拓撲序：看世界的一種新視角 | 眾妙之門_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-06-12 10:02
作者|Philip Ball
翻譯|weitmann
物質通常具有氣態、液體、固態等物態，不過在極端低温下會出現奇異的新物態，對稱性及對稱性破缺並不能刻畫它們的性質。於是物理學家提出拓撲序來描述由量子效應主導的物態。拓撲序是看待世界的一種全新視角，它還可以描述空間的內在結構，將空間看作由許多量子比特構成的系統。而這些糾纏的量子比特可以將相互作用、物質和信息全部統一起來。
拓撲學曾經只是純數學的一個分支，它研究不同形狀在連續變化下保持不變的性質。一個經典的例子是對於只有一個洞的物體，比如環面和帶把手的咖啡杯，二者可以在不撕裂的條件下彼此光滑地轉換。不過長期以來，拓撲學的概念在研究物性中也發揮着作用，例如拓撲可能會決定系統中某些無法抹除的組成部分的特殊構型。一個經典的例子是考慮一個“毛球”。無論你如何梳理這個毛球，毛球上總會有兩個點狀的綹。這種結構上的“缺陷”可以看作是被“拓撲保護”的，因為任何梳理方法都不能令它們消失。這種特性是普適的，它們並不依賴系統中具體的材料：液晶中的拓撲缺陷與被稱為宇宙弦的時空中的缺陷是類似的。
“經典拓撲”研究的是不同形狀在連續變化下保持不變的性質。咖啡杯可以平滑地轉變為環面，它們具有相同的拓撲結構。經典拓撲可以用來研究一些簡單材料（如整數量子霍爾態）的性質。但更復雜材料（如分數量子霍爾態）的量子特性需要用“量子拓撲”來理解。這篇文章主要介紹由量子拓撲所描寫的複雜拓撲物態。| 圖片來源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences
尤其是在過去幾十年，物質的拓撲性質已經成了物理研究中的一個主要課題，這反映在1985年和1998年的諾貝爾物理學獎中，它們都被授予了與量子霍爾效應有關的發現。“霍爾電導”測量的是二維導體在磁場下的由電場引起的橫向電流。在量子霍爾效應中，它的值精確等於量子化電導
的整數或分數倍，這裏的量子化電導是與電子電荷量有關的一個特定數值。無論我們如何改變材料，譬如添加雜質，這種量子化的行為都會保持不變。獲得2016年諾貝爾物理學獎的也同樣是與拓撲相和拓撲相變相關的工作。
2016年諾貝爾物理學獎的一部分授予了拓撲相變的研究，另一部分授予了拓撲物態的研究。但得獎的拓撲相變和得獎的拓撲物態並沒有什麼關係。得獎的拓撲相變是指由拓撲缺陷所導致的相變（見圖）。最近的一項研究表明，由拓撲缺陷所引起的相變（即上面所提拓撲相變）只能導致平庸非拓撲態之間的相變，不是通常意義上的拓撲相變。反而是沒有拓撲缺陷的相變才能導致拓撲態之間的相變，是通常意義上的拓撲相變。| 圖片來源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences
人們意識到，一些材料中電子結構的拓撲性質為材料賦予了特殊且或許有用的性質。例如，一些研究者認為，“拓撲物質”也許可以提供量子計算中所需的量子比特，而且這種量子比特能夠抵抗環境中的隨機噪音。
描寫更復雜拓撲物態中的電子結構，需要用到“量子拓撲”。而量子拓撲和上面提到描寫球面環面之不同“經典拓撲”很不一樣。量子拓撲是用來描寫量子材料中電子所具有的量子糾纏。量子糾纏很難用經典的圖像來描述。上圖是一個描寫量子糾纏的藝術的嘗試。它完全不能用經典拓撲的球面環面等圖像來刻畫。複雜拓撲物態的量子拓撲（如拓撲序）從1980年代就開始了系統的研究。近十幾年來，搞得火熱的拓撲絕緣體、拓撲超導體等等屬於簡單拓撲物態，可用經典拓撲來描寫。這篇文章中所講的拓撲物態主要是指由量子拓撲所描寫的複雜拓撲物態。而一般媒體文章中所講的拓撲物態是指由經典拓撲所描寫的簡單拓撲物態。
在過去幾十年的時間裏，麻省理工學院的文小剛一直在思考基礎物理學中“拓撲序”的概念。時空的基礎結構中的拓撲如何產生基本粒子和基本相互作用？這個問題的答案與凝聚態物理中的拓撲相有關，而這也揭示出物理學中一種新的統一原理。
下面是國家科學評論（NSR）與文小剛就他的工作進行的訪談。
文小剛。| 圖片來源：文小剛
**NSR：**您能否解釋一下物態中的“拓撲序”指的是什麼？它似乎與物理學中一些非常深刻的概念有關，例如對稱性和對稱性破缺，這些概念不僅可以用來描述凝聚態物理中那些實際有用的材料的行為，也同樣適用於基礎粒子物理。
**文：**自然中存在着很多種不同的物態。根據前蘇聯物理學家列夫·朗道的相變理論，不同物態之所以不同，是因為它們的粒子組織結構具有不同的對稱性。長久以來，人們相信朗道的理論描述了所有物態，也隨之產生了一種錯覺，好像凝聚態理論已經搞完了。
物質通常具有氣態、液體、固態等物態，不過在高温下會出現等離子態，在低温下會發生量子凝聚，出現奇異的新物態。對稱性及對稱性破缺並不能完全刻畫它們的性質。| 圖片來源：Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences
然而，上世紀80年代，人們研究了手性自旋液體和量子霍爾液體這兩種量子效應主導的物態，結果發現，這些物態都具有完全相同的對稱性。對稱性不足以解釋它們的區別，需要一種新的組織規則將它們區分開，這就是拓撲序。因此，拓撲序描述了對稱性及其破缺不能刻畫的現象。
一個物質態的性質只由其中組份的組織結構來決定。如果這些組份形成一個固定的圖案（如A，B），那這一組織結構可以用其對稱性來刻畫。這就是關於物質態的朗道對稱破缺理論的精髓。但在量子物態中，其組份有很強的量子漲落，不能形成一個固定的結構，無法用對稱性來描寫。但量子漲落可以看成是集體舞（如C，D）。不同的舞蹈（三步圓舞、手拉手線舞等）描寫了物質中的量子糾纏結構。這就是拓撲序的直觀圖像。
儘管提出拓撲序理論是為了理解新的量子物態，但它或許也能描述空間的內在結構。這是因為空間可以被看作是由許多量子比特構成的系統。量子比特是量子信息的基本單元，它具有0和1兩個值。所以由許多量子比特所組成的空間，可被看成是一個量子比特海。（譯註：經典比特是簡單的0和1，而量子比特是0和1的疊加。）
當這個量子比特海具有某種合適的拓撲序，也就是説當這些量子比特以某種特定的方式組織起來時，它們的漲落和它們拓撲序中的缺陷能夠分別產生光子和電子，以及所有其他的基本粒子。通過這種方式，我們就得到了相互作用（物理學家稱之為規範相互作用）和物質的統一。這種統一甚至比所謂的大統一更加深刻，因為大統一理論只是統一不同的規範相互作用（力），而前者會將相互作用、物質和信息都統一起來。這暗示着我們宇宙的本質是量子信息。物質和相互作用全都來源於量子信息。
有一些物理學家認為物質和相互作用全都來源於量子信息。| 圖片來源：Physics World
**NSR：**拓撲序在凝聚態物理的某些方面起着重要的作用，並在過去一二十年中發展成為一個龐大的主流研究領域。這個現象是如何以及何時開始在物理學中出現的？
**文：**在上世紀八十年代初通過實驗發現分數量子霍爾效應後，人們意識到這些奇異的量子液體有着許多不尋常的性質，比如分數化的電荷和分數統計。這表明分數量子霍爾液體是新的物態。但它們的本質是什麼？在1989年，當我正在研究相關的手性自旋液體時，我意識到這些新物態的本質與對稱性沒有關係。我們需要一種完全不同的視角，而我嘗試的新角度是拓撲，這是受到威滕（Edward Witten）關於拓撲量子場論工作的啓發。
這種拓撲方法非常有效。我發現當我們把這些新物態放到具有不同拓撲的空間上時，新的組織方式可以通過不同的基態簡併度（最低能量態的數量）來顯示出來。我進一步提出，這些簡併基態中所謂的非阿貝爾幾何相，能完全刻畫並定義這種被我稱之為拓撲序的新序。一年後，我論證分數量子霍爾液體的邊界具有穩定的性質，並且會反映出系統的主體部分所具有的不同的拓撲序。這使我們能夠通過實驗去測量拓撲序。
一個有高度量子糾纏的複雜量子物態，其內部結構非常複雜，很難看清楚這一內部結構到底長什麼樣，只能説像一團亂麻或者像一鍋粥（這樣的描寫幾乎是什麼都沒説）。1989年所提出的拓撲序理論，就是找出了一個辦法來看清楚這一複雜的內部結構。只有對一個東西有了清楚的描述之後，才能提出相應的概念。當時提出的辦法就是把一個複雜的量子物態，放到球面環面等具有不同拓撲的空間上。然後測量這些複雜量子物態的能量最低態的數目。我們發現這些數目和上圖表示的空間拓撲結構有關，也和量子物態中的糾纏結構有關。這種對量子物態中糾纏結構的定量描寫導致了拓撲序的概念和理論。
拓撲序的理論非常豐富、深刻。從1989年開始，我已經在拓撲序這個領域工作了將近三十年，而且仍然有新的發現。在2000年前後，人們發現拓撲序和量子糾纏之間存在着深刻的聯繫，而且基塔耶夫（Alexei Kitaev）提出了拓撲序在量子計算中的應用。所以在過去二十年中，拓撲序領域迎來了穩定的發展，而且現在已經成為凝聚態物理和量子計算中的重要領域之一。
不同的拓撲序不能用球面環面這種經典拓撲概念來刻畫。用中國結或凱爾特結圖像來描寫，會比球面環面更準確。
**NSR：**您把拓撲序看作是理解物態的一種統一原理。這是為什麼？
**文：**為了理解低温下的物態，我們既需要朗道的對稱性破缺，也需要拓撲序。對稱性破缺描述了粒子組織結構的靜態模式。然而，粒子具有所謂的量子漲落，而這些漲落也具有模式。拓撲序描述這些“舞動”的模式，這也是量子材料中量子糾纏的模式。
**NSR：**您提出了一種叫做“弦網凝聚”的理論作為量子場論的深層原理。您能解釋一下它是什麼嗎？
文：在凝聚態物理中有一個演生原理：物質的性質來源於其組成部分的組織方式。如果像我之前所説的，空間也可看成是量子比特所形成的一塊特殊物質。所以空間也同樣是演生的，其性質由形成它的量子比特的組織結構所決定。以這種觀點來看，量子比特組織結構的形變就是產生電磁相互作用的光波，以及產生強相互作用的膠子。內部的拓撲序也可以具有缺陷，這些缺陷對應於電子和其他物質粒子，比如夸克。
對物質起源的主流看法是基於還原論的。這一看法認為對物質的深刻理解，可以通過把物質分解為更小更簡單的組分來實現。有一些物理學家認為還原論的看法代表了一個錯誤的方向，並提出了演生論的看法。把空間看作一個量子比特海的弦網理論，就是演生論看法中的一個具體實現。
光波、膠子、電子和夸克也可以被看作是空間（量子比特海）的性質。我們知道，對於我們所在的空間，光波滿足麥克斯韋方程組，膠子滿足楊-米爾斯方程，而電子和夸克滿足狄拉克方程。但是隻有當空間具有某種特定的拓撲序，也就是説當組成空間的量子比特以某種特定的方式被組織起來時，以上這些事實才成立。弦網凝聚就是描述這種組織方式的一個術語。在這種情況下，數值為1的量子比特形成以某種特定方式連接的弦網。除此之外，這些弦可以四處移動，並通過翻轉量子比特（它們的值可以在0和1之間轉換）自由地重新連接。在這種弦網液體中，弦的密度波對應於光子和膠子的波，而弦的端點對應於電子和夸克。所以我主張具有這種弦網結構的量子比特會統一所有的基本粒子和相互作用，並能夠為粒子物理的標準模型提供一個起源。
弦網理論認空間是由許許多多量子比特所組成的，其被稱之為量子比特海。形成量子比特海的量子比特，必須有一個特定的量子糾纏，才能描寫我們世界中所觀測到的各種基本粒子，如光子、膠子、電子、夸克等。“弦網”則是描寫這一量子糾纏的直觀圖像。我們把取值為0的量子比特看成是背景，對應於上圖的黑色部分。取值為1的量子比特組成弦網結構。這些弦網還動來動去有量子漲落。這種有舞動的弦網所描寫的量子糾纏就能產生我們所觀測到的所有基本粒子。
弦網量子糾纏可以產生滿足麥克斯韋方程的電磁波（也就是光波）。圖像很簡單：其實弦網液體中的弦的密度波就對應於電磁波，它滿足麥克斯韋方程。自從麥克斯韋發現他的方程之後，我們花了150年才找到這一關於光起源的簡單理解。以前，凝聚態物理學家研究了由粒子、自旋等等東西所組成的液體。但這些液體中的波都不滿足麥克斯韋方程。能承載光波的媒介（被稱之為以太）一直沒有找到。現在發現，以太就是簡單的弦網液體。弦網液體不僅能產生滿足麥克斯韋方程的光波，還能產生滿足楊-米爾斯方程的膠子波。這些各式各樣的弦網密度波，是電磁相互作用、強相互作用和弱相互作用的起源。
**NSR：**現在有許多材料的電子結構都展現了某種拓撲特徵，比如量子自旋液體、外爾半金屬、石墨烯和拓撲絕緣體。這些奇異材料並不容易描述，不過您能説説它們與拓撲相關的內容嗎？以及從我們實際觀測的角度出發，拓撲在其中是怎麼體現的？
**文：**最近幾年，很多非常不同的現象都被稱為是“拓撲的”，這也帶來了一些混淆。在一篇叫做《量子拓撲物態大觀》（Zoo of quantum-topological phases of matter）的文章中，我嘗試去澄清這個術語。
量子自旋液體和量子霍爾液體具有拓撲序，因為它們具有對抗局域擾動（包括破壞其全部對稱性的擾動）的穩定特性。舉例來説，在一種特定的弦網液體中，演生的光子能攜帶任意小的能量，併產生長程的庫倫（靜電）相互作用。不論我們如何改變底層量子比特間的相互作用，我們也不能破壞這個性質。因此演生的長程庫倫相互作用是一種拓撲性質。這裏的“拓撲”意味着對抗任何局域擾動的穩定性。
而拓撲絕緣體就很不一樣。它們的性質在一些局域擾動（比如破壞某些對稱性的擾動）下不能保持穩定。因此它們的“拓撲”和拓撲序的“拓撲”含義不同。根本的區別是，拓撲絕緣體僅含有短程量子糾纏，但拓撲序具有長程量子糾纏，而這正是拓撲穩定性的來源。
至於所謂的拓撲超導體，它們一些具有拓撲序，而另一些沒有。一維的p-波超導體和二維的手性p-波超導體有拓撲序，但是有時間反演對稱性的拓撲超導體沒有。同時，被稱為外爾半金屬的材料以及石墨烯具有演生的無能隙費米子，也就是説，在它們的電子態中，導帶和價帶之間的間隙在動量空間中的某些點可以降到零。這一性質是由對稱性和拓撲共同保護的，也不是拓撲穩定的。
拓撲絕緣體有不尋常的邊界性質。很多文章説拓撲絕緣體是由它們導電的邊界刻畫的。這種描述並不是非常準確，因為即便是非拓撲絕緣體也可以擁有導電的邊界。拓撲絕緣體的特殊之處在於，它們導電的邊界不會受到保持時間反演對稱性的雜質影響。
我們可以看到這些所謂的“拓撲”材料的內涵非常豐富，且具有各種各樣的性質。它們中的一些有拓撲序，一些有其他類型的序。僅僅用“拓撲”二字是不足以捕捉它們的本質的。
**NSR：**這些材料的電子態具有拓撲特性，有什麼由此產生的潛在用途嗎？
**文：**有長程糾纏的拓撲序材料（topologically ordered material），例如分數量子霍爾液體和p-波拓撲超導體，可以被用來製造拓撲量子計算機。具有完美導電邊界態的拓撲序材料也可以應用在電子器件中。然而，現有的拓撲序材料僅存在於非常低的温度或者非常強的磁場中。為了實際應用，我們需要尋找能在較高温以及較弱磁場中存在的新拓撲序材料。
短程糾纏的拓撲絕緣體已經在室温和零磁場條件下實現了。它們受對稱性保護的導電邊界或許能被應用於電子器件。
**NSR：**這個領域一大引人入勝之處在於，它似乎提供了物理研究探索如何運作的一個模式，它並不是很多人所認為的那種方式。也就是説，它並不僅僅處理某種特定的系統或材料，而是使用譬如對稱性破缺、臨界性、無序以及現在的拓撲序這些概念。這些概念普遍適用於不同的系統和尺度。這是您看待物理的方式嗎？
文：拓撲序的發展與物理中一些其他概念的發展的確很不一樣。後者往往源於某種新材料或者新現象的發現。這些發現當然非常重要。但是拓撲序的發展更多源於一種思考問題的新方式以及看世界的新視角。
從某種意義上説，朗道的對稱性破缺理論賦予我們聽覺，給我們一種聆聽和享受自然界“美妙音樂”的能力。類似的，拓撲序屬於我們視覺，給我們一種觀賞自然界“絢麗景象”的能力。一旦我們眼睛睜開，就能發現許多美麗的新圖景。
**NSR：**您是否覺得，在中國人們對於拓撲物質的研究有着濃厚的興趣？如果如此，誰是主要的推動者呢？
**文：**中國的物理學家和學生對拓撲物質有着非常強烈的興趣，或許比世界上其他國家更甚。在理論方面，向濤教授的研究組（中國科學院理論物理研究所）發展了一套領先的張量網絡方法，非常適合對拓撲序的數值研究。翁徵宇教授（清華大學）發展了一套自旋液體的規範理論方法，同時也訓練了一批世界級的博士研究生，他們成為了研究拓撲物態的重要推動力。
中國的實驗學家也同樣做出了一些重大的發現。薛其坤教授的研究組（清華大學）發現了反常量子霍爾效應。賈金鋒教授的研究組（上海交通大學），以及高鴻鈞、丁洪教授的研究組（中國科學院物理研究所）發現了馬約拉納零模（一種攜帶分數自由度的拓撲準粒子）的存在線索。在拓撲物質和鐵基超導領域，中國物理學家們在前沿開疆擴土，亦是全球在這方面研究的重要推動力。
**NSR：**您是如何對這些物質產生興趣的？什麼或誰啓發了您去研究它們？以及您會怎樣吸引年輕研究者進入這個領域？
**文：**我對拓撲序的興趣來源於我自己的好奇心，而不是它潛在的應用，我也沒有什麼預定的目標。在基礎科學研究中，我們嘗試去拓寬我們知識的版圖，去發現未知。這些未知甚至都沒有一個名字。一個沒有名字的東西當然無法作為研究的目標。因此我的研究主要是由我認為美的東西所引導。如果我喜歡它，我就去做，而不管別人怎麼想。我們注意，到底什麼是美，到底往哪個方向做研究，是由在前沿的研究者來決定的，而不是由政府去決定的。至少基礎科學研究應是這樣開展的。對於應用研究，是工業界判斷什麼有用，並指導技術的發展。
我嘗試吸引年輕研究者到本領域的方法是，向他們展示我看到的美景，並且和他們一起享受其中。
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本文翻譯自《國家科學評論》（National Science Review, NSR) ，Volume 6, Issue 2, March 2019, Pages 227–230，原標題為“Making the world from topological order”。《返樸》獲授權翻譯，已經文小剛本人審閲。NSR是科學出版社旗下期刊，與牛津大學出版社聯合出版。如需閲讀英文版，請點擊https://academic.oup.com/nsr/article/6/2/227/5162852。
《返樸》，致力好科普。國際著名物理學家文小剛與生物學家顏寧聯袂擔任總編，與幾十位學者組成的編委會一起，與你共同求索。關注《返樸》（微信號：fanpu2019）參與更多討論。二次轉載或合作請聯繫[email protected]。
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