想要將複雜問題簡單化，來看看數學家們都怎麼做的？_風聞

原創：中科院物理所

作者：Kevin Hartnett

翻譯：Nuor

審校：閻清暉

根據"弱平斯克猜想"（weak Pinsker conjecture），所有演化都可以利用隨機性和確定性的獨特組合來描述。

可以想象一個花園，裏面到處都是世界上各式各樣的花：有嬌嫩的蘭花、有挺立的向日葵、有仙人掌的蠟質花，當然可能還有泰坦魔芋的臭花（the corpse flower，又名屍花，其花散發出腐屍的惡臭味）。現在想象將所有的花卉種類減少到只有兩個品種，而通過這兩種的雜交就可以生產其餘的所有品種。

近幾年數學界影響最為廣泛的一個成果就可以此為喻。數學家蒂姆·奧斯汀（Tim Austin）據此研究的數學現象被稱為：系統演化的數學描述。

這種描述被稱為：動力學系統。可以被用作大至行星運動，小至股票市場的波動。無論這個動力學系統發生在什麼地方，數學家們最想要確認的是如何研究它的規律。其中最為基本的一點是，系統無論有多麼複雜，都能被分解為隨機系統和確定系統的組合。

這個問題是1970年首次提出的：“弱平斯克猜想”。奧斯汀的猜想提供了一種優雅而直觀的視角來思考各種複雜的現象。他表明：從本質上來看，任何動力學系統都是確定性和隨機性的組合。

命運和機會

動力學系統的運動始於一些初始狀態的輸入，例如：處於一個位置的單擺，按照牛頓定律，產生下一秒位置的輸出。重要的是，動力學系統能夠重複這個過程：將單擺放到一個新的位置，利用同樣的規則，得到下一秒位置。

動力學系統也以純粹的數學形式出現。選擇一個起始數字，利用"將這個數字乘以2"，從而產生一個新數字。然後，系統可以將輸出的數字反饋給規則，接連不斷地產生下一個數字。

各種各樣的動力學系統可以被表示為兩個簡單的動力學系統的組合。兩個系統相互獨立，但是相互結合可以產生更多更復雜的系統。例如，想象一個在圓柱體表面上移動的點：在圓柱上放上一個點，應用某種規則，然後得到另一個點。

“不需要研究整個系統，只需要將其分解為有意義的最小組件，就可以研究分析這個問題了”，波士頓大學的數學家凱瑟琳·林賽（Kathryn Lindsey）説。

這些組件有兩種可能性，一種是完全確定的動力學系統。像例子中的單擺系統，如果知道在某時刻的單擺的位置，就能無限制地預測其下一步的位置了。

第二種是完全隨機的系統。比如，想象一個有着如下規則的系統：投擲一個硬幣，如果硬幣正面朝上，則向左走；反之，則向右走。最後的行走路徑一定是完全隨機的。這意味着你即使知道某一確定點的所有路徑，也不知道下一步該往哪邊走。

雖然某些動力學系統是完全隨機的，某些是完全確定的，但是大多數是介於隨機和確定之間的。比如，想象我們隨機行走時發生的轉彎現象。這次，這條路上開着很多鮮花——花的顏色本身是隨機的。我們的規則還是一樣的：硬幣朝上向左拐，硬幣朝下向右拐。你見到的花的顏色是什麼順序？

乍一看你可能覺得這完全是隨機的。畢竟，花的顏色是隨機分佈的，你的行走也是隨機的。但是，一旦你遇見一種顏色的花之後，由於靠近它，你訪問同樣顏色的花的概率就會高一些。顏色的順序本身不是隨機的。

“如果你現在看到了紅色的花，那麼接下來的兩步中你看到紅色的概率會增加，因為你可能先左後右返回到原點”，奧斯汀説。

這種"隨機場景中的隨機行走"系統生成的結果——顏色的順序——部分是隨機的，部分不是。在1960年，數學家馬克·平斯克（Mark Pinsker）推測，某些大型動力學系統有如下特性：它們都是隨機性動力學系統和確定性動力學系統的混合體。

注：平克斯的猜想適用於一些均具有基本屬性的動力學系統。在這些系統中，隨着系統的發展，積分既不會發散也不會收縮。更具體一些，如果圍繞空間的一組點繪製一個環（比如説圓柱的表面），利用動力學規則長時間演化這個系統，然後圍繞這個輸出的點畫一個環，你會發現，開始和結束的環都是一樣的。這些系統被稱為："測度不變"，並在被稱為各態歷經理論動力學子領域中進行研究。

普林斯頓大學數學家阿薩夫·納爾（Assaf Naor）説：“如果’平斯克猜想’是正確的，那它對世界的描述將會是驚人的。“但是1973年，唐納德·奧恩斯坦（Donald Ornstein）證明了平克斯是錯的。西北大學的數學家萊納·克納（Bryna Kra）説：“這是一個過於雄心勃勃的表述。”

在數學中經常發生這樣的事情，即在證明所有的猜想都是錯誤的之後，數學家們往往會嘗試使用更中和的敍述。在1977年，數學家讓·保羅·托維諾特（Jean-Paul Thouvenot）提出了”弱平克斯猜想"。他弱化了最初的表述，推測平克斯所設想的動力學系統是完全隨機系統和幾乎完全確定性系統相結合的產物。

修飾詞"幾乎"的引入將托維諾特和平克斯的猜想區別開來。托維諾特的意思是，簡單的確定性系統至少需要具有一定的隨機性，該隨機性可以很小，但是必須存在。只要這樣，平克斯的設想就可能成立。

這很接近最初的設想，托維諾特證明了：如果這是真的，“弱平克斯猜想"可以用在一系列系統上面。

在接下來的幾十年，數學家們在證明"弱平克斯猜想"上取得的進展很小。這不免讓托維諾特認為，即使放寬了條件，猜想也是錯的。“在某些時候，我認為這是完全錯誤的，這個猜想不會是普適的。”

然後蒂姆·奧斯汀登場了。

分步解決方案

要證明"弱平克斯猜想”，需要找到一種精確的方法來篩選動力學系統，將其中隨機性和幾乎確定性的要素分開。“之前的工作已經確定小而隨機的元素是最難分離的部分。“托維諾特説。

奧斯汀用另一個角度看問題，去了解動力系統中小而隨機的元素。動力學系統在連續空間中運行，例如在圓柱表面上移動的點或在空間中擺動的擺錘。在這些空間中，點根據動力學系統的規則以連續弧線移動。這些動力學系統還可以連續執行許多步驟——你能夠讓他們永遠運行。

但在奧斯汀的證明中，他沒有考慮永遠運行的平滑連續系統，而是在一段離散時間內（比如説一百萬步）運行時發生的情況。在這種情況下，他採用了托維諾特之前解決問題的方法。

“托維諾特的最大貢獻是他指出瞭如果能夠在有限長的字符串下進行數學規則的運算，就能證明動力學系統的屬性”，奧斯汀説，“我的貢獻是想出並證明這些字符串需要哪些性質。”

奧斯汀設想了一個能夠產生一系列輸出1和0數字的動力學系統。如果動力學系統是翻轉硬幣，很容易發現：頭朝上是1，朝下是0。任何動力學系統都能用來產生二進制序列，僅僅只需要將其空間拆分為兩部分（不一定相等）。

以圓柱上的動力學系統為例，如果點落在圓柱體上的一部分，系統輸出1；如果點落在另一部分上，系統輸出0。

奧斯汀使用了信息論中一種稱為”漢明立方體"（Hamming cubes）的工具來分析了這些二進制序列。想象一個空心立方體。每個頂點都被分配了三個二進制數字，例如001或者101。每當你從一個頂點移向另一個頂點時，這三個數字中的一個就會翻轉。

實際的漢明立方體要比上文的例子複雜很多，涉及到三維以上的更多的邊和頂點。但它都具有以下屬性：任意兩頂點之間的距離，即從一個頂點到另一個頂點要穿過的邊的數字，與這兩個頂點上信息字符串不同的位置數是一樣的。所以000與001的距離是1，與011的距離是2，與111的距離是3。

為了分離複雜系統中隨機和確定性元素，奧斯汀考慮了動力學系統生成一次序列中1和0序列的頻率（如漢明立方體所示）。他證明了其以一定的方式分佈在漢明立方體上，它們聚集為立方體上面的一個子空間，這種聚類本身反映了系統中的確定性，但以類隨機的方式分佈在這些聚類的序列之間，這反映了系統的隨機性。

看來，直接求無法解決問題時，迂迴會更有效。

“如果有人能夠證明弱平克斯猜想，無論是證明正確還是錯誤，我都不會驚訝，因為這個問題是個很微妙的問題，“德克薩斯大學奧斯汀分校的數學家路易絲·鮑恩（Lewis Bowen）説：“在證出來之前，我們真不知道這種事能不能做成。”

奧斯汀的結果為各種動力學系統奠定了基礎。對於數學家來説，即使他們的研究涉及到各種相互關聯的課題，他們仍然不能説清楚彼此之間的關係。現在他們有了有關於動力學系統的指南，但是關於指南的發現還待發現。

“數學家們總是對構建事物的要素感興趣，奧斯汀的證明是個不錯的成果，可能會在純數學的研究中有很多應用，但是那些應用是什麼樣子的？我並不知道。“林賽説。

原文來源：https://www.quantamagazine.org/math-proof-finds-all-change-is-mix-of-order-and-randomness-20190327/

互動問題

【互動問題：假如動力學系統都是隨機的，世界或者你的生活會發生什麼？】