鈾核系統與雞的視網膜有什麼關係？_風聞

原創：中科院物理所

作者：Kevin Hartnett

翻譯：Nuor

審校：Nothing

在導體中電子的運動很難被準確計算。因為在電線中，電子之間有着複雜的相互作用，因此無法準確得知其具體運動狀態。

但在過去的50年中，物理和數學家們開始發現，這一複雜的運動能能夠用優雅的統計學模式來解釋。電子在導體和絕緣體中的運動可以分別用兩種統計學模式來解釋。

在過去的半個世紀裏，數學家們一直在尋找並證明這個設想的模型確實存在。

在去年夏天網上發表的一篇論文中，有三位數學家做的工作很接近這個模型。在這項工作中，紐約大學的Paul Bourgade  和哈佛大學的Horng-Tzer Yau以及加利福尼亞大學的Jun Yin證明存着一種被稱為“普遍性（universality）”的數學特徵能夠刻畫材料的導電性能。

Paul Bourgade, 紐約大學數學家，發現真實世界系統中普遍模式三個研究人員之一

新西蘭普林斯頓高級研究所的數學家湯姆·斯賓塞（Tom Spencer）説：“他們所做的是數學上的一個大突破……首先解釋了材料的導電性，其次，這種性質具有普遍性。”

該論文是著名的物理學家尤金·維格納（Eugene Wigner）在20世紀60年代提出的量子物理學宏觀性質的最新證明。 維格納清楚量子相互作用太複雜而無法準確描述，但他希望這些相互作用的本質可以被更廣泛的統計學清楚的刻畫。

也因此，這項工作的出現甚至會讓維格納感到驚訝，因為這代表他所期待的統計描述被找到了。

神奇的特性

即使是孤立和不相關的事件之間也可能有着可預測的統計。以謀殺案為例，對於每種罪行，都有其獨特的環境和情況。然而，一個人可以通過統計犯罪時城市中夏天的炎熱程度從而預測下一起謀殺案的時間。

獨立事件可以遵循不同類型的統計模式。其中最著名的統計模式是正態分佈，其表現為鐘形分佈，描述了各種不相關事件的統計分佈（例如人羣的身高或者SAT的分數）。還有Zipf定律，描述了在自然語言的語料庫裏，一個單詞出現的頻率與它在頻率表裏的排名成反比（二八定律），Benford定律描述自然數據集中的第一個數字的分佈規律。

在20世紀50年代，維格納面臨一個問題。在他發起曼哈頓計劃十多年後，他想模擬鈾核內數百個粒子之間的相互作用。但是問題太複雜，沒有辦法直接解決。因此需要一個新的統計模式的幫助來解決它。

“多體系統是一件複雜的事情，我們不知道如何從第一性原理來理解它。“斯賓塞説。

所以，維格納簡化了問題：他忽略了單個粒子相互作用，集中在更易於處理的整個系統的平均統計行為上。

維格納使用數字網格實現了這個設想，這些數字指定了粒子如何相互作用。該網格稱為矩陣。這就像薛定諤方程的技術附錄，薛定諤方程是用於描述亞原子粒子行為的方程式。通過精確指定矩陣中的數字，可以準確指明相互作用。

維格納無法做到這一點，所以他用隨機數填充矩陣。他希望這種簡化能使他繼續進行計算，並且最後仍然能夠產生有用的鈾核描述參數。

通用模式

導體中有電子流動，但是絕緣體中沒有。研究人員建立一個高維矩陣來定義其本徵值的特徵，從而為這兩個系統建模。數學家們發現，兩個系統的本徵值看起來不同。

絕緣體

絕緣體中，電子傾向於局域在某個區域，這個局域反映在數學上代表其本徵值的不均勻性。

導體

導體中，電子為巡遊態。電子的自由運動反映在數學上就是其具有規則分佈的本徵值。

 

它能做什麼？維格納發現他可以從隨機矩陣中抽取特定的模式。模式包含特徵值，就像矩陣的“DNA”一樣。令人費解的是，隨機矩陣的特徵值之間具有相關性。在數軸上，特徵值似乎表現出一定程度的規則間距，其從不聚集在一起，也不會分開太遠。它們幾乎就像磁鐵一樣，相互之間隔開一個均勻的間距，由此產生分佈被稱為Wigner-Dyson-Mehta分佈（以三位為其發現做出傑出貢獻的物理學家命名）。其描述了一種被稱為普遍性（universality）的現象。

為了理解普遍性的概念，可以以人的身高為例。在現實世界中，如果你從人民廣場上隨機選取兩個人，很有可能找到一對身高相同的人。但是如果人口遵循Wigner-Dyson-Mehta分佈，隨機選取的兩個人身高並不相同，因為其分佈要求選取的第一個人的身高總是與第二個人的身高不一樣。

普遍性可以描述許多類型的事情：雪崩的大小和頻率，交通系統中公交車的時間表，甚至是雞視網膜中的細胞間距。普遍性通常涉及複雜的相互關聯繫統。

維格納根據鈾核建模的經驗，假設隨機矩陣能夠描述任何關聯粒子的量子系統（意味着所有的粒子都會影響其他粒子）。“維格納的偉大設想是：對於高度相關聯的量子系統，其特徵值分佈的矩陣將類似於隨機矩陣。”Yau説。

（後來研究人員從另外一種角度解釋：他們推測當物理系統中的粒子以不關聯的方式運動時，就像它們在絕緣體中一樣，特徵值會呈現泊松分佈，與正態分佈相關。）

當材料導電時，正是因為電子之間有一種與有序關聯的相互作用（彼此之間連接，攜帶電流傳導），因此維格納的猜想表明如果量子系統的本徵值普遍存在，那麼就能夠證明系統內的粒子以相關聯的方式作用，從而説明系統是個導體。

數學家和物理學家幾乎立刻開始補充他的猜想中的細節，但是對於現實中的導體，數學家們花了半個世紀來證明有關的統計規律。

破碎的簡潔性

當數學家構造物理模型時，他們會想辦法讓模型儘可能地接近現實。維格納的鈾原子核模型在一定意義上來説就不是一個貼近現實的模型，因為它包含了一個假設，即每個粒子都等可能地與其它粒子發生相互作用。這就忽視了一個事實：在實際材料中，距離較近的粒子會比距離較遠的粒子更可能發生相互作用。對此，斯賓塞評價道：“由於維格納模型中的粒子都被緊緊地束縛在原子核這一很小的區域，所以每個粒子都和其它粒子發生相互作用。因此，他沒有考慮任何空間結構。”

像這種沒有考慮粒子間距的物理模型叫做“平均場”模型。它們使用起來相對簡單，但和現實的聯繫卻是飄渺而難以捉摸的。

Bourgade也承認：“平均場模型中沒有幾何因素；我們做了一個很大的簡化，即認為材料中的所有原子都以同樣的方式和其它原子發生相互作用。”

在十年前發表的兩篇文章中，數學家證明了導體的本徵值遵從維格納所構造的普遍的相互作用模式，但是這個證明只適用於平均場模型。這樣一來，在非平均場模型中（粒子只可以和它周圍的粒子發生相互作用），證明本徵值的普遍存在，便成為了一個與現實聯繫更緊密但懸而未決的問題。

這篇新的文章幾乎解決了這個問題。這三位作者使用了這樣一個模型：粒子和其周圍的粒子發生相互作用，但是並不會和系統中所有粒子發生相互作用。描述這種相互作用的矩陣就叫做“隨機帶”矩陣（“帶”指的是每個粒子附近存在相互作用的區域）。Yau對此評價道：“帶矩陣有這樣一個特定的結構：粒子只與其近鄰粒子相互作用。”

在特定的隨機帶中（這些帶具有最小寬度），這幾位作者證明本徵值仍然遵從維格納在平均場模型中的矩陣所觀測到的分佈。這表明儘管你限制電子只和它附近的粒子發生相互作用，但整個物理系統仍然保持着同樣的平均統計行為（即有着同樣的本徵值分佈），這和維格納在他那更簡單的框架下發現的結果一樣。

“我們證明了在隨機帶模型中，本徵值均勻分佈……這意味着導電”，Bourgade説到。Bourgade、Yin和Yau想把這項工作拓展到完全非平均場的情形，從而揭開導電和它的數學表示之間的關係。當維格納第一次發現近似均勻分佈的本徵值時，這種對應是十分嚴格的以至於看上去是不合適的。現在，它感覺上是不可避免的。

“我仍然對維格納的正確預見感到驚訝，” Bourgade在一封電子郵件中寫道。

原文來源：https://www.quantamagazine.org/universal-pattern-explains-why-materials-conduct-20190506/

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