以簡明物理法重新發現巴耳末公式_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-06-02 09:36
撰文 | 鄧崇林
來源：物理與工程
氫原子不連續光譜之巴耳末公式的發現，為原子物理中玻爾理論的創立提供了直接依據，在量子物理發展進程中起了重要作用。然而，在物理學上從巴耳末的古典時代，過渡到玻爾的量子時代的這一段傳奇，其過程疑雲重重。關於那巴耳末基數到底是怎麼得來的，現行物理學介紹這段傳奇時，總好像是夢裏得來的。
（圖源：Pixabay）
1 提出問題
回顧近代物理學史，氫原子不連續光譜之巴耳末公式的發現，為原子物理中玻爾理論的創立提供了直接依據，在量子物理發展進程中起了重要作用。當玻爾一看到巴耳末公式，突然間“我都明白這一切了”，這是當時玻爾在與Léon Rosenfeld會面時所透露的心靈激動**[1]**。然而，在物理學上從巴耳末的古典時代，過渡到玻爾的量子時代的這一段傳奇，其過程疑雲重重，始終都無法清晰明白，那巴耳末基數是怎麼得來的，這裏假設是在巴耳末那個時代節點，不能依靠玻爾理論來推導該公式。
為什麼巴耳末基數剛好就是那個數目？由於有關巴耳末基數，這個至關重要的推理線索，至今仍然披着神奇色彩，無法看透又無從捉摸，因當初巴耳末公佈經驗公式論文**[2]**中敍述着“從埃格斯特朗的測定，推出這個公式的共同因子是3645.6×10-7mm”，唯獨沒有闡明巴耳末基數的由來，就這樣輾轉變成了歷史懸案，造成現行基礎物理學介紹這一段深具時代開創性的傳奇過程時，總是像在夢裏求答案就得到了這組數字，然後直接就用這個答案再行推導公式，這在邏輯上有倒果為因推論疑慮，實有礙於物理概念的建立。為了破除這個迷團，消彌學習障礙，有不少人士因此試着提出各種見解，甚至還搬出另一種神奇數字來推導經驗公式，但推導手法都不夠簡明，也欠缺物理圖像，這就是為何需要以物理直觀進一步探討的緣由。
本研究方法乃以未知數並運用物理基本概念，於計算不同波長比例時，保留物質元素內稟表徵，只要不被約分消掉，其本性自然顯露出來，就能推導出經驗公式以及推導巴耳末基數，手法一切簡明，因果相扣邏輯合理。此外，除了找出巴耳末基數的物理意涵，還要推廣巴耳末經驗公式，並提出與裏德伯公式的等價證明，最後，以量綱分析手法揭露此一內藴物理量的真正本質。
2 尋找巴耳末基數文獻回顧
巴耳末在其論文**[2]**中沒有具體介紹是怎樣找到這個共同因子的過程，也就是巴耳末基數。巴耳末經驗公式的推導過程不失簡單，但不簡明，雖然找出了氫原子可見光區光譜線的規律，卻失去了找尋巴耳末基數源頭的真相。巴耳末本人始終都沒有交代是如何精準取得巴耳末基數的推演過程，在當時，此一公式僅止於現象的描述，並未提出此一光譜線背後的成因，氫原子不連續光譜仍然是自然科學界的未解之謎，而巴耳末基數竟成為謎中謎，因此變得富有想像空間。巴耳末基數之謎並非沒人打理，也有人試着尋找為什麼可以精準取得巴耳末基數。從事科學研究，理應格物致知，本研究乃秉持此一精神。此處先回顧現有尋找巴耳末基數的記載，概分為下列5種：
(1) 沿用巴耳末神奇基數法
這是一般教科書的標準做法，借用巴耳末本人所敍述，直接拿現成的巴耳末基數來用，推導出這些光譜波長的經驗公式。至於巴耳末基數的來龍去脈，就把它當歷史事件，這留給研究物理學史的學者去琢磨吧。這是目前便宜的行事手法，未來或許因本文而改變。
(2) 以形求數概念式幾何法
從幾何圖形上看到各個譜線就像透視圖那樣，由近而遠，逐漸縮小，就能領悟到譜線波長有迫近某一極值的趨勢。以形求數，便成了分析對策，如再細心觀察巴耳末公式的數學形式，是不是很像下列式子：
仔細觀察上式等號右邊的平方比例項形式，與巴耳末公式右邊整數平方比例項形式是一模一樣，上述公式就是畢達哥拉斯定理的應用，也就是我們較熟悉的勾股定理。由於巴耳末公式當n→∞ 時，λ→B，為這個線系的極限﹐這時鄰近二譜線的波長差就趨於零，因而在歸納光譜數據分析手法時，應可將一維問題二維化，於是化學光譜分析專書**[3]**中採用幾何方式，介紹巴耳末光譜分析手法，從幾何關係找到譜線波長之間遵循畢達哥拉斯定理(即勾股定理)，經過反覆試算，可概念性地找到一個共同因子，就是巴耳末基數，這種以形求數概念就如同下列圖1所示。
(3) 以碼解數用5/36比例密碼法
德國數學家撰寫一本《數字巨大的陰影》暢銷書**[4]，該書內容有一部分是講玻爾，提到其石破天驚開創原子理論新天地的機遇，就是看了一眼巴耳末公式。在介紹如何推導氫原子光譜公式時，並沒沿用迷一樣的巴耳末基數，而是運用簡單算術，另闢一條路子，尤其要仔細觀察各光譜波數比中，若要讓分母變化呈現規律，就需在一個5/36比例密碼，便可破解氫原子光譜線找出其中規律。其運用簡單算術推導過程，也可以當作很好的數據分析入門教材，以下將簡約介紹這本書[4]**的推演過程，其重點陳述如下：
先取氫原子光譜之波數1523310, 2056410, 2303240, 2437290, 2518130，接着將每一項波數皆除以第一項紅光波數，取得各波數比為1, 27/20, 189/125, 8/5, 81/49，注意前述各項分母變化可轉為1, 4×5, 25×5, 1×[5], 7×7然後再想辦法變成如1, 4, 25, [36], 49這種有規律的數列，重點觀察前面兩組數列中第四項分母中括號數字，該項分母要同時消掉5又要變成36的話，就得將波數比數列通通都要乘上這個比例密碼：5/36，其中，只需用第一項紅光波數就能直接算得裏德伯常數為：R=1,523,310/(5/36)=10,967,832，然後將紅光波數轉成裏德伯常數與比例密碼的乘積再帶回到波數比，若將原波數比的分母換成只有裏德伯常數的話，則比例密碼要挪到等號另一邊，也就是將各波數比乘上此密碼得到下列數列：
上式中第二項分子分母同乘以4，以及第四項分子分母同乘以16，之後再整理得出下列數列：
5/36, 12/64, 21/100, 32/144, 45/196
仔細整理上式並進一步觀察，會發現呈有規律變化的數列如下：
現在重新將上式歸納一下，會得出形如
的規律，再變成倒過來的因子
然後這項是要放到波數等號的右邊，於是得到裏德伯公式為：
該書中推導氫原子光譜經驗公式的關鍵之處，從觀察各波數比中分母變化裏看出規律而得到解題靈感，雖説解謎需要奇巧密碼之助，卻也交代清楚，這個思路雖有一點曲折，推演過程明朗，沒有神奇之處，卻也未能解開巴耳末基數身分之謎，而其來龍去脈需要數字演練才得以一窺究竟，過程卻缺少物理概念。
(4) 以質取數質因數法
若假定巴耳末基數是個公共因子，那麼應該能找出氫原子光譜中的公共質數因子，有個網頁**[5]**就是採質因數的因子分析法找出巴耳末基數，其推演過程重點陳述是從紅光開始取4個波數1523310, 2056410, 2303240, 2437290，除第一項外，將每個一項波數皆除以第一項紅光波數得各波數比27/20=1512/1120, 189/125=1512/1000, 8/5=1512/945，然後從中檢列出重要數字1512, 1120, 1000, 945，而這些數字的質因數可表成下列內容：
為這些譜線確定了另一個公共質數因子，其值為23×3×5×7=840，再將4個波數改回4條氫譜線波長分別為：6562.1Å, 4860.74Å, 4340.1Å, 4101.2Å，於是從紅光波長可求得公共因子數值為6562.1/(1512/840)=3645.6，就這樣找到了巴耳末基數，至於巴耳末公式，可從4條氫譜線波長比轉成質數因子比，特徵是分別除以公共因子，公式就得以推導，其過程如下：
將前4個算式稍加整理就能得出巴耳末公式：
其中B=3645.6,n=2,m=3,4,5,6。
質因數因子分析法能找出神奇基數，是對數字具有洞察力，或許有一點運氣，不能一般性推廣，總之，這也是個沒有物理概念的數字遊戲，於通俗物理介紹可用，但於正式基礎物理課程卻不宜。
(5) 泛故事法
19世紀開始不斷湧現出各式各樣的光譜實驗，吸引物理學家注意並試着解析此現象，但流於習慣用力學思維方法，始終擺脱不了舊物理框架束縛，光譜線問題難倒了眾多科學家。也許正是這個因素，在光譜規律上的研究，首先打開突破口的不是物理學家，而是瑞士的一名中學數學老師巴耳末，當時年屆60的他，受到對光譜很有研究的物理教授哈根拜希的鼓勵，試圖尋找氫光譜的規律。由於光譜線不連續的特徵是隱藏在比例項形式的數，而分數形式間變化規律的掌握，恰恰是數學家的強項（前面就有兩個實例），而且巴耳末對建築結構、圖形透視、幾何素描有濃厚興趣，專長是投影幾何，寫過這方面的專書，他在數與幾何方面的特長使他取得了物理學家沒能做到的成就。巴耳末公式是由其基數乘上分數形式比例項所構成的，這看似平常，因而沒引起後續物理學家的高度關切，直到玻爾看了一眼，玻爾看對眼的並不是其基數，而是比例項的分數形式與所搭配的整數遞變規律，那可是玻爾建立模型所需穩定態能級躍遷假設的靈感泉源。
當回顧前述對巴耳末基“數”解謎之文獻，有世説角度，以事講數；有從數學角度，找比例因子以碼解數，或尋質數因子以質取數；也有光譜分析角度，以形求數；唯獨沒有從物理角度，以理導數，這就是本研究的契機。
3 回顧氫原子光譜簡史並提出假設及擬定研究方法
這裏特別把有關氫原子光譜的個案歷史拿出來談，以便聚焦吸收知識，也方便後續的探索。1814年，夫琅禾費發明了分光儀，並在太陽光的光譜研究中發現了574條黑線，這些線被稱作夫琅禾費線。1853年埃格斯特朗首先發現氫原子光譜線，但測量不易，由於不是用氣體放電管，而是常壓下利用電火花放電法研究，觀測雖有所發現，但激發的原子生命非常短暫不易測量。1862年用早期頸部肥大圓柱管狀的蓋斯勒管，他在研究氣體放電中，確認了氫原子的Hα線 (6562.1Å) ，即紅線譜線，隨後證明它就是夫琅禾費在太陽光譜中發現的C線。之後又發現氫原子3條在可見光區域內的光譜線，即Hβ線 (4860.74Å) 、Hγ線 (4340.1Å) 、Hδ線 (4101.2Å) 。現在做歷史場景的模擬，假設吾人是回到19世紀的物理學家，那個年代通訊不發達，科學家大都靠私交書信流通科學新知或發現，如果吾人當時並不知道有一門光譜分析學，又前述氫原子光譜線是在地球上找到的，然後埃格斯特朗核對此前先有的太陽光譜，從中發現其C線暗條位置與氫原子光譜完全重合，這才發現，原來太陽大氣中存有氫原子。單單得知這道重要巧合訊息，就當代的時空背景與科學知識條件，作為基礎科學的研究精神，可以大膽地提出兩點假設：第一假設：氫原子激發不連續光譜線只與原子的內藴（intrinsic）物理量有關；第二假設：氫原子不連續光譜線波長就是此一內藴物理量的特定表徵。
雖然我們不瞭解原子的內藴物理量，由第二假設可以知道，當同一原子不同光譜線波長求比值時，由於其特定表徵都會同時出現在分子項與分母項中，因此，如果將氫原子發出不同光譜線波長兩兩相除的話，會對其內藴物理量之外在表徵做約分被消除掉，而無法察覺內藴物理量的存在。如若想掌握其內藴物理量之特性表徵，就必須在求波長比時，不能讓它被約分而不見蹤跡，自然就會顯露其物理量面貌，以下就是要落實這個思路的最簡單做法。
首先令氫原子有一不為零之未知內藴物理量定為參數B，然後將它同時乘上波長比的分子項與分母項，接着轉換成各帶一個參數B並分立成兩項分數的乘積，以如下公式説明會更明白：
波長比
再來就看看有沒有機會，就前後兩項各擁一個B參數的分數是否有規律可循。事實上，從前面的歷史回顧與探索思路，應能推斷B參數與經驗公式都是同時存在於波長間比例關係式中，因此可以不用先管參數B，就能從波長間比例關係式中推導出經驗公式，換句話説，這裏暫時不知道B參數的切確數值，試着不靠參數B值來找尋發現經驗公式的途徑，這個做法與所有文獻做法全然不同，當然也不同於巴耳末的做法。
4 推導巴耳末經驗公式
由於不知道當時巴耳末分析數據的誤差是什麼情況，其採用分數比例形式計算出來的波長真的可信嗎？這裏得先做公式計算與實際測量的誤差計算，倘若誤差不能接受，那麼巴耳末公式就不值得深究下去了。考慮原巴耳末取材自當時氫原子光譜在可見光區波段早被埃格斯特朗測定的4條譜線波長數據，再經巴耳末公式計算並進行與實際測量的誤差計算，詳如表1所示，可以發現誤差小於波長的
吻合得十分出色，因此有信心深入探索。又為了增加數據分析的難度，另再追加一條譜線波長數據，總共拿這紅、青綠、青、藍、紫等5色氫原子光譜譜線波長，並以符號化為各項光譜線波長命名如表1所示。
首先列出最長波長與其他波長間的比值與近似的整數比例關係計算如下：
a(3)/a(4)=1.35002078，比值取小數點後三位並經四捨五入得1.350=27/20，
a(3)/a(5)=1.51196977，比值取小數點後三位並經四捨五入得1.512=189/125，
a(3)/a(6)=1.60004389，比值取小數點後三位並經四捨五入得1.600=8/5。
a(3)/a(7)=1.65292191，比值取小數點後三位並經四捨五入得1.653=…？
最後一項比值不能很快算出其整數比例式，由於所有實數皆可將它展開成為簡單連分數，我們可以藉助相同概念，從這個思路出發，不需要大海撈針，但需要一些步驟，進行比數分解成形式類似簡單連分數以找出近似的分數。步驟是這樣的，輾轉運算過程是先同時將分母與分子都經放大10倍以去除小數點，即a(3)/a(7)=1.65292191=65621/39700，計算波長比例是採長波長除以短波長的比數，結果能很快找到一個2的整數下限，使得a(3)/a(7)=2-(2×39700-65621)/39700=2-13779/39700，再將分數項倒轉過來形成39700/13779=3-(3×13779-39700)/13779=3-1637/13779，再運用同樣的輾轉運算手法，又將分數項倒轉過來形成13779/1637=9-(9×1637-13779)/1637=9-954/1637，令分數項954/1637取近似值為1/2，則13779/1637=9-1/2，因此重新整理表成減號的簡單連分數形式，此一完整計算過程如下：
這個近似分數到底能不能接受呢？現在驗算一下其數值結果為a(3)/a(7)=81/49=1.653061，雖然符合近似值為1.653的要求，還是再回頭用原始波長比值為a(3)/a(7)=1.652922，驗證發現十分逼近用原始波長計算的結果，這個近似分數是可以接受的。重新整理波長比例關係如下：
重點現在就要讓內藴物理量參數B重返公式，不要被除時而消去掉，具體做法就是將此參數分別乘上前述各式以波長代號的分母項與分子項，其整數比例關係並不會因此而改變，然後將前述各式中間等號左邊之符號比例項經適度調整並分立成兩項比例的乘積，同樣思路也用在前述各式中間等號右邊之整數比例項，經適度調整也分立成兩項比例的乘積，整個推演計算過程重新整理成新的關係式如下：
綜觀上述4組比例式的前後關係式子，對照分立中間等號兩邊的兩個波長代號比例乘積與兩個整數比例乘積，呈現出一對對小括號比例因子的乘積，很容易發現其前項乘數共同因子都長得一模一樣，也就是，中間等號左邊波長代號比例共同因子是a(3)/B，而右邊整數比例共同因子則是9/5，然後將中間等號兩邊兩兩相對映的其他小括號因子找出來，再經過整理符號與整數比例間之一一對映，就能得出下列5組符號整數比關係恆等式的數列：
這些公式中只有參數B是個未知參數，此外都是已知數值，而且各項公式之形式都是一個未知數一個方程式，這是最容易求解的。顯而易見，因為沒有約分消掉，所以本性就顯露出來，這就是當初分析思路的目的，但這裏先暫時不算，以便凸顯接下來要進行的重點工作，要在參數B完全不知道的切確條件之下，也能推演出巴耳末經驗公式。
上述恆等式中，除了頭一項保持原狀以外，將其他恆等式的分母與分子上下對調一番，全數恆等式變成如同頭一項形式一樣，皆是以參數B為分母的符號比等於整數比的數列：
初看起來，這5項整數比像似無法構成規律性的分數數列，但如果將第二項和第四項之分子與分母分別乘以4，接着進行建立平方項推演，則分子部分依序可書寫成3×3，4×4，5×5，6×6，7×7，而分母部分相應書寫成完全平方再減4，這樣就出現了依序漸增平方的變化規律。重新整理新得到的符號整數比恆等式如下列所示：
在不知參數B 切確數值條件之下，從這些符號整數比恆等式的漸增平方規律，很容易從前5個式子歸納出巴耳末經驗公式如下：
5 推算巴耳末基數
巴耳末基數皆出現在一元一次方程式的符號整數比關係恆等式中，因此採用任何一個已知波長並藉由前述關係式就能很快求得巴耳末基數切確數值，但分數也是近似值，因此分別求出之後再取平均值，又為了與已知巴耳末基數做對照，這裏先剔除先前額外加進來的最末項，取前四項同巴耳末所選用的波長當計算依據，計算過程如下：
由於每個分數都是近似值，取平均值得B=3645.59，如與巴耳末一樣取小數後一位的話，那就得到一樣的數值：3645.6，終於這般如此容易，巴耳末基數現身了。
6 推廣巴耳末公式並證明與裏德伯公式等價
由於巴耳末公式起初預測氫原子的其他光譜線系列波長不準，勢必要修正，光譜研究方面，巴耳末腳步並未停歇，持續於1897年發表另一篇論文“光譜波長的一個新公式”[6]，巴耳末自己也在該論文中提出修正，也就是將原巴耳末基數除4得A=B/4=3645.6/4=911.4Å，這個新修正過的A值，就是我們於前述第二項假設的內藴物理量，但為何出現4這個數字？又為何剛好是整數？有必要探討了解。由於該值是2的平方，馬上聯想到與比例平方項式有關聯的，重新整理後，可以發現是規律變化的一部分，現在試着計算一下不同的n值並查驗一下變化規律，試算過程如下：
通過前面試算過程，可看出當n=2時就是原先的巴耳末公式，現歸納推廣後的巴耳末經驗通式：
此乃巴耳末經驗通式，適用於所有的氫原子光譜線系，終於求得氫原子內藴物理量A=911.4Å，這個攸關第二項假設內藴物理量的存在性已經證明了，但為何是這個值呢？此值的成因要如何解釋，至於比例關係項裏頭的m與n參數各有何物理意義？又為何剛好都是整數呢？要回答這個問題，光靠經驗公式這種唯象理論是不行的，得深入發展理論架構才行，因此就要靠物理發展史接下來的玻爾氫原子模型理論進行探索，才能揭露前述唯象理論有關困惑，這已超出研究範圍故不做探討。
接下來就是證明這個推廣後的巴耳末經驗通式與裏德伯公式是否等價，當然對象侷限於氫原子。首先要進行波長換成波數的表示式，只要將推廣後的巴耳末經驗通式之分子項與分母項上下對調，就能轉成裏德伯公式，顯然這就構成了它們之間的等價證明，這裏用最後修正的巴耳末基數來計算出R=1/A=1/911.4=10972130.79m-1，這個數字接近裏德伯當年所提的常數值10970000m-1**[7]**。推廣後的巴耳末經驗通式與裏德伯公式的等價證明推演，十分簡單，但限於氫原子所有光譜系，只要進行求波長倒數換成波數的表示式，過程詳如下列形式轉換：
7 以量綱分析揭露內藴物理量的本質
雖然此前已推得裏德伯常數R的真正數值，可是隻能假定它是一個屬於氫原子的內藴物理量，卻不清楚它是由哪些基本物理常數所構成，因此，本單元將以量綱分析手法**[8]**揭露此一內藴物理量的真正本質。此處選取質量(M)、長度(L)、時間(T)3個基本量綱，就氫原子中一個電子受庫侖力吸引繞着以原子核為中心在半經r處做圓周運動來進行量綱分析。首先考量此一由庫侖力產生的勢能：
現就上述位能公式中找出一些有興趣的物理量，以及考量海森伯不確定度關係，並按照它們與基本量之間的關係式道出下列分析所需的各種量綱式：
仔細研究上述各種量綱式，可得到一個無量綱量（學巴耳末沒做交代，欲知過程詳見文獻**[9]**）如下：
(1) 由於我們是在探討此一系統的內藴物理量，而上述無量綱量中的r是個變量而不是常數，因此把它剔除，這樣就符合本研究的第一項假設，此時，由於式(1)少了半徑，這相當於是把式(1)的無量綱量乘上一個長度基本量綱，就會變成一個具長度綱量的內藴物理量，其量綱又等同於巴耳末基數，於是也會有着巴耳末基數的內藴作用，也就是會按本研究的第二項假設來運作，因此這個式(1)少了半徑的物理量會隱藏在氫原子所發射的光波之中，所以，該光波所具有的能量E會是由上述式(1)無量綱量中除開半徑以外的其他3種不同道出量所組成，接着針對這些道出量分別設置相對應的量綱指數x,y,z，並存在一個未知比例係數Γ，使得能量E與這些道出量的函數關係式如下：
(2) 那麼可以從上述式(2)可得到能量的量綱式為
就量綱的一致性對照上式不同基本量綱其已知與未知之間的量綱關係，可分別找出下列聯立方程組：
對上述代數方程組求解，可得3個量綱指數分別為x=-2,y=2,z=1，再把它們代回到式(2)，使得能量E與這些道出量的函數關係式如下：
(3)又裏德伯常數的量綱是波長λ的倒數，此光量子能量為E=h f，其中f為其頻率，並令式(3)函數關係中的係數Γ=1/2，再把這些與式(3)關聯起來，於是能道出由基本物理常數實際構成的裏德伯常數：
(4)今分別引用物理基本常數：電子的荷電量(e)=1.602×10-19C，電子質量(m)=9.108×10-31kg，光速(c)=3×108m·s-1，真空介電常數(ε0)=8.85×10-12C2·N-1·m-2，普朗克常數(h)=6.626×10-34J·s，將這些物理常數代入到式(4)中，可算得其數值如下：
上述經相關物理常數計算值，以及前一單元自創新法裏對實驗波長數據所做的裏德伯常數R推算值，都和當年能被大家接受的四位有效數字的值**[7]**完全一致，因此，本研究要找的內藴物理量，其本質內涵就是經量綱分析所得裏德伯常數的式(4)裏所用基本物理常數關係式，這也與玻爾理論所推得的形式及內涵完全一致，至此，也驗證了本文於進行研究前所做的兩項假設事項。
8 結 論
課堂上沒講清楚的巴耳末公式，除了數學家還有一些餘熱之外，就只剩記憶裏的歷史片段了，何曾想到，深入研究發現，竟能用如此簡明的物理推導手法，就能重新發現巴耳末公式，並以量綱分析及沿用本研究的兩個假設，就能揭露光譜線中內藴物理量的真正本質！現總結一下研究心得：
(1) 用多元角度數據分析刺激建模靈感。本文保留了各路對解決巴耳末公式的不同推演手法，用意是提供課堂上數據分析的多元角度練習，藉由不同手法推論特徵，從而體認到數學家與物理學家在解決問題層面會有本質上的不同，希望能從這些素材刺激一些靈感泉源。本質上，物理理論都是簡化複雜面貌後的濃縮資訊，單從理論學不到全貌，其根本原因是，建模者原來綜觀問題核心的思量，原創者建模的拿捏過程，這些林林總總如何促成建立模型的重要養份沒有教，也是無從教起的，至今沒人完全知道哥白尼、開普勒、牛頓、玻爾、愛因斯坦等人怎麼能夠覺察問題，找出問題的關鍵所在，進而發明自己的創見。這些無價之寶，乃是研究層面的真學問，只能當它是靈感吧！
(2) 創造力=創造另一種可能。本文所用資料背景和巴耳末所處年代完全一樣，就是為了在教學過程中，除了能以歷史軌跡講授當代科學發展史與巴耳末公式的特殊貢獻之外，還能以不一樣的邏輯軌跡用隨堂方式演練歷史的偶然，因為學習物理也需學習創造力，而創造力就是創造另一種可能，理應研習在一些偶然情況下做出不一樣的假設條件，從而進行創造性思考與推理，如此場景在外、思路在內相互呼應，以內外兼有的物理圖像，期建立學子清晰的物理概念。
(3) 鋪墊物理發展三部曲。楊振寧**[10]**針對物理界研究定性地概分為實驗物理、唯象理論和理論架構三部分。先從哥白尼日心説講起，經過開普勒創建三大定律，然後這些成果奠定了牛頓的萬有引力定律。以上體現古典物理的實驗物理、唯象理論和理論構架三部曲，這一路發展充滿了物理圖像。反觀近代物理史發展，從氫原子光譜的實驗物理，過渡到巴耳末公式的唯象理論，再到玻爾氫原子模型理論，這是課堂必上教材，然而在教授巴耳末公式時，往往採講故事的方式帶過，問題是，沒有了物理量方面實際操練，就易失去對物理性質的感受，這一避重就輕的彎道超車，會讓認知披上一層神秘面紗，造成學習上的一個斷層現象。本研究找到了巴耳末公式所欠缺的最後一塊物理拼圖，從而清楚認識其來龍去脈，再佐以量綱分析，能順勢與玻爾模型接軌，過程思路就清晰了，這一路發展才又充滿了物理圖像，進而完備了近代物理史發展的實驗物理、唯象理論和理論架構三部曲。
(4) 逆向思考切入問題的隱因還原比例法。固有成見常會潛意識地自我設限，框住了自己創建發現的開拓潛力，要如何擺脱，將成為科學家的重要養成教育。其中有個辦法就是逆向思考，在物理史中有個典型的例子，就是費米靈機一動拿石蠟做實驗意外發現了慢中子效應。一般人在進行比例計算，當分子分母有相同乘積項時，都會進行兩兩消除。本研究所探明的一種簡易且具物理直觀方法，也是採用逆向思考，將一般計算比例思路反過來，把被隱藏具物理意義的重要因子，當作共同乘積項，藉由比例計算將其還原到分子分母裏，因此，特將此研究方法稱之為隱因還原比例法。至於本方法相關的理論介紹，與量綱分析又有何關聯，可參考接續本研究發展的下篇文獻**[9]**。
參考文獻
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TENG C L. Using New approach in dimensional analysis to reform the formula for the Bohr model’s energy levels[J]. Physics and Engineering, 2019, online first.
[10] 楊振寧.美與物理學[J].二十一世紀，1997(4):71-79.
YANG C N. Beauty and physics[J]. Twenty-First Century, 1997, 40(4): 71-79. (in Chinese)
作者簡介：鄧崇林，獨立研究員，主要研究方向為創新研發高階基礎科學教育教學內容與實驗設施、機器人綜合型學習教案。
引文: 鄧崇林. 以簡明物理法重新發現巴耳末公式[J]. 物理與工程，2019，29(1)：44-52.
版權聲明：本文經授權轉載自微信公眾號“物理與工程”。
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