掙脱確定性的枷鎖，數學獲得了自由_風聞

1758年聖誕節，德國的一位業餘天文學家帕利奇發現，天上出現了一顆彗星。

對於天文學家來説，彗星並不陌生。早在公元前613年，我國的天文學家就見過彗星，並在《春秋》中留下了記錄：“秋七月，有星孛入於北斗”。

這種天體拖着長長的尾巴，在天空中格外顯眼。但在古人眼中，這種不知何時而來的怪異星體，顯然是災禍的預兆。

直到1705年，英國天文學家哈雷在研究天體的引力影響時，在故紙堆中發現1531年、1607年和1682年出現的三顆彗星似乎擁有同樣的軌道。

他猜想它們應該是同一顆彗星。他預測，這顆彗星應該會在1758年左右迴歸。帕利奇觀察到的，正是這次迴歸。至此，彗星不再是神秘的預兆，而是如約而至的自然現象。

哈雷

而讓哈雷能正確做出預測的，正是牛頓的萬有引力理論，還有他和萊布尼茲當時正在發展的微積分。

一窺數學的“後廚”

數學發展到現在，已經深入了各個學科。除了物理、化學等自然科學，經濟學、心理學等社會科學為了得到更為精確的結論，用到的數學也越來越多。哈雷彗星的預測當年被認為準確得近乎神蹟，但現在各行各業中，這樣的預測簡直稀鬆平常。

通過數學的計算，科學家解開了宇宙的奧秘，工程師設計了精巧的結構。數學計算的結果，與應用若合符節，給人們留下了“數學即精準”的印象。

但正如烹飪一樣，高級餐廳的擺盤再精緻，後廚難免一地雞毛。現成的數學理論如水晶般無瑕，但數學家發展這些理論的過程又是如何呢？數學史專家克萊因的這本經典名著《數學簡史：確定性的消失》，就讓我們有了一窺數學“後廚”的機會。

讓我們能看到，在發展為當今嚴密精確的理論之前，數學所經歷過的模糊與混亂。在克萊因眼中，作為描述這個世界最確定無誤的數學體系，在經歷過三次危機之後，就徹底失去了它的確定性。

克萊因

三次數學危機

第一次危機發生在幾何領域。建基於公理與邏輯的歐幾里得幾何，兩千年顛撲不破的歷史被非歐幾何的發現所打斷。人們至此發現，幾何不止一種，而這個世界也沒有理由只能用歐氏幾何來描述。與此同時，第二次危機在代數中醖釀着。

當時代數的頂峯微積分雖然實用，但邏輯體系模糊至極，“無窮小量”這一概念更是遭人詬病。牛頓和萊布尼茲在17世紀開拓的微積分體系，要到19世紀才打好嚴密的根基。在兩次危機之後，數學家終於開始正視數學的嚴密性，希望用更精確的邏輯建築數學大廈，保證它的穩固。

然而，第三次危機就此襲來。對於應否接受康托爾“無窮之後仍有無窮”的概念，數學家之間的爭論逐漸上升到了數學基礎應歸於何處的論戰，出現了數個不同的學派。

其中有主張“數學就是思維構造產物”的直覺主義，他們認為人類直覺不能把握實在無窮，而將其拒諸門外；有主張“數學可以完全化歸為邏輯”的邏輯主義；還有主張“數學不過是符號遊戲”的形式主義，其中符號代表什麼其實並不重要。

然而，這三個派別都分別碰到了各自的難題：直覺主義拒絕了太多的數學，就連領軍人物也不願意只在這個框架下繼續研究；邏輯主義的帶頭人弗雷格用邏輯為許多數學分支搭建了架構，但卻被羅素悖論一下子摧毀了；希爾伯特提出了形式主義的綱領，將一切數學化歸為算術，希望通過證明算術沒有矛盾來證明數學中不可能出現矛盾，但哥德爾的不完備性定理打碎了這一夢想。哥德爾證明，只要形式系統內包含完整的算術體系，就不可能在系統內部證明自身不會出現矛盾。也就是説，希爾伯特的夢想不可能實現。

但數學基礎總要有個共識。現今，大部分數學家都將所謂的策梅洛-弗蘭克公理集合論當作幾乎所有數學的基礎，它延續了形式主義和邏輯主義的某些方法論。雖然其中大部分公理在直觀上無可辯駁，但也有一些公理，比如説選擇公理，還有一些爭議。對於克萊因來説，這就是數學確定性的終結：選擇什麼公理體系並沒有確定的標準，所以數學並沒有一個客觀的基礎。他認為，自此之後數學就走進了為抽象而抽象的誤區，唯一留存堅實基礎的，只剩下直接錨定於客觀現實的應用數學。

“數學喪失了確定性”這個視角似乎非常灰暗，但真的如此嗎？

結構主義

克萊因本人作為數學史的專家，在講述三次數學危機時條分縷析，準確描述了數學從經驗到嚴密的發展軌跡。然而，他在描述第三次數學危機後的現代數學時，卻忽視了最洶湧也最富有影響力的思潮——結構主義。

布爾巴基學派是結構主義的領軍人物，但克萊因僅寥寥提到他們幾次，而且並沒有詳述他們的數學基礎觀點。然而那正是現代許多數學家對數學基礎的看法，也是數學家仍對數學前景十分樂觀的原因之一。

一言以蔽之，結構主義認為，數學就是研究抽象結構及其之間關係的學科。

什麼是抽象結構？要理解這一點，我們要先破除根深蒂固的信念，用完全抽象的眼光看數學。舉個例子，從小老師就教我們，自然數是可以數出來的數，每個自然數上都附有不同的性質。人們會説，“4”就是一個合數，這就是它自己的性質，與別的數沒有關係。

但真的是這樣嗎？為什麼我們會説“4”是合數？那是因為有一個比它小但不是1的自然數“2”可以整除它。也就是説，我們在意的“4是合數”這個性質，實際上反映的是其他自然數和它之間的關係。

換句話説，“4”這個數並不重要，重要的是它與其他數有什麼關係。“4”只是一個方便我們稱呼的標籤，但它的內涵並不是這個標籤，而是標籤背後沒有任何特殊之處的實體，以及它與其他實體之間的關係。如果撇除一切關係的話，每一個數除了標籤不同都無法區分。每個數之所以不一樣，是因為它們跟其他數有着各異的關係網絡。

這種看法，在其他更復雜的數學中也適用。我們討論某個數學對象，實際上討論的是它與其他數學對象的關係。而如果將擁有特定關係的數學對象聚成一組，我們就得到了一個數學結構。比如説，所有整數再加上它們之間加法和乘法的關係，就組成了一個叫做“整數環”的數學結構。

數學結構本身又可以作為數學對象，與其他數學結構一起形成更高階的數學結構。不同的數學結構還可以出現在同一組數學對象上，比如説整數除了有整數環這個代數結構以外，還有所謂的“序結構”，讓我們可以比較整數之間的大小。由此，不同的數學結構之間也就產生了更多的聯繫。數學的任務，就是研究這樣層層疊疊、互相勾連的數學結構。

那麼，數學是如何研究這些結構的呢？我們當然可以深入研究每個結構的性質，就像歐氏幾何實際上研究的就是平面這個數學結構；也可以比較相似的結構，找出它們的共性；還可以研究結構的某個性質到底來源於結構的什麼方面，嘗試將相似的性質推廣到相似的結構上。這些方向分別對應着克萊因所説的：數學的專門化、抽象化和一般化。

但除了克萊因所説的這三個方向以外，還有更重要的方向，就是嘗試在結構中尋找新的結構，和尋找迥然相異的結構之間的聯繫。

可以説，近現代大部分的數學突破都可以歸於這個類別。名噪一時的龐加萊猜想的證明，正是源於佩雷爾曼確認了三維流形這個拓撲結構與它上面某些微分結構之間的關係。而陶哲軒之所以被認為是大數學家，也是因為他巧妙地發現了組合、數論、代數這些領域中林林總總看似毫不相干的結構之間的緊密聯繫，由此得以利用不同領域的方法來解決難題。

這種結構主義的觀點也為數學家們帶來了莫大的自由。非歐幾何的出現，使數學家明白了幾何不止一種。新幾何的探索就開始了，湧現出了微分幾何甚至代數幾何這些如今枝繁葉茂的分支，而歐氏幾何本身幾乎走到了發展的盡頭。

同樣，擺脱了“必須描述現實世界”的束縛，現代數學才煥發出全新的活力。數學家構造新結構的靈感來源，除了現實以外，還多出了類比和想象，由此產生的新結構，更是層出不窮。

當然，這種自由並不意味着與現實脱節。現實如此複雜，其中暗藏的結構至今仍未被揭示於萬一。現代數學的自由發展也催生了對各種各樣結構的探索，其中有一些看似無比抽象的結構，卻與現實有着緊密的關聯。最近，法國青年數學家皮埃爾-路易·吉斯卡爾在研究圖上的路徑時，發現這些路徑之間的關係與整數有相似之處通過這個類比，他將數論中的篩法應用到路徑的計數上，得到了不少成果，甚至解決了量子化學中的一些問題。被克萊因認為與現實最脱節的數論，卻能找到最實際的應用。就連抽象至極的數理邏輯，隨着計算機的出現，也在編程語言設計中找到了一席之地。所有這些應用，都是因為我們找到了現實中的數學結構。

​現實方方面面的結構是什麼，我們一時無法摸清。但正因為現代數學的自由，數學家可以研究更抽象更一般化的結構。而一旦我們發現現實的某個側面有着已經研究過的結構，就能立刻應用相應的結論。數學結構中最重要的是關係。至於標籤是什麼，是整數還是頂點又或者是分子，根本無關緊要。

正因為數學結構什麼都不是，所以它可以什麼都是。這就是數學的力量。

如果存在矛盾……

人們可能會説，克萊因指出的問題仍然存在，數學仍然沒有一個在邏輯上甚至在形而上學上確定無誤的基礎。目前數學界接受公理集合論，也只是一個共識，但卻無法證明其中沒有矛盾。危機的可能性仍然存在。

哥德爾不完備性定理告訴我們，無法證明算術以至於數學沒有矛盾。但這個結論的前提是算術本身沒有矛盾。而按目前枝繁葉茂的發展，如果數學本身有矛盾，很難想象到現在為止還沒有數學家發現。的確我們無法證明沒有矛盾，但實踐説明矛盾非常不可能存在。這並不能完全排除矛盾的可能性，但將它降低到了一個可以讓大部分數學家安心工作的地步。

如果抬槓的話，要是有一天人們發現現代數學的基礎——策梅洛-弗蘭克公理體系——之中的確存在矛盾，那怎麼辦？

讓我們回到結構主義的理念：在數學中，重要的是結構，而所謂邏輯證明、公理體系，都只是描述這些結構的一種方法。結構本身是沒有矛盾的，它就這樣存在着。如果我們發現描述它的公理體系出現了矛盾，那是因為描述的方式不正確，而不是因為結構本身有矛盾。公理和證明是我們用以探索數學結構不可或缺的工具，但不是數學的基礎。“言者所以在意，得意而忘言。”工具壞了，換一套就可以繼續工作；公理系統出問題了，也只需要換一套，把有問題的地方排除掉。目前對數理邏輯的研究，也為這種更換提供了可能性。

畢竟我們研究的是數學，而不是單純的符號推演。在符號以外，還有我們希望把握的意義。

無盡的創造性

但哥德爾不完備性定理仍然沒有排除矛盾的可能性，這不會讓數學家如芒在背嗎？

正如失去確定性給數學帶來了自由，矛盾的可能性實際上賦予了數學無盡的創造性。

對哥德爾不完備性定理更根本的理解是，只要公理體系的表達能力足夠強大，那麼在其中的真理不等於被證明。這應該被視為公理體系力量的顯現，而非弱點。但真理的反面同樣不一定能被否定。為了釐清什麼命題不能在某個公理體系中確定真假，數學家提出了許多方法，大大發展了數理邏輯。

獨立於公理體系的命題，也給數學提供了更多的可能性：我們可以將這些命題或者它的反面添加到公理體系中，得到更強大的系統。但即使如此，這些加強過的公理體系仍然有着不能被證明的真理，從而可以繼續在不同的方向上加強。這就是矛盾帶來的創造性。

與之相反，數學家也可以削弱某個公理體系中的公理，從而得到表達能力更弱但更確定的公理體系。許多數學分支其實不需要過於強大的公理體系，研究每個分支實際上需要什麼強度的公理體系，這有助於我們更好地理解不同分支的本性。

除了矛盾的存在性以外，克萊因也將許多數理邏輯的結論闡述為數學本身的缺陷。比如説現在本科數理邏輯課上會提到的勒文海姆-斯科倫定理，它證明了任何一階邏輯的公理體系都有無數的模型，也就是説無法用一階邏輯完整地刻畫某個給定的結構。但在克萊因的眼中，這就成了數學的缺陷，説明公理化方法不可能唯一刻畫某個結構。

這種理解顯然有問題，因為邏輯並不止一階邏輯一種。比如説自然數，如果利用二階邏輯的話，就有對應的公理體系可以唯一決定自然數的結構。

當然，二階邏輯也有它的缺點，數學家對其也有爭議，但畢竟説明了自然數結構可以用公理化方法刻畫。克萊因的批評也就不成立了。更合理的理解是，這些數理邏輯的結論指出的是公理體系的特性，而不是公理體系所描述的數學的缺陷。

就像漢語的時態沒有法語精細，這並不説明時間在中國的流動就比在法國模糊。

終極自由

克萊因的觀點與現代數學界的觀點的相互衝突，讓我們想起人類對自身本質的探求。

克萊因希望為數學找到堅實的基礎，對他而言那就是與現實的聯繫，所以他對數學危機深感不安，因為他認為每一次數學危機，都使數學一點點地從現實剝離，最後成為現在的“空中樓閣”。

現代數學界的看法卻樂觀得多。他們認為，經過每一次數學危機，數學本身都有所得益。先是發現了數學系統並非唯一，然後是掌握了嚴謹的推理方法，最後得到了超越邏輯本身的視角。對他們而言，越抽象反而越堅實。正因為什麼都不是，所以可以什麼都是。

這其實也是人類發展的縮影。

古時候人們認為大地是不動的磐石，是宇宙本身。古希臘人首先否定了這個臆想，確立了大地是個球體。但後來人們又認為地球是宇宙的中心，一切星體都圍着它轉動。哥白尼打破了這個迷思，提出太陽才是中心，也因此遭受迫害。

隨着天文學不斷發展，人們才逐漸認識到，太陽不過是眾多恆星中的一顆，並非宇宙中心。而太陽所處的銀河系以外，還有無數個星系，銀河系並沒有任何特殊之處。隨着我們對宇宙認識的加深，人類在宇宙中的地位也被逐步廢黜。我們不過是星塵。

哥白尼

古時候人們面對自然無能為力，只能將自己的存在的意義交給神仙和上帝，因為無所不能的上帝似乎正是存在意義的堅實基礎。直到自然科學的出現，讓人們可以在自然面前逐步把握自己的命運，這也逐步動搖了宗教的根基。

人們逐漸意識到，存在意義的堅實基礎不過是幻夢。先有尼采喊出“上帝已死”，後有薩特明示“存在先於本質”，而人的本質由人的存在與選擇所決定。人類就此從上帝奪回決定自身意義的權柄。對於宗教信徒來説，這些可惡的哲學家動搖了人類存在的根基。但對於清醒的人來説，這種喪失其實就意味着終極的自由：你存在的意義就是你自身，你成為什麼樣的人，取決於你想成為什麼樣的人。

這也就是數學發展的軌跡。對克萊因來説，數學喪失了確定性這一基礎；但對於現代數學來説，這種所謂“基礎”，不過是對自由的限制。

數學失去的只是枷鎖，獲得的卻是描繪任何事物的終極自由。