整體相對論 | 賢説八道_風聞

撰文 | 曹則賢（中科院物理所研究員）

由樸素的相對論，經伽利略-、狹義-和廣義相對論，物理定律的表述已經被要求對任意運動的參照系都是成立的，引力論也成了廣義相對論的一部分。那麼，相對論還有推廣的空間嗎？其實，廣義相對論的時空依然是有結構的時空，有內稟的度規場gμν。馬赫原理由愛因斯坦於1918年首次提出，源於對轉動相對性和慣性起源的討論。馬赫原理儘管表述很含糊、細究起來有不少技術性的困難，卻提醒我們思考關於時空基本性質的必要性和構建具有更大對稱性的原初方程的可能性。整體相對論要求物理的原初方程關於任意相對運動都是等價的，座標系的選擇只是個約定問題，這要求在建構原初方程時要剔除任何的內稟時空結構。整體相對論指向一個基本問題，或許一個物體的慣性是由存在之整體決定的。

I see Mach’s greatness in his incorruptible skepticism and independence.

- Albert Einstein

01 兩體運動

考察力學的最基本問題——通過萬有引力相互作用的兩個物體的運動。牛頓力學下的兩體問題可以用來模型化行星繞太陽的運動。當然，實際情況是對真實的行星繞太陽運動的研究引導人們得到了萬有引力的觀念。根據牛頓第二定律，假設兩個物體的質量分別為 m 和 M  ，且 m << M ，這個兩體體系的運動可近似為質量為 m 的物體繞質量為 M 的物體的轉動，滿足方程 

其中 r 表示兩物體間的距離，t 是時間。接下來就是解二階微分方程，得出質量為 m 的物體的運動軌跡是一個繞質量為 M 的物體的圓錐曲線，云云。

不過，且慢。在僅由兩個物體構成的世界裏，距離（位置）是什麼？時間是什麼？它們是如何度量的？如果我們願意再深入一點思考的話，在僅由兩個物體構成的世界裏質量又是什麼？這些我們學習時隨便就接受了的觀念，逃不過一些習慣具有批判性思維之人的注意。這些人包括但不限於牛頓、馬赫、愛因斯坦等。馬赫説，從經驗得來的物理概念必須為其正當性作辯護。空間、時間、慣性，這些在建立物理學（方程）時作為基本出發點的概念，需要最嚴格的思考與批判。

02 牛頓的水桶實驗

牛頓於1689年描述了他對水桶實驗的觀察。一隻半滿的水桶，靜止時水面是平的。在接下來轉動（spinning）水桶的不同階段，大致可觀察到如下現象：1）水桶開始轉動，水也跟着轉動，水貼着桶壁的地方會升高，表面變成凹的；2）水桶和水同步轉動（相對靜止）時，水面是凹的；3）水桶停止轉動（相對大地是靜止的），水（相對於水桶）繼續轉動，水面保持是凹的。現在的問題是，水面為什麼變凹了？答案是因為水面轉動起來才變凹的。但是，這轉動是相對於什麼的轉動呢？剛開始時，水桶轉動而水尚未動時，水面是平的；水桶和水都轉動（相對靜止）時，水面是凹的；等到後來水桶停下來，而水繼續轉動時，水面保持是凹的。顯然，水面是凹的這個事實不是因為水相對於水桶的轉動！後來我們知道，這裏牛頓發現的是，轉動物體之間不只有靜的萬有引力（static gravitation），還有一個拖曳效應（dragging effect）。

牛頓的水桶實驗

牛頓進一步設想，在深空中觀察一根繩兩頭繫着兩塊石頭，讓這樣的體系繞中心轉動起來（類似雜技演員玩水流星）。轉動越快，繩子會繃得越緊。但是，空曠的空間裏沒有任何參照物可用來定義這個轉動。那總得有什麼東西可用來標誌這個轉動啊，畢竟繩子的緊張狀態是不同的。牛頓説，那就是絕對空間。空間是個整體性概念（entity）。牛頓的論證有個明顯的漏洞，就是不存在這樣的孤立體系。宇宙就是作為一個整體在那兒的，宇宙裏的一切現象就應該從存在出發加以理解。

萊布尼茨就不同意牛頓的觀點。在萊布尼茨看來，位置是相對的，運動的各個特徵都是相對的。空間不是個整體性概念，空間只是提供了編碼（encoding）物體間相互關係的工具。筆者猜測，這是不是説，運動的特徵是相對的，描述一個運動（的相對性），也許局部宇宙提供的背景就足夠了？

03 愛因斯坦的馬赫原理

馬赫（Ernst Mach, 1838-1916）是一個極具批判精神的科學家，他的 Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt（《歷史批判地呈現其發展史的力學》）一書影響了愛因斯坦，也就影響了相對論的發展。馬赫也不接受絕對時間、絕對空間的概念：“絕對時間不能通過同任何運動的比較被測量，它因此沒有任何實際的或科學的價值；沒有人敢説關於絕對時間他知道點兒什麼。那就是一個毫無根據的形而上的概念。” 馬赫的這段話，恰恰堅定了筆者的信念，時間是個導出概念（time is derivative），運動才是本原的、第一位的。馬赫認可運動的相對性。1872年馬赫斷言，是地球在自轉，還是整個宇宙背景在轉，怎麼説都行。這大概就是所謂的轉動相對性。1883年馬赫詳細討論了牛頓的水桶實驗，指出：“牛頓的水桶實驗告訴我們，水相對於桶壁的相對轉動不會產生可觀的向心力，但是相對於地球或者遠處其它星體的轉動產生了那樣的向心力。 畢竟，我們不知道如果桶足夠厚實、質量足夠大時的結果會怎樣” （大意）。後來的發展證明，馬赫的這句話是極具洞察力和先見之明的。

1918年，在廣義相對論場方程面世兩年後，Joseph Lense（1890-1985）和Hans Thirring （1888-1976）得到了轉動物體的相對論場方程的近似解，其結果表明旋轉的物體會拖曳時空，這被稱為參照框架拖曳效應（frame-dragging effect）。Dieter Brill（1933- ）和 Jeffrey Cohen（1940-2003）於1966年證明了在空球殼情形下拖曳效應也會發生。1985年，Herbert Pfister（1936-2015）和Karlheinz Braun（??）的計算表明在空球殼的中心會誘導出足夠大的向心力，使得那裏的水面儘管不是處於相對遠方星體的轉動中也是凹的。這樣，利用廣義相對論終於得到了馬赫找尋的那種對稱性形式——自轉對遠處背景轉動的對稱性。牛頓關於水桶實驗的觀察至此得到解決。

轉動相對性的問題讓人們深入思考參照框架的問題。1870年，紐曼（Carl Neumann，1832-1925）提出了一個有趣的問題：“宇宙中一個孤獨的星體，其若旋轉應是橢球形的，其若靜止則是球形的。”愛因斯坦在其1916年的“廣義相對論基礎”一文中對此問題有進一步的發揮。設想宇宙中有兩團流體，從其一的角度看另一個是繞中心連線轉動的，若從相對其一靜止的體系來做測量的話，則此一流體是球形的，而彼一流體是橢球型的。可是，我們有什麼理由認為這兩個相互作為參照的流體會有不同的行為呢？愛因斯坦的回答是，原因必然在這個體系之外（Die Ursache muß also außerhalb dieses Systems liegen），這兩個物體的力學行為完全由遠處的質量分佈所決定。 

1918年愛因斯坦第一次提及馬赫原理這一概念——慣性源於物體之間的相互作用（Inertia originates in a kind of interaction between bodies）。時空的度規張量 gμν 完全由物體的質量所決定，或者説更一般地由 Tμν 所決定。關於馬赫原理有不少不同的、很含混的表述，技術細節也不能細究。一般認為，它未能推動物理學向前發展。然而，即便它未建功於理論的創生，卻有助於剔除蔓蕪的理論雜草。

馬赫原理的意義在於關注慣性的起源問題。所謂的慣性，是由存在之整體決定的。 空曠空間裏的孤立物體無所謂慣性，有人由此推論宇宙從空間上是閉合的。一個物體的運動狀態，是由全體存在作為背景決定的。描述這個運動狀態的所有參數都和這個大背景有關。局域物理定律由宇宙的大尺度結構決定，這是愛因斯坦發展廣義相對論時的指導因素之一。這種思想，同哲學上的一元論（holism）有關。存在整體如何決定其中之個體的慣性，這是個構建物理理論過程中要回答的哲學問題，也是個數學問題。

04 整體相對論

從相對論的角度來講，馬赫原理意味着整體相對論（total relativity）。整體相對論宣稱任何不同的座標系都具有等價性，座標系的選擇完全是約定層面上的事情。整體相對論要求我們從時空中剔除所有的內稟結構，這比廣義相對論又進了一步。廣義相對論雖然努力營造相對不同的加速運動物理定律都是成立的理論構架，但廣義相對論的時空不是沒有結構的, 愛因斯坦把慣性和引力植入了時空。廣義相對論包含一個度規場 gμν ，告訴我們如何給時間和空間的間隔賦值，ds2=gμνdxμdxν 。廣義相對論可表述為對稱性原理：時空局部總滿足洛倫茲對稱性。這是廣義相對論對時空的先驗要求。若要構建整體相對論，我們期望該理論包含比廣義相對論等價原理更大的對稱性——整體相對性或者對稱性，任何不同座標系都具有物理等價性。這可參照 Kaluza-Klein 理論來理解。Kaluza-Klein是對 (3,1) 時空中理論推廣的嘗試。在緊緻化額外維度回到我們熟悉的 (3,1) 維時空時，高維空間的等價性原理破缺為 (3,1) 維時空版本的低對稱性。

如何構造整體相對論的基本方程？無人知曉答案。關於整體相對論，也許唯一要保留的是慣性定理。只有當相對慣性，以及引力，作為物體相互間的效應在一個統一的基礎上得到了理解以後，我們才能指望得到慣性定理的正確形式。

05 結  語

最後，作為結尾，作者想説出自己的觀點如下。全部的存在通過相互作用構成一個整體，這個整體給我們以空間的概念——空間是凸的、閉合的。運動是存在的方式。靜止和位置是純粹抽象的概念。基於空間（位置）和運動，於是有了時間這個衍生概念。用時間和空間來描述運動，由運動的規律推測相互作用，這是自然通過人類做出的聰明選擇，也是物理學侷限性的來源。存在以最合理的方式存在，存在就是存在。

時間是個導出概念，但卻被當作原初概念來構造物理學。在從前這是個令作者感到困擾的矛盾，如今它依然困擾着我，但我卻能坦然接受。這樣的矛盾在物理學中其實有很多。熱機理論是建構在可逆過程上的，可逆過程是其上任何狀態都是平衡態的過程，而平衡態之間沒有過程。從靜電荷間的庫侖力出發，有靜電學，然後有電動力學，有麥克斯韋方程組直至量子電動力學、規範場論，但我們知道電荷從不靜止。牛頓三定律中，慣性定律在前。經典力學認為未置於外力之下的物體的運動是慣性運動，但是且慢，事物都是存在於相互作用中的啊。從存在中隔離出一個作為研究對象的個體，從個體、兩體問題出發我們獲得了關於相互作用的認識，但是現實中從沒有孤立的個體（in reality there is no isolated body）。這些做法矛盾嗎？矛盾，但不礙事，一點兒也不妨礙人類構造物理學。

人類，就是這樣帶着迷惘，一點一點地不斷獲取對這個包含着人類自身之自然的理解。理解自然，是自然賦予人類的使命。自然產生了試圖理解它的人類，這是自然最有趣的地方。

參考文獻

1. Ernest Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. F.A. Brockhaus (1883). 英譯本為The Science of Mechanics: a critical and historical account of its development, Thomas J. McCormack (translation), The open court publishing Co. (1893). 

2. Herbert Thirring, Uber die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen

Gravitationstheorie. Physikalische Zeitschrift 19, 33-39(1918). 

3. Frank Wilczek, Total relativity: Mach 2004, Physics Today, April, 10-11(2004). 

​本文取自曹則賢著《相對論-少年版》，科學出版社，2019

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