盧昌海：老樹發新枝——黎曼猜想的新進展_風聞

撰文 | 盧昌海

來源：《南方週末》

美國數學家查基爾（Don Zagier）和小野（Ken Ono）在PNAS上發表論文稱，他們在黎曼猜想的研究中取得了新進展。這篇論文如果正確的話，則意味着從一個角度為黎曼猜想的成立提供了系統性的證據。

美籍日裔數學家小野（Ken Ono） （資料圖）

最近一段時間，在黎曼猜想的研究中，時常爆出新聞。這在一定程度上是拜這一猜想的崇高地位所賜。黎曼猜想是德國數學家黎曼（Bernhard Riemann）於1859年在研究素數分佈時提出的，迄今已有160年，卻仍未被解決。

當然，單以時間而論，160年未被解決在數學猜想大家庭裏尚排不到老大，比如哥德巴赫猜想早在1742年就被提出了，迄今已有277年，卻依然未被解決。但是，若以重要性而論，黎曼猜想在數學猜想大家庭裏的地位卻是無可比擬的。據統計，在今天的數學文獻裏已經有一千條以上的數學命題是以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提的，這種與數學其他部分的千絲萬縷的聯繫構成了黎曼猜想重要性之“實”。與這種實實在在的重要性遙相呼應的，是1900年希爾伯特提出的“數學問題”及2000年美國克雷數學研究所懸賞百萬美元的“千禧年難題”同時納入了黎曼猜想——前者成就了黎曼猜想的顯赫之“名”，後者為黎曼猜想添加了鉅額之“利”。

雖然數學被公認為抽象領域，常為公眾所漠視，但這種“實”“名”“利”三位一體的重要性使黎曼猜想成為了數學領域裏吸引公眾眼球的少數例外。

那麼，什麼是黎曼猜想呢？用最簡單的話説，黎曼猜想是關於黎曼ζ函數零點分佈的猜想。稍稍細述一下的話，黎曼ζ函數顧名思義，是一個函數，它跟許多其它函數一樣，在某些點上取值為零，那些點被稱為黎曼ζ函數的零點，其中特別重要的一部分零點被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點。黎曼猜想所“猜”的則是：黎曼ζ函數的非平凡零點全都分佈在一條被稱為“臨界線”的特殊直線上。

等價命題

黎曼猜想與數學其他部分的千絲萬縷的聯繫除構成它的重要性外，還導致了一個特點，那就是使黎曼猜想有很多等價命題——即與黎曼猜想要麼同時成立，要麼同時不成立的命題。這些等價命題中的一個是由匈牙利數學家波利亞（George Pólya）給出的。1927年，波利亞證明了黎曼猜想這一關於黎曼ζ函數零點分佈的猜想與另一類函數的零點分佈具有等價性——換言之，只要證明了那另一類函數零點分佈的某些性質，就等同於證明了黎曼猜想。那另一類函數叫做詹森多項式——確切地説是跟黎曼ζ函數相聯繫的詹森多項式(Jensen Polynomial)[1]。詹森多項式是以丹麥數學家詹森（Johan Jensen）對它的研究而得名的，與黎曼猜想相等價的零點分佈性質則是指詹森多項式的零點全都是實數[2]。

由於黎曼猜想始終未被解決，因此任何等價命題原則上都開啓了一種可能的解決途徑——即通過研究等價命題來解決黎曼猜想，波利亞給出的上述等價命題也不例外。

但不幸的是，這一等價命題在很長的時間裏甚至顯得比黎曼猜想本身還難對付。這是因為詹森多項式有無窮多組——彼此間以所謂的“度數”相區分，每組又各有無窮多個——相互間以所謂的“偏移”相區分[3]。而長期以來，數學家們只證明了其中“度數”最低的3組詹森多項式的零點全都是實數——即滿足黎曼猜想的要求，這在全部詹森多項式中所佔的比例為無窮小；相比之下，對黎曼ζ函數本身，數學家們已證明了超過40%的非平凡零點滿足黎曼猜想的要求。因此，波利亞給出的上述等價命題在研究黎曼猜想時受到了長期冷落，彷彿一株枯萎的老樹。

老樹新枝

這一切最近發生了突然的變化。

2019年2月，美國數學家查基爾（Don Zagier）和美籍日裔數學家小野（Ken Ono，這位數學家似尚無中譯名，維基百科給出的日文名為“ケン・オノ”，其父Takashi Ono也是數學家，日文名為小野孝，本文暫依姓氏譯為小野）等人向美國《國家科學院院刊》（PNAS）提交了一篇論文，宣稱在研究波利亞給出的上述等價命題方面取得了重大進展。具體地説，該論文宣稱證明了對具有相同“度數”的每一組詹森多項式，除有限多個外，其餘全都滿足黎曼猜想的要求——即零點全都是實數。

不僅如此，對於“度數”最低的8組詹森多項式，該論文宣稱證明了它們的零點全都是實數。這些結果雖不足以證明黎曼猜想，跟原先所知的“度數”最低的3組詹森多項式的零點全都是實數相比，卻強出太多了，從而立即將波利亞給出的上述等價命題推到了黎曼猜想研究的前沿，大有讓老樹發新枝之勢。

查基爾等人論文的問世過程也很有趣。讀過拙作《黎曼猜想漫談》的讀者也許還記得查基爾這個名字，他年輕時曾跟意大利數學家蓬皮埃利（Enrico Bombieri）打賭，賭黎曼猜想會在黎曼ζ函數的前3億個非平凡零點中出現反例，結果輸了。2016年，這位查基爾迎來了65歲的生日，小野前往賀壽。作為禮物，小野帶了一個有關多項式的題目給查基爾當娛樂。説是“娛樂”，那個題目其實是相當棘手的，棘手到了小野自己都不抱希望，但查基爾卻大感興趣並很快取得了進展，那進展又反過來給了小野啓發，於是他跟查基爾及自己以前的兩位學生合作，將“娛樂”進行到底，沿那個題目一路推進，最終推進到了詹森多項式，並寫出了上述論文。

2019年5月21日，在經受住了審稿人的審讀後，查基爾等人的論文正式發表在了美國《國家科學院院刊》（PNAS）上，並很快引起了媒體的興趣，成了黎曼猜想研究中的最新新聞。查基爾等人的這篇論文倘若正確，則不僅是老樹發新枝，而且對黎曼猜想本身也是新的支持，因為它相當於從詹森多項式的角度為黎曼猜想的成立提供了證據——而且是系統性的，而非只是零星的證據。

美國數學家查基爾（Don Zagier） （資料圖）

審慎樂觀

不過，雖經受住了審稿人的審讀，但在黎曼猜想這樣艱深的領域裏，數學家們已學會了超常的謹慎。查基爾等人的論文究竟是否正確，還有待更多數學家的檢驗，而非僅僅以論文的發表為終結。

但就這篇論文而言，有一個特點比較利於檢驗，那就是這篇論文沒有用到特別艱深的數學工具——用小野自己的話説，“我們證明的美麗之處在於它的簡單”。由於這一特點，也許不必等待太久，數學界就會完成檢驗並達成某種共識。

在那之前，如果要我對成功希望發表點看法的話，那麼在缺乏其他參考的情形下，一般來説，我的看法是：一項黎曼猜想研究的成功希望反比於結果的宏大程度。對黎曼猜想研究來説，最宏大的結果莫過於直接給出黎曼猜想的證明，成功的希望則是最小的；查基爾等人的論文不在此列——事實上，查基爾等人自己也承認，他們的論文距黎曼猜想的證明還差得很遠。但也因此，成功的希望相對較大。同樣也因此，我願冒隨時被證偽的危險，對查基爾等人的研究表示審慎的樂觀：願這一研究確實讓老樹發新枝，更願新枝還能繼續成長。

註釋

[1] 更確切地説是跟所謂的 ξ 函數相聯繫的詹森多項式——這裏的 ξ 函數是研究黎曼猜想時很常用的輔助函數， 具體定義可參閲拙作 Riemann 猜想漫談 的 第五節。 詹森多項式本身是可以跟一大類函數相聯繫的， 具體定義——據本文所談及的論文——是這樣的： 對給定的函數 f(z) = Σk γ(k) z2k/k!， 與該函數相聯繫的 “度數” (degree) 為 d， “偏移” (shift) 為 n 的詹森多項式為： Jd, n(x) := Σj C(d, j) γ(n + j) xj， 其中 C(d, j) 為二項式係數， 對 j 的求和從 0 到 d。

[2] 如果與物理學相類比的話， 那麼波利亞的等價命題讓我想起的是超弦理論裏的對偶性： 研究詹森多項式的零點分佈彷彿是通過對偶理論研究黎曼猜想。

[3] “度數” 和 “偏移” 的含義參閲[1]。

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