問道朱載堉，尋蹤維也納：十二平均律的前世今生_風聞

**撰文 |**吳進遠（美國費米國家加速器實驗室）

能夠同時照顧到自然存在的“咪”和“嗦”這兩個音符的，只有十二平均律。估計就是這個原因，使得十二音音階系統分別在中國和古代希臘獨立出現，並且延續至今。

下午最後一門課考完，不用複習功課的晚上還多少有點無聊。我在宿舍半躺着刷手機，兩雙眼皮上下打架。

泉餘室友衝我招招手：“帶你去個好地方，我們實驗室有興趣沒有。”

我迷迷糊糊跟着他來到實驗室。

 “看看，”泉餘室友指着實驗室中間一個尖頭大圓筒：“咱們坐上這個，經過蟲洞，穿越時空，到古代轉一圈如何？”

“別逗了，”我感覺智商受到侮辱：“穿越蟲洞？你需要的能量差N多個數量級好吧？你靠這個也就能哄哄非物理專業的妹子。”

“可如果是物理專業的學霸妹子，你暗戀的女神請你，又該怎麼説呢？”泉餘室友拉開艙門，裏面是珍旭班長。

“這個麼？”我後半句話還沒有想好，人已經鑽到艙裏了。

“腦細胞在某些生物化學大分子浸潤下，物理定律經常失效，”泉餘室友有些得意地嘮叨着，也進來坐到了後座。

艙門關上，燈滅了，我睜了一下眼。哦，宿舍熄燈了。

珍旭班長按下啓動按鈕，穿梭機開動了，可是剛走了不一會兒，機艙裏的噪音變低了。看看顯示屏，才走了400多年。珍旭班長點開另一個顯示：“好像前面有人不高興，影響了空間曲率，我們得先停一下了。”

我看看窗外，模糊地看到路邊一塊石碑一晃而過，上面的字是：“端靖世子”。哇，這是大名鼎鼎的明代音律學家朱載堉呀。

下了穿梭機，來到一間土屋，一位老者在案上秉燭握筆寫作。

“世子老師好，”我們三人立定挺身，雙手附心，高揖行禮。

老者起身拱手回禮：“坐吧。”

1 傻傻分不清的五音七音十二音

“世子老師，”泉餘室友請教：“很多同學知道您發現了十二平均律，因此以為在您之前中國音樂只有五個音符，在您之後才有了十二個音符。”

“你們不會也這麼以為吧？其實，十二音律出現得非常早，我找到的十二平均律是一種給這十二個音符確定音高的方法。”

“據傳説，”老者接着講：“在黃帝的時代，十二音就出現了。傳説固然是傳説，但我們可以相信，十二律的產生，是古代各族交流中音樂律制融合的結果。看樣子你們對古代典籍存疑？那麼從土裏頭挖出來的東西總該算眼見為實吧。戰國時期的曾侯乙，他的編鐘有完整的十二音律，可以旋宮轉調。”

“十二音律產生的年代，比三分損益法早很多，自然更比我的十二平均律早。當然，十二音出現的具體過程並沒有詳細的記載，你們完全可以根據現代的聲學知識去猜測。誰願意先談談自己的想法？”

“我覺得人們是首先認識了音符。”我説：“在自然界的穩定單音高聲音當中，比如老牛的叫聲，就包含了基頻的整數倍頻率成分。這裏面的 4，5，6 倍頻就對應着‘多’，‘咪’，‘嗦’這三個音符，聽力好的人，直接就可以聽出來。實際上，用牛角號還可以把這幾個音符單獨吹出來。然後，通過不同牛角號之間這幾個音符的匹配組合，人們就有可能認識五音或七音音階，我前一陣寫過一篇文章討論了這個猜想。”（見向牛學琴：偉大的七聲音階是怎樣出現的）

“那麼有了五音或者七音音階，人們又是怎麼得到12音階的呢？”

“世子老師，”珍旭班長説：“借您的琴用用好嗎？”

老者把櫃子上的芭蕉木古琴搬到台案上，珍旭班長撥動琴絃：“我們把這個滿弦的音唱成‘多’，或者‘宮’。”

她按住琴絃一半的地方，這時琴絃撥動後發出高八度的“多”。然後又按住不同的位置，逐個找到“來咪發嗦啦西”幾個音符。老者拿了支毛筆，沾了白色的水粉，讓珍旭班長把這幾個音的位置標註在琴板上。

“七個音的位置畫出來了，顯然這些音之間的間隔是不均勻的，有的寬有的窄。”珍旭班長説：“看看這樣的不均勻，大家有木有衝動，想在這些音中間插入新的音符呢？如果我們在比較寬的間隔中插入一個音，就會得到十二個音，它們的間距也會顯得比較均勻了。這有點像是在鋼琴的七個白鍵之間，插入五個黑鍵。”

“如果是從五音出發呢？”老者把“發”和“西”擦掉。

“五音在琴絃上的間隔也很不均勻，如果我們在比較窄的間隔中插入一個音，在比較寬的間隔中插入兩個音，也可以得到12個音。這就有點像在鋼琴的五個黑鍵之間，插入七個白鍵。”珍旭班長説：“所以，我覺得我們的祖先應該是以自然存在的‘多咪嗦’等音符為骨架，先獲得五音或七音，然後在它們之間逐步插入其他音，最後得到了相對比較均勻的12音。”

“有了12音，我們就可以方便地把一首歌或者樂曲轉調了。看看，這是我彈的。”泉餘室友拿出手機，點開一個視頻。“這裏面，是CDEFG這幾個音符分別作為‘多’的情況。”

呵呵，是《小小星星》，彈了五遍，一遍比一遍高一度。（戳“閲讀原文”看視頻）

2 從三分損益法到十二平均律

可是，這12個音在琴絃上的準確位置，應該是什麼地方呢？也許這就該問問世子老師了。

“其實，人們兩千多年前就已經開始在想這個問題了。”老者説：“那時候人們提出的想法叫做三分損益法。”

在古希臘也有類似的方法叫五度相生法，兩種方法細節上有一些差異，但基本的原理是一樣的。

老者先撥動了一下滿弦，這個音是“多”。然後用手指按在琴絃2/3的位置，或者説，把琴絃“損”掉1/3。琴絃短了，撥動時發出的聲音因此變高了，是“嗦”。

把“嗦”的琴絃長度量出1/3，然後加回去，或者説“益”1/3。琴絃長了，撥動時發出的聲音變低了，聽上去是“來”。把“來”的琴絃縮短或“損”1/3，得到“啦”。把“啦”的琴絃長度量出1/3，然後“益”回去，得到“咪”。

“用這種方法可以生成五音或者七音，繼續做下去，還可以生成12個音，而且最後那個音基本上能夠循環到高八度的“多”，只不過略微差了一點點”。老者指着我：“你算算看，差了多少？”

f(HI_DO)/f(DO) = 312/218 = 531441/262144 = 2.027

我拿出手機，算出上面這個數。高音“多”與“多”之間的頻率比例應該是精確的 2。現在通過三分損益法或者五度相生法，得到頻率比是2.027，差了1.3%左右。

“不要小看這麼一點差別，實際演奏起來就會非常難聽”。老者繼續講解：“這個方法中大部分五度之間都是和諧的，頻率比值為3/2，但是最後那個五度，也就是從‘發’到高音‘多’之間，會顯得非常不和諧。”

歐洲的音樂家管這樣的五度叫做“狼五度”，意思是合在一起演奏像狼叫一樣難聽。除了“狼五度”，還有其他的“狼音程”，也很難聽。此外，由於音程之間的頻率比不統一，所以，一個樂曲一轉調，聽着就非常彆扭。兩千年來，有不少人試着解決這個難題，但結果一直不很理想。

“那麼，您是怎麼解決這個難題的呢？”

“我的做法是把所有音符之間的比例統一起來，也就是説，讓任意兩個相鄰半音之間的頻率比等於一個常數”：

“這樣一來，不管你怎樣轉調，所有音程之間的頻率比都是統一的。一首歌曲或者樂曲就不會因為轉調而變得難聽了。”

泉餘室友用手機算出了這個數，我也拿出手機，找到世子老師《樂律全書》的書頁，仔細地比較了一下這兩個數。好嘛，一個字都不差，確切説，世子老師算的比手機計算器的結果還多9位，這可是用算盤打出來的呀。

由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook，公有領域，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283411

3 朱載堉之煩惱

“世子老師的著述，我等讀過感觸頗深。”泉餘室友道：“您的高尚精神，令我輩感動無比。”

“差矣，”老者搖搖手，明顯有些不悦：“後世無知多謬語也。”

“世子老師，”我小心地問：“我們説了什麼錯話嗎？您算出十二平均律的音律比例，幾乎不用重抄就可以送印刷廠付印，不僅是在音樂藝術上的貢獻，更是科學上的貢獻。我們對您可是真心崇敬呀，您看，我在您的書頁上還加了我的理解。”

由Zhu Zaiyu (Chinese: 朱載堉; Wade–Giles: Chu Tsai-Yu; ?: Chu Tsai-yü) (1536 - 19 May 1611), - mybook，公有領域，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=15283408

“嗯，這也不怪你們。”老者説：“你們想必讀了不少明史，被誤導了。”

“現在的明史不少是清朝人寫的，裏面淨是明朝的壞話。他們不會平衡地反映明朝近三百年，也有國泰民安，人們安居樂業的時候。不説別的中國歷史上人口首次超過一億就在明朝。他們想讓人們對明朝的印象是殘暴黑暗，民不聊生。可是這樣一來，這個朝代豈不就不會出現了不起的航海家、音樂家、科學家了嗎？而實際上，三百年間出了鄭和、李時珍、徐光啓、宋應星還有我朱載堉這樣的人物，這不是很打臉嗎？於是他們就先設法忽視這些人物的成就，忽視不了就貶低，貶低不了就編造這些人物有無比高尚的精神，多麼非凡，多麼和皇上過不去，反正就是不能承認這些成就是在合適的環境中出現的。就説我吧，要不是連年豐收，百姓逛社火過大年，我寫了那麼多的歌曲，給誰唱？繪製了那麼多舞蹈，給誰跳？”

老者很是氣憤：“這種瞎編的人中國外國都有，我聽説，外國有個作曲家寫了個挺歡快、挺好聽的曲子，有人就硬説他這麼高興是因為頭一年他們國的領導人死了。照這麼説，我研究音樂舞蹈幾十年，中間死過兩個皇上，我的這些成就豈不都可以説成是為了慶祝皇上駕崩？”

“您説的對，”旭珍班長表示同意：“我們到現在，還能讀到有人説鄭和航海沒有用，只會耀武揚威，不會經商做生意。”

“你們現代人發射探測器去火星冥王星，難道不是為了探索未知？難道也是沒有用？你們去那裏難道就是為了經商做生意？”老者説：“在明朝初年科技條件下，人們看西洋，就像你們現在看火星冥王星一樣。”

“您説得好。”我忍不住接話：“我回去用您的話去懟那幫人。清朝滅亡那麼多年了，舊的誤導還沒有澄清，有人又編出新的。”

“你是説有人寫了篇《擠一擠朱載堉泡沫》？那個人大概是嫌人們對我的介紹會引起大家的民族自豪感，所以先硬説有個泡沫，然後擠一擠。”老者見我們驚訝，狡黠地説：“你們想知道我怎麼了解這麼多？我經常化身退休老頭，到市裏圖書館看書上網。那裏一茬茬管理員從小姑娘熬成退休老太，大家都奇怪這個老頭怎麼還這麼硬朗。”

“那篇文章我看過，他的意思是沒有朱載堉的十二平均律，巴赫也能寫出偉大的音樂作品。”泉餘室友説：“這就像是説，沒有歐冶子在金屬冶煉上取得的成就，關公用石頭片綁樹棍，也能當青龍偃月刀耍。”

 “還有更可樂的，”泉餘室友説：“我有個中學同學，硬説朱載堉的十二平均律是通過利瑪竇從歐洲學的。”

“哈哈，”老者笑道，“歐洲那邊過了二十多年才有人頭一次提到2的12次方根這個數。過了五十多年才把這個數算對，你讓我上哪兒學去？”

“可不是嗎，”珍旭班長説：“這中間差着大約半個世紀了。”

“嗯，看到你們能獨立思考，老朽甚慰。”老者説，“你們下一站到哪兒去？”

“我們想去訪問畢達哥拉斯老先生。”

“好啊。”老者説，耐不住打了個哈欠，“你們先去玩吧，我要睡了，下次咱們再聊。”

“世子老師，您睡吧。”泉餘室友説：“這些年真的委屈您了，要不要我們搬塊大石頭，幫您壓着點棺材板？”

“鑽你的蟲洞去吧。”

4 可以有十七平均律嗎？

坐進了穿梭機，我還是有個疑問：“朱載堉為什麼發現的是十二平均律，而不是，13，14，15等等平均律呢？”

“我對這個問題倒是有個猜測。”泉餘室友敲敲座艙的牆板，上面顯示出一個表格。“這裏是10到18平均律每個音符與‘多’的頻率比。”

“我們設計音律的時候，不能無中生有憑空臆想閉門造車，而應該把自然界中已經存在的和諧頻率關係包括進來”。泉餘室友解釋道：“比如説，‘多’，‘咪’，‘嗦’這三個音符，對應於牛角號基頻的4，5，6倍頻。其中，‘咪’，‘嗦’與‘多’之間的頻率比，是 1.25 和 1.5 。”

“經過簡單粗暴的計算，我們可以看得出來，只有 12 和 17 平均律可以比較好地近似得到1.5，重現‘嗦’這個音符，其他誤差都很大。而可以比較準確地得到 1.25，重現‘咪’的平均律相對多一點，有12，15，16和18。由此可見，能夠同時照顧到自然存在的‘咪’和‘嗦’這兩個音符的，只有十二平均律。估計就是這個原因，使得十二音音階系統（不一定是十二平均律）分別在中國和古代希臘獨立出現，並且延續至今。”

“嗯，有道理。”

5 在維也納看見十二平均律的美妙

“這樣説來，”我還有個疑問：“十二音音階系統很早以前就出現了，那麼，朱載堉算出十二平均律，對世界音樂的影響體現在哪兒呢？”

“我覺得，這種影響主要體現在聽覺的領域。”泉餘室友説：“就拿鍵盤樂器來説，確實是在朱載堉出生之前就出現了，但是，每一個鍵所對應的音高是按照不同的音律調出來的，難免出現類似‘狼五度’這樣的問題。十二平均律這樣一種定音方法傳到歐洲後，鍵盤還是那個鍵盤，但每一個鍵所對應的音高已經不同了。這種變化能夠聽得見，但卻不容易看到。”

“其實也能看到，有了十二平均律，音樂從聽覺到視覺都變得更美妙了。”我聽到珍旭班長的聲音，好像是在一個空曠的音樂廳裏迴盪。仔細看看，是維也納金色大廳，已經坐在鋼琴邊的她，確實讓我感覺到了視覺的美妙。

珍旭班長讓我和她一起做個實驗，我按要求點開手機上一個叫Spectrum View的APP，珍旭班長在鋼琴上從低到高把白鍵與黑鍵一個挨着一個演奏一遍。APP上記錄下了這樣一個圖，嗯，她説的是美妙其實是這個意思。

這個圖裏橫座標是時間，縱座標是頻率。我們可以看到，鋼琴的聲音在譜圖上構成了幾條完美平滑的指數曲線。我小時候總問一個音符的頻率是多少赫茲，十二平均律給了我們一個非常簡單的公式，從音符A數，第n個音符的頻率為：

從圖裏我們看到，每次按下鋼琴的一個鍵，都會產生基頻和二次三次等倍頻，基頻和每個倍頻都分別構成一條完美平滑的指數曲線。如果鋼琴不是按十二平均律調出來的，這些曲線就會多少顯得有點坑坑窪窪的。

珍旭班長從鋼琴邊站起來，音樂廳瞬間變成了一個展覽廳。這裏是維也納技術博物館，珍旭班長指着兩件展品讓我看。

早期人們發明的鍵盤一直流傳到現在，雖然也有12個鍵，但是這12個鍵的地位卻不是等同的。它們看上去是以七個白鍵為主，後來在中間插進了五個黑鍵。這種設置方法對於轉調很不方便，同一個首歌曲，歌唱家唱着嫌高或者嫌低，想降半音或在升半音，鋼琴伴奏的指法往往就有不少改動。從另一方面説，由於早期的鍵盤樂器是用五度相生法或者其他音律調出來的，轉了調，有些音之間的頻率比會改變，樂曲聽起來多少會和原來感覺不同。

在十二平均律普及以後，樂曲轉調已經沒有了音樂上的障礙，而原來的鍵盤設計就變成了唯一的障礙。從17世紀中葉開始，很多人重新對樂器鍵盤做優化設計，在1882年，維也納一位數學與音樂學生Paul von Janko發明了這種鍵盤。

這個設計當中，原來鋼琴的白鍵和黑鍵，現在被錯開行安排，於是所有鍵的地位都是相同的了。這樣，在一個調之下學會一首樂曲，轉調的時候，只要把手平行移動就可以了，不需要改變指法。當然，使用這種鍵盤需要鋼琴家重新練習，這也就限制了這種鍵盤的推廣。

哦，維也納，一個音樂的城市，在這裏和珍旭班長獨處的時光才是真正的美妙。我剛冒出這樣一個念頭，就發現一下又回到了燈泡耀眼的穿梭機裏。泉餘室友在後座裝睡，嗯，還算自覺。

（未完待續）

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