神秘數字6174_風聞

原文作者：西山豊，大阪經濟大學教授。

翻譯作者，Dr.夏洛克，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：333

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6174是一個相當神秘的數字。乍一看，可能不那麼明顯。但是正如我們即將看到的，任何一個會做減法運算的人都能發現使得6174如此特別的秘密。

卡普雷卡運算

1949年來自印度的數學家卡普雷卡(D.R.Kaprekar)引入了一個今天被稱為卡普雷卡運算的步驟。首先選一個各位數字不全相同四位數（也就是除了1111,2222，。。。）。然後重排各位上的數字得到這些數字能組成的最大與最小數。最後，從最大的數中減去最小的數得到一個新的數，接下來對每一個新的數重複以上運算。

這是一個簡單的運算，但是卡普雷卡得出一個驚人的結果。讓我們試一下，以數字2005開始，也就是去年年份的各位數。用這個數的各位數字我們得到最大數是5200，最小數是0025或者25（如果有一個或者一個以上的數字是0，把他們放在最小數的左邊）。減法如下：

5200 - 0025 = 51757551 - 1557 = 59949954 - 4599 = 53555553 - 3555 = 19989981 - 1899 = 80828820 - 0288 = 85328532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174

當我們得到6174時，運算開始重複，每次都得出6174.我們稱6174是這個運算的一個核。那麼6174是卡普雷卡運算的一個核，但是這是不是想得到6174那樣特殊呢？也就是説不止這個運算只有6174一個核心，溯流而上它還有另一個驚喜。讓我們用一個不同的數再試一下，比如説1789.

9871 - 1789 = 80828820 - 0288 = 85328532 - 2358 = 6174

我們又得到了6174！

當我們用2005開始時，7步得到了6174，然而對於1789用了3步。實際上，所有各位不全相同的的四位數你都能得到6174.太牛了，不是嗎？卡普雷卡運算如此簡單但是揭示出一個如此有趣的結果。當我們思考所有四位數都能得到這個神秘數字6174的原因時，這會變得更加引人遐思。

只有6174嗎？

任意一個四位數通過降序排列各位數字都能得到一個最大數，通過升序排列得到最小數字。那麼對於四個數字a，b，c，d，其中

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0

同時a，b，c，d不全相同，最大數是abcd最小數是dcba。

對這個問題的每一列用標準的減法運算就能算出卡普雷卡運算的結果：

得出如下關係：

D = 10 + d - a (a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b ( b > c - 1)

B = b - 1 - c ( b > c)

A = a - d

這些數字中a>b>c>d.

如果結果數字可以用原始的四個數a，b，c和d寫出，卡普雷卡運算就會重複。那麼通過考慮所有可能的組合{a，b，c，d}並檢驗它們是否滿足上述關係，就能找到Kaprekar運算的核。對a，b，c和d的4！=24種組合的每一個組合給出一個含有四個未知數與四個等式的方程組，那麼我們應該能從這個方程組中解出a,b,c,d。 

結果，這些組合中只有一個組合有整數解且滿足9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0。這個組合是 ABCD = bdac，此時相應的方程組的解為 a=7, b=6, c=4 and d=1。也就是 ABCD= 6174。整數 {a,b,c,d}  中某些數相同時沒有使等式同時成立的有效解。因此，6174是唯一一個不會被卡普雷卡運算改變的數——我們的神秘數字是唯一的。

對於三位數會出現相同的現象。比如把Kaprekar運算應用在三位數753上，產生如下結果：

753 - 357 = 396963 - 369 = 594954 - 459 = 495954 - 459 = 495

數字495是三位數運算（卡普雷卡運算）的唯一核，也就是用這個運算時所有的三位數都會得到495.為什麼你不自己檢驗一下呢？

得到6174要幾步？

從我朋友那裏第一次聽説6174是在1975年，當時我印象很深刻。當時我認為很容易證明為什麼這種現象會出現，但是事實上我沒能找到原因。我曾用電腦檢驗是否所有的四位數在有限步運算內都能得到核6174。這個大約50行的visualbasic程序檢驗了從1000到9999各位不全相等的所有8891個四位數。

下面的表格顯示了結果：每一個各位不全相等的四位數在卡普雷卡運算下都得到了6174，而且都在7步之內。如果使用卡普雷卡運算7次之後沒有得到6174，那麼你就在你的計算中犯了錯誤，要重新試一下。

Iteration

Frequency

0

1

1

356

2

519

3

2124

4

1124

5

1379

6

1508

7

1980

怎樣得到6174？

當研究卡普雷卡運算時，我的電腦程序檢驗了所有的8991個數，但是在Malcolm Lines的文章中説只需要檢查所有可能四位數中的30個就足夠了。

讓我們計算過程中的第一個減法。最大數是1000a+100b+10c+d 最小數是 1000d+100c+10b+a。那麼減法是：

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)= 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a)= 999(a-d) + 90(b-c)

 (a-d) 的可能值是從1到9， (b-c) 的可能值是從0到9.通過遍歷所有可能，我們能看到運算過程中第一個減法運算的所有可能結果。這些結果顯示在表格1中。

 

表1：Kaprekar運算的第一個減法後產生的數

我們只對各位數不全相等且a ≥ b ≥ c ≥ d的數有興趣，因此我們只需要考慮那些 (a-d) ≥ (b-c)的數即可。那麼我們就可以忽略表1中的灰色區域，這個區域包含(a-d) < (b-c)的數。現在我們把表中數的各位數字降序排列，得到第二個減法運算的最大數：

 

表2：第二個減法備用的最大數

我們可以忽略表2中的重複數字（灰色區域），於是僅剩餘30個數字進行接下來的處理。下圖展示了這些數字變成6174的路線。

 

這30個數如何變成6174的

在這個圖你能看到所有的四位數都在最多7步之後得到6174.即便如此我依然認為它很神奇。我猜發現這個數的卡普雷卡要麼是極其聰明要麼是有很多時間思考這個運算。

2位數，5位數6位和更多位的數……

我們已經看到四位數和三位數都得到唯一核，那麼其他數呢？結果答案不那麼印象深刻。讓我們試一下一個2位整數，比如説28：

82 - 28 = 5454 - 45 =   990 - 09 = 8181 - 18 = 6363 - 36 = 2772 - 27 = 4554 - 45 =   9

不難驗證所有的兩位數都將得到9→81→63→27→45→9的循環。不像三位數和四位數，2位數沒有唯一核。

那麼5位數呢？5位數會有一個像6174和495那樣的核嗎？為了回答這個問題，我們需要使用一個像之前的過程：檢驗 {a,b,c,d,e} 的120個組合ABCD滿足

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0

和

abcde - edcba = ABCDE.

萬幸計算機已經完成了計算，而且眾所周知5位數沒有卡普雷卡運算核。但是所有的5位數確實都得到如下三個循環之一：

71973→83952→74943→62964→7197375933→63954→61974→82962→7593359994→53955→59994

正如Malcolm Lines在他的文章中指出的那樣，檢驗6位或更多位數會發生什麼會很費時間，而且這項工作會變得相當無聊！為了使你免於這種命運，下表展示了2位數到10位數的核。圖表顯示卡普雷卡運算只能把所有3位和4位數變成唯一核。

Digits

Kernel

2

None

3

495

4

6174

5

None

6

549945, 631764

7

None

8

63317664, 97508421

9

554999445, 864197532

10

  6333176664, 9753086421, 9975084201

漂亮吧，那它有那麼特殊嗎？

我們都看到在卡普雷卡運算下所有的三位數都得到495所有的四位數都得到6174.但是我沒能解釋為什麼這樣的數能得到唯一核。這是一個偶然現象還是發生這些的原因有更深的數學原理？（原理）就像結果一樣既漂亮又神奇，這可能只是一個巧合。

讓我們聽一下看一個日本人山本幸雄的漂亮謎題。

如果你把兩個5位數相乘能得到123456789.你能猜到這兩個5位數嗎？

 

這是一個非常漂亮的謎題，那麼你可能認為它背後應該藏着一個很大的數學理論。但是實際上它的美只是一個偶然，也有其他相似但是不那麼漂亮的例子。比如：

 

看到幸雄的謎題，你可能就躍躍欲試想要解出它，因為它是如此美麗，但是如果我給你第二個謎題你可能就一點都不感興趣。我認為卡普雷卡問題就像幸雄的數字謎題一樣。我們被他們吸引都是因為它們是如此美麗。因為它們如此美麗我們覺得它們有更多的內容，事實上他們的美麗很可能是偶然的。過去這樣的誤解也導致了數學和科學的進步。

只知道卡普雷卡運算下所有的四位數都得到6174但是不知道原因夠嗎？至今為止，沒有人能説所有的3位和4位數得到一個唯一核是一個偶然現象。這種屬性看起來這麼驚人使得我們期待着它背後隱藏着數論定理。如果我們能回答這個問題，我們可能發現這只是一個美麗的誤會，但是我們希望不是。

參考書目：

Kaprekar, D. R., “Another Solitaire Game”, Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)

Gardner, Martin, “The Magic Numbers of Doctor Matrix”, Japanese version, Tokyo: Kinokuniya (1978)

Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers…, Bristol: Hilger (1986)

Nishiyama, Yutaka, Kurashi no Algorithm, Kyoto: Nakanishiya (1993) 

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