狄拉克的方程遊戲（下）_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-06-01 09:46
撰文 | 維爾切克
翻譯 | 丁亦兵、喬從豐、 李學潛、沈彭年、任德龍
來源：中科院高能所
本文是2004年諾貝爾獎得主、著名理論物理學家維爾切克（F. Wilczeck）所著的高級科普著作《奇妙的現實》（Fantastic Realities）中的部分章節。由於各種原因，這些章節在譯著出版時被刪除了。但其內容於普及和深化理解現代物理卻是非常重要的。《現代物理知識》得到了原作者的首肯，從捨棄的章節中挑選了部分章節翻譯發表。現在刊登的這一部分，專門討論了量子場論的發生與發展。可稱之為量子場論通俗入門。
狄拉克
上半篇請見 狄拉克的方程遊戲（上）
4 最深刻的含義：量子場論
狄拉克的空穴理論是絕頂聰明的，但大自然更為深刻。儘管空穴理論是內部自洽的，並且可以有廣泛的應用，但有幾個重要因素迫使我們去超越它。
第一，有一些沒有自旋的粒子，它們不遵從狄拉克方程，但它們有反粒子。這不是偶然的，正如我剛才討論的，反粒子的存在是量子力學和狹義相對論相結合的普遍結果。具體地講，例如帶正電的π+介子（1947年發現）或W+玻色子（1983年發現）在基本粒子物理中都是非常重要的角色，它們確實有反粒子π-和W-。但是我們不能用狄拉克空穴理論來理解這些反粒子，因為π+和W+粒子不遵從泡利不相容原理。因此不能把它們的反粒子解釋為由負能解填充的海中的空穴。如果存在負能解，則無論它們滿足什麼方程②，一個粒子對這種態的佔據不會阻礙其他粒子進入同一個態。這樣一來，必須用一個不同方式來避免到負能態的災難性躍遷，而這種躍遷在電子的狄拉克空穴理論中是被阻止的。
第二，存在一些電子數與正電子數之差改變的過程。一個例子是一箇中子衰變成一個質子、一個電子和一個反中微子。在空穴理論中，一個負能電子被激發到一個正能態被解釋為一對正電子-電子對的產生，而一個正能電子退激發到一個未被佔有的負能態被解釋為一對電子-正電子對的湮滅。無論在哪種情況下，確實電子數與正電子數之差都不變。空穴理論不能容納這個差值的改變。所以，自然界中有一些確實很重要的過程，甚至那些明確地涉及電子的過程，很難與狄拉克空穴理論相符合。
第三，也是最後一個原因返回到我們最初的討論。我們正期待着破缺那些重要的二重性，即光/物質和連續/分立。相對論和量子力學分別使我們接近成功，而隱含自旋的狄拉克方程使我們離成功更近。但迄今為止我們還沒有到達那裏。光子是轉瞬即逝的，電子……作為實驗事實，它們也是轉瞬即逝的，這一點我剛剛提到過，但我們還沒有把這個特徵充分地納入我們的理論討論之中。在空穴理論中，電子能夠產生和湮滅，但僅當同時有正電子湮滅和產生時。這裏沒有太多的意味着無希望的矛盾。它們暗示，應該有一些空穴理論的替代理論，它適用於物質的各種形式，並把粒子的產生和消滅作為基本的現象處理。
具有諷刺意味的是，在早些時候狄拉克自己已經構建了這樣一個理論的雛形。1927年，他把新量子力學原理應用到經典電動力學的麥克斯韋方程。他展示，愛因斯坦的光以粒子——光子——形式出現的這個革命性假設就是這些原理邏輯應用的結果，並且光子的性質可以被正確地解釋。有一些常見的觀測結果，諸如光可由非光產生，比如使用一個手電筒；或被吸收和湮滅，比如被一隻黑貓。但翻譯成光子的語言之後，這意味着麥克斯韋方程的量子理論是一個產生和湮滅粒子（光子）的理論。確實，在電磁學的狄拉克量子理論中，電磁場首先是作為產生和消滅的媒介物而出現的。光子作為這種場的激發而產生，這是基本的東西。光子出現和消失，但場持續存在。這個發展的全部意義在一段時間內似乎沒有引起狄拉克和所有他同時代科學家的注意，也許恰好是因為光的明顯的特殊性（二重性！）。但它是個普遍的結構，也可以應用到那些出現於狄拉克方程——電子場——中的客體。
將量子力學原理邏輯應用於狄拉克方程得到的結果是一個類似於他在麥克斯韋方程中所發現的那種客體。它是一個消滅電子，產生正電子的客體。二者都是量子場的例子。當把出現在狄拉克方程中的那個客體解釋為一個量子場時，負能解呈現出不再有困難的完全不同的含義。正能解乘以電子的湮滅算符，而負能解乘以正電子的產生算符。在這個框架中，兩類解的區別是，負能表示產生一個正電子所需要借入的能量，而正能是消滅一個電子所獲得的能量。在這裏，負數的可能性並不比你銀行的存款更出乎意料。
隨着量子場論的發展，最終得到了狄拉克方程和空穴理論已經顯示的但沒有全部完成的那些機遇。光和物質的描述終於被放在了一個平等的地位上。狄拉克認為可以理解並滿意地説，隨着量子電動力學的出現，物理學家已經得到了足以描述“所有的化學，和絕大部分物理”的方程。
1932年，恩里科·費米通過把量子場論概念應用到遠離它們起源的地方，構建了一種成功的、包括前面提到過的中子衰變在內的輻射衰變（β衰變）理論。因為這些過程牽涉到質子——典型的“穩定”物質——的產生和消滅，古老的二重性終於被超越了。粒子和光都是衍生客體，是更深刻、更持久的真實事物，即量子場的表面表現形式。這些場充滿了所有空間，在這種意義下它們都是連續的。但它們產生的激發，無論我們把它們看作是物質的粒子還是光的粒子，都是分立的。
在空穴理論中我們有一個充滿了負能電子的海的真空圖像。量子場論中的圖像是非常不同的。但決不是迴歸到單純。真空的新圖像甚至與樸素的“空的空間”有天壤之別。量子不確定性與產生和消滅過程的可能性結合在一起，意味着充滿了活力的真空。粒子和反粒子對飛快地產生和消失。我曾寫過一首關於虛粒子的十四行詩，現把它抄錄如下：
當心那看似無物的真空，
儘管你已盡全力將它清理乾淨。
總有一羣肆無忌憚的傢伙，隨意克隆，
超出你的想象，在那裏不知疲倦地騷動。
它們瞬息而至，隨處舞動身影，
無論觸及何物，總有疑團重重：
我在這裏幹什麼？何物應被看重？
這些想法常使快速衰變關聯而生。
不必擔心！這個術語正把你引入迷津。
衰變不過是虛粒子繁衍生命，
這種隨意的騷動引起壯觀的反應，
那些克隆的交換，成為束縛參與者的纜繩。
是還是不是？儘管選擇似已明確，哈姆雷特卻還猶疑不定，
這些傢伙也有同樣的毛病。
5 餘 波
隨着量子場論的創始，我們關於狄拉克方程的討論達到了一個固有知識的邊界。到了20世紀30年代中期，這個方程引起的緊迫的悖論已經被解決了，它最初的承諾也已完全實現。狄拉克獲得1933年諾貝爾獎，安德森獲得1935年諾貝爾獎。
後來的幾年裏，對量子場論的理解加深了，它的應用也被擴展了。用它，物理學家構建了（在驚人的嚴謹和毋庸置疑的程度上確立了）代表着可預知未來的——也許是永遠——有效的物質理論。關於這是如何發生的，以及這個理論的本質，是涉及許多其他思想的史詩般的故事，在那裏狄拉克方程同樣起着重要的但非主導的作用。但是後來的一些發展與我們主題的聯繫是如此的密切，它們自身又是如此的漂亮，故值得在此一提。
還有另一層含義，即量子場論的創立標誌了一個自然的邊界。它是狄拉克本人未能跨越的極限。就像愛因斯坦一樣，狄拉克在晚年走了一條分離的路。他不注意其他物理學家的大部分工作，並對其餘的工作也持有異議。在以他的工作開始的驚人的發展中，狄拉克本人的參與不是主要的。
QED（量子電動力學）和磁矩 與無時不在的量子場論的動力學真空相互作用修改了觀測到的粒子的特性。我們看不到假設的“裸”的粒子的特性，相反地看到的是那些由於與動力學真空中的量子漲落相互作用而“穿上了衣服”的物理粒子。
特別是，物理電子不是裸電子，它不完全滿足狄拉克的g=2。1947年珀利卡·庫什作了非常精確的測量，發現g比2大一個1.00119的因子。定量地講，這不是一個很大的修正，但它對理論物理卻是一個巨大促進，因為它提出了一個非常具體的挑戰。當時基礎物理中有如此多未能了結的問題——過多的、意料外的、新發現的粒子，包括m子、p介子和其他一些粒子，沒有令人滿意的理論能夠解釋是什麼力把原子核結合在一起，不完整的、未消化的輻射衰變的結果，高能宇宙射線的反常等等——以至於很難知道應該集中精力於什麼地方。事實上存在一個有關策略的基本哲學的衝突。
大多數年長的一代，量子理論的奠基者，包括愛因斯坦、薛定諤、玻爾、海森堡、泡利，準備了另一次革命。他們認為花費時間設法進行更精確的量子電動力學計算是徒勞的，因為這個理論肯定是不完善的，並且可能是錯的。它無法改變下述事實：要求得到精確結果的計算是很困難的，並且似乎給出的答案是無意義（無限大）的。所以老一代大師一直在尋求一種不同類型的理論，不幸的是沒有清晰的方向。有諷刺意味的是，正是新一代的理論家——施温格、費曼、戴森和日本的朝永振一郎——扮演了保守的角色。他們發現了一種更精確計算的方法，並得到了有意義的有限結果，而無需改變基礎理論。事實上，他們所用的理論剛好就是狄拉克在二十世紀的二三十年代構建的理論。由施温格所作的包括了動力學真空效應的劃時代計算結果是對狄拉克的g=2的一個微小的修正。它也發表於1947年，並且與庫什同年的測量驚人地吻合。許多其他的重大成果接踵而來。庫什獲得1955年諾貝爾獎；施温格、費曼和朝永振一郎共同獲得1965年諾貝爾獎（這一延遲是難以理解的！）。
奇怪的是，狄拉克不接受這種新的做法。在早期，當使用的數學方法是陌生的和粗略的並且包含了一定量的受靈感啓示的猜測時，也許謹慎是有道理的。不過技術性的困難適時地被克服了。
費曼把QED稱為“物理學的寶石——我們最驕傲的財富。”但在1951年狄拉克寫道“近來蘭姆、施温格和費曼以及其他人的工作是成功的……但是得到的理論是一個難看的和不完整的理論。”在他1984年後續的文章中又寫道“這些重整化規則給出的結果與實驗驚人地吻合，所以絕大多數物理學家都説這些使用的規則是正確的。我認為這不是一個充分的理由。正是因為結果碰巧與實驗符合，所以並不能證明這個理論是正確的。”
你也許會注意到年輕的狄拉克和上了年紀的他在口氣上存在着一定的差異，年輕的狄拉克像藤壺一樣附着在他的方程上，因為它解釋了實驗的結果。
今天實驗測定的電子的磁矩是（g/2）實驗= 1.00 159 652 188 4(43)，而嚴格基於QED計算到高精度的理論預言是（g/2）理論=1.00 159 652 187 9(43)。其中最後兩位數字的不確定性已標出。這是在最錯綜複雜的——但卻是精確定義的！——理論計算與所有科學中最精細的——但卻是精確控制的！——實驗之間的最難的、最精確的對比。這就是費曼所説的“我們最驕傲的財富”的含義。
電子磁矩及其同類粒子μ子磁矩更精確的測定仍是實驗物理的一個重要的前沿。在現在可以達到的精度下，由於假定的新的重粒子——特別是由超對稱所預言的那些重粒子，結果將敏感於量子漲落的效應。QCD和物質的理論 質子的磁矩不滿足狄拉克的g=2，而是g≈5.6。對於中子，情況更糟。中子是電中性的，所以中子的簡單的狄拉克方程預言中子不存在磁矩。事實上，中子具有一個大約為2/3質子磁矩大小的磁矩，取向與自旋相反。由於中子是電中性的，那意味着一個無限大的g。這些磁矩值的不相符是質子和中子比電子更復雜的最早的跡象。
隨着進一步的研究，更多的複雜現象出現了。人們發現質子和中子之間的力非常複雜。令人困惑地，它們不僅依賴於粒子之間的距離，而且還依賴於它們的速度、自旋的方向以及所有這些因素的混合。事實上人們不久就明白了，它們根本不是傳統意義上的“力”。質子之間具有一個傳統意義上的力意味着一個質子的運動會受到另一個質子存在的影響，以至用另外一個質子入射到一個質子時，這個質子會轉向。實際觀測到的是，當一個質子撞擊另一個質子時，通常會出現許多粒子，其中大部分是極不穩定的。有π介子、K介子、ρ介子、Λ和Σ重子以及它們的反粒子等很多的粒子。所有這些粒子間有很強的相互作用着。因此核力的問題，一個從20世紀30年代開始的物理學前沿，變成了理解一個粒子及反應的廣闊的新世界的問題，即自然界中最強有力的東西。甚至術語也改變了。物理學家不再提及核力，而是提及強相互作用了。
現在我們知道，強相互作用所有的複雜性，在一個基礎的層面上，可由一個稱之為量子色動力學（QCD）的理論來描述，這個理論是QED的一大推廣。QCD的基本組元是夸克和膠子。有六種不同類型（“味道”）的夸克：u、d、s、c、b、t（上、下、奇異、粲、底、頂）。夸克彼此很相似，主要區別是它們的質量。只有最輕的夸克u和d，可在普通物質中找到。同QED的基本組元類比，夸克大體上扮演的是電子的角色，而膠子大體上扮演的是光子的角色。一個很大的不同是QED只有一種荷，一種光子，而QCD有三種荷，稱之為色，和八種膠子。與光子對電荷的響應類似，一些膠子對色荷有響應。另外一些膠子媒介於一種色荷到另一種色荷之間的躍遷。這樣，（比如説）一個帶藍色荷的u夸克可以放出一個膠子變成帶綠色荷的u夸克。因為總體上所有色荷必須守恆，所以這個特殊的膠子必須帶有+1單位的藍色荷和1單位的綠色荷。由於膠子本身帶有未被抵消的色荷，QCD中存在着膠子輻射出其他膠子的基本過程。在QED中沒有類似的過程。光子是電中性的，直至非常好的近似，它們也不會與別的光子發生相互作用。QCD絕大部分的豐富性和複雜都是由這個新的特徵引起的。沒有建立在概念和現象的基礎上，而只是如此直截了當的字面上的描述，這似乎使QCD顯得既隨意又荒誕。不幸的是，在這裏我不能恰當地處理它的對稱性和數學的優美。但一些扼要的解釋已就緒……我們怎樣得到這樣的一個理論？我們如何知道它是正確的？在QCD的情形下，這是兩個非常不同的問題。通向這個發現的歷史途徑是曲折的，充滿了許多歧途和死衚衕。但回想起來，沒有必要那樣做。假如合適類型的超高能加速器早些運轉的話，QCD早就會面對我們了。這種想象的歷史把我在這篇文章中討論過的大部分想法彙集在一起，形成了一個恰當的物理部分的結論。
如果電子和正電子被加速到超高能然後使它們對撞，可以觀測到兩類事例。一類事例的末態粒子為輕子和光子。對於這類事例，通常末態只是一個輕子和它的反輕子；但在約1%的事例中還有一個光子，還有約0.01%的事例中有兩個光子。這種事例的幾率及具有不同能量的粒子從不同角度出射的幾率都可以用QED計算，並且所有算出來的結果都很好。反之，如果你不瞭解QED，僅靠研究這些事例，你就已經能夠辨認出QED基本相互作用——即一個電子放出一個光子——的基本規則。光和物質的基本相互作用就展現在你的面前了。在另一類事例中，你會看到非常不同的東西。不同於只有兩個或最多幾個粒子飛出，而是有很多粒子產生，並且它們是不同種類的粒子。你在這第二類事例中看到的粒子是諸如π介子、K介子、質子、中子，和它們的反粒子——所有這些粒子，與光子和輕子不同，都具有強相互作用。這些粒子的角分佈具有特殊的結構。它們不是獨立地向四面八方飛出。而是隻在少數的幾個方向出現，形成很窄的噴射或（它們經常被稱作為的）“噴注”。大約90%的時間只有兩個沿相反方向的噴注；大致9%的時間有三個噴注，0.9%的時間有四個噴注——你可以猜出這個模式。
現在，如果你瞧上一眼，不去識別單獨的粒子，只追蹤能量動量流，那麼這兩類事例——QED的“粒子”事例和攜帶着強相互作用的粒子的“噴注”事例——看起來是一樣的！
所以（在這個想象的歷史中）人們很難抵制這樣的誘惑，即把噴注都當成粒子一樣，直接類比適用於QED的步驟，對那些攜帶不同數量、不同角度、不同能量噴注粒子的不同輻射模式的可能性提出一些規則。這種作法很成功，因為這些十分類似於QED中的那些規則，事實上確實描述了觀測到的現象。當然，所用的規則精確地就是QCD的規則，包括膠子輻射膠子的一些新過程。所有這些規則——整個理論的基本元素——可以直接從數據中推導出來。就噴注而言，“夸克”和“膠子”將是具有直接和精確可操作定義的詞彙。
至此為止，還有兩個大的概念性的疑難。為什麼實驗展示了“夸克”和“膠子”而不直接是夸克和膠子——即是噴注而不直接是粒子？怎樣把直接成功地描述了高能事例的理論概念與所有的其他強相互作用現象聯繫起來呢？在假想的基礎理論和平凡的觀測之間的聯繫，至少可以説，並不明顯。例如，你打算用在這種基礎理論中出現的“夸克”和“膠子”來構成質子。但這看起來是沒有希望的，因為用來可操作地定義“夸克”和“膠子”的噴注經常在別的一些粒子之外還含有質子。
這些問題有一個漂亮的答案。這就是QCD中的漸進自由現象。根據漸進自由，涉及能量和動量流大幅改變的輻射事例是稀有的，而僅涉及能量和動量微小變化的輻射事例是非常普遍的。漸進自由不是一個分離的假設，而是QCD結構的一個深刻的數學結果。
漸進自由乾乾淨淨地解釋了為什麼在高能電子- 正電子湮滅時含有強相互作用粒子的那類事例中會產生噴注。在電子和正電子湮滅後的霎那，馬上就會有一個夸克和一個反夸克出現。它們沿相反的方向快速運動。它們很快放出膠子，膠子本身又放出膠子，發展起了一個複雜的帶有許多粒子的簇射。但是，任憑所有的這些騷動，總體的能量和動量流沒有受到明顯的干擾。根據漸進自由，擾動能動量流的輻射是稀有的。所以有大量的多重粒子都沿相同方向運動，這個方向是由夸克和反夸克初始標定的。總而言之，我們已經產生了噴注。當其中的一個干擾能動量流的稀有事例發生時，放出的膠子也產生一個自身的噴注。於是我們就有了一個三噴注事例，等等。
漸進自由還顯示出為什麼對那些我們實際觀測到的單獨穩定的或準穩定的實體，如質子（和其他強相互作用粒子）的描述都是複雜的物體。對這種粒子，或多或少就定義而言，夸克、反夸克和膠子的組態是那些具有合理穩定程度的組合體。但是，因為夸克、反夸克和膠子都有很高的輻射幾率，沒有簡單的組態會有這種性質。唯一可能的穩定性涉及動力學平衡，在那裏系統某一部分發出的輻射會在其他部分被吸收而平衡掉。
正如實際所發生的，漸進自由是從理論上發現的（由大衞·格羅斯和我，及獨立地由大衞·波利策），並且基於很少的直接證據，QCD作為強相互作用的理論於1973年被提出（由格羅斯和我）。噴注的存在被預期到，它們的性質在實驗觀測之前已相當詳細地被理論所預言。基於這些實驗以及很多其他的實驗，如今，QCD已被接受為強相互作用的基本理論，與QED作為電磁相互作用的描述相媲美。
用QCD描寫質子、中子和其他強相互作用粒子的性質也有了巨大的進展。這雖然包含了使用高效的計算機進行的要求非常高的數值計算，但結果是值得的。它的一個亮點是我們可以在沒有重要自由參數的情況下，從第一原理出發來計算質子和中子的質量。正如我已經説明的，從最基本的觀點來看，這些粒子是夸克、反夸克、膠子的非常複雜的動力學平衡物。它們絕大部分的質量——並因此也是物質的絕大部分質量，包括人類的大腦和身體——起源於按照m=E/c2運動的這些粒子的純能量,而它們自身基本上是沒有質量的。至少在這個層次上，我們都是輕飄飄的生物。
狄拉克説過，QED描寫了“絕大部分的物理和全部的化學”。確實，它是原子（和更多的）外部結構的基本理論。在相同的意義下，QCD是原子核（和更多）的基本理論。合在一起，它們組成了一個非常完整的、得到很好檢驗的、富有成果的、實惠的物質理論。
6 推理的創新力
現在我已經較為詳細地討論了“方程遊戲”如何將狄拉克引導到一個方程，這個方程充滿了他不曾預料到且以多種方式抵制的、但被證實是正確且極富成果的結果。怎麼會發生這樣的事呢？數學真的會有創新力嗎？真的能夠通過邏輯處理或計算達到全新的見解——產出多於投入嗎？
如今這個問題特別及時，因為它處於關於機器智能特性的爭論核心——它是否可以發展成一種與人類智慧相媲美的智力，甚至它的終極的極品。
乍一看，反對的論點迫不及待地出現了。
最強有力的論點，至少心理上地來自於反思。仔細考慮我們自己的思維過程，我們不能迴避一個不可動搖的直覺，這個直覺不是專門地甚至主要地包含基於規則的符號處理。確實沒有感到是那種方式。我們通常用圖像和感情思維，而不只是符號。我們的意識流持續地被與外界的相互作用及內部的驅動刺激和重定向，其方式完全不像在效仿數學算法的展開。
另一論據來自我們用現代數字計算機得到的經歷，因為在一定意義上這些是理想的數學家。它們以遠超過人類可能的嚴格、速度和無錯率，遵循着精確的規則（公理）。在許多專業化的、基本的數學任務中，例如為得到最大利潤安排航空公司的航班計劃或油料配送時間表，它們遠遠超過了人類的作為。然而通常，合理的標準、甚至是最強大的現代計算機依然是脆弱的、有限的，並且真是十足愚蠢的。一個微不足道的程序錯誤、幾行病毒碼或者一個存儲缺陷都可使一台強大的的計算機死機，或使它無法控制地自我毀滅。通訊需要嚴格控制的格式，不支持任何豐富的自然語言。荒謬的輸出可能且經常未被檢測到和未被引起注意而出現。
然而，經過更嚴密的審視，這些論點引發了問題和懷疑。儘管從神經細胞電信號的模式到人類思維過程映射的本質，在很多方面仍是非常神秘的，但人們也瞭解到不少東西，特別是關於感覺處理的早期階段的東西。至今已發現的東西都不能説明任何比遵從嚴格確立的物理定律的電和化學信號更為奇異的東西被包含了進來。作為一個有效的假設，從電信號的模式到思維模式的映射必須並且確實存在，已被絕大多數的科學家接受。射到我們的視網膜上的光子的模式被拆解，然後解析為基本單位，饋送到一系列令人眼花繚亂的不同的通道，進行處理，然後（以某種方式）重組起來，給我們一個好像簡單的“世界的圖像”，再組合為空間中物體，我們很容易把這些看作是理所當然的。事實是我們一點也不知道我們是如何完成絕大部分我們所做的事情，甚至——也許特別是——我們最基本的頭腦的技能。人們曾試圖造出這樣的機器，它們可以識別圖畫中的物體，或像蹣跚學步的小孩一樣四處走動並探知世界，但這些人非常灰心失望，儘管他們自己可以很容易地做這些事情。他們不可能教給別人他們是如何做這些事情的，因為他們自己也不知道。所以似乎很清楚，反思對思維的深層次結構是一個不可靠的指導，無論是關於已知的還是未知的。
再轉到用計算機的經驗，任何消極的判斷肯定都為時尚早，因為它們在飛速進化。一個近來的基準是深藍計算機在一場短賽中戰勝了偉大的世界象棋冠軍加里·卡斯帕諾夫。如果由人類來做這種表演，任何有判斷力的人都會反對把這個水平上的比賽評價為極富創造性的成就。然而，這種在有限範疇內的成功愈加使問題尖鋭化：哪些阻礙純計算創新力在廣闊的領域出現的東西丟失了？在思考這個艱鉅的問題時，我相信個案的研究對我們會有幫助。
在現代物理中，也許在整個智力發展的歷史中，沒有一個事件能比狄拉克方程的歷史更好説明極大的數學推理的創新本質。事後，我們知道狄拉克想做的是絕對不可能的。1928年時人們所理解的量子力學規則與狹義相對論不相容。然而就是從這些不相容的假設，狄拉克導出了一個方程，它至今仍是物理學的一塊基石。
這樣，我們在這裏展示了一個具體的、有意義的並且有文獻記載的例子，它介紹瞭如何對物理世界進行數學推理，並終極於一個具體方程，導致了令思考者自己都大吃一驚的結果。表面上看它違反了一些守恆定律，得到的遠多於投入的。這樣的一個跳躍怎麼可能呢？特別是為什麼狄拉克達到了這一點？當方程把他們引入迷茫時，是什麼使狄拉克和他同時代的科學家堅持墨守於他的方程呢？
深刻的見解來自狄拉克自己的兩段話。在他一篇典型的短文“我作為一名物理學家的生活”中，他特別讚賞他作為一個工程師所受訓練的價值，包括：“工程課程非常強烈地影響了我……我學會了，在描述自然時，必須容忍近似，甚至帶有近似地做工作可能是很有趣的，並且有時是優美的。”沿這條路，狄拉克（以及其他一些人）早期對他的方程的信任使他沒有考慮方程的明顯缺陷，其原因之一就是他可以找到與氫原子光譜的實驗室數據符合得極其出色的方程的近似解。在他最早的論文中，他願意在不談解決的情況下提及困難，即存在數學上顯然同樣有效的其他解，但沒有合理的物理解釋。
沿着表面上看似乎非常不同的路線，狄拉克經常讚賞數學美的啓發能力：
“科研工作者，在他致力於用數學形式來描述自然的基本定律時，應該主要力求數學的美。”
這是早期對狄拉克方程信任的另一個源泉。它曾是（如今也是）異乎尋常的優美。
不幸的是，很難使其精確，並且幾乎不可能傳達給非專業的讀者數學美的本質。但我們可與其他類型的美做一些類比。能使一段音樂、一部小説或一齣戲劇出色的一個特徵是，重要的、充分發展了的主題間的緊張氣氛的積累，然後再以令人驚訝和令人信服的方式解決掉。能使一處建築工程或一座雕塑漂亮的一個特徵是對稱——比例的平衡，有價值的錯綜複雜。狄拉克方程在最大程度上同時擁有了這兩個特徵。回憶一下，狄拉克曾試圖調和電子的量子力學和狹義相對論。可以看到在簡單性和相對論相互衝突的要求間的矛盾是如何被協調的，並且發現基本上只有一個辦法能做到，這是相當漂亮的。那是狄拉克方程數學美的一個方面。另一方面，它的對稱和平衡，幾乎是感官享受。空間和時間、能量和動量，以平等地位出現。系統方程組中不同的項必須按相對論的音樂編舞，0和1（以及i）的模式就在你的眼前跳舞。
當物理的需要導致數學美，或——在少見的並具魔力的時刻——當數學要求導致物理的真理時，各條路線匯聚到了一起。狄拉克曾尋找過一個滿足物理動機的假設的方程。他發現要做到這一點實際上需要一個含有四個組分的方程系統。這太令人驚奇了。最好是具有兩個組分，因為它們清楚地代表着電子自旋的兩個可能方向。而額外的雙重組分開始時並沒有任何令人信服的物理解釋。確實，它們削弱了方程的假定意義。但方程已經呈現出它自己的生命，超越了誕生它的想法，很快正如我們所看到的，這兩個額外的組分就被認為是預示着具有自旋的正電子。
隨着這個匯合，我認為在得到狄拉克方程時，我們抵達了狄拉克方法的核心，這與在得到麥克斯韋方程時抵達了麥克斯韋方法的核心，在得到愛因斯坦方程時抵達了廣義相對論和狹義相對論的方法的核心是一樣的。它們通過實驗邏輯進行。那個概念只是一種表面上的矛盾描述。在實驗邏輯中，人們用方程表述假設，並且用這些方程去做實驗。這就是説，人們試圖從美和自洽性的觀點改進方程，然後檢驗“改進後”的方程是否闡明瞭自然界的一些特徵。數學家認識到這種“反證法”的技巧：要證明A，你可以假設A的反面，從而得到一個矛盾。實驗邏輯是“成果確認法”：要證明A成立，先假定它成立，然後展示它將導致豐碩的結果。相對於常規的演繹邏輯，實驗邏輯遵從耶穌信條,“請求寬恕比求得允許更受保佑”。確實，如我們已經看到的，實驗邏輯不把不自洽看作是一個不可挽救的災難。如果一種研究路線取得某些成功，而且富有成果，它就不應當因為不自洽或具有近似的本質而被擯棄。相反，我們應該尋求一種方法，使它成為正確的。
記住這些，讓我們回到數學推理的創造性這個問題。前面我説過現代數字計算機在一定意義上是理想的數學家。在任何合理的、精確公理化的數學領域，我們知道怎樣給計算機編程序，這樣它便能系統地證明所有有效的定理。這種現代機器可通過它的程序而高速計算，輸出有效的定理，它比任何人類的數學家所能做到的都快得多，可靠得多。但運行這樣的程序作高深的數學，不會比安排一羣眾所周知的猴子去打字，和希望再產生莎士比亞更好。你將會得到許多正確的定理，但基本上它們都是平庸的，而同時有一些寶石毫無希望地埋在了垃圾當中。在實際中，如果你精讀數學或數學物理期刊，不談及文學雜誌，你不會發現太多用計算機提交的工作。試圖教計算機做“真正的”創造性的數學，如同試圖教它們識別真實物體或巡遊真實世界，已經有了有限成功。現在我們看到這些都是密切相關的問題。創造性的數學和物理依賴的不是完美的邏輯，而是一種實驗邏輯。實驗邏輯包括辨認模式、與它們遊戲、提出一些假設去解釋它們，並且——特別是——識別出美。而創造性物理需要得更多：有感知和撫育世界上的模式的能力，並且不僅評價邏輯的自洽性，還評價（近似！）所觀測到的世界的保真性。
那麼，回到中心問題：純數學推理能夠創新嗎？這毫無疑問，如果採用狄拉克的方式，與容忍近似，識別美，及通過與真實世界的相互作用進行學習這樣的能力相呼應，這些因素的每一個都在所有的物理進展的重要進程中扮演了角色。把那些在具體機制中的能力建立在牢固的基礎上，作為一種挑戰，問題就回來了。（全文完）
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