被解救的諾特_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-07-10 09:38
撰文 | 孟子楊（中科院物理所/香港大學）
來源：中科院物理所
本文獻給一個受苦中的朋友
生命的亮色，往往是在那一個個清冷的早晨，片刻之間彷彿看透了重重的困境，得到了真理的短暫照耀。
（上）
看過好萊塢鬼才昆汀.塔倫蒂諾的電影《被解救的姜戈》的朋友，可能都思考過這樣一個問題，除了表面上暴力美學和廢奴主題之外，這部電影到底想要表達什麼意思？鬼才當然不愧是鬼才，離奇的故事——狂野的西部片人設與瀰漫着潮濕和神秘氣息的南方奴隸莊園背景，姜戈在這個昆汀匠心設計的故事裏，掙脱了時代強加在他身上的枷鎖，經過生死的洗禮 ，邪惡的奴隸主坎迪（萊昂納多·迪卡普里奧）死了，好心仗義的德國賞金獵人舒爾茨 （克里斯托弗·瓦爾茲) 也死了，姜戈在殺光所有壞人後最終救出了妻子，體會到了追求自由的滋味。但是，這只是姜戈個人的追求，在他那個時代，幾乎所有的美國南方黑人還生活在奴隸制度的不公之下，哪怕是影片中莊園裏的黑人，即使他們的主人和主人的幫兇們已經死在舒爾茨和姜戈復仇的槍口之下，仍然將會繼續做奴隸。姜戈解救的只是他自己，或者説他只是品嚐到了個人追求自由的苦澀與甜蜜，他改變不了整個環境。但是，對於一個個被環境壓迫着的個體，對於艱難的人生，能夠體會到這份屬於個人的苦澀和甜蜜，或者起碼知道存在這樣的可能性，已經足夠讓人掙扎着追求下去了。
時代的變異，歷史的演進，其實個人的不自由，個人的追求自由和自我救贖，即使在今天這個似乎要被人工智能和量子計算所顛覆的時代，這樣人類生存中永恆的命題並沒有改變，也不會改變。我想，這也許是塔倫蒂諾電影中，除了暴力、詭異和戲謔之外，還有的一層意思。
同樣內涵的故事，可以從1850年代的美國南部轉述到1915年的德國哥廷根，就是在這個高斯、黎曼、克萊恩、希爾伯特、馬克斯玻恩等等科學的聖賢們工作和生活的地方。一個傑出但是被其所處的時代壓迫着的人，也在掙扎着擺脱身上的枷鎖追求自由，或者説，追求着追求自由的感覺，她就是埃米.諾特。在諾特生活的時代科學正突飛猛進，相對論、量子力學正在一步步成長為參天的大樹，許多我們現在耳熟能詳的名字正在被鐫刻到人類文明羣星的天幕上，然而就是這樣一個時代，女性仍然在學術工作中受到歧視和壓迫。在長達7年的時間裏，諾特只能在研究所無償地工作；而且她不能使用自己的名字，只能做為希爾伯特的無名助手進行教學；晚年更因為身為猶太人被趕出德國。諾特品嚐到的壓迫，雖然和姜戈生為黑人只能做奴隸那樣的更加血腥的壓迫表現形式不同，但實質是一樣的。
姜戈追求自由的方式是殺死想置他於死地的奴隸主一家人，諾特追求自由的方式是證明了一個定理。他與她，都是時代中優秀的、受到壓迫的個體，他和她都在掙扎着追求追求自由的感覺，他和她也都改變不了同伴們還在受着壓迫的苦難現實，但是做為一代人中的先知先覺者，能夠做到如此已然是成功的了。大多數時候，能夠成功地追求到追求自由的感覺，就是值得過的人生了。
Fig.1 被解救的姜戈和被解救的諾特。不同的表達，相似的主題。
下面我們進入正題，講講諾特定理 [1]，這條定理告訴我們：在物理系統中，連續對稱性總是對應着守恆量 。
這句話看似簡單，但其在經典物理學和量子物理學中都有深刻意義，它告訴人們可以從物理系統所具有的連續對稱性中（比如系統哈密頓量所具有的連續對稱性），看出如此係統存在的守恆量和守恆流。舉幾個常見的例子。具有空間平移不變性的系統，其動量是守恆的；具有轉動不變性的系統，其角動量是守恆的；具有時間平移不變性的系統，其能量是守恆的；具有電勢和向量勢的規範不變性的系統，其電荷是守恆的；……。所以諾特定理可以讓人們從對於物理問題的基本形式的觀察之中，比如對於作用量或者哈密頓量的對稱性分析之中，洞察問題將會具有的性質，即
連續對稱性
守恆律/守恆量/守恆流
這樣的性質從經典力學系統到量子力學系統，再到量子多體系統都是適用的。也許正是因為定理本身所展現出的洞徹性，讓諾特本人可以忘記身處的壓迫性的環境，全心地投入到追求自由的創造性工作之中，追求着追求自由的感覺。
其實諾特定理在18,19世紀的經典力學中很容易解釋。對於作用量
其中
為廣義座標，
為廣義動量。歐拉—拉格朗日方程告訴我們
如果系統的拉式量
中不顯式地含有某一個廣義座標qk，也就是説系統對於廣義座標變換q’k → qk + δqk 具有連續對稱性。此時
那麼顯見
而
所以
即廣義動量pk不隨時間而改變，是為守恆量。這就是連續對稱性給出守恆量的具體原因。
上面對於諾特定理的解讀，在我們的時代已經進入大學物理甚至是中學物理教科書，大多數時候人們也不會想到在第一線的研究工作中還會有與之相關的驚喜。第一線的研究工作往往就像日常生活中的柴米油鹽，真正陽春白雪般的美其實並不多見。但是，當第一線的科研工作者們在實際的困難中反覆掙扎的時候，他們心中常常想到的，也和姜戈、諾特一樣，是要掙脱困難和環境壓力的束縛，是要去追求追求自由的感覺，而就是在這樣的過程中，我們和諾特相遇了。
（中）
現代凝聚態物理學量子多體理論有幾個核心的支柱。其中關於相變與臨界現象的支柱就是朗道 — 金茲伯格 – 威爾遜理論框架 （Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) paradigm），其基本的想法是物理系統的相都由對應的序參量來刻畫，而系統發生相變的過程就是由序參量寫成的作用量，在重整化羣的流動中（renomalization group flow）到達不同的不動點（fixed point）的過程。在不同的不動點上，作用量中有的項變得相關，或者説變得重要，其他的項變得不重要。作用量中不同的相關項會對應不同形式的對稱性自發破缺，一旦某種對稱性發生了自發破缺，其對應的序參量就是有限值。序參量從零到有限值過程如果是連續的，則為連續相變；如果從零到有限值的過程是一個跳變，則為一級相變。在 LGW 的框架之下，系統可能發生的對稱性自發破缺，都在作用量（或者微觀哈密頓量）的掌握之下，不會有高於哈密頓量的對稱性，不會有超越 LGW 框架的相變。比如，兩種對稱性自發破缺的序，在只調節一個參數的時候，不會在一個連續相變點相遇，此時的相變要麼是一級，要麼會在兩個序中間還有個中間相。
上面這樣基本的認識，隨着凝聚態物理學量子多體問題的研究進展，正在逐漸地發生變化，筆者在之前文章**[3, 4]中提到的去禁閉量子臨界點（deconfined quantum critical point, DQCP），就是 LGW框架所不能描述的例子。DQCP 的模型實現，如圖2所示，就是在正方晶格自旋-1/2 模型中，從打破自旋旋轉對稱性的反鐵磁有序態（antiferromagnetic – AFM）到打破晶格平移與轉動對稱性的共振價鍵態（valence bond solid – VBS）的相變。DQCP 的預言就是這兩種不同的對稱性自發破缺相，可以在一個連續相變點相遇，那時，分數化的自旋子激發，湧現量子電動力學規範場，以及和本文最相關的湧現連續對稱性等等超越 LGW 的性質都會出現[5]**。DQCP 的模型計算（J-Q 模型）十幾年來一直在熱烈地進行着，通過凝聚態物理學家、高能物理學家們的共同努力，目前的認識凝練到了如下三個方面：
1）去禁閉量子臨界點，做為一個連續相變，在J-Q 模型或者其他 designer-Hamiltonian 中是否真正存在，還是其實是弱的一級相變？
2）理論上預言的，在去禁閉量子臨界點上湧現出的連續對稱性是否存在？
3）想要在關聯電子材料實驗中觀察到去禁閉量子臨界現象，應該尋找怎樣的實驗信號？
可以看到對於1), 2), 3) 的理解，都用了問號結尾，可見目前其實並沒有定論。如筆者在之前的文字中所描述的**[4]，對於問題1)，有持一級相變論者，有持連續相變論者；對於問題2)，有持連續相變且具有湧現連續對稱性論者，也有持連續相變但是沒有湧現連續對稱性論者，一時的爭論還沒有會平息的跡象。而筆者之前撰文介紹的工作[6]**，嘗試回答了問題3)，就是如果 DQCP 在凝聚態物理材料中存在的話，實驗上應該看到什麼現象，有什麼與遵從 LGW 的普通量子相變不同的現象。文獻 **[6]**告訴人們，如圖2所示的自旋動力學譜函數，對於 DQCP和普通量子相變，是十分不同的。在DQCP 的譜中，可以看到由於自旋子存在而產生的連續譜，可以看到自旋子與規範場耦合所導致的自旋譜權重特別的能量—動量分佈。
Fig. 2: Emmy Noether looks at the DQCP。具有去禁閉量子臨界點的 easy-plane J-Q (EPJQ) 模型。q=Q/(J+Q) 為相變的調控參數。q < DQCP，系統具有破缺自旋旋轉對稱性的 easy-plane 反鐵磁長程序 (antiferromagnetic XY order, AFXY)；q > DQCP，系統具有破缺晶格旋轉對稱性的共振價鍵長程序 (valence bond solid, VBS)。兩者之間是去禁閉量子臨界點，臨界點上的自旋能譜為能量 – 動量上的連續譜，展現出去禁閉的自旋子以及自旋子的湧現規範場耦合的效應。能譜中在X=(π, 0)處的自旋算符，就是DQCP O(4) 湧現連續對稱性的守恆流。
但是，始終困擾着人們的問題2) 湧現連續對稱性，多年以來領域中很多同行都進行了努力，仍然還是沒有明確結論。比如人們用了很大的精力去討論如何得到準確的AFM 和VBS 序參量的臨界指數。這是因為如果兩種序參量的臨界指數相等，那麼這兩個序參量其實就是一個具有更高對稱性的序參量的分量，即系統在相變點上具有比其哈密頓量更高的對稱性。然而，臨界指數的準確計算十分困難，DQCP尤甚。這是因為臨界指數一般都不是整數，以AFM 和VBS序參量的 anomalous dimension ηAFM 和ηVBS為例，此處它們的 errorbar 強烈地受制於有限尺度效應，對於誤差的估計很難做到完全客觀，所以很難説計算得到的臨界指數是否在客觀的誤差估計下相等。後來，人們又發現 J-Q 模型的有限尺度標度方式與一般的量子相變不同，一般的連續相變只有一個長度尺度是發散的，而 J-Q 的 DQCP有兩個發散的長度尺度，這個發現本身就是一篇 Science 文章**[7]**，但是這個發現又使得 J-Q 模型相變點上臨界指數的數值分析更加困難，所以這樣的努力一時也沒有完結的跡象。
就是在這樣一個一團亂麻的情況下：問題本身的困難程度；為了解決問題所需要的理論修養；為了得到可靠數據而對於大規模量子蒙特卡洛所進行的計算資源調配；得到數據後如何進行可靠的有限尺度標度分析；…..。我們就是在反覆追問解決方案的過程中與諾特相遇**[8]**。諾特定理告訴我們，物理系統的連續對稱性對應着守恆流，反之亦然，重要就重要在這個反之亦然。本文（上）中舉出的諾特定理在教科書中的應用，都是正向的，而現在對於 DQCP，需要反過來思考，這事看來顯而易見，卻着實困擾了我們很長時間。
如圖2所示，在 J-Q 模型的 DQCP，理論預言VBS序參量具有的(n1, n2)分量（即自旋單態算符
和 AFXY 序參量具有的(n3, n4)分量（即自旋算符
），在 DQCP 上演生成為一個更高序參量的四個等價分量，即n=(n1, n2，n3, n4)，也就是説系統在 DQCP 具有n所具備的 O(4) 連續對稱性，高於 J-Q 模型本身所具有的連續 O(2) (AFXY) 和離散 Z4 (VBS) 對稱性。系統所對應的態（或者説波函數）具有高於其微觀模型的對稱性，即湧現連續對稱性。
為了驗證此事，如上文所述的對比臨界指數、運用兩個長度尺度的標度方法等等努力都已付諸實踐，但是結果仍然不能讓人滿意。我們就是在一起反覆追問這樣的問題的過程中，意識到了諾特定理和它的反向應用。如果體系果然具有湧現O(4) 對稱性，就應該可以找到這個對稱性對應的守恆流，即
而守恆流之為守恆流，就是其關聯函數在時空中按照整數冪律衰減，
衰減的冪指數4是空間的維度（d=2）的兩倍，是一個整數。而不像普通的相變點上的關聯函數的衰減形式，
需要考慮一個由重整化流所賦予的不為零、非整數的 anomalous dimension ，比如上文中提到的ηAFM與ηVBS。所以，如果我們可以找到 O(4) 守恆流的算符表達式，在大規模數值計算中計算其關聯函數，然後通過逐步增大系統的尺度，觀察其關聯函數的衰減形式是否按照整數的冪律，即η=0，那麼就可以反用諾特定理，證明我們的 DQCP 的確具有湧現 O(4) 對稱性。
在文獻 [8] 中，我們也的確是這樣做的。首先在湧現作用量中推導出守恆流的場論表達形式，如表1中第3列。而我們可以嚴格計算的，是原本的晶格模型中的種種自旋關聯函數，於是還需要近一步把場論算符推導至晶格模型中的微觀算符，這就是表1中第1列和2列。此時就可以看到場論模型中的守恆流算符
其實是晶格模型中自旋
算符在動量空間中 (π，0) 點上的關聯。這裏其實也可以看出為什麼人們之前沒有關注這個關聯函數，如上文所説，反鐵磁相的序參量是
和
算符在 (π，π) 點上的關聯函數，而 (π，0) 點上的關聯函數，如果不是通過這裏的分析，是看不出其明確的物理意義的。同樣的，表1還告訴我們，另一個被人們忽略的關聯函數，自旋算符
在動量 (0, 0) 處的關聯，亦是守恆流的關聯。
表1: 去禁閉量子臨界點處不同流算符在微觀晶格模型和場論模型之間的對應關係。
有了這樣的分析，下面就可以在 DQCP 點上進行量子蒙特卡洛計算，測量
在動量 (π, 0) 和
在動量(0, 0) 處的關聯函數，探測其 anomalous dimension 是不是η=0。在計算的過程中，我們發現對於路徑積分下的蒙特卡洛數值信號，關聯函數在虛時上的衰減比其在空間或者松原頻率維度上的衰減更加容易分析，但是上面 Eq. (8) 優雅的形式在傅里葉變換到虛時之上的時候，需要動用到特殊函數，所以需要對虛時的守恆流關聯函數進行含有特殊函數的數據擬合，才能從數值上得到可靠的η隨着系統有限尺度L變化的估計。
Fig.3: 量子蒙特卡洛模擬得到的守恆流結果。x軸為1/L ，即外推到系統線性尺度無窮大的熱力學極限；y軸為關聯函數冪律的重整化修正指數η，修正指數在熱力學極限下外推到η=0，説明此處的關聯函數是守恆流算符的關聯函數，沒有重整化修正。
上面所提到的理論推導和數據分析的困難都在我們的追問之下被一一克服，最後的結果就是圖3中所示的 DQCP 的 O(4) 連續對稱性守恆流關聯函數，其 anomalous dimension η隨着系統尺度L逐步增大時逐步收斂到η=0的行為，也就是説在熱力學極限下（L→∞），系統確實具有O(4) 連續對稱性所以需要的守恆流，也就是説 DQCP 確實具有湧現 O(4) 對稱性，也就是説百年前的諾特定理對於超過 LGW 框架的量子多體系統仍然具有振聾發聵的穿透力。
（下）
所有這些想法和實踐，都是合作者和筆者反覆追問的結果，在計算的過程中大家也都付出了艱辛的努力。但就筆者來説，真正從自己的角度把故事理清楚頭緒是在一個清冷的下着雨的初秋的早晨，其時筆者正和學生在東京大學參加一個計算物理學的會議。清晨在無人的校園中散步的時候，平日裏橫亙在心中的繁瑣的日常工作，生活中的各種困難和束縛都暫時地被東京灣秋日的冷雨洗刷乾淨，追求着追求自由的感覺短暫地回到心中，一時看透了J-Q 模型諾特守恆流的計算結果的合適的表達方式，遂直奔東大朋友給安排的辦公室，會議也不參加了（後來想起實在有愧日本朋友熱情的邀約），開始傾瀉心中的故事。一個上午，就在那座老舊的日本帝國時期的教學樓裏，大家都去開會了，一個人藏在擁擠的小房間裏開始滿心虔誠地向諾特、向姜戈表達自己的敬意，滿心虔誠地追求着雖然渺小但是卻自視為珍寶的追求自由的感覺：
Emmy Noether looks at the deconfined quantum critical point ,
這裏寫下的其實不是 DQCP 和湧現連續對稱性，不是運用諾特定理找到了對於其他方法難以獲得確定性答案的新型量子相變的技術突破，寫下的其實是自己在事業中最珍視的，卻又每每被自身稟賦的缺乏，被學生、家庭、同事、單位等重重網絡所緊緊束縛着的，個人拼盡了力想要去掙脱去自由創造的嘗試。雖然在艱難的人生中這樣的嘗試終究會失敗，但是就算會失敗，能夠像諾特和姜戈那樣，追究着追求自由的感覺，也就夠了。
一位筆者十分尊敬的前輩，曾經十分形象地向筆者描述過類似我們這樣的人的身心狀態。從事創造性工作的人，其實真正需要的不是資源，而是自由，其實連自由也不需要，只需要能夠保持着追求自由的感覺。那麼在哪裏可以找到這樣的感覺呢？往往不是在風口浪尖，不是在時代的弄潮兒們呼風喚雨的地方，而是在不同利益，不同的社會資源交叉甚至是衝突的地方，在那裏有足夠的陰影可以讓我們躲藏，也有足夠的養分可以讓我們生長，有着看似重重限制實際遍佈着岔路的寬鬆生態，讓我們這類時時感受到壓迫的人們，可以最低限度地維持着追求自由的感覺。就像姜戈和諾特，其實大家都改變不了環境，大多數人都會選擇順從，只有少數人能解放自己，甚至可能只是自己覺得可以解放自己，但是對於艱難的人生來説，能做到如此已然成功了。
生命的亮色，往往是在那一個個清冷的早晨，片刻之間彷彿看透了重重的困境，得到了真理的短暫照耀。諾特定理在去禁閉量子臨界點上的運用，是為一例。
參考文獻
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[7] Quantum criticality with two length scales, H. Shao, W. Guo, and A. W. Sandvik, Science 352, 213 (2016)
[8] Emmy Noether looks at the deconfined quantum critical point, Nvsen Ma, Yi-Zhuang You, Zi Yang Meng, Phys. Rev. Lett. 122, 175701 (2019)
本文經授權轉載自微信公眾號“中科院物理所”。
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