為什麼會有自然對數？_風聞

作者：Marianne Freiberger

翻譯：Nothing

審校：Nuor

還記得自然對數嗎？它和數學中最美麗的常數有關，這個數是：

實數x的對數lnx是令e變成x的指數，也就是説：

現在我們用計算器或者電腦來計算對數，但是很久以前人們通過對數表來計算lnx。 

Portrait of John Napier (1550-1617), dated 1616.

1614年，數學家，物理學家和天文學家約翰.奈皮爾在一篇名為《奇妙對數表的構建》的文章中以和現代對數表相似的方式發表了一系列對數表。令人吃驚的是，儘管奈皮爾從來沒有聽説過數字e，也沒有思考過指數函數（事實上當時沒有人知道這個數），但是他通過想象點沿着直線的運動來定義了一個非常類似以e為底的對數。

在那個時代，有一個問題一直困擾着人們，尤其是天文學家。天文學方面的計算需要對特別巨大的數字進行乘法或者除法運算。如果沒有計算器的幫助，這些計算是非常困難的。一個讓這些計算變得簡單一點的方法是用指數來研究這些問題。指數函數計算規則告訴我們，兩個2的指數相乘，如2a×2b，你只需要將它們的指數相加。如果用其中一個除另外一個，你只需要將它們的指數相減。  

所以你需要一個表格告訴你如何將一個大數用2的指數函數表示，或者用其他數的指數函數表示，這會讓你的計算變得簡單很多。給定數字N，你會想要找到一個數L使得：

也就是説，你需要的是以2或者其他數字為底的對數表。

然而，在奈皮爾的時代，人們並沒有用指數函數進行思考。他們沒有底的概念，也沒有書寫指數函數（將一個小號數字放在數字右上角）的簡便方法。

儘管從阿基米德時代開始我們就對以下兩種數列很感興趣：

從2開始，之後的數字依次加倍：

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … .

和自然數組成的數列：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … .

第一個數列叫做等比數列，其後一個數與前一個數之比是常數。

人們意識到等比數列中兩個數的相乘（或相除）對應着等差數列中兩個數的相加(或相減)。（對我們來説，這正是指數函數的運算規則，等比數列中是2的指數函數，相應的等差數列中是指數函數的指數。）這好像提供了一種讓乘法變簡單的方法，你可以把等比數列中比較困難的計算變成等差數列中比較簡單的計算。

奈皮爾想要製造一個表格來把等比數列和等差數列中的數字聯繫起來，因此他寫道：“所有的乘法，除法和開根號的計算都可以被最簡單的加法，減法和被2相除代替。”

正是奈皮爾發現了兩種數列之間如此吸引人的關係。想象一個點P，沿着一個無限長的直線從A到B運動。但是它不是以勻速運動，而是越走越慢：點的速率和點P距離B的長度成正比。距離B點越近，速率就越小，因此它永遠也不能到達點B。如果你每隔一秒測量一次距離B點的長度，你得到的數字可以構成一個遞減的等比數列：相鄰兩個數字之比相等，但是和之前的例子不同，公比小於1。

 如何將它和等差數列聯繫起來？直觀的，想象每個時間段P點的位置：x1是1秒後P點的位置，x2是兩秒後P點的位置，等等。因為P的速度逐漸慢下來，所以線段[xi,xi+1]隨着i的增加而減小。又因為P永遠不能到達B點，這樣的線段有無數個。想象一下將每個線段都拉伸得一樣長，仍然讓P點在一秒鐘內通過線段。這樣B點會處於無限遠處，P點在每個線段上的平均速度相同，那麼在1秒鐘，2秒鐘，3秒鐘時P點走過的距離構成一個等差數列。

利用這種直覺式的推理，奈皮爾想象了第二個點，Q與P以相同速度從A點同時出發，但是Q以恆定的速度運動通過B點並向無限遠處繼續運動。在給定的某個時間點，他定義Q點走過的距離為P點走過距離的對數。這將由P點走過距離的等比數列，與Q點走過距離的等差數列聯繫起來。

奈皮爾將從A到B的線段長度取得非常大，達到10,000,000=107。他這麼做是為了確保精度，也可能是由於他具有天才般的大腦才能想到利用對數來計算大數。他同樣假設P點的初速度是107。

今天我們可以計算出奈皮爾提到的對數，經過一系列計算，可以得到：   

 x是P走過的距離，y是Q走過的距離。

這意味着y/107是x/107以1/e為底的對數——這正是奈皮爾的構造性定義。但是因為在那時微積分還沒有被髮明，他的表格中只給出了這些對數的近似值，這些對數表將x和y聯繫起來。

這是一個非常好的近似，整理得到

如果你對e的很多性質很熟悉，你一定知道對於任意數字x，ex是下面公式在n趨於無窮大時的極限：    

令x=-1有 

由於107非常大，所以

也就是説奈皮爾的對數的底數非常接近於1/e。因此，    

y/107非常接近於x/107以1/e為底的對數。這也是為什麼奈皮爾的工作經常被認為是數學史上第一次提出數字e（儘管以比較模糊的方式）。今天，奈皮爾也被認為是自然對數的發明人，儘管他並沒有聽説過e！