數理史上的絕妙證明：萬有引力平方反比律的證明 | 賢説八道_風聞

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

開普勒總結出了行星運動三定律，牛頓用平面幾何證明了橢圓軌道、雙曲軌道都對應平方反比的吸引力，牛頓第二定律加微積分證明了平方反比的吸引力作用下運動軌跡為圓錐曲線（雙曲線、拋物線、橢圓、圓等）。

1 行星運動的開普勒三定律

行星的運動，恰巧是人的特徵尺度上可研究的問題。行星的量度足以為人眼所分辨，其運動的特徵時間又與人的特徵時間（年、日）相吻合**[1****]。人類數千年關於行星在天空中位置變化的觀測，在1602年達成了質的躍變。那一年，德國天文學家開普勒指出，行星繞太陽的運動在相同的時間內掃過相同的面積。這後來被稱為開普勒第二定律。用近代物理的語言表述，它説的是有心力場內的運動保持角動量守恆。1605年開普勒又指出行星繞太陽運動的軌道是太陽居於焦點之一的橢圓。這後來被稱為開普勒第一定律。開普勒第一、第二定律收錄於Astronomia Nova （《新天文學》）一書。1619年開普勒宣告了他的第三定律，行星軌道週期的平方與其半長軸的立方成正比。第三定律收錄於開普勒的Harmonices Mundi[2****]**一書。

一般書裏介紹開普勒三定律，基本上是照着字面一成不變地轉述：1）行星軌道為橢圓，太陽在橢圓的焦點之一上；2） 行星軌道在相同的時間內掃過相同的面積；3） 行星軌道週期的平方與其半長軸的立方成正比。至於從近代物理的角度看這三定律的含義是什麼，內在關係是什麼，未來有什麼進展，還有對中國人來説比較重要的漢譯是否正確，則鮮有論及。請允許筆者稍作補充。 

關於第一定律，開普勒一開始考慮的軌道是卵形線，畢竟他手裏只有有限的、不準確的關於火星和太陽的觀測數據，連起來不會看起來如完美的橢圓。但那時候沒人知道卵形線的方程——卵形線的方程還得等二百四十多年才由麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831-1879）給出。橢圓作為行星軌道的選擇有點不那麼自然而然，一個可能的原因是橢圓有兩個焦點（focus） 而天上只有一個太陽，憑什麼太陽在這個焦點而不在那個焦點上？實際上，天上有一個太陽，太陽是個大火爐，火爐才是拉丁語focus （furnace）的本義。後來我們知道，橢圓，與雙曲線、拋物線、圓、直線、點等幾何圖形一樣，都是圓錐曲線的特例，本質上是一致的，都可以是平方反比力場作用下物體的運動軌跡。拋物線就只有一個焦點，而橢圓也有隻需一個焦點的定義——到一點的距離和到一條直線距離之比為小於1的常數的點的集合是橢圓！第一定律確定了行星軌道的全局幾何性質，第二定律確定的是行星在軌道不同位置上的運動快慢問題。用現代物理語言來説，行星繞太陽運動，其角動量守恆。第三定律講述的軌道大小（由橢圓的半長軸, a, 和偏心率表徵） 與運動快慢（與軌道的大小和週期, T, 有關）之間的關係，

 從現代物理的角度來看，第三定律引入了能量的問題，能量大的橢圓軌道離太陽更遠以至變成拋物線或者雙曲線。也就是説，行星軌道問題關係到的物理量分別是角動量 

 和能量 

後來的尼爾斯·玻爾（Niels Bohr, 1885-1962）熟知這一點，所以他為了給電子繞氫原子核運動的能量只有一些 

 的分立值而非如同在經典的太陽-行星模型中那樣能量是連續的找個恰當理由，只能到角動量上去找，而角動量恰恰與量子力學的標籤——普朗克常數 h——有相同的量綱，於是有了神奇的所謂玻爾量子化條件 

[3**]**。

那麼，開普勒的這三個定律後來有證明嗎？或者，挑個軟柿子捏，如何證明行星的軌道是橢圓。證明的意思是，找個理由，從這個理由順着嚴格的數學邏輯能到達橢圓這個幾何圖形。

2 牛頓的幾何證明：從橢圓到平方反比的引力

早在開普勒時期，人們就已經意識到太陽與行星之間有隨距離增大而漸弱的引力（gravity, gravitation），確切地説是與距離平方成反比的引力。到牛頓時期，想到或者願意接受萬物之間皆存在平方反比引力的人已經很多了。但是，如何證明這平方反比引力 

是這宇宙的決定性力量，也就是説如果存在萬有引力這個理由的話，如何從萬有引力導出橢圓形的行星軌道？這個證明，利用牛頓第二定律加上微積分技術是容易得到的（參見Herbert Goldstein，Classical Mechanics）。但牛頓那時手裏還沒有成熟的微積分技術，他是用歐幾里得幾何證明的。這個證明在牛頓的《自然哲學的數學原理》一書中不足一頁 （因為老是引用前面的結果），後來錢德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar，1910-1995）給拓展成了好幾頁才讓一般人看得懂。 

圖1.  牛頓《原理》一書第一編、第三章問題6的圖

實話實説，讀到這段時，我不知道牛頓證明的思路是從哪裏來的。與300多年前的牛頓相比，我們對阿波羅尼烏斯（Appolonius of Perga，ca. 245-ca.190 BC）的圓錐曲線根本沒學會。還有一個小迷惑，我不知道為什麼管Qv叫ordinate。建議真想弄懂的讀者，閲讀錢德拉塞卡對牛頓這本書的通俗版解讀。

3 利用微分方程的證明：從平方反比的力到開普勒三定律

太陽-行星體系是典型的兩體問題（two-body problem）：兩個物體相互間的作用決定了它們的運動方式。由於這兩個物體不受外界的作用，它們作為一個整體是作慣性運動的（這實際上是馬赫的力學兩個基本原理之第二），因此所謂的兩體的運動，指的是兩體之間的相對運動。若兩物體之間的作用力是沿着兩者之間的連線的，稱為有心力（central force）；萬有引力是有心力，且力的大小與距離的平方成反比。我們的任務是證明：若兩體之間的吸引作用力是平方反比的，則相對運動的軌跡是橢圓。 

如果兩體之間的作用力是有心力，則角動量 r×p 是守恆的。

右邊第一項根據定義

所以為零；根據牛頓第二定律 

若 f(r) 是有心力，則第二項也是零，故 r×p 是守恆的。這意味着，兩體體系的運動只發生在與角動量 r×p 垂直的平面內。行星繞太陽的運動就限制在一個平面內；碰巧的是，太陽系幾大行星的軌道都大致在一個平面內，是為黃道面（ecliptic plane）。這一點是很久以前就觀測到的事實。

既然兩體系統的運動限制在一個平面內，且對太陽-行星這種質量相差太大的情形，可以進一步假設太陽-行星體系的質心就在太陽上，則該系統的拉格朗日量可寫為 

 定義 

經典力學認為物體的軌道就是讓 

 最小的路徑，需滿足的條件就是歐拉-拉格朗日方程。由關於變量 θ 的歐拉-拉格朗日方程，可得 

即 

 為常數，而 

 恰是軌道在單位時間內掃過的面積—這證明了開普勒第二定律。強調一遍，太陽-行星間的引力是有心力 （無需是平方反比的）保證了行星繞太陽在一個平面內運動，且相同時間內掃過同樣的面積。這即是説，開普勒第二定律只要求太陽-行星間的引力是有心力。 

關於變量 r 的歐拉-拉格朗日方程為 

 若相互作用力是平方反比的， 即 

記 

u=1/r ，方程變為 

其一般解的形式為 

其中e是由體系能量E決定的參數，可由此問題由能量守恆入手的推導得到，

參數 e 是軌道的偏心率: e>1 (E>0)  ，軌道是雙曲線的一支；e=1 (E=0)，軌道是拋物線； 0<e<1 (E<0)  ，軌道是橢圓；e=0，軌道是圓。這證明了開普勒第一定律，且揭示了橢圓軌道是平方反比的萬有引力作用下體系總能量小於零時的特例。

關於開普勒第三定律，為了讓更多讀者看懂證明，可以考察軌道為圓（本質上還是橢圓）的簡單情形（老天有眼，地球的軌道大約就是個圓，e~0.016710219。請思考一下這對生命的產生意味着什麼）。此時，圓軌道上的行星作勻速圓周運動，則 

可得 

即軌道的週期平方與軌道尺度的三次方成正比。 

4 多餘的話

人類所處的近鄰且可觀測的世界，開啓了人類的智慧思考。行星在天上的軌道，恰好是與人類尺度相恰的現象。行星軌道的開普勒三定律，是建立在零星的觀測數據上的，但更多地還是建立在理性思考上的（天上哪有軌道啊）。從數據到橢圓這樣的幾何圖形，到單位時間掃過相同面積以及週期平方與軌道大小的立方成正比這樣嚴格的關係，反映了人類理性思考的威力，這些可都是宇宙的秘密啊。這些言之鑿鑿的嚴格關係，若能證明是某些原理的必然結果，那才見人類理性思考的威力呢。這個原理，就是經典力學中的最小作用量原理**[4****]**，與之相比，滿足平方反比律的萬有引力倒似是條件層面的了。從最小作用量原理和萬有引力到開普勒三定律的證明，那就看數學的能耐了。從前和數學不分家的時候，物理學才是真物理學。

滿足平方反比律的萬有引力，

其中牽扯到的物質特徵，或者叫標籤，是質量 m。質量 m 是個標量，而且是非極性的標量 （m>0）。與此相對照，滿足平方反比律的庫倫力，

其中牽扯到的物質特徵是電荷 q 。電荷 q 是個標量，但卻是極性的標量，可正可負。電的世界比起引力的世界，就更精彩啦。洞悉電的世界之精彩，需要更加複雜的數學。不過，人類為此付出的努力，回報是巨大的，且在意想不到的方向上。比如，對電磁學之狄裏希利（Johann Lejeune Dirichlet, 1805-1859）問題的研究，在20世紀帶來了有限元方法，極大地提升了人類的工程能力。扯遠了，打住。

註釋

[1] 一點都不奇怪。地球和它的行星兄弟們的特徵時間都是由它們同太陽(日)之間的相互作用決定的，都差不多。而人類的特徵時間，又是由日-地-月系統所決定的。

[2] Harmonices Mundi， 漢譯為“宇宙的和諧”，大謬也。Harmonices 不是啥和諧，是“組裝到位”。本書講宇宙的體系(太陽，行星，遠處的星星)是如何組裝的。Harmonic mean的漢譯調和分析中的調和大約是正確的。

[3] 量子力學是經典力學的自然延續，沒有革命。

[4] 正確的譯法是最少動作原理，不解釋。

建議閲讀

1.Max Caspar, Johannes Kepler （德語版）, W. Kohlhammer Verlag （1948）; Kepler （英語版，C. Doris Hellman譯）, Dover Publications, Inc. （1993）. 

2. David Oliver, Shaggy steed of physics, 2nd  edition, Springer（2004）.

3.Subrahmanyan Chandrasekhar, Newton’s Principia for the Common Reader, Clarendon Press （2003）.

温馨提示

本文摘自《驚豔一擊——數理史上的絕妙證明》（外語教學與研究出版社，2019年9月）。該書已開始預售，本刊讀者將能夠在第一時間以最優惠的價格預訂此書，另將有10名幸運讀者免費獲得一本新書。感興趣的朋友請關注近期《返樸》微信公眾號的推送。

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