數學的災難：古典主義的最後一場對決 | 展卷_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-07-07 09:46
撰文 | 莫里斯·克萊因
翻譯| 李宏魁****
許多人都以為數學知識是確定無疑的，數學大廈是堅不可摧的。其實，與其他任何一門學科一樣，數學的發展也充滿了波折。25個世紀以來，數學史上發生了多次危機：非歐幾何對歐氏幾何的衝擊、無理數的發現及數的擴張、微積分帶來的分析困境、集合論悖論和其他邏輯悖論出現……數學大廈一次次面臨倒塌的危險。
美國數學史大家、數學哲學家莫里斯·克萊因（Morris Kline，1908—1992）在《數學簡史：確定性的消失》一書中，探討了數千年來數學在直覺、邏輯、應用之間穿梭往復的炫目旅程，再現了真實數學的發展過程，闡述了數學的起源、數學的繁榮和科學的數學化，直到當代數學的現狀：數學與確定性（邏輯，嚴密性，完備性）漸行漸遠。透過數學史上的大事件，克萊因一步一步剝開數學思想與數學思維變遷的脈絡。在不犧牲準確性的情況下，克萊因幾乎沒用公式，就用最短的篇幅講述了數學2500年驚心動魄的歷史。
本期展卷節選自該書第十二章“災難”。
今天微博評論被點贊最多（截至7月14日中午12點）的2位讀者可獲贈**《數學簡史：確定性的消失》一本。**
今天返樸公眾號展卷留言被點贊最多（截至7月14日中午12點）的四位讀者可獲贈《數學簡史：確定性的消失》一本，點擊 參與 前往。
回顧以往，1930年時數學基礎的狀況可説是差強人意。已知的悖論已經被解決，但是幾個學派為此使用了特定的方法。誠然，對於什麼是正確的數學這一問題已不再有一致的觀點，然而每一位數學家都能採用他所喜歡的方法，進而依據該方法的原理髮揮他的創造力。
但是，兩個問題繼續困擾着數學界。第一是建立數學的相容性，這恰恰是希爾伯特在1900年的巴黎講演中提出的。雖然已知的悖論已經解決，可再次發現新悖論的危險依然存在。第二個問題被稱為完備性 （completeness），一般而言，完備性意味着任何數學分支的公理對於判別涉及該分支的概念的所有有意義的斷言的真偽性是充分的。
完備性問題就是一個合理的歐氏幾何的命題，例如“三角形的三條高線交於一點”這個命題能否根據歐氏公理證明或證偽。更進一步，在超限數域中，連續統假設又是一個例子。完備性要求根據構成超限數理論基礎的公理證明或證偽該假設。類似的，完備性要求根據數論中的公理證明或證偽哥德巴赫猜想（Goldbach’s hypothesis）：任一偶數都是兩個質數之和。事實上完備性問題包括了許多其他的命題，對它們的求證向數學家們所發起的挑戰已逾幾十年甚至上百年。
對於相容性問題和完備性問題，幾個學派採取了稍有不同的態度。羅素實際上放棄了他的邏輯方法中使用的邏輯公理是真理的信念，並且還承認了他的約化公理的人為屬性。他的類型論避免了已知的悖論，而且羅素確信它能避免所有可能的悖論。然而，信心不能代替證明，羅素沒能解決完備性問題。
儘管集合論公理化主義者自信他們的方法不會引起新的矛盾，但這一信念缺乏證據。同樣，人們關注的主要不是完備性，直覺主義者對相容性問題漠不關心。他們認為被人類思維所承認的直覺具有自然而然的相容性，形式論的證明是不必要的，也與他們的哲學不相干。至於完備性，他們的看法是，人類的直覺是如此的強有力，以至於能判斷絕大多數有意義的命題的真偽，即便有個別例外。
與之相反，由希爾伯特領導的形式主義學派並沒有自鳴得意。在20世紀的最初幾年，希爾伯特為解決相容性問題做了一些初步的工作。此後，在1920年，他的研究工作又一次回到了相容性和完備性問題。
在他的元數學中，希爾伯特找到了相容性的證明方法。對於完備性， 在1925年的論文“論無限”中，他再次從根本上對1900年巴黎演講所表明的觀點進行了闡述：“每一個明確的數學問題必須能被正確地解決。” 在1925年的文章中，他進一步強調了這一觀點：
作為可以用來處理基本問題的方法的一個例子，我更樂於選取一切數學問題均可解決這樣一種觀點。我們都相信這一點，吸引我們去研究一個數學問題的最主要的原因是：在我們中間，常常聽到這樣的呼聲，這裏有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有什麼不可知！
在1928年意大利博洛尼亞國際數學家大會的發言中，希爾伯特批評了以前的完備性證明，因為它們使用了元數學所不允許的邏輯原理。但他對自己系統的完備性則充滿了信心：“我們的推理並不具有任何秘密的技術，它只不過按照確切、清楚的規則進行而已，正是這樣的規則保證了判斷的絕對客觀性。”他還説，每個數學家都相信，任何明確的數學問 題必是可解的。在1930年的論文“自然知識和邏輯”中，他又這樣説：“我認為，孔德沒有能找到一個不可解的問題的真正原因是，本來就不存在不可解的問題。”
在1927年完成，1930年發表的《數學的基礎》中，希爾伯特詳細論述了他在1905年的觀點：使用他的元數學方法（證明論）可以來建立相容性和完備性。他斷言：
我力求用這種建立數學基礎的新方法達到一個有意義的目標，這種方法可以恰當地被稱為證明論。我想把數學基礎中所有的問題按照其現在提出的形式一勞永逸地解決，換言之，把每一個數學命題都變成一個可以具體表達和嚴密推導的公式。經過這樣的處理，數學所推導出來的結果就會無懈可擊，同時又能為整個科學描繪一幅合適的景象。我相信我能用證明論達到這一目標，儘管為此還要做大量工作。
顯然，希爾伯特對於用證明論解決相容性和完備性問題是非常樂觀的。
截至1930年，人們已取得了若干完備性的相關成果。希爾伯特自己構造了一個只包括算術且具有一定人為色彩的系統，進而建立了它的相容性和完備性。不久其他人也得到了類似的局部結果，從而相對平凡的公理系統（例如命題演算）被證明是相容的，甚至是完備的。這些證明中的一部分是由希爾伯特的學生完成的。1930年，後來成為普林斯頓高等研究院教授的哥德爾證明了包括了命題和命題函數在內的一階謂詞演算的完備性。所有這些成果使形式主義者備受鼓舞。希爾伯特本人也確信，他的元數學和證明論將會成功地確立全部數學的相容性和完備性。
但就在第二年，哥德爾發表的另一篇論文卻打開了潘多拉的盒子。這篇題為“論《數學原理》中的形式不可判定命題及有關係統”（1931年）的論文包含了兩個驚世駭俗的結論。其中對數學界尤具毀滅性的斷言是：任何數學系統，只要其能包含整數的算術，其相容性就不可能通過幾個基礎學派（邏輯主義學派、形式主義學派、集合論公理化學派）採用的邏輯原理而建立。這一結果特別適用於形式主義學派，原因是希爾伯特已經仔細地限定了元數學的邏輯原理，能使用的邏輯工具之少甚至連直覺主義者都認為可以接受。難怪外爾對此評論説：上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。
上述哥德爾的結果，是他的更為驚人的結果的一個推論，被稱為 “哥德爾不完備性定理”（Gödel incompleteness theorem）。這一定理表明， 如果一個形式理論 T 足以容納數論並且無矛盾，則 T 必定是不完備的。這意味着，有這樣一個數論的有意義的語句 S，使 S 和非 S 用這個理論都證明不了。因為 S 或非S 總會有一個是真的，於是就有一個數論的語句 S，它是真的，又是不可證明的，故其是不可判定的。儘管哥德爾並不十分清楚其所涉及的公理系統的分類，但事實上他的定理不僅適用於羅素 - 懷特海系統、策梅洛 - 弗倫克爾系統、希爾伯特的數論公理化，而且事實上是一個被廣泛接受的公理系統。很明顯，相容性是以不完備性為代價的。我們可以通過那些超越前面所提到的形式系統的邏輯的證明，也就是推理的規則，來説明某些不可確定的語句。
就像人們猜測的，哥德爾並非很輕易地就得到了他那令人驚異的結果。他的方案是將數與邏輯主義者和形式主義者在數學方法中所用的符號及符號的順序相聯繫。進而對於任何構成證明的命題或者命題集合， 他同樣確定一個哥德爾配數（Gödel number）與之對應。
更明確地講，他的算術化在於為數學概念指派自然數：1 指派給1， 2 指派給等號，3 指派給希爾伯特的否定符號，5 指派給加號，等等。於是符號串 1=1 就變成了整數符號 1，2，1。然而，哥德爾並不是將 1，2， 1 指派給公式 1=1，而是一個單一的，但卻能表明各個指數的數。他選取了最小的三個質數2、3、5，從而得到21 · 32 · 51=90，所以對 1=1 他指派了自然數 90。由於注意到 90 只能唯一地被分解為 21 · 32 · 51，因此我們能夠再次得到符號 1，2，1 。
對考察的系統中每一個公式，哥德爾都指定了一個數，而且對構成證明的整個公式序列，他同樣指定了一個數，該數的各個指數正是每個公式的數值，儘管它們本身並不是質數，可與它們相對應的底數都取質數。例如 2900 · 390，就是一個證明的哥德爾配數，此證明由公式900和公式90構成。於是，從一個證明的哥德爾配數出發，我們可以重新構造出構成這一證明的公式。
在此基礎上，哥德爾進一步指出，他所考察的形式系統的元數學概念同樣可以用數值表示出來。因此，元數學的任何斷言都有指派給它的哥德爾配數，一個元數學語句的數同時還是某個算術語句的數值。這樣，元數學也就被“映射”為算術了。
使用這些算術術語，哥德爾證明了如何構造一個算術論斷 G，用元數學語言來説就是，具有哥德爾配數 m 的陳述不可證明。但是 G 作為一串符號，具有哥德爾配數 m，於是 G 對自己説：“我是不可證明的。”但如果純粹的算術論斷 G是可證明的，它就斷言了自己不可證明；反之， 如果 G 是不可證明的，那麼正如它所斷言的，G 就是不可證明的。然而，既然算術斷言要麼可證明，要麼不可證明，那麼算術論斷所從屬的形式系統如果無矛盾，必定不完備。即使這樣，算術論斷 G 確實是真的，因為它是一個關於整數的論斷，可以通過較形式系統所允許的更直觀的推理而建立。
人們還可以從下面的例子中把握和領會哥德爾的方案的精髓所在。考察“這句話是假的”這樣的陳述，我們遇上了矛盾。若這句話為真，它斷言自己是假的；如果該句話為假，那麼它為真。對此，哥德爾用“不可證明”取代“假”，這時句子變為：“這句話是不可證明的。”於是，如果這句話不可證明，那麼它講的是真的；相反，如果這句話可以證明，那麼它為假，或是按照標準邏輯，如果它為真，則不可證明。因此，當且僅當這個陳述不可證明時，它為真。這個結果沒有矛盾，但卻出現了一個不可判定的真陳述。
在展示了他的不可判定陳述之後，哥德爾將“算術是相容的”這一元數學陳述表述為一個算術陳述 A，而且他證明了 A 藴涵 G。因而如果 A 是可證明的，那麼G 也是可證明的；如果 G 是不可判定的，那麼 A 就是不可證明的，也就是不可判定的。這一結果表明，能被轉換為算術系統的任何方法或邏輯原理，對於證明相容性都是無能為力的
看上去似乎可以通過向形式系統加入邏輯原理或數學公理來避免不完備性。但哥德爾的方法表明：如果新加入的語句可以按他的方案，即對符號和公式指派一個哥德爾配數，用算術術語表示，那麼不可判定的命題仍能被構造出來。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”為算術的推理原理來避免不可判定的命題，並證明一致性。下面是一個不很嚴密的類比：如果推理原理和數學公理是日語，哥德爾的算術化是英語，那麼只要日語可以翻譯成英語，哥德爾的結果就能得到。
哥德爾不完備性定理斷言，不僅僅是數學的全部，甚至任何一個系統，都不可能用類似哥德爾使用的能算術化的數學和邏輯公理系統加以概括。因為任何這樣的公理系統都是不完備的。存在着有意義的陳述從屬於這些系統，卻不能在系統內部得出證明。然而非形式的論證可以證明其正確性。這個結論——公理化的能力具有侷限性——與19世紀末的觀點形成了尖鋭的對比。那時人們認為數學與公理化了的各分支的總和具有相同的廣度，所以哥德爾的結果是對內涵公理化一個致命的打擊。公理化方法的這個缺陷本身並不是一個矛盾，但卻是驚人的。因為數學家，尤其是形式主義者，原本期望任何一個真命題一定會在某個公理系統的框架內確立起來。因此，當布勞威爾弄清楚了直覺上明確的東西不及經典數學上證明的東西多時，哥德爾卻證明了直覺的可靠超出了數學的證明。正像伯奈斯所説的，過分推崇公理體系是不明智的。當然，上述論點並沒有排除這樣的可能性，新的證明方法可能優於幾個基礎學派接受的邏輯原理所允許的方法。
哥德爾的兩個結果都是毀滅性的。相容性的不能證明給予希爾伯特形式主義哲學以沉重打擊，因為希爾伯特計劃了以元數學為工具的這樣一種證明，而且相信它能成功。然而，災難大大超出了希爾伯特的方案所能解決的範圍，哥德爾關於相容性的結論表明，我們使用任何數學方法都不可能借助於安全的邏輯原理來證明相容性，現已提出的各種方法概莫能外。這可能是20世紀某些人聲稱的數學的一大特徵，即其結果的絕對確定性和有效性已經喪失。更為糟糕的是，由於相容性的不可證明，數學家們正冒着傳播謬誤的風險，因為不定什麼時候就會冒出一個悖論。如果真的發生了這種情況，而且悖論又不能消除，那麼全部數學都會變得毫無意義。因為對於兩個相互矛盾的命題，必定有一個是假的，而且被所有的數理邏輯學家採用的藴涵的邏輯概念（稱為實質藴涵）都允許一個假命題推出任何命題，因而數學家們正工作在厄運即將來臨的威脅之下。不完備定理則是另一場沉重打擊，這裏又一次直接牽涉希爾伯特，即便這個定理適合於所有關於數學的形式化方法。
雖然數學家們一般並沒有像希爾伯特那樣自信，可他們確實希望解決一切明確的問題。例如證明費馬大定理（其斷言沒有大於 2 的整數滿足 xn+yn=zn）的努力，到1930年為止，已經產生了數百篇冗長而深奧的相關論文。這些努力有可能完全是徒勞的，因其很可能是不可判定的。
在某種程度上，哥德爾不完備性定理是對排中律的否定。我們相信一個命題非真即假，從現代數學基礎的觀點看，這意味着依據該命題歸屬的特定學科的邏輯規律和公理，它或者可以證明，或者可以證偽。但是哥德爾表明，有些命題既不能被證明，也不能被證偽。這是有利於直覺主義者的又一論據，只不過他們是從其他角度出發反對排中律的。
然而，證明相容性的可能依然存在，只要人們能夠用不同於哥德爾的方法給出一個包含了不可判定命題的系統。這是因為——根據前面提及的理由——實質藴涵表明如果存在一個矛盾，任何命題都是可以證明的，但是迄今為止並沒有得到上面的結果。
希爾伯特不相信他的失敗，他是一個樂觀主義者，對人類推理和理解的能力具有無限的信心。這種樂觀主義給他以勇氣和力量，但卻阻止了他去了解可能存在的不可判定的數學命題。對希爾伯特來説，在數學領域中研究者除了自身的能力之外，沒有任何其他的限制。
在哥德爾1931年的發表成果的時候，希爾伯特正在和伯奈斯合作寫一部關於數學基礎的著作（第一卷，1934年；第二卷，1939年）。因此，在第二卷的前言中作者們提出下面的觀點：人們必須擴充元數學中的推理方法，包括超限歸納法。希爾伯特覺得，這些新原理仍然在直觀上是可靠的，並且會被普遍接受。他堅持了這一方向，卻沒能取得新的成果。
在經歷了嚴酷的1931年之後，進一步的進展使情況更加複雜，進而挫敗了任何定義數學及何為正確結果的企圖。但其中的一項工作還是值得一提。根岑，希爾伯特學派的一員，他放寬了在希爾伯特元數學中對證明方法的限制，例如使用超限歸納法，在1936年設法確立了數論和分析中一些受限制部分的相容性。
根岑的相容性證明為一些希爾伯特主義者支持和接受，他們認為根岑的工作並沒有超出人們樂於接受的邏輯的限制。於是為了捍衞形式主義，人們必須從有限的布勞威爾邏輯發展到超限的根岑邏輯。根岑方法的反對派爭辯説：“可接受”的邏輯是如此深奧莫測，而且我們對算術相容性的懷疑竟然可以用同樣值得懷疑的元數學原理來消除，這太不可思議了。事實上，早在根岑之前，對於超限歸納法的使用就有過爭論，並且一些數學家儘量在任何可能的場合從證明中消除它。這不是一個直覺上使人信服的原理，正如外爾評論的那樣：這樣的原理降低了有效推理的標準，並且把原本可靠的東西變得模糊了。
哥德爾不完備性定理引發的附屬問題同樣應當提及。既然無論多麼錯綜複雜的數學分支都有不可判定的斷言存在，那麼我們對某一特定斷言能否判定呢？這就是著名的判定問題（decision problem）。它要求一個有效的程序如同計算機一樣，能在有限次步驟之內判定一個陳述或一類陳述的可證性。
為了具體化一個判定程序的概念，讓我們考察一個很普遍的例子。為判定一個整數是否能被另一個整數整除，可以進行除法，如果沒有餘數，回答就是能。這同樣適用於對多項式的整除的判定。類似地，對於判定方程 ax + by = c 是否有整數解，同樣存在一個明確的方法（這裏a， b，c 是整數）。
在1900年巴黎國際數學家大會的著名演講中，希爾伯特提出了一個非常有趣的問題：人們能否通過有限步驟判定丟番圖方程是否有整數解 （希爾伯特第十問題）。由於方程ax + by = c 涉及兩個未知數且解必須為整數，所以它屬於丟番圖方程，而希爾伯特第十問題則更加一般化。在任何情況下判定問題都大大複雜於希爾伯特第十問題，但人們往往喜歡稱這一類判定問題為希爾伯特第十問題，因為在希爾伯特問題上取得成果這一事實本身就使得該成果引人注目。
何為有效的程序？普林斯頓大學的教授丘奇用遞歸函數，或者説可計算函數，給出了它的概念。讓我們考察遞歸性的一個簡單例子：
如果定義 f (1) =1，
f (n+1) ＝f (n) +3。
那麼，f (2) = f (1) +3 或 1＋3 或 4，
f (3) 即 f (2) +3 或 4+3 或 7。
依次類推，我們能連續地計算 f(n) 的值，函數 f(x) 就稱為是遞歸的。丘奇對遞歸性的定義更加一般，將其等價於可計算性。1936年，丘奇使用他新發展的遞歸函數的概念表明一般不存在判定程序。因此，對一個特定的斷言，我們並非總能夠找到一個算法判定它是否能證明。在所有特定的情況下人們都有可能發現一個證明，然而這樣的證明能否被發現則在事先並沒有檢驗標準。於是，數學家們嘗試求證什麼是不可以證明 的可能就是在浪費時間。至於希爾伯特第十問題，馬季亞謝維奇於1970年證明：一般情況下沒有算法能夠判定相應的丟番圖方程是否有整數解。這一問題也許並非不可判定，但不存在有效的程序，這意味着對今天大多數的數學家而言，沒有一個遞歸的程序（不必是上面所描述的那一個）能預先告訴我們它是否可解。
不可判定的命題與不存在判定程序的問題之間存在着某種微妙而明確的區別。不可判定的命題在一個特定的公理系統內是不可判定的，它們存在於任何有意義的公理系統中。例如，歐幾里得平行公理就不能依據其他平行公理判定，另一個例子是斷言實數是滿足通常實數公理性質的最小集合。
還未得到解決的問題也許可判定，但這不總是能預先決定的。尺規作圖的三等分角問題至少有數百年被錯誤地看作是不可判定的問題，可它已被證明是不可能做到的。丘奇定理表明，不可能預先確定一個命題是否能被證明或證偽，或許二者都不能，即該命題不可判定，但這可不像已知的不可判定命題那麼明顯。哥德巴赫猜想目前仍沒有得到證明，也許依據數論的公理它是不可判定的，但現在還沒能明顯地看出這一點，這與哥德爾的例子恰恰相反。因此，也許在某個時候，它能被證明或證偽。
儘管哥德爾對不完備性所做的工作及提出不可能證明相容性所帶來的震撼已經過去10年了，但它們還沒有從數學界完全消散，而新的震撼又一次來臨。這次仍舊是哥德爾，他發表的一系列研究論文引起了更大的困惑：什麼是正確的數學，它又正在向什麼方向發展？我們再一次回想起起源於20世紀初的數學方法之一：在集合論的基礎上構建數學大廈。正是基於這一理由，策梅洛公理系統獲得了發展。
在“選擇公理和廣義連續統假設二者與集合論公理的相容性”（1940年）一文中，哥德爾證明，如果策梅洛 -弗倫克爾系統在除去選擇公理後仍是相容的，那麼加上這條公理以後這個系統也是相容的。這就是説，選擇公理不能被證偽。同樣地，康托爾的連續統假設（沒有基數存在於
與
之間，後者是實數集的基數），甚至是廣義連續統假設與策梅洛-弗倫克爾系統（即使將選擇公理包括進去）是無矛盾的，換言之，這些斷言不能被證偽。為了證明他的結果，哥德爾構造了包含這些斷言的模型。
在一定程度上，選擇公理和連續統假設的相容性是令人信服的，就像對待其他的策梅洛 - 弗倫克爾系統的公理那樣，人們至少是在充滿自信地使用着它們。
然而，數學家們的得意——如果存在的話——將被接下來的進展擊得粉碎。哥德爾的結果並沒有排除這樣一種可能性，選擇公理或是連續統假設（或者兩者都）能夠基於其他策梅洛 - 弗倫克爾公理得出證明。選擇公理不可能在此基礎上證明的思想至少可以回溯到1922年，從這一年開始的幾年中，包括弗倫克爾在內的幾個人，證明了選擇公理的獨立性。但是他們每一個人都發現，為了得出證明，必須向策梅洛-弗倫克爾系統加入某個輔助公理，並且以後其他人的證明也存在同樣的缺陷。哥德爾在1947年推測連續統假設同樣獨立於策梅洛-弗倫克爾公理以及選擇公理。
然而，在1963年，斯坦福大學的數學教授科恩證明了選擇公理和連續統假設二者同時獨立於其他策梅洛-弗倫克爾公理（如果它們是相容的）。換言之，這兩個論斷並不能基於其他策梅洛-弗倫克爾公理得到證明，而且即使把選擇公理保留在策梅洛-弗倫克爾系統中，連續統假設或廣義連續統假設，也還是無法得到證明（然而，策梅洛-弗倫克爾系統與廣義連續統假設選擇公理）。這兩個獨立性結果意味着在策梅洛-弗倫克爾系統中，選擇公理和連續統假設都是不可判定的。特別是，對於連續統假設，科恩的結果表明了有可能在
和
，即 c 之間存在某個超限數，即便沒有任何已知的集合具有這樣一個超限數。
就原理而言，科恩的稱為“力迫法”（forcing method）的方法，與其他的獨立性證明並沒有什麼不同。由此人們可能會聯想到，為了表明平行公理確實獨立於其他歐氏幾何公理，人們必須要找出一個解釋或者模型，它能滿足除去存有疑問的平行公理之外的所有其他公理。這一模型必須相容，否則它也許會滿足存有疑問的公理。相對於弗倫克爾、哥德爾等人早期的證明，科恩的改進在於他僅僅使用到了不包括任何輔助公理在內的策梅洛-弗倫克爾公理。此外，與選擇公理的獨立性存在早期證明（儘管不盡人意）相反，連續統假設的獨立性在科恩的工作之前一直懸而未決。
因此，為了在集合論基礎之上（甚至在邏輯主義基礎之上或是在形式主義基礎之上）構造數學，人們可以有幾種不同的做法。一種做法是避免使用選擇公理和連續統假設，這將會限制一些能夠證明的定理。《數學原理》在它的邏輯原理中就沒有包括選擇公理，可是確實在一些定理的證明中用到了它，並得到了明確的表述。事實上，在現代數學中它是一個基本的定理。另一種做法是承認或者否認選擇公理以及連續統假設。否認選擇公理，可以假定即使對集合的可數族也不存在明確的選擇；否定連續統假設，可以假定
=
或
=
科恩正是這樣做的，並且他給出了一個模型。
有許多種數學和集合論（除去其他的數學基礎）可以向許多方向發展。進而，人們可以只對集合的有限族使用選擇公理，也可只對集合的不可數族使用選擇公理。自然，還可以對任何集合族使用選擇公理。這種種做法，均有人嘗試過。
由於科恩的獨立性證明，數學陷入了類似於非歐幾何所造成的混亂 那樣的窘境。眾所周知，平行公理獨立於其他歐氏幾何公理的事實，使幾種非歐幾何的構造成為可能。科恩的結論提出瞭如下的問題：面對這兩個公理，數學家們該做何種選擇？即使只考察集合論公理化的方法，選擇的多樣性也同樣令人不知所措。
這種選擇之所以不能輕易做出，其原因是在每種情況下都會產生正面的和反面的效果。就像已經提及的，剋制不用這兩個公理，將會嚴格地限制能夠被證明的定理，並且迫使人們排除許多在現存的數學中一直 被認為是基礎的東西。即使是證明任何無限集合 S 具有可數無窮子集，也需要選擇公理。需要選擇公理才能證明的許多定理在現代分析、拓撲學、抽象代數、超限數理論以及其他一些領域中都是基礎性的定理。因此，不接受選擇公理會使數學家們舉步維艱。
與之相反，如果承認選擇公理，那麼某些得到證明的定理至少是違 反直覺的。著名的“巴納赫-塔斯基悖論”（Banach-Tarski paradox）即是其中之一，其可以描述如下：兩個實心球體，一個大小與籃球相仿，另一個大小與地球一樣，它們能夠分別被分割成互不重疊的有限份，而且使得大球體的每一份與小球體的每一份對應全等。或者也可這樣描述：可以把整個地球分成有限份，然而重新拼裝成一個籃球大小的球體。在1914年發現的這個悖論的一個特例表明，一個球面可以分割成兩部分並重新組合成兩個完整的球面，每個新球面的半徑都與原球面相同。與19世紀集合論碰到的悖論不同，這些新發現的悖論並不存在矛盾，它們只不過是集合論公理與選擇公理的邏輯推論。
否定一般化的選擇公理也導致了新奇的結論。一個技術結果或許對專家們更有意義，即每個線性集合都是可測的。換言之，既然選擇公理藴涵着不可測集合的存在，那麼通過假定每個線性集合都可測就能否定選擇公理。此外還有關於超限基數的新奇結論。至於連續統假設，無論承認它還是否認它，人們都冒着進入未知領域的風險。可是，有意義的結論迄今沒有得到。然而，一旦假定
=
那麼每個實數集合就都是可測的了。當然，還可以推導出其他的新結論，可是它們都不甚重要。
就像對平行公理的研究將幾何學領到了一個十字路口那樣，科恩對這兩個有關集合的公理所做的工作將以集合論為基礎的數學也領到了錯綜複雜的交叉路口。這開創了數學的幾個發展方向，但卻沒能給出任何 明顯的理由來説明哪個更為優越。事實上，自從科恩1963 年的工作以來，人們在策梅洛 - 弗倫克爾集合論中發現了眾多不可判定的命題，使得人們對選擇（使用基本的策梅洛-弗倫克爾公理再加入一條或多條不可判定命題）的多樣性無所適從。選擇公理和連續統假設的獨立性證明就好比告訴一個建築師，只要稍稍改動他的圖紙，就可以用一個城堡取代他原來要建造的辦公樓。
當前集合論的研究者希望他們能按照某種可靠的方式修改集合論公理，藉此能確定是否可以從一組為數學家們廣泛接受的公理出發推導出選擇公理以及連續統假設。按照哥德爾的觀點，這些可能性應該是可以實現的，為此人們已付出了巨大的努力，但迄今為止沒有成功。或許在未來的某一天，對於使用什麼樣的公理最終會取得一致的意見。
困擾數學家們的並不僅僅是哥德爾、丘奇以及科恩的工作帶來的問題，數學家們的麻煩與日俱增。由勒文海姆1915年開始的通過在1920年到1933年之間斯科倫發表的一系列論文得以簡化和完成的一項研究，揭示了數學結構的又一缺陷，這就是為人們熟知的“勒文海姆-斯科倫定理”（ Löwenheim-Skolem Theory）。設想人們為數學的某個分支，或者説就是為可以作為整個數學的基礎的集合論建立了合乎邏輯的數學公理。對此，最合適的例子莫過於用於整數的那組公理了。人們希望這些公理能確定整數的全部特性，並且僅僅是這些特性。然而奇怪的是，人們發現可以找出截然不同的解釋或模型都能滿足這些公理。因此，鑑於整數集是可數的，或者按照康托爾的記法，存在
個整數，則存在着與整個實數集合（甚至在超限的含義上更大的集合）同樣多元素的集合的解釋。同理，相反的現象也可能出現，也就是説，假設人們承認了關於集合論的某個公理系統，進而還希望這些公理可以容納並且的確能描述不可數集族的全部特性。然而，人們卻發現了滿足這個公理系統的可數集族以及其他一些與人們的常識非常不同的超限解釋。實際上，每一個相容的系統都存在着相應的可數模型。
這意味着什麼呢？假定人們打算開列一張特徵表，並認為它是且僅僅是刻畫了美國人，令人吃驚的是，某人發現了一種動物，它具有表上所列的全部特徵，但完全不同於美國人。換言之，試圖用公理系統來描述一類唯一的數學對象事實上是不可能做到的。就像哥德爾不完備性定理告訴人們的，一組公理對於證明屬於它們所覆蓋的數學分支的全部定理是不充分的那樣，勒文海姆-斯科倫定理告訴人們，一組公理能夠容許比人們預期多得多的解釋，而且這些解釋具有本質的區別。公理沒有限制住解釋或是模型。因此，數學的真理性不可能嚴格地與公理化一致。
非預期的解釋之所以可能，原因之一在於每個公理化系統內部都有無定義的概念。先前人們認為這些概念是被公理隱含地加以定義的，可事實上公理並沒能做到這一點。因此，無定義概念的概念必須以某種非預期的方式加以更改。
勒文海姆-斯科倫定理與哥德爾不完備性定理同樣驚世駭俗。對於 發端於20世紀初的公理化方法而言，它無疑是另一次沉重打擊。直到不久前，公理化仍被認為是唯一可靠的方法，而且仍被邏輯主義者、形式主義者和集合論公理化主義者使用着。
從總體上來看，勒文海姆-斯科倫定理並不出人意料。哥德爾不完備性定理表明每個公理化系統都是不完備的，即存在着不可判定的命題。假定 P 就是一個這樣的命題，那麼不管是 P 還是非 P 都不能從這些公理中推導出來。因而，人們可以接受一個更大的公理系統：原來的公理集合加上命題 P 或是命題非 P。由於解釋不會是同構的，所以這兩個公理系統也不是無條件的，也就是説，不完備性是有條件的。但勒文海姆-斯科倫定理是以一種更強硬也更根本的方式否定了無條件性。它證實了對於一個給定的公理系統，可以存在完全不同的解釋或模型，而這無須加入任何新的公理。當然不完備性是必須的，否則的話，完全不同的解釋是不可能的。此外，為了不被所有的解釋所共同包容，關於某個解釋的一些有意義的陳述也必定會是不可判定的。
經過對自己的結論再三考慮之後，斯科倫在1923年的一篇論文中表示，對於把公理化方法當作集合論的基礎他是持反對意見的。即便是馮·諾依曼也在1925年表示贊同他的公理以及其他關於集合論的公理系統全都註明“不真實的標記……集合論不可能無條件地公理化……既然算術、幾何等不存在公理體系，而對集合論卻沒有這樣假定，那麼也就必定不存在無條件的公理化無窮系統”。這一情況，他繼續寫道，“對我而言，是有利於直覺主義的又一論據。”
數學家們試圖通過回想非歐幾何的歷史使他們自己平靜下來。在關於平行公理爭論了幾個世紀之後，羅巴切夫斯基和鮑耶創立了他們的非歐幾何，黎曼也給出了另一個幾何學。數學家們起初傾向於拋棄這些新生的幾何學，這有若干理由，其中之一是它們必定是不相容的，可後來的解釋表明它們是相容的。例如黎曼的雙橢圓幾何學，與人們開始的意願（應用於普通平面的圖形）完全不同地按照球面上的圖形得到了解釋。然而，這個解釋或模型的發現是受歡迎的，它證實了相容性。而且黎曼最初的期望與後來的解釋在研究對象的數目上並沒有什麼不同，無非是點、線、面、三角形等等而已。用數學的語言來講，這兩個解釋是同構的。然而，勒文海姆 - 斯科倫定理所適用的公理系統的不同解釋並不同構，它們是完全不同的。
關於數學的抽象性，龐加萊曾經説過，數學是一門為不同事物起相同名字的藝術。例如，羣的概念就可以表示整數、矩陣以及幾何變換的全部特性。勒文海姆-斯科倫定理支持了龐加萊的觀點，然而卻改變了它的含義。人們並不期望羣公理能表明所有解釋具有相同的適用範圍和特性（羣公理不是無條件的，如果忽略平行公理，歐氏幾何也不是無條件的）。與此相反，數學家們原以為適用於勒文海姆-斯科倫定理的那些公理系統只指向一個特定的解釋，於是，當它們適用於完全不同的解釋時，則令數學家們茫然不知所措。
上帝打算毀滅某些人，首先是使他們發瘋。也許是上帝仍不相信哥德爾和科恩的工作，或者是勒文海姆和斯科倫還打算施展什麼詭計，他們又開始了進一步的發展，似乎要使數學家們陷入絕境。在探討微積分時，萊布尼茨引入了無窮小量。他認為無窮小量比1，0.1， 0.01…以及其他任何正數都小，但不是0。他進而認為，人們可以像使用其他普通數一樣使用無窮小量。雖然無窮小量只是一種理想的元素，或者説是一種虛構的東西，但確實是有用的。事實上，對萊布尼茨而言，微積分學的基本概念——導數，就是兩個無窮小量的比值。萊布尼茨還像對普通數值那樣，也使用了無窮大量。
在整個18世紀，數學家們一直為無窮小量的概念爭論不已。一方面，他們任意地，甚至是不合乎邏輯法則地使用它們；另一方面，他們最終又把無窮小量作為沒有意義的東西而扔掉。柯西不僅拒絕無窮小量而且想努力消除它們。然而，無窮小量是否合理的問題依舊存在。米塔格-萊弗勒有一次問康托爾，在有理數與實數之間是否存在另外一類數，後者堅決予以否認。1887年，康托爾又證明了無窮小量在邏輯上是 不可行的。這個證明從根本上依賴阿基米德公理，即對於任意實數 a， 總存在一個整數 n，使得 na 大於另一給定的實數 b。皮亞諾也證明了無窮小量不存在。羅素在他的《數學原理》（1903 年）中對此表示贊同。
然而，即便是偉人的號召，也不會得到非常迅速的響應。從亞里士多德時代起以及之後很長的一段時間裏，地球是球體的觀念被眾多思想家認為荒誕不經而遭到摒棄。因為如果是那樣，生活在地球另一面的人就會在空中倒垂着他們的頭顱。可事實上，球體才是正確的觀念。同樣地，儘管萊布尼茨關於無窮小量的證明必須被摒棄，依然有許多人試圖為它建立一個合乎邏輯的推論。
杜·布瓦-雷蒙、施托爾茨和克萊因的確認為基於無窮小的相容理論是可能的。事實上，克萊因指出，為了得到一個這樣的理論，就必須 放棄阿基米德公理這一關於實數的最基本的公理。斯科倫也在1934年引入了不同於普通實數的一種新數——超整數，而且給出了它們的一些性質。若干數學家的一系列論文最終導致了一種使無窮小合理化的新理論的產生，而其中最重要的貢獻則是由羅賓遜做出的。
稱為非標準分析的新系統引入了“超實數”（hyperreal number），它包括原有的實數以及無窮小。正像萊布尼茨所做的那樣，一個正無窮小被定義為小於一切普通的正數而大於 0 的數值；類似地，一個負無窮小 則大於一切負實數而小於 0。這些無窮量都是固定的數值，從而它們既 不是萊布尼茨意義上的變量，也非可以逼近 0 的變量，而是柯西有時使用這個術語時所表示的含義。更進一步地，非標準分析又引入了新的無窮大數，它們是無窮小量的倒數但不是康托爾的超限數。每一個有限的超實數 r 可表述成 x+a 的形式，其中 x 是一個普通的實數而 a 是一個無窮小量。
有了無窮小的概念，人們就可以説兩個超實數無限接近了，這意味着它們的差是一個無窮小量。於是每個超實數都無限地接近於一個普通的實數，因為差恰好是無窮小。人們可以隨心所欲地使用超實數，就像使用普通的實數那樣。
使用新的超實數系統，人們可以引入其值既可以是普通實數又可以是超實數的函數。根據這些數，人們還可以定義函數的連續性：如果 x-a 是無窮小量，那麼 f (x) - f (a) 也是無窮小量，此時稱 f (x) 在 x=a 處連續。我們還可以用超實數定義導數和其他微積分的概念，進而證明分析的全部結論。最主要的一點是：超實數系統使人們能以一種精確的方式取得微積分學的成果，而先前人們正是因為不清晰甚至無意義而拒不接受微積分。
使用新的數系將會增長數學的力量嗎？迄今為止，通過這種方法仍沒能得到任何有重大意義的新結論，可重要的是它又開創了一條新的道路，而這正是一些數學家所渴望的。事實上，關於非標準分析的論著已經在不斷湧現出來，而另外一些人則因為這樣或那樣的原因而責難這種新型的分析。但是物理學家們確實得救了，因為即便在知道了柯西已摒棄無窮小之後，為了方便起見，他們仍然在使用着這一有益的工具。
1900年以來數學基礎的進展是令人迷惑的，即使在目前，數學的狀況仍舊雜亂無章，前進的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍讚賞和普遍接受的數學，其證明儘管有時需要校正，但畢竟曾被認為是可靠推理的極致。而到現在，這種看法改變了。對待數學可以採取相互矛盾的態度，在邏輯主義、直覺主義和形式主義的基礎之外，集合論的方法又獨立地給出了更多的選擇。一些有歧義的甚至是矛盾的觀點在其他學派內也是可能的。正由於此，在直覺主義哲學的內部，構造化運動又分成了許多小派別。對形式主義而言，什麼樣的數學原理可以使用存在着眾多有待取捨的選擇。而對非標準分析而言，雖然並不屬於任何一個學派，卻允許採取在分析中會引起歧義甚至是矛盾的觀點的態度。無論如何，以前曾被當作不合乎邏輯的和應該被摒棄的，現在卻被一些學派認為是邏輯上可靠的而予以接受。
至此，旨在消除可能存在的矛盾與建立數學結構相容性的努力宣告失敗。是接受公理化方法，還是接受非公理化的直覺主義方法？如果接受公理化方法，又應該接受哪些公理？對這些問題再也不會存在一致的看法了。數學是建立在各自的公理集合之上的一組結構，這一流行的觀點不足以包含數學所應該包含的東西，另一方面又包含了比它應該包含的更多的東西。看法上的不一致甚至殃及推理。排中律不再是毫無疑義的邏輯原理，爭論的焦點是存在性證明中不允許計算其存在性正被確立的量及是否可用排中律。為此，必須放棄完美推理的觀念。顯然，不同的數學將導致選擇的多樣性。因此，近期數學基礎研究所謂取得突破性的進展不過是邂逅了又一片荒野。
我們上面描述的自1931年以來取得的這些成果，使得邏輯主義者、形式主義者和集合論公理化主義者徹底絕望，而唯有直覺主義者對此保持了某種程度的鎮定和樂觀。使用邏輯符號和原理所做的全部工作，即使對最睿智的偉人的思想也構成了責難，對直覺主義者卻是風馬牛不相及。數學的相容性是顯然的，因為直覺的意義保證了這一點。至於選擇 公理和連續統假設，直覺主義者們並不承認。此外，布勞威爾在1907年已對此講得相當多了，不完備性和不可判定命題的存在不僅沒有使他們感到困擾，而且他們還理直氣壯地説：我早就這樣跟你講過了。然而， 即使是直覺主義者們，其實也不希望拋棄在1900年之前建立的那部分不合乎他們標準的數學。他們已經斷言，通過使用排中律確立數學的存在性是不能被接受的，只有允許人們按照期望的精確度對其存在性已被證實的量進行運算的那些構造，才是令人滿意的。因此，他們仍在爭論着構造性的存在性證明。
總之，沒有哪個學派有權力宣稱它就代表了數學，而更加不幸的是， 正如海廷在1960年評論的，從1930年開始，無休止的論戰取代了友好合作的精神。
在1901年，羅素説道，“現代數學最主要的成就就在於發現了什麼是真正的數學。”這些話至今仍能自然而然地打動我們。除了幾個學派在作為今天的數學什麼是可以接受的問題上存在分歧之外，人們可以對將來給予更多的期望。現存的學派一直在忙於證明當前的數學是正確的， 但如果注意到希臘數學在17世紀和19世紀的遭遇，人們就會發現戲劇性的鉅變。這幾個現代學派試圖證明20世紀數學的合理性，可它們能夠 符合21世紀數學的要求嗎？直覺主義者確實在思索着數學的成長與發展，可是他們的“直覺”有能力給出或產生歷史上沒有過的東西嗎？當 然，即便在1930年，回答也是否定的。因此，對數學基礎的修正看上去總是必需的。
一則寓言恰如其分地概括了20世紀有關數學基礎的進展狀況。在萊茵河畔，一座美麗的城堡已經矗立了許多個世紀。在城堡的地下室生活着一羣蜘蛛，突然一陣大風吹散了它們辛辛苦苦編織的一張繁複的蛛網，於是它們慌亂地加以修補，因為它們認為，正是蛛網支撐着整個城堡。
版權説明：歡迎個人轉發，嚴禁任何形式的媒體未經授權轉載和摘編。
《返樸》，致力好科普。國際著名物理學家文小剛與生物學家顏寧聯袂擔任總編，與幾十位學者組成的編委會一起，與你共同求索。關注《返樸》（微信號：fanpu2019）參與更多討論。二次轉載或合作請聯繫[email protected]。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
相關閲讀