魔方、雜耍、數學——數學家的多重維度_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-09-04 10:24
策劃**| 劉太平訪問**|劉太平、葉永南時間|2015年10月7日地點|中央研究院數學研究所整理|《數學傳播》編輯室
這是台灣中央研究院數學所劉太平、葉永南兩位教授對葛立恆（他岳母給他起的中文名）的訪談，葛立恆在離散數學領域有許多成果。數學之外，他喜歡玩魔方、雜耍，魔術等。他與人合著了兩本極好的書，《具體數學》（與高德納合著），還有關於洗牌的《魔法數學》。
——林開亮
Ronald Lewis “Ron” Graham（中文名 葛立恆）教授1935年10月31日出生於Taft， California。1962年在UC Berkeley獲Ph.D.學位。先後任職Bell Labs和AT&T Labs，並曾在AT&T擔任資訊科學所所長。1999離開AT&T，現任教UCSD，同時也是Cal-(IT)²首席科學家。 他在1993∼1994年擔任美國數學會會長。
Graham教授在離散數學等核心領域有重要貢獻，曾獲多項殊榮，包括2003年美國數學會Steele Prize終生成就獎。本訪談中先生展現其寬闊的見識，理論應用出入無礙的學術精神。
劉太平 (以下簡稱“劉”)： 你常提到Erdős [Paul Erdős (1913∼1996)， 匈牙利籍數學家， 研究領域涵蓋組合數學、 圖論、 數論、 古典分析、 逼近理論、 集合論和機率論。] ，我想請問一下：什麼原因讓他選擇過那種獨特的生活方式？
Graham (以下簡稱“G”)： 嗯⋯⋯這可難説了。有一位匈牙利數學家名叫László Babai [1950∼， 匈牙利籍數學家， 芝加哥大學計算機科學暨數學系教授， 研究演算法、 計算複雜性理論、 組合數學和有限羣， 並強調這些領域之間的相互作用。他於2017年提出圖同構問題的準多項式 (quasipolynomial) 時間演算法。] ，目前在芝加哥大學。我第一次遇見他時，他年方19，現在已年約62。他曾寫過上百頁的Erdős傳記。在Erdős求學時期，匈牙利嚴格限制猶太大學生的人數。這個限制極為嚴格，而數學是一個容許你實際去學習的領域。Erdős的兩個姐姐都在他出生前後過世，因此母親對他百般呵護。他母親其實是一位數學老師，因此Erdős大半時間在家自學。舉例來説，他不知道如何把奶油塗在麪包上，因為他從來不需要做這種事，媽媽總是為他打點好。他在英國時，才發現“原來我做得到！”。有一本很好的童書，題為“The Boy Who Loved Math” (“一個熱愛數學的男孩”) ，述説Erdős的少年時期及成長曆程。這是一本很迷人的小書，而我的工作就是確認Erdős黑板上和其他地方隨興寫的數學是正確的。
Erdős個性很獨特。有一個好故事：一位名叫Péter Frankl [1935∼， 匈牙利數學家， 熱衷於街頭表演藝術， 曾與Paul Erdős 合寫7篇論文， 目前居住於日本。日本名為富蘭平太。] 的數學家，目前居住日本。他在匈牙利拿到學位後，被徵召入伍，但數學才華與他相當的朋友卻能免役，徑赴數學研究所。Péter覺得這是因為他是猶太人，於是請Erdős寫封信，讓他可以離開軍隊。Erdős寫了信，但Péter Frankl一退伍，立即自匈牙利叛逃。這讓Erdős震怒，因為他事先不知道Péter會這麼做。Erdős告訴他：“你削弱了我的地位，現在我無法用同樣的方式幫助其他人，所以我兩年內不再對你説話。”在那段時間， Péter Frankl到法國巴黎拿另一個博士學位，而Erdős在授予學位的委員會里。Erdős提交報告時(報告裏寫説：這是篇傑出的論文)，真的沒對Péter Frankl正式説任何話，甚至私下也不和他交談。兩年過去，沒事，他依然沒有任何改變，在這方面他很固執。
話説，匈牙利曾舉辦某會議，是非正式的國際會議。Erdős的幾位以色列同事想來參加，但礙於以色列和匈牙利的關係不佳，他們沒拿到簽證。依據法規，召開國際會議時，必須核發簽證給參會的科學家，但那場會議是非正式的，不發籤證。這讓Erdős震怒，放話説：“他們若不向我道歉，我絕不回匈牙利！”結果他等了好幾年；眾人十分錯愕，對他喊話：“看吧，沒人會向你道歉。你只會傷了我們這些在匈牙利的，因為你是我們當下國外數學資訊的主要來源。請重新考慮一下，回來吧。”最後他回去了，但他始終立場堅定。
1954年，國際數學家大會在阿姆斯特丹舉行， Erdős很想參加。匈牙利當局告訴他：一旦去了，恐怕拿不到再次入境的簽證。Erdős説：“聽着！我不會讓任何政府官員告訴我哪裏可以去、哪裏不能去。我就要去了！”他赴會了，在美國拿不到回程的簽證。之後多年，大家寫信給國會議員和其他官員，為Erdős遊説及爭取。他最終拿到簽證回匈牙利，但始終固守一些原則，其中之一是不戀棧身外之物。他只有兩個行李箱，一箱裝着信件和複印的資料，另一箱只裝幾件衣服。 1986年在中國濟南有一個會議，我們一同從北京搭火車，車上喧鬧且悶熱。半夜時， Erdős説：“我得下車了，太熱了，我睡不着！”我説：“Paul，我們現在是在從北京到山東的火車上，你不能就這樣下車啊！你不能啊！”到天津時，我買了些絲襪給他。他皮膚極敏感，但他可能會去沒賣絲襪的地方，所以我買了一些給他。有好多關於Erdős的好故事。
劉： 你把他當家人一般地照顧。
G： 是的。當時我們的房子特別留有Erdős的房間。他需要有自己的浴室、電話，也要會用冰箱，半夜才有食物吃。關於這些，還真是有許多好故事。
劉： 這是出自你對他由衷的敬意。你喜歡他，也尊敬他的數學，對吧？
G： 是的。他心腸很好，有顆好大的心。
葉永南(以下簡稱“葉”)： 他真的很好。
G： 有這樣一個好故事：有次他和某人住在一起。清晨四點時，浴室傳出巨大聲響。他一早去用早餐時，隻字未提，最後才説：“你知道的，早上你的浴室裏沒有發生什麼意外，只是有一大瓶碘酒破了，灑了一地。但別擔心，我找到足夠的毛巾，把它們都吸了起來。”你可能知道，碘漬是幾乎不可能清除的。Erdős用意良善，但他的用心並不是都能奏效。
劉： 但你瞭解他，你説他“好心 (good heart) ”。
G： 他最珍貴的一項財產，是他每天寫的數學日誌，裏頭記錄他當時在思考些什麼。他過世時，這些日記都放在他的鄰居兼親密數學同事Vera T. Sós[1930∼， 匈牙利數學家， 研究數論和組合數學。]那裏。她持有這些日記，卻不讓其他人過目。我們問：“為什麼呢？”而她説：“喔，我就是不要。”很多人都想了解Erdős過去思考些什麼。Erdős會把數學筆記寫在右邊，而後經常性地回顧，並在左邊加上其他註記，像是：“喔！我知道了，這是我之前想過的其他問題的一個特例。”我很想了解：他在從事質數定理(prime number theorem) 的初等證明[意指只用到基本技巧的證明。特別是在數論中，意指沒有用到複分析的證明。]時，想了些什麼。
劉： 所以日記仍然存在，但沒有人可以過目。
G： 對，她擁有這些日記。共約20冊，我複印了其中兩冊，但它們都是用匈牙利語寫的，我看不懂。幾年前，他百歲誕辰，舉辦了800人的大型會議。我想他不曾到過台灣。
劉： 説到這個，今天早上我跟同事劉豐哲提到這次訪談時，他告訴我：你很久以前來過台灣， 1971年吧。
G： 沒錯，我來過。我在香港待了一個夏天，適逢當地首條隧道開通。我記得，時值李小龍[1940∼1973， 出生於香港， 武術家暨國際武打巨星。]亡故。我去台大給了一場排定的演講，我還保存着報導這場演講的報紙。我四處旅行，金芳蓉[1949∼， Graham 教授的夫人， 加州大學聖地牙哥分校教授， 研究譜圖學 (Spectral Graph Theory) 。]在此地， 1970∼74年間。
葛立恆與妻子金芳蓉
葉： 對，她是張聖容[1948∼， 研究幾何分析， 普林斯頓大學數學系教授]、李文卿[1948∼， 賓州州立大學數學系教授， 研究數論]和吳徵眉[伊利諾大學厄巴納-香檳分校數學系教授，研究複分析、機率論及偏微分方程]的同學。
G： 陳省身為她們那班的四朵“金花”寫了一篇文章[陳省身，記幾位中國的女數學家，傳記文學， 66卷第5期(1995)]。某份數學雜誌的編輯聲稱要把它翻譯成英文，但應該還沒動工。其實班上有五位才華洋溢的女性，但其中一位早逝，所以實際上有五朵金花。
台灣拍攝的以張聖容和金芳蓉為主角的紀錄片《學數學的女孩們》
劉： 雜誌名稱是“傳記文學”。你和很多人交往，在多方向做研究。可否問個問題：什麼研究帶給你最大的快樂？或是説什麼工作對你來説最難完成？
G： 嗯，我想數學是很特殊的。小時候，我喜歡的其實是天文學，覺得星星很有意思，但之後發現天文學家不光是看星星；他們不是看望遠鏡，而是用電腦去分析從望遠鏡得到的數據。不過這仍令人驚歎！
有人問我為什麼玩那麼多雜耍 (juggling) ？玩雜耍的人，很多是來自數學界或電腦科學界，歷史和哲學領域裏玩雜耍的較少。何以致此？箇中關聯似乎是，數學時或被描述成模式 (pattern) 的科學，我們是在追尋模式。雜耍是一門在時間和空間中掌控模式的藝術。常言道：雜耍的癥結是，球確實到達的位置，取決於你如何扔出，而非依照你的期望。電腦運作程式時，完全遵照你的囑咐，但不會有指令説：“喔，你應當知道我的意向。”它不知道你的意向是如何，你必須告訴它！數學裏有無窮無盡的挑戰，你永遠解決不完所有的問題。每當你寫了篇論文，就會有所延伸，諸如去探詢更高的維度。雜耍也總會有越來越難的花招。很有趣的是，過去耍七顆球是非常困難的技巧，現在則已司空見慣，難度持續上升中。 YouTube上有段耍九顆球的影片，雜耍者一面耍球、一面將九顆球拋到背後，難以想像。這看似不可能，但總有堅定有毅力之士。一旦你目擊一些事情是可能的，心裏就有所領會。好比當年出現首位四分鐘內跑完一英里的人。那成績看來無法企及，但一旦有人做到了，就會有更多人達成。
葛立恆在玩雜耍，5顆球
劉： 我記得有位名叫Bannister[1929∼2018， 英國著名賽跑運動員和神經學專家， 是第一位於4 分鐘內跑完1 英里的人]之類的人物，相當晚近，似乎在70年代⋯
G： 我認為Roger Bannister是第一個做到的，目前紀錄大概是3：45左右。現在普遍認為會有人可以在兩小時內跑完馬拉松，但幾年前這聽來似乎不可能。[編者注：目前的記錄是2小時1分39秒，由1984年出生的肯尼亞運動員Eliud Kipchoge 保持]
葉： 你也曾是專業的蹦牀[蹦牀為體操項目， 2000年悉尼奧運正式列入比賽項目之一]選手？
G： 是的，蹦牀也是一種的雜耍形式，以你自己為拋彈的主體，所以不可拋丟！我父母在造船廠造船，因此我小時候經常搬家，每年念不同的學校，從來沒真的好好念高中或國中。我跳過級，沒念過12年級，15歲就去上芝加哥大學， Carl Sagan[1934∼1996， 美國天文學家、 宇宙學家、 科普作家。小行星2709 及火星上的一個撞擊坑以他的名字命名。他因撰寫多部科普著作及電視影集而享譽全球， 曾獲普利茲獎]是我的同學。我在那裏接觸到體操和雜耍。芝加哥大學有個社團，每週聚會數次，學習各種不同的馬戲技巧，如雜耍、單輪車、體操⋯⋯等。到高中巡迴表演， 展示芝加哥大學是個多麼有趣的地方， 成了一個招生的手法。蹦牀是其中一部分。我到現在還保有一個彈翻牀。如今世界水準急劇上升。蹦牀在澳大利亞奧運會上被引介， 成為奧運項目。中國眼見蹦牀成為奧運項目， 企圖成為世界第一。中國有了最好的教練、 最好的設備、 及最好的運動員， 如今舉世無匹。毫無疑問地， 他們是世界第一。
2008年北京奧運何雯娜女子蹦牀奪冠
劉： 而且他們很小就開始訓練。
G： 是的，但要有好的訓練。他們有大量人口可供挑選，再加上精良的訓練技巧，有些表演技藝真令人歎為觀止。表演者經常彈跳10米高。以往，蹦牀上有人時，你站到牀附近，在他飛過時，試着從下方抓住他。現在如果有人從米高墜落，你再也不用這樣做了；取而代之的是，你扔一個防護墊，然後説：“祝你好運！”另外，蹦牀上還有框架墊，落到上面安全無虞；即使有些閃失，也無妨，大命可保。 我們談到這些事物，有一個基本原則：要理解一項複雜的東西時，你可以把它分解成幾個小的部分；掌握小的部分後，再它們湊合在一起。舉個例子，我正在研究這個方塊。想想當你長途飛行時，有什麼事情可以做？有這個魔方 (Rubik’s cube) 。
葉： 這是9×9×9 的？
G： 不是，是7×7×7的。如今已製作出各種不同的尺寸。四十年前魔術方塊初問世時，是3×3×3。之後希臘有位人士，習得製作技術，做出更大的魔術方塊，最大可達7階左右，但轉起來不很順暢。中國大陸有更好的建構技術，目前尺寸可達17階。這些立方體的每個面，都有很多像素 (pixels) 。去年夏天， MAA (即美國數學協會) 百週年紀念會議上，我將MAA和100的字樣印在13×13×13立方體的面上，致贈他們。
這看起來極其複雜，但其實並不複雜，因為有標準技巧如下述：首先讓各個面的中央區[不在周邊的部分]呈單色。這是個奇數尺寸的立方體，所以中央區始終置中。這是第一步，花了我半小時左右來確實完成每一面。然後你讓周邊的顏色ㄧ致[亦即，在角落方格外的部分有單一顏色]，但周邊的內部不需要與面的中心部分同色，很快地，所有面的中央區呈單色，且所有周邊的顏色佈局ㄧ致。接着，你可以想像你有個3×3×3魔術方塊，其中央層非常肥厚，於是7×7×7方塊等價於3×3×3方塊，而你接下來就可以套用3階的演算法。 這個想法就是：把看似複雜的東西，簡化成許多較小且較單純的區塊。這就真的數學化了。通常當立方體漸趨完成，你的任何動作都會破壞之前完成的部分；你不想如此，因此需要一些步驟來移動少量的方格。這裏有各種等價類：邊上的任何方格都和內部的方格不同類，我不能把這裏的方格放在那裏；角落上的八個方格等價，我可以把它們放在這八個角落的其中任何一個位置上，但不能把它們放在非角落的區域。所以這兩個方格是等價的。舉例來説，我想把這個方格放在這裏，於是我開始填補白色這面，想把這個方格放在這裏。現在的想法是：這方格即將放在這位置，所以我把這個方格移上來這裏，接着旋轉這個面，而後回覆成之前的樣子；這過程形成代數上所謂的3-循環 (長度為三的循環) 。所以⋯⋯我要做的就是⋯⋯這方格⋯⋯現在放在上方；接着我旋轉這個面， 而後再把它轉回去；現在我把它放到底部。我所做的就是處理這三個方格， 重新排列它們， 恰好是3-循環。
葉： 還記得四十年前，我玩魔方，玩到有點瘋狂，無法停止思考，就是停不下來。我年紀很小時就試着自己搞定它，而後就着迷了。我無法停止，也無法入睡，一心一意只想着這些。我真是太瘋狂了，兄弟姐妹都叫我停下，但我就是無法停下。最後，我到郊外山區某處，大吼大叫地跑着，最後覺得非常、非常地累，昏昏睡去，才終於停下來。
G： 嗯！我無時無刻不在想它。如果你勇於挑戰，會發現這裏有個方格。這是第二層的第3、 5和6號方格。嗯，你看這面， 3、 5、 6，第二層的，這三個可以換到這裏。有個步驟可以同時把這三個移到那裏， 3、5和6 ⋯⋯回到上方，轉個面，然後⋯⋯3、 5、 6，現在我把它們換到那裏了。所以我簡單地説，一旦你完成了面和邊的部分，還有一些事⋯⋯可能發生的是，雖然有一個羣結構在，因此你可以任意移位，但有時還是會陷入棘手的狀況：一切都完美，就差了個亂糟糟的邊！這就是所謂的宇稱性問題 (parity problem)，只會發生在偶數階的魔術方塊上。有些複雜的步驟可以解決這樣的狀況。正如蹦牀，當你持續注視魔法，一切瞭然於心；當我看着它，我凝視着我打算移動的方格，不看其它方格。 當今人類的能力極限讓人驚歎，譬如競速賽的最佳比賽記錄是8秒。還有個競賽，先把數個魔術方塊打亂，而後讓你逐一端詳，接着戴上眼罩去解它們；目前的紀錄是50。
葉：50秒嗎？
G：不是，50個！戴上眼罩時，你只知道目前在解第37個、第38個、第39個等等，由其他人總計你解決了幾個。YouTube影片上的某玩家，解了50個魔術方塊中的49個，不過我認為他其實是可以搞定全部50個。你必須記得每個魔術方塊。
有個3階魔術方塊的問題是：若想解決任意打亂的魔術方塊，至少需要多少步驟？必要的步驟多達幾個？Google服務器列舉了所有可能的位置，發現你在20個步驟內，一定可以還原任何被打亂的魔術方塊。事實上，通常17個步驟就夠了，只有少數情況需要20個步驟。但競速的選手通常不會使用最少步驟的演算法，因為這要花過長的時間去心算。
**葉：**你對拉姆齊數 (Ramsey number) R(5，5)的值有何看法？15 年前， 有人聲稱這個問題會在幾年內被解出來。
**G：**我認識的人都沒説這個問題會被解決。Erdős有個好故事：一些外星人要求我們算出拉姆齊數R(5，5)，否則要摧毀我們。好吧，世人通力合作個幾年，可能算得出它。但如果他們要的是R(6，6)，那就只好攻擊他們， 因為我們無法計算它。
**葉：**那是個廣為流傳的故事，沒錯！
**G：**譬如，這個立方體有超過 10160 種佈局，你無法確實列出每一種，來找出最少步驟的解。10160已超出我們所能計算的範圍了。
如同許多領域，在組合數學，無法解出原來的問題時，你可以將問題一般化，而後去解不同的特例。思考原來的拉姆齊數問題時，你可以着眼於 m 個頂點的完全圖Km，把它的邊上色，得到5或6個頂點的單色子圖。你不會得到紅色 K5 和藍色 K5 ，但或許能得到單色的紅色 K5 或藍色 K3 ，這是對角線外的情況。眾人對這些已有較多瞭解；一旦完全理解它們，或可計算出R(5，5)。
70年代， Kenneth Appel 和Wolfgang Haken 藉助電腦解決四色問題。Haken認為不存在人類可審視的簡短證明；這是問題的本質使然。四色猜想是對的，因為它在很多特殊情況是對的；如果該猜想在某情況下不成立，定理就不成立。你可以對一些算術系統證明：n個符號足以陳述的某定理，其最短證明的長度為n的雙重指數，因此你永遠無法將該證明寫下，儘管它證明的是定理。
數論有個後設猜想 (meta-conjecture) ：若要證明一個數n是質數，則符號用量的成長速度至少是logn。若真如此，則無法證明形如
的數是質數。你或可援用機率測試 (probabilistic test) ：如果它是合成數，一半時間會説它是合成數，而另一半時間不置可否。這並不表示它是合成數；這是證據，但卻稱不上是證明。
有一個可能：我們所熟悉的數學定理，或許正好都有很短的證明，讓人類可以確實寫下，比如説一百頁之內。有限單羣 (finite simple groups) 的分類呢？你可以用一頁紙來陳述這個問題，但最短的證明會是如何？可以在一百頁內完成嗎？我不這麼認為。一千頁呢？或許吧！那個證明被分成好幾個小部分，不同的部份由不同的人擔綱。Conway 那時還希望在這羣人宣佈證明後，能找到其中遺漏的某個單羣，但他説：“不，他們可能提出完整的分類了。”我想，當時他們之中有些作者仍盼着自己是最後完成的人；如果你是最後完成的人，就可以説：“我終於完成它了！”
開普勒猜想 (Kepler conjecture) 的證明，雖被Annals of Mathematics接受【Annals of Mathematics, 162 (2005), 1065–1185】，卻附帶一則免責聲明：眾多審稿人審查了這篇文章，但它如此繁複，而且需要依賴如此大量的電腦計算，因此這個證明無法完全被驗證。但他們95%相信它是對的。據我所知，目前已有人提出形式化的證明 (formal proof) 。
當電腦聲稱某事是對的時，你相信它嗎？一百頁的證明？我較相信電腦，較不相信人！即使Feit-Thompson關於奇數階羣的論文 ，原稿的第一版也有一些錯誤，但Thompson 説：“別擔心，我們會修正它們。”事實上， Appel和Haken發表論文後，還有篇後續論文，名為“四色證明足矣” (“the four color proof suffices”) 。重點是，論文的首版往往不完美，但我們總希望學界的其他人能參與其事，協力找到完整簡潔的證明。我們很失望學界沒這麼做。順帶一提，四色定理也有形式化的證明了。
劉： 你曾在貝爾實驗室多年，那是你數學生涯的一段重要章節。
**G：**當時貝爾實驗室有個很強的團隊。貝爾實驗室曾是AT& T的一部分，而AT& T執掌美國電話網絡。貝爾實驗室比較像是一所大學，但你不用授課，又有實際問題可以探討。電晶體在那裏被髮明，資訊理論的奠基者Claude Shannon也在那裏任職。此外，舉例來説，Unix作業系統是在那裏創建的。我們有個非常強大的數學團隊，金芳蓉隸屬其中；我和她的指導老師Herb Wilf 初結識時，是在貝爾實驗室，而不是在Wilf執教的費城。
但世局多變，變動速度與日俱增，我剛去那裏時，其他人告訴我，我的研究成果在未來一、二十年還無法應用，我想這倒無妨，反正之後他們仍會在那裏，可以利用我的成果。而今，三年就被認為是非常長的時段了，因為電腦世界三年已歷經兩代。我正在用的iPhone 6+，已經落伍了。
葉： 他們説最新的版本是iPhone 6s，很快就要出iphone 7了！
G： 下一代的產品通常較優質，但不會比較便宜，而且總會在不久之後問世；何必現在購入呢？我們通常用Apple的產品，決定試試看Android手機，買了Galaxy6，很不錯；它和iPhone稍有不同，但有些很好的特性。這些公司必須競爭，精益求精。這有點像在學習；做符號計算 (Symbolic Computation) 時，我通常使用Maple，儘管大家都用Mathematica、 Matlab和Sage。最麻煩的是轉換軟體，要經歷一番學習過程，譬如：用什麼方式宣告列表 (list) 、字串或向量？要把小括號、中括號、大括號放在那裏？什麼時候應該要用分號終止指令？不變不換較為省事 (Apple產品又是另一回事) 。但世界很大，你應該多體驗。我在貝爾實驗室的工作，容許我四處旅行，因此有時我整學期到外地授課。我也到實驗室附近的西東大學 (Seton Hall University) 學中文。 大自然的運行致使你接觸到許多好問題。來自大自然的某些東西，可能正好促成某些事情。舉例來説，我們曾遇到過一個涉及雷射的問題，希望雷射中有某些光的介質，好讓光經過時吸收能量；我們的構想是在每一端放一面鏡子，讓光束來回多次，汲取大量能量。但你必須讓光束離開雷射，所以你在一端放個小洞，好讓光束逃逸。光束的影像在每一端都由小圓圈組成。最終要找的，是這些圓圈所覆蓋的區域範圍。我們為這些圓圈找到極佳的模式。組裝好配置後，我們希望看到它運作。麻煩的是，光束落在紅外線光譜，所以我們無法看到任何東西。嗯，不論如何，它可以運作。
劉： 數學有許多面向。你認為來日的數學研究本質上會是如何？
G： 這問題很有意思。菲爾茲獎得主Timothy Gowers近日在一篇文章中談到：2099年之前，電腦或可完成所有重要的數學。電腦會提出猜想、找到證明。而數學家的工作，是試着去理解和運用其中的一些結果。 電腦不斷地進步。我在日前的演講提到，某位人工智慧的研究員編寫了程式“Graffiti”，從而提出圖論方面的諸多猜想，目前猜想個數已達六千；金芳蓉幾年前對其中一個猜想找到一個不很顯然的證明。編寫它的研究員表示，最困難的是去判斷各個猜想是否有趣。目前的電腦並不是那麼擅長找證明，但它們至少還善於做猜想。 你可以在多項式時間內分解整數嗎？如今有了所謂的量子運算；如果你造出真的量子電腦，就可以在多項式時間內分解整數。那麼，有任何造不成它的理由嗎？物理學家起初預期會有難以克服的天然障礙，但目前普遍認同打造成功的可能性。困難的是，纏結的 (entangled) 量子位元 (qubits) 要夠多，且要孤立夠久，方可做出有趣的事。近千個量子位元可能就夠用，但目前的系統僅有數十個位元。不過，實驗學家十分聰明機智，我們且拭目以待，等個幾年。
葉： 南京大學的孫智偉是計算數論 (Computational number theory) 學家，提出了很多很多組合數論方面的猜想。對第n個質數的性質，他總能提出出人意表的猜想。
G： 他做了許多電腦實驗。幾年前，他實地走訪加州一學期。當年六月在温哥華有個會議，他和姚期智等多人與會， Don Knuth 也在那裏待了五天，十分難得！
葉： 正如你所言，許多人在用電腦。
G： 沒錯。質數看似隨機出現，很多很多的猜想植基於此。但事實上質數不是隨機的。正因為它們不隨機，所以有諸多讓人驚歎的性質。它們實際上是確定的 (deterministic) ，但有些性質讓它們看似隨機。如果它們確為隨機，許多猜想就會有明顯的答案。舉例來説，有個我懸賞1000美元的猜想，是關於二項式係數的中間項 ， 2n取n；在巴斯卡三角形，它是每一行的中央項。這一項始終是偶數 (這很容易證明) 。有個問題是：二項式係數的中間項
是否和3互質？例如當n=3時，也就是6取3，結果為20。嗯，它會和5為互質嗎？再舉個例，當n=7，也就是14取7，等於3432，與5、7互質。這個值1000美元的問題是：對於2n取n，是否有無限多個n，使得
和3、5、7都互質？換句話説，它和105互質。我想答案是肯定的。
理由如下述。任取質數p，你或許會問：二項式係數中間項
可以被p的幾次方整除？嗯，有個方式可得到答案。將n寫成p進位展式，接着加n，這麼一加導致p增加的冪數，就是整除
的p的冪數。意即，
不被p整除，若且唯若把n加上n時p的冪數未增加；此時， n以p為基底展開的各個係數，都小於p/2；譬如，當你把n寫成3進位，係數只會是0或1；寫成5進位，係數只會是0、1或2;寫成7進位，係數只會是0、1、2、3。那麼，這三件事會同時發生嗎？想像你用3進位和5進位寫一個很大的數字，它們的係數應該互不相關 (可能會相關嗎？) 你可以用幾率估計：有多少個不大於x的n會讓上述三件事同時發生。答案約為x的0.01次方。冪數為正的事實告訴你， n應該有無限多，但沒有人能證明這答案。 Erdős、 Rusza和我證明了這種狀況會發生於任意兩個質數。那麼，對3、 5、7、11這四個質數呢？現在你進行相同的機率計算，比x小且與這四個質數都互質的數，個數是x的負數次方 (此負數很小) ，因此其個數是有限的。3160似乎是最大的了。至少到10的10000次方，它是最大的，在3160到1010000之間沒有其他的，所以3160大概是最大的。如果你相信它們的行為具有類隨機性，則理應如此。但如果你試圖證明它，情況可能與正規數(normal numbers) 的證明相若。數字n對b進位是正規的，若且唯若b進位的所有可能數字都(漸近地)出現相同的次數，更一般地説，對所有k，b進位的所有可能數字在所有 k-元組 ( k-tuple) 都 (漸近地) 出現相同次數。絕對正規數（abosolutely normal number）是那些對每個b，它的b進位都是正規的數。幾乎所有數字都是絕對正規， 但沒人可確實舉出一個實際例子。這顯示我們還有很多東西要了解。
劉： 這就像幾乎所有數都是超越數，卻很難證明特定一個是如此。
葉： 隨機的事物廣受關注。我聽説你正在研究準隨機性 (quasi-randomness) ；那是什麼？
G： 對於行為類同隨機事物的對象，你樂於找到它們的明確構造，但如果你可以建構出它們，就會更瞭解它們的性質。若以1/2的機率決定各對頂點是否以邊相連，會形成一個圖，而後你幾乎可確定某些事情。舉例來説，如果你着眼於一半的頂點，那麼你預期多少邊會形成呢？沒錯，你會預期半數的邊出現。或者，你考慮其鄰接矩陣 (adjacency matrix) ， i頂點和j頂點有邊相連時(i，j)為1，否則(i，j)為0。接着你觀察其特徵值；對稱矩陣特徵值為實數，所以最大的特徵值大約是n/2，而其他特徵值為o(n)。 這是準隨機性。有幾十個這類性質是等價的；你的圖如果具備其中一個性質，必定也會有其他所有性質。這種行為很像隨機圖 (random graph) 。Szemerédi 36 正則性引理 (regularity lemma) 説的其實是：你把任意一個圖分解成有限數量的子圖，而後任取兩個子圖，它們組成的二分圖(bipartite graphs) 幾乎可以確定是準隨機的。 2017年， Simons計算理論研究所 (Simons Institute for the Theory of Computing) 舉辦擬隨機 (pseudo-randomness) 和準隨機 (quasi-randomness) 的特別半年，我和金芳蓉都在那裏⋯⋯
劉： 在何地？
G： 柏克萊。
劉： 嗯嗯， MSRI？
G：MSRI在山上，而這是校園內的新大樓。很高興去年能待在那裏幾個月！James Simons是我在柏克萊的同學。他賺了大錢，大量回饋給數學。有個很好的線上雜誌Quanta【https://www.quantamagazine.org/】，你們讀過嗎？那是Simons基金會發行的，刊登數學、物理、生物等學科的好文章和人物訪談。
劉： 看得出來你從數學中得到許多樂趣，非常好！
G： 如果它無趣，何必做它？是吧？我告訴學生，無論你選擇什麼為職業，最好確實喜歡它；因為不論你選擇了什麼，都將長時間從事它。 你讀過ICCM Notices【https://intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/iccm/content/_home/index.html】嗎？幾年前，我首次在那裏發表文章。 許多演講內容經年累積，而後再參酌最近的成果。譬如談到張益唐，目前確認的質數間隙 (prime gap) 已降至246，但上次我給演講時是270，所以昨天改成246。有個網站會登載當前記錄。再如當前所知的最大質數是277,232,917−1， 這似乎每隔幾年就會改變。
劉： 有些猜想，在直觀上很容易掌握，感受上又令人興奮，譬如孿生質數猜想，你可以講給任何懂乘法表的人聽。基本上，還有其他需要花時間解釋的猜想。你提到未來的數學研究，其中一項或可倖存的，我想是易於解釋又讓人興奮的猜想，它們顯然會讓人振奮。譬如孿生質數，或是Goldbach猜想：任意大於2的偶數都是兩個質數的總和。
葉： 沒錯，兩個質數的總和。
G： 每個大於2的數。最近的結果才剛證明，每個大於5的奇數都是三個質數的總和。眾人持續推動進展，不過要搞定孿生質數，我認為需要更多東西。 我喜歡張益唐的故事。我剛從維基百科得知他現在是Santa Barbara的教授。有部關於他人生的電影，非常不錯，一小時而已，很平靜，我喜歡。他的夫人在加州，非常活躍又愛跳舞。我倒不覺得張益唐是個愛跳舞的人。
關於張益唐的電影 counting from infinity，點擊“觀看視頻”查看。
劉： 我想我們可能要就此打住，我們聊了一個半小時，很有意思，非常感謝你。希望不久的將來在台北見到你。
* 本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所， 葉永南任職中央研究院數學研究所。
特 別 提 示
1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閲不同主題系列科普文章。
2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關注公眾號，回覆四位數組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。
相關閲讀