維納斯和雲朵會讓你考不上大學嗎？其實這完全不是重點_風聞
风云之声-风云之声官方账号-2019-06-12 07:50
袁嵐峯，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家研究中心副研究員，科技與戰略風雲學會會長
2019年6月9日，今年的高考結束了。跟往年不同的是，今年的數學卷子相當的出人意料，引發了大量的哀號與慘叫。人生總是充滿意外啊！
一些典型的反應，可以見@中華全國學聯的微博文章《換湯不換藥的高考數學，這次換了個碗》（https://weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404380873830094634），此文的綜合來源是《中國青年報》。@中華全國學聯是中華全國學生聯合會的官方微博，簡介是：“高舉主流價值觀的紅旗，竭力傳播青春正能量，關注莘莘學子普遍訴求，助力青年學生奮發成才！”好吧，又是全國學聯，又是《中國青年報》，看來此文可以當作“傳播青春正能量”的官方吐槽！
文中引用了幾位網友的留言：
“味精是甜的_天影：考試的時候差點氣死，考完趕緊上微博，果然，大家都不會。看來不是我自己的問題（夠了）
我想再睡一會啦： 會的都不考 考的都不會全國一卷氣死我了！如果我今年沒考上大學一定是因為今天下午的數學！
一隻放棄減肥的小白鴿 ：這數學是人做的？”
文中還給出了不少截圖：
“
除了常規吐槽
今年被cue到最多的
是一朵雲和維納斯
全國卷三· 一朵雲
全國卷一· 維納斯
網傳的題目截圖
”
現在問題來了：我怎麼看今年的高考數學試卷呢？
其實，在2018年的高考前夕，我就做過一期《科技袁人》的視頻（高考最大的意外是，那年的數學太簡單了！ | 科技袁人），回憶了我的高中生涯和1992年高考的經歷。對我來説最吃虧的是，那年的數學卷子是比較容易的。
為什麼這算吃虧？因為我所在的高中班叫做“山西省實驗中學數學優勢班”，顧名思義，整個班就是以數學競賽為中心組建的。我們班也確實不負眾望，有兩位同學拿到了全省數學競賽第一名。
第一名為什麼會有兩個人？因為在高二和高三的時候，我們班分別有兩位同學獲得了全省數學競賽第一名。這兩位同學都參加了全國的數學冬令營，分別保送到北京大學數學系和中國科學技術大學近代物理系去了。
此外，我們班還得到了一個全省數學競賽的第二名，——就是我。但我沒有去參加數學冬令營，因為我去參加化學冬令營了，——我同時還獲得了全省化學競賽的第三名，在數學和化學的冬令營之中選擇了化學。
總而言之，你可以理解，為什麼數學試卷簡單對數學優勢班來説是吃虧了。數學滿分120分，我考了118分，我們班的許多同學都考了接近滿分的成績。這是件不利的事，因為在數學上拉不開差距了。在這個意義上，我們是贏了競賽，輸了高考。人生總是充滿意外啊！
經常有人希望考題簡單一點，我必須指出，這一看就是學渣的想法。考題應該有足夠的難度，這樣才能有鑑別力，否則國家怎麼能選出合適的人才呢？
我的科大師弟、等離子體物理學博士萬維鋼是一位著名的社會科學科普作家，筆名“同人於野”。他有一篇有趣的文章《高中是個把人分類的機器》（https://mp.weixin.qq.com/s/gTpTasAZaTbAt43Qzws9Jg），把這個問題講得很透徹，歡迎大家參考。
談完了這些大道理，下面我們來做一些具體的分析：2019年的高考數學題，從專業的角度來看怎麼樣呢？
我們首先來看那道維納斯的題目，它是全國數學一卷的第4題：
這道題如果説有什麼困難，那完全是在理解題意上，而不是在數學計算上。實際上，只要靜下心來仔細看，很容易明白這道題問的是什麼。
腿長105釐米能夠説明什麼？人的肚臍在腿的上方，因此腿長總是小於肚臍至足底的長度。而後者可以根據黃金分割確定人的身高，所以根據腿長的數值可以確定身高不小於某個值，即確定身高的下限。
把105釐米的數值代進去，得到身高不小於105 * 1.618 = 169.9 釐米。
再來看，頭頂至脖子下端的長度26釐米能夠説明什麼？人的脖子下端在咽喉的下方，因此頭頂至脖子下端的長度總是大於頭頂至咽喉的長度。而後者也可以根據黃金分割確定人的身高，所以根據頭頂至脖子下端的長度可以確定身高不大於某個值，即確定身高的上限。
確定上下限的道理是很容易想明白的。下面一個稍微有點技術性的問題是：根據頭頂至咽喉的長度，如何確定身高？回答是用兩次黃金分割。
第一次，得到頭頂至肚臍的長度。怎麼求呢？黃金分割説的是有三段長度，我們不妨把它們稱為“短”、“中”、“長”，短 + 中 = 長，而它們的比例滿足
短：中 = 中：長 = (sqrt(5) - 1) / 2 ≈0.618。
黃金分割
現在頭頂至咽喉的長度相當於“短”，頭頂至肚臍的長度相當於“長”，那麼“長”是“短”的多少倍呢？中是短的(sqrt(5) + 1) / 2 ≈ 1.618倍，長等於中加上短，所以長除以短的倍數就是1.618 + 1 = 2.618，即(sqrt(5) + 3) / 2。
從另一個角度來理解，中是短的1.618倍，長是中的1.618倍，所以長是短的1.618的平方倍。求(sqrt(5) + 1) / 2的平方，你會發現它確實等於(sqrt(5) + 3) / 2，這個驗算説明我們的推理是正確的。
再用一次黃金分割，根據完全同樣的推理，頭頂至肚臍的長度相當於“短”，身高相當於“長”。因此，我們又要乘一個2.618，或者説(sqrt(5) + 3) / 2。
現在的問題是，總的要乘的係數即2.618的平方是多少？或者説，1.618的四次方是多少？用分式計算(sqrt(5) + 3) / 2的平方，你會發現它等於
(5 + 9 + 6sqrt(5)) / 4 =(7 + 3sqrt(5)) / 2 = 3 * (sqrt(5) + 1) /2 + 2
≈ 3 * 1.618 + 2 = 6.854。
因此，把26釐米的數值代進去，就得到身高不大於26 * 6.854 = 178.2 釐米。
現在我們知道了，這個人的身高在169.9釐米到178.2釐米之間。四個選項哪個在這個區間裏呢？只有175釐米。
這道題最重要的線索，在於問的是其身高“可能”是多少，而不是必然是多少。實際上，根據這個問句，就可以想到做法應該是確定一個上下限的區間。只要你想到這一點，後面的推理就全都是順理成章的了。而如果你沒有想通這一點，那你肯定抓瞎。
再來看那道雲朵的題，它是全國數學三卷的第22題：
這道題在我看來，只是有些引人發笑，其實一點都不難。我已經很久沒用極座標了，不記得任何巧妙的做法，但解題思路是直截了當的，直接把極座標的定義代進去算就是了。
怎麼算呢？在原點設置一個直角座標系，把這三段圓弧上的每一點用直角座標(x, y)表示出來。表示的時候要用到一個角度，就是這個點到圓心的連線與x軸的夾角，我們可以把它稱為α。也就是説，x和y各自都是α的函數，這構成一組參數方程。
例如對於第一段圓弧，因為它的半徑為1，圓心的直角座標是(1, 0)，你很容易就會發現這段圓弧的參數方程是
x = 1 + cosα，
y = sinα，
其中α的取值範圍是從0到π/2。
然後，為了表示成極座標，我們需要長度ρ和角度θ之間的關係。這裏的ρ就是(x, y)這一點到原點的距離，即
這裏的θ是(x, y)這一點到原點的連線與x軸的夾角。乍看起來求出θ似乎有點麻煩，但仔細一看，由於圓弧的半徑等於1，原點到圓心的距離剛好也是1，根據幾何關係，你立刻可以知道：
α = 2θ。
把這個關鍵的觀察代進去，做一些三角函數的運算，你就得到：
ρ = 2 cosθ。
這就是第一段圓弧的極座標方程，其中θ的取值範圍是從0到π/4。
用同樣的做法，你很快可以得到第二段和第三段圓弧的極座標方程分別是
ρ = 2 sinθ
和
ρ = -2 cosθ，
其中θ的取值範圍分別是從π/4到3π/4和從3π/4到π。
再來看第二問，什麼時候|OP| = sqrt(3)？也就是問，什麼時候ρ = sqrt(3)？這三段圓弧的ρ最大都可以取到2，所以在這三段圓弧上都可以找到ρ = sqrt(3)的點。
根據上面的極座標方程，很快可以發現這些點對應的θ分別是：
第一段的π/6，第二段的π/3和2π/3，以及第三段的5π/6。
實際上，你甚至都可以用尺子在試卷的圖上比劃比劃，大致可以看出這個答案是正確的。這可以作為一種驗算的手段！
因此，維納斯和雲朵的這兩道題在本質上並不困難，誇張一點的話簡直可以説是“送分題”。不過，這並不意味着今年的高考數學題對我來説毫無難度。全國數學一卷的第21題，一道關於藥物測試的概率題，就給我造成了不少困惑：
這道題的文字之長，在數學題中是令人吃驚的，簡直像是一道語文的閲讀理解題。長倒也罷了，真正的麻煩是難懂。大多數人看了一遍題目之後，恐怕都不明白這道題在説什麼，更不用説求解了。
我看完這道題之後，首先想問的是：第一問中的“分佈列”是啥？這個詞在高中課本中出現過嗎？
阿帥告訴我，高中課本中確實有這個詞，指的是X取各種可能取值的概率分佈，他們在高中時經常做這種題。好吧，這個概率分佈倒是很容易確定。而且仔細想想，這裏問的也只可能是這個意思。
X取各種可能取值的概率分佈是什麼呢？
X的取值只有三種：1，-1，和0。
X取1的條件是：施以甲藥的白鼠治癒了，這個概率已知是α，而施以乙藥的白鼠沒有治癒，這個概率是1 - β。因此，X取1的概率是這兩個概率相乘，即α (1 - β)。
同理，X取-1的概率是β (1 - α)。
X取0的情況有兩種：兩隻白鼠都治癒了，這個概率是αβ，或者都沒有治癒，這個概率是(1 - α) (1 - β)。因此，X取0的概率是這兩個概率相加，即αβ + (1 - α) (1 - β)。
X取1、-1和0的這三個概率相加應該等於1，因為X只有這三個取值。驗算一下，確實如此，可見我們做的是對的。
仔細看一下第二問，你會發現X取-1、0和1的這三個概率，就是第二問中的三個係數a、b和c。第二問中假設α = 0.5，β = 0.8，把這兩個數值代進去，就得到
a = 0.5 * 0.8 = 0.4，
c = 0.5 * 0.2 = 0.1，
b = 1 - a - c = 0.5。
現在真正令人困惑的來了。什麼叫做“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率？也就是説，
我一開始把這句話理解為：在某個甲藥的累計得分為i的時刻，試驗結束，結論是甲藥更有效，這種情況出現的概率就是
我一時想不明白這個問題。但這道題的奇妙之處在於，即使你搞不清
我大致能夠感覺到，這個遞推公式並不是外加的，而是根據規則完全能夠推出來的。但如果我在考場上，八成是顧不上仔細去想怎麼推出這個公式的。
無論如何，第二問的第一題既然要我們證明
把上面的遞推公式變形一下，把右邊的
現在重點來了。前面我們證明了，X取-1、0和1的三個概率之和為1，也就是a + b + c = 1。因此左邊pi的係數是1 - b - c = a，剛好跟
由此我們得到：
把這個式子再變形一下，就得到：
這正是等比數列的定義。
這樣，我們就證明了第二問中的第一個問題。
再具體一點，這個等比數列的公比是多少？我們前面已經求出a = 0.4，c = 0.1，所以如果用q來表示公比的話，q = a / c = 4。
再來看第二個問題。如何求出
我們現在不知道從
如何利用這兩個信息呢？注意到
而同時根據等比數列的性質，又得到
根據同樣的思路，把這個連加擴展下去，就得到
現在請問，
由此得到
其實我們能夠算出4的8次方等於65536，這是一個在計算機科學中經常見到的數字。但我們並不急於把這個數代進去，因為我們現在要求的並不是
好，知道了
方法是一目瞭然的。同樣是做這個連加，不過這次只從i = 0加到i = 3：
如果把
而x到底等於多少呢？4的4次方等於256，這是一個在計算機科學裏更加常見的數字。因此我們得到了數值結果：
妙啊！最妙的是，我們居然是在還沒搞清楚
當然我們可以含含糊糊地答一句：“
經過我和陳經等朋友們的討論，終於搞明白了，
現在我們能夠理解，為什麼
同樣的道理，為什麼
那麼，
這個結論是合理的，因為在單次試驗中，甲藥治癒白鼠的概率是0.5，而乙藥治癒白鼠的概率是0.8，所以你應該有超過一半的機會得到乙藥更好的結論。在單次試驗中，甲乙之間的機會比例看起來相差不是很大，而在最終結論中，甲乙之間的機會比例就懸殊到了1 / 256，這是因為最終獲勝需要積累多治癒白鼠達到4只。
出於運氣，在單次試驗中甲藥勝過乙藥是很有可能的，但連續這樣走運4次的概率就低得多了。好比一個圍棋低手偶爾戰勝一次高手是很有可能的，但連續4次戰勝高手的概率就很低了，——除非高手在故意放水。
事實上，從這個論述中就可以理解，為什麼得到一個等比數列。在單次試驗能夠決出勝負的情況中，甲藥與乙藥的勝率之比是c / a = 1 / 4。而在做4次試驗，有一方以4：0獲勝的情況中，甲藥與乙藥的勝率之比就是這個數的4次方，即
順便説一句，我們怎麼知道在試驗剛開始的時候，乙藥勝出的概率是256 / 257？剛才我們是用1減去甲藥勝出的概率1 / 257，得到256 / 257。但事實上，我們也可以獨立檢驗這個結論。
請注意，在前面的推導中，甲藥和乙藥的地位完全是對等的。只要我們把兩者的治癒率α和β對換一下，那些對甲藥的等式就適用於乙藥。這時在遞推公式的三個係數中，b不變，a和c對換，所以等比數列的公比q變成倒數，即從4變成1/4。
按照同樣的計算過程，就得到乙藥的
跟前面得到的一樣。這是一個很好的驗算，既説明我們算的是對的，也説明這種試驗方案並沒有厚此薄彼，在甲藥和乙藥之間保持了先驗的平衡。
由此可見，這種試驗方案的基本思想是：並不天然地偏向某種藥，但如果一種藥比另一種藥有優勢，即使只強一點點，通過多次試驗的積累，也能把這種優勢放大顯示出來。當然，如果兩種藥的療效十分接近，你就需要經過很多輪的試驗才能得到結果，所以試驗的輪數也是一個對兩種藥之間差距的表徵。
到這裏，我們已經完全解答了這道題目。但如果我們對事物的原理有興趣，我們就會問：那個遞推公式是怎麼來的？這不在考試的範圍內，但這個問題本身是有價值的。
事實上，如果你想清楚了的定義，你立刻就可以明白：當甲藥當前的分數為i時，如果沒有得出結論，那麼就需要進行下一輪試驗，而它下一輪的得分有三種可能，-1、0和1。所以在當前看來，甲藥最終勝出的概率，就等於三種情況的貢獻之和，每一種情況的貢獻等於這種情況發生的概率乘以這種情況下甲藥最終勝出的概率。這正是那個遞推公式：
正如我前面説的直覺，這個遞推公式並不是外加的，而是根據規則完全能夠推出來的。在這個意義上，可以認為這個公式是一個冗餘信息，好比在一道關於三角形的題目中告訴你三角形的內角和等於180度。
這就引出了一個有趣的問題：題目中為什麼要寫上這個公式？
顯然，這是因為這道題太難了，而且敍述得太不清楚了。如果不寫出遞推公式，絕大多數考生不會想到它，而且很可能絕大多數考生完全看不懂pi是什麼意思。
作為選拔性考試的題目，固然要足夠難才有鑑別度，但如果讓絕大多數考生得不了分，那也不好，也是降低了鑑別度。因此，我完全可以理解命題老師的糾結，他最後決定寫上這個公式，其實相當於一個提示。
在這裏，我有一個建議。既然是一個提示，最好就明確地寫上：
這樣大家就不會有任何誤解了，也避免了許多胡思亂想。如果是數學競賽題，我相信會這樣把提示明確地寫出來的，不會把提示跟必不可少的信息摻和在一起。
我的科大師弟、雲南大學物理系研究員陳清博士很喜歡概率論，他的第一篇論文就是關於量子博弈的。他研究了這道題以後表示，如果不用試卷上的遞推公式，理論上可以根據一些組合關係直接寫出
陳清認為，這道題比大學教科書裏的標準的伯努利試驗、二項分佈、幾何分佈、帕斯卡分佈都要麻煩，算是有一定難度的了。如果給大學本科生的概率論做考題，在不告訴遞推公式的前提下，恐怕做得出來的也是寥寥無幾。遞推公式是核心，大大降低了難度，使得不懂的人也可以往下做。
好，我們分析完了這三道高考數學題目。該如何評價它們呢？
基本上，我覺得這些題代表了一種趨勢：跳出套路，需要準確的閲讀理解和清晰的邏輯思維。
就大方向而言，這是很好的。從更宏大的視角來看，可以認為中美競爭使大家認識到，硬的科技才是國之根本，而不是公説公有理婆説婆有理的所謂素質。因此加強理科基礎，重視數學建模和解決實際問題的能力，是好的改變。
不過就細節而言，那道藥物試驗的題可能有一個嚴重的缺點：題目的文字敍述太容易誤解。
讓我們再看一遍題目中的説法：
我在第一次看到的時候都被繞糊塗了，跟朋友們討論了一番才明白，那麼考生一個人在場上會是什麼感覺呢？有多少人能看明白這個敍述？我十分懷疑有沒有1%。
因此，我們能看到出題人努力地增加提示，希望讓更多的人得分。但如前所述，這個提示也寫得不夠清楚。這道題的含糊不清，是應該批評的，希望以後的出題有所改進。我們希望考生提高閲讀理解的能力和活學活用的能力，但前提是我們應該給他們提供適於閲讀理解的文本。
順便説一句，許多人傳説今年的數學試卷是葛軍出的，然後又有許多人變着花樣罵他。也有人指出，葛軍早就不參與出題了。其實在我看來，這種輿論狂歡毫無意義，因為你能上什麼學校，歸根結底是取決於你相對於其他考生的排名，而不是你考了多少分。就算你不及格，如果其他人分數更低，那你還是高的。這不是玩笑，歷史上就出現過這樣的情況，例如1984年高考的數學平均分不到30分。
因此，學霸對試卷的難易是十分淡定的，而且如果試卷難他們會更加高興。看到試卷難就痛哭流涕，編各種段子，甚至咒罵出題老師，這些都是典型的非理性思維。怎麼個非理性法呢？就像“朝三暮四”那個故事裏的猴子一樣，看不清事物的本質，同樣的本質換個形式就炸了。希望大家提升自己的思維層次，超越朝三暮四的猴子！
朝三暮四
最後，跟大家説一件事：在今年高考的時候，共青團中央來找我為考生推薦專業，推薦詞由中華全國學聯發佈。是的，就是我們在開頭提到的“傳播青春正能量”的中華全國學聯。你猜，我推薦了什麼專業呢？
當然是我本科讀的專業，科大化學物理系的物理化學專業。沒錯，全國只有一個系叫這麼一個名字，而這個系也只有這麼一個專業。
我的推薦詞如下：
俗話説：學好數理化，走遍天下都不怕。一般理解這話説的是學好數學，或者物理，或者化學。但是，如果你學好的是數學 + 物理 + 化學呢？中國科學技術大學化學物理系，全國唯一的數理化並重的系。從泛函分析到量子力學到物理化學，都是本系的拿手好戲。郭永懷擔任第一任系主任，培養的人才在許多方向取得了傑出成就，從火箭燃料到芯片設備。學渣才做選擇，學霸全都要！歡迎大家報考科大化學物理系
郭永懷