糾纏。而根據量子力學的基本原理，糾纏具有唯一性（量子態是很專一的），一個粒子不能同時與兩個粒子相互糾纏。所以必須要破壞其中一對的糾纏。如果破壞B和A的糾纏，那麼就像斷開化學鍵會釋放能量一樣，此時黑洞視界將不再是光滑的，而是一堵具有巨大能量的牆。這堵火牆會毀掉進入黑洞的所有粒子。

​圖2：火牆示意圖

3. 黑洞互補性原理

為了解釋AMPS帶來的火牆問題，黑洞互補性原理是一個重要方法。黑洞互補性原理是説，對於一個掉入黑洞的粒子，沒有任何一個觀測者可以看到全部過程。因此既然沒有辦法通過實驗觀測，那麼我們似乎不妨將黑洞內部的A自由度等同於輻射R中的某個子集RB。這是一個大膽的想法，這時由於這個認同，實際上B將只和A（RB）發生糾纏，既然不存在B同時和兩個不同的態糾纏，火牆的矛盾就不復存在了。

我們再進一步解釋一下，對於黑洞系統，從外部觀測者看一個掉入黑洞的粒子，這個粒子並不會進入黑洞，而是凝結在事件視界的表面。因此黑洞從一個外部觀測者來看就像是一張膜，這張膜可以快速的混合掉入的信息併發射出去。而對於進入黑洞的觀測者來説，他也沒有感受到任何的異常，但是他的信息也不會被外部的觀測者探測到。

可能有人會奇怪這樣一件事，假設一個掉入黑洞的態，一開始它位於一個面上，這個面經過演化，可能會在某一時刻量子態發生克隆。這是因為態掉入黑洞內部，自然內部存在一個態，但是因為態的信息可以通過輻射而到外部去，外部的人理論上也可以通過量子操作重構這個態。而量子力學的線性特徵，不能要求量子態克隆這種情況出現。

圖3：從紅色的切面演化到藍色的切面，我們發現箭頭代表的態在藍色切面上被“克隆”了

但是實際上，量子態克隆是理論上不能觀測的，因為如果存在一個觀測者可以同時觀察到兩個態。那麼他只能先從霍金輻射中提取出信息，提取信息之後跳入黑洞，去觀察另外一個掉入黑洞的信息。提取信息這一操作會花很長的時間，以至於掉入黑洞的信息會先於觀測者撞上奇點。

值得一提的是，如果我們能夠有效的利用輻射粒子和黑洞之間的量子糾纏，提取信息的時間會大大減小，最有效的從輻射中提取信息的做法是Patrick Hayden和John Preskill在2007年提出的量子電路。

圖4：Hayden & Preskill 模型

這個圖表示的是一個輻射掉自己一半質量的黑洞和它已經輻射出去的東西形成了一個最大糾纏態，這時我們將一個量子比特Alice扔進黑洞中，經過一段演化，又輻射出去一部分粒子R，Hayden&Preskill發現只要輻射的粒子R比M稍稍多了一點，掉入黑洞的Alice的信息就會重新出現在ER的一個子系統中，而Bob的破譯器是可以通過一些操作來將這個信息提取出來的。但即使是這樣，通過細緻的計算也會發現，這樣也同樣來不及同時觀測黑洞內外的兩個量子比特。並且2013年，Partick Hayden和Daniel Harlow通過對於提取操作做複雜度分析，發現從ER系統中提取信息這一操作是極端複雜的，操作需要的時間遠遠大於黑洞蒸發掉的時間，因此複雜性保證了同時觀測不能發生，進而實現了黑洞互補原理。

黑洞互補性原理頗具哲學思辨意味，這是因為我們還沒法構造一個真正滿足黑洞互補原理的理論。這和上世紀初量子力學誕生開始的時候非常相似，最開始人們發現不確定性原理，位置和動量無法同時測量。這件事不是探測者的極限導致的，而是背後存在一個更深刻的理論，在這個理論下傳統的對於粒子的位置速度的認知將被徹底顛覆。而黑洞互補原理頗像當年的不確定性原理，也許它可以啓發我們發現一個更加深刻的理論。這個理論中，傳統的對於黑洞的圖像也將被顛覆。

4. ER＝EPR

黑洞互補原理思想認為黑洞內部的自由度A可以等同於輻射的粒子RB，但是這卻帶來了一個很奇怪的現象。因為輻射粒子和黑洞可以是距離很遠的，如果它們是認同的，那麼對於輻射進行操作必然會影響黑洞的內部，而它們距離如此之遠，又是怎麼能夠發生影響的呢？

但是以上的論證存在一個隱含的假設，那就是輻射粒子和黑洞之間不存在“近路”。但是時空中其實是存在某種近路的，那就是蟲洞。蟲洞可以追溯到1935年愛因斯坦和羅森的論文，這個結構也叫愛因斯坦羅森橋，即ER。因此，Maldacena和Susskind認為，火牆悖論實際上論證的是輻射和黑洞之間存在蟲洞連接。而這個蟲洞是通過量子糾纏來生成的。同樣在1935年，愛因斯坦還發表了另外一篇論文，這篇論文提出了神秘的超距作用，由作者命名為EPR佯謬。而物理學發展至今，蟲洞和量子糾纏這兩個看似互不相干的東西似乎是一樣的，量子糾纏也許對於時空的演生扮演了重要的角色。不得不説這是一個奇蹟。

圖5：黑洞和輻射可能存在蟲洞的連接

5. 展  望

時至今日，火牆究竟是否存在？黑洞的內部又是如何的，我們能否探測它？量子糾纏在時空的演生中究竟扮演着多麼重要的角色？時空是否又有一些性質是量子糾纏所無能為力的？這些問題的答案依然有待人們去回答。也許科學家們可以寫下一個能夠嚴格求解的量子引力理論，而最近在二維時空這個簡單的幾何中，人們已經邁出了實現這個目標的第一步（SYK模型）。路漫漫其修遠兮，在探索未知黑洞的路程中，定會有更加壯觀的景色。

參考文獻：

Daniel Harlow 《Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information 》

圖片來自：

Daniel Harlow 《Jerusalem Lectures on Black Holes and Quantum Information 》

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