問道朱載堉,尋蹤維也納:十二平均律的前世今生_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴(ID:fanpu2019),阅读更多!2019-07-15 09:37
**撰文 |**吳進遠(美國費米國家加速器實驗室)
能夠同時照顧到自然存在的“咪”和“嗦”這兩個音符的,只有十二平均律。估計就是這個原因,使得十二音音階系統分別在中國和古代希臘獨立出現,並且延續至今。
下午最後一門課考完,不用複習功課的晚上還多少有點無聊。我在宿舍半躺着刷手機,兩雙眼皮上下打架。
泉餘室友衝我招招手:“帶你去個好地方,我們實驗室有興趣沒有。”
我迷迷糊糊跟着他來到實驗室。
“看看,”泉餘室友指着實驗室中間一個尖頭大圓筒:“咱們坐上這個,經過蟲洞,穿越時空,到古代轉一圈如何?”
“別逗了,”我感覺智商受到侮辱:“穿越蟲洞?你需要的能量差N多個數量級好吧?你靠這個也就能哄哄非物理專業的妹子。”
“可如果是物理專業的學霸妹子,你暗戀的女神請你,又該怎麼説呢?”泉餘室友拉開艙門,裏面是珍旭班長。
“這個麼?”我後半句話還沒有想好,人已經鑽到艙裏了。
“腦細胞在某些生物化學大分子浸潤下,物理定律經常失效,”泉餘室友有些得意地嘮叨着,也進來坐到了後座。
艙門關上,燈滅了,我睜了一下眼。哦,宿舍熄燈了。
珍旭班長按下啓動按鈕,穿梭機開動了,可是剛走了不一會兒,機艙裏的噪音變低了。看看顯示屏,才走了400多年。珍旭班長點開另一個顯示:“好像前面有人不高興,影響了空間曲率,我們得先停一下了。”
我看看窗外,模糊地看到路邊一塊石碑一晃而過,上面的字是:“端靖世子”。哇,這是大名鼎鼎的明代音律學家朱載堉呀。
下了穿梭機,來到一間土屋,一位老者在案上秉燭握筆寫作。
“世子老師好,”我們三人立定挺身,雙手附心,高揖行禮。
老者起身拱手回禮:“坐吧。”
1 傻傻分不清的五音七音十二音
“世子老師,”泉餘室友請教:“很多同學知道您發現了十二平均律,因此以為在您之前中國音樂只有五個音符,在您之後才有了十二個音符。”
“你們不會也這麼以為吧?其實,十二音律出現得非常早,我找到的十二平均律是一種給這十二個音符確定音高的方法。”
“據傳説,”老者接着講:“在黃帝的時代,十二音就出現了。傳説固然是傳説,但我們可以相信,十二律的產生,是古代各族交流中音樂律制融合的結果。看樣子你們對古代典籍存疑?那麼從土裏頭挖出來的東西總該算眼見為實吧。戰國時期的曾侯乙,他的編鐘有完整的十二音律,可以旋宮轉調。”
“十二音律產生的年代,比三分損益法早很多,自然更比我的十二平均律早。當然,十二音出現的具體過程並沒有詳細的記載,你們完全可以根據現代的聲學知識去猜測。誰願意先談談自己的想法?”
“我覺得人們是首先認識了音符。”我説:“在自然界的穩定單音高聲音當中,比如老牛的叫聲,就包含了基頻的整數倍頻率成分。這裏面的 4,5,6 倍頻就對應着‘多’,‘咪’,‘嗦’這三個音符,聽力好的人,直接就可以聽出來。實際上,用牛角號還可以把這幾個音符單獨吹出來。然後,通過不同牛角號之間這幾個音符的匹配組合,人們就有可能認識五音或七音音階,我前一陣寫過一篇文章討論了這個猜想。”(見向牛學琴:偉大的七聲音階是怎樣出現的)
“那麼有了五音或者七音音階,人們又是怎麼得到12音階的呢?”
“世子老師,”珍旭班長説:“借您的琴用用好嗎?”
老者把櫃子上的芭蕉木古琴搬到台案上,珍旭班長撥動琴絃:“我們把這個滿弦的音唱成‘多’,或者‘宮’。”
她按住琴絃一半的地方,這時琴絃撥動後發出高八度的“多”。然後又按住不同的位置,逐個找到“來咪發嗦啦西”幾個音符。老者拿了支毛筆,沾了白色的水粉,讓珍旭班長把這幾個音的位置標註在琴板上。
“七個音的位置畫出來了,顯然這些音之間的間隔是不均勻的,有的寬有的窄。”珍旭班長説:“看看這樣的不均勻,大家有木有衝動,想在這些音中間插入新的音符呢?如果我們在比較寬的間隔中插入一個音,就會得到十二個音,它們的間距也會顯得比較均勻了。這有點像是在鋼琴的七個白鍵之間,插入五個黑鍵。”
“如果是從五音出發呢?”老者把“發”和“西”擦掉。
“五音在琴絃上的間隔也很不均勻,如果我們在比較窄的間隔中插入一個音,在比較寬的間隔中插入兩個音,也可以得到12個音。這就有點像在鋼琴的五個黑鍵之間,插入七個白鍵。”珍旭班長説:“所以,我覺得我們的祖先應該是以自然存在的‘多咪嗦’等音符為骨架,先獲得五音或七音,然後在它們之間逐步插入其他音,最後得到了相對比較均勻的12音。”
“有了12音,我們就可以方便地把一首歌或者樂曲轉調了。看看,這是我彈的。”泉餘室友拿出手機,點開一個視頻。“這裏面,是CDEFG這幾個音符分別作為‘多’的情況。”
呵呵,是《小小星星》,彈了五遍,一遍比一遍高一度。(戳“閲讀原文”看視頻)
2 從三分損益法到十二平均律
可是,這12個音在琴絃上的準確位置,應該是什麼地方呢?也許這就該問問世子老師了。
“其實,人們兩千多年前就已經開始在想這個問題了。”老者説:“那時候人們提出的想法叫做三分損益法。”
在古希臘也有類似的方法叫五度相生法,兩種方法細節上有一些差異,但基本的原理是一樣的。
老者先撥動了一下滿弦,這個音是“多”。然後用手指按在琴絃2/3的位置,或者説,把琴絃“損”掉1/3。琴絃短了,撥動時發出的聲音因此變高了,是“嗦”。
把“嗦”的琴絃長度量出1/3,然後加回去,或者説“益”1/3。琴絃長了,撥動時發出的聲音變低了,聽上去是“來”。把“來”的琴絃縮短或“損”1/3,得到“啦”。把“啦”的琴絃長度量出1/3,然後“益”回去,得到“咪”。
“用這種方法可以生成五音或者七音,繼續做下去,還可以生成12個音,而且最後那個音基本上能夠循環到高八度的“多”,只不過略微差了一點點”。老者指着我:“你算算看,差了多少?”
f(HI_DO)/f(DO) = 312/218 = 531441/262144 = 2.027
我拿出手機,算出上面這個數。高音“多”與“多”之間的頻率比例應該是精確的 2。現在通過三分損益法或者五度相生法,得到頻率比是2.027,差了1.3%左右。
“不要小看這麼一點差別,實際演奏起來就會非常難聽”。老者繼續講解:“這個方法中大部分五度之間都是和諧的,頻率比值為3/2,但是最後那個五度,也就是從‘發’到高音‘多’之間,會顯得非常不和諧。”
歐洲的音樂家管這樣的五度叫做“狼五度”,意思是合在一起演奏像狼叫一樣難聽。除了“狼五度”,還有其他的“狼音程”,也很難聽。此外,由於音程之間的頻率比不統一,所以,一個樂曲一轉調,聽着就非常彆扭。兩千年來,有不少人試着解決這個難題,但結果一直不很理想。
“那麼,您是怎麼解決這個難題的呢?”
“我的做法是把所有音符之間的比例統一起來,也就是説,讓任意兩個相鄰半音之間的頻率比等於一個常數”:
“這樣一來,不管你怎樣轉調,所有音程之間的頻率比都是統一的。一首歌曲或者樂曲就不會因為轉調而變得難聽了。”
泉餘室友用手機算出了這個數,我也拿出手機,找到世子老師《樂律全書》的書頁,仔細地比較了一下這兩個數。好嘛,一個字都不差,確切説,世子老師算的比手機計算器的結果還多9位,這可是用算盤打出來的呀。
由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook,公有領域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283411
3 朱載堉之煩惱
“世子老師的著述,我等讀過感觸頗深。”泉餘室友道:“您的高尚精神,令我輩感動無比。”
“差矣,”老者搖搖手,明顯有些不悦:“後世無知多謬語也。”
“世子老師,”我小心地問:“我們説了什麼錯話嗎?您算出十二平均律的音律比例,幾乎不用重抄就可以送印刷廠付印,不僅是在音樂藝術上的貢獻,更是科學上的貢獻。我們對您可是真心崇敬呀,您看,我在您的書頁上還加了我的理解。”
由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook,公有領域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283408
“嗯,這也不怪你們。”老者説:“你們想必讀了不少明史,被誤導了。”
“現在的明史不少是清朝人寫的,裏面淨是明朝的壞話。他們不會平衡地反映明朝近三百年,也有國泰民安,人們安居樂業的時候。不説別的中國歷史上人口首次超過一億就在明朝。他們想讓人們對明朝的印象是殘暴黑暗,民不聊生。可是這樣一來,這個朝代豈不就不會出現了不起的航海家、音樂家、科學家了嗎?而實際上,三百年間出了鄭和、李時珍、徐光啓、宋應星還有我朱載堉這樣的人物,這不是很打臉嗎?於是他們就先設法忽視這些人物的成就,忽視不了就貶低,貶低不了就編造這些人物有無比高尚的精神,多麼非凡,多麼和皇上過不去,反正就是不能承認這些成就是在合適的環境中出現的。就説我吧,要不是連年豐收,百姓逛社火過大年,我寫了那麼多的歌曲,給誰唱?繪製了那麼多舞蹈,給誰跳?”
老者很是氣憤:“這種瞎編的人中國外國都有,我聽説,外國有個作曲家寫了個挺歡快、挺好聽的曲子,有人就硬説他這麼高興是因為頭一年他們國的領導人死了。照這麼説,我研究音樂舞蹈幾十年,中間死過兩個皇上,我的這些成就豈不都可以説成是為了慶祝皇上駕崩?”
“您説的對,”旭珍班長表示同意:“我們到現在,還能讀到有人説鄭和航海沒有用,只會耀武揚威,不會經商做生意。”
“你們現代人發射探測器去火星冥王星,難道不是為了探索未知?難道也是沒有用?你們去那裏難道就是為了經商做生意?”老者説:“在明朝初年科技條件下,人們看西洋,就像你們現在看火星冥王星一樣。”
“您説得好。”我忍不住接話:“我回去用您的話去懟那幫人。清朝滅亡那麼多年了,舊的誤導還沒有澄清,有人又編出新的。”
“你是説有人寫了篇《擠一擠朱載堉泡沫》?那個人大概是嫌人們對我的介紹會引起大家的民族自豪感,所以先硬説有個泡沫,然後擠一擠。”老者見我們驚訝,狡黠地説:“你們想知道我怎麼了解這麼多?我經常化身退休老頭,到市裏圖書館看書上網。那裏一茬茬管理員從小姑娘熬成退休老太,大家都奇怪這個老頭怎麼還這麼硬朗。”
“那篇文章我看過,他的意思是沒有朱載堉的十二平均律,巴赫也能寫出偉大的音樂作品。”泉餘室友説:“這就像是説,沒有歐冶子在金屬冶煉上取得的成就,關公用石頭片綁樹棍,也能當青龍偃月刀耍。”
“還有更可樂的,”泉餘室友説:“我有個中學同學,硬説朱載堉的十二平均律是通過利瑪竇從歐洲學的。”
“哈哈,”老者笑道,“歐洲那邊過了二十多年才有人頭一次提到2的12次方根這個數。過了五十多年才把這個數算對,你讓我上哪兒學去?”
“可不是嗎,”珍旭班長説:“這中間差着大約半個世紀了。”
“嗯,看到你們能獨立思考,老朽甚慰。”老者説,“你們下一站到哪兒去?”
“我們想去訪問畢達哥拉斯老先生。”
“好啊。”老者説,耐不住打了個哈欠,“你們先去玩吧,我要睡了,下次咱們再聊。”
“世子老師,您睡吧。”泉餘室友説:“這些年真的委屈您了,要不要我們搬塊大石頭,幫您壓着點棺材板?”
“鑽你的蟲洞去吧。”
4 可以有十七平均律嗎?
坐進了穿梭機,我還是有個疑問:“朱載堉為什麼發現的是十二平均律,而不是,13,14,15等等平均律呢?”
“我對這個問題倒是有個猜測。”泉餘室友敲敲座艙的牆板,上面顯示出一個表格。“這裏是10到18平均律每個音符與‘多’的頻率比。”
“我們設計音律的時候,不能無中生有憑空臆想閉門造車,而應該把自然界中已經存在的和諧頻率關係包括進來”。泉餘室友解釋道:“比如説,‘多’,‘咪’,‘嗦’這三個音符,對應於牛角號基頻的4,5,6倍頻。其中,‘咪’,‘嗦’與‘多’之間的頻率比,是 1.25 和 1.5 。”
“經過簡單粗暴的計算,我們可以看得出來,只有 12 和 17 平均律可以比較好地近似得到1.5,重現‘嗦’這個音符,其他誤差都很大。而可以比較準確地得到 1.25,重現‘咪’的平均律相對多一點,有12,15,16和18。由此可見,能夠同時照顧到自然存在的‘咪’和‘嗦’這兩個音符的,只有十二平均律。估計就是這個原因,使得十二音音階系統(不一定是十二平均律)分別在中國和古代希臘獨立出現,並且延續至今。”
“嗯,有道理。”
5 在維也納看見十二平均律的美妙
“這樣説來,”我還有個疑問:“十二音音階系統很早以前就出現了,那麼,朱載堉算出十二平均律,對世界音樂的影響體現在哪兒呢?”
“我覺得,這種影響主要體現在聽覺的領域。”泉餘室友説:“就拿鍵盤樂器來説,確實是在朱載堉出生之前就出現了,但是,每一個鍵所對應的音高是按照不同的音律調出來的,難免出現類似‘狼五度’這樣的問題。十二平均律這樣一種定音方法傳到歐洲後,鍵盤還是那個鍵盤,但每一個鍵所對應的音高已經不同了。這種變化能夠聽得見,但卻不容易看到。”
“其實也能看到,有了十二平均律,音樂從聽覺到視覺都變得更美妙了。”我聽到珍旭班長的聲音,好像是在一個空曠的音樂廳裏迴盪。仔細看看,是維也納金色大廳,已經坐在鋼琴邊的她,確實讓我感覺到了視覺的美妙。
珍旭班長讓我和她一起做個實驗,我按要求點開手機上一個叫Spectrum View的APP,珍旭班長在鋼琴上從低到高把白鍵與黑鍵一個挨着一個演奏一遍。APP上記錄下了這樣一個圖,嗯,她説的是美妙其實是這個意思。
這個圖裏橫座標是時間,縱座標是頻率。我們可以看到,鋼琴的聲音在譜圖上構成了幾條完美平滑的指數曲線。我小時候總問一個音符的頻率是多少赫茲,十二平均律給了我們一個非常簡單的公式,從音符A數,第n個音符的頻率為:
從圖裏我們看到,每次按下鋼琴的一個鍵,都會產生基頻和二次三次等倍頻,基頻和每個倍頻都分別構成一條完美平滑的指數曲線。如果鋼琴不是按十二平均律調出來的,這些曲線就會多少顯得有點坑坑窪窪的。
珍旭班長從鋼琴邊站起來,音樂廳瞬間變成了一個展覽廳。這裏是維也納技術博物館,珍旭班長指着兩件展品讓我看。
早期人們發明的鍵盤一直流傳到現在,雖然也有12個鍵,但是這12個鍵的地位卻不是等同的。它們看上去是以七個白鍵為主,後來在中間插進了五個黑鍵。這種設置方法對於轉調很不方便,同一個首歌曲,歌唱家唱着嫌高或者嫌低,想降半音或在升半音,鋼琴伴奏的指法往往就有不少改動。從另一方面説,由於早期的鍵盤樂器是用五度相生法或者其他音律調出來的,轉了調,有些音之間的頻率比會改變,樂曲聽起來多少會和原來感覺不同。
在十二平均律普及以後,樂曲轉調已經沒有了音樂上的障礙,而原來的鍵盤設計就變成了唯一的障礙。從17世紀中葉開始,很多人重新對樂器鍵盤做優化設計,在1882年,維也納一位數學與音樂學生Paul von Janko發明了這種鍵盤。
這個設計當中,原來鋼琴的白鍵和黑鍵,現在被錯開行安排,於是所有鍵的地位都是相同的了。這樣,在一個調之下學會一首樂曲,轉調的時候,只要把手平行移動就可以了,不需要改變指法。當然,使用這種鍵盤需要鋼琴家重新練習,這也就限制了這種鍵盤的推廣。
哦,維也納,一個音樂的城市,在這裏和珍旭班長獨處的時光才是真正的美妙。我剛冒出這樣一個念頭,就發現一下又回到了燈泡耀眼的穿梭機裏。泉餘室友在後座裝睡,嗯,還算自覺。
(未完待續)
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