見證奇蹟的時刻：如何從麥克斯韋方程組推出電磁波？| 眾妙之門_風聞

**撰文 |**長尾科技

麥克斯韋電磁理論和牛頓力學的融合是人類解決兩個非常成功卻又直接衝突的理論的一次非常寶貴的經驗，這個問題跟我們現在面臨的廣義相對論和量子力學的衝突非常類似。

1 真空中的麥克斯韋方程

麥克斯韋方程組的微分形式是這樣的：

這組方程的來龍去脈我們在《最美公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》裏已經做了詳細的介紹，這裏不再多説。這組方程裏，E 表示電場強度，B 表示磁感應強度，ρ 表示電荷密度，J 表示電流密度，ε0 和 μ0 分別表示真空中的介電常數和磁導率（都是常數），▽是矢量微分算子，▽· 和▽×分別表示散度和旋度：

接下來我們的任務，就是看如何從這組方程裏推出電磁波的方程。

首先，如果真的能形成波，那麼這個波肯定就要往外傳，在遠離了電荷、電流（也就是沒有電荷、電流）的地方它還能自己傳播。所以，我們先讓電荷密度 ρ和電流密度 J 都等於0，當 ρ=0，J=0 時，我們得到的就是真空中的麥克斯韋方程組：

有些人覺得你怎麼能讓電荷密度 ρ 等於 0 呢？這樣第一個方程就成了電場的散度 ▽·E=0，那不就等於説電場強度 E等於0，沒有電場了麼？沒有電場還怎麼來的電磁波？

很多初學者都會有這樣一種誤解：好像覺得電場的散度 ▽·E等於0了，那麼就沒有電場了。其實，電場的散度等於0，只是告訴你，通過包含這一點的無窮小曲面的電通量為0，電通量為0不代表電場 E為0啊，因為進出這個曲面的電通量（電場線的數量）可以相等。這樣有多少正的電通量（進去的電場線數量）就有多少負的電通量（出來的電場線數量），進出正負抵消了，所以總的電通量還是0。於是，這點的散度 ▽·E就可以為0，而電場強度 E卻不為0。

所以這個大家一定要區分清楚：電場 E 的散度為0不代表電場 E為0，它只是要求電通量為0而已，磁場也一樣。

這樣我們再來審視一下真空中（ρ=0，J=0）的麥克斯韋方程組：方程（1）和（2）告訴我們，真空中電場和磁場的散度為0，方程（3）和（4）告訴我們，電場的旋度等於磁場的變化率，磁場的旋度等於電場的變化率。前兩個方程都是獨立地描述電和磁，後兩個方程則是描述電和磁之間的相互關係。我們隱隱約約也能感覺到：如果要推導出電磁波的方程，肯定得把上面幾個式子綜合起來，因為波是要往外傳的，而上面單獨的方程都只是描述某一點的旋度或者散度。

有一個很簡單的把它們都綜合在一起的方法：對方程（3）和方程（4）兩邊同時再取一次旋度。

方程（3）的左邊是電場的旋度▽×E，對它再取一次旋度就變成了▽× (▽×E)；方程（3）的右邊是磁場的變化率，對右邊取一次旋度也可以得到磁場 B的旋度▽×B，這樣不就剛好跟方程（4）聯繫起來了麼？對方程（4）兩邊取旋度看起來也一樣，這看起來是個不錯的兆頭。

可能有些朋友會有一些疑問：你憑什麼對方程（3）和（4）的兩邊取旋度，而不取散度呢？如果感興趣你可以兩邊都取散度試試，你會發現電場 E的旋度取散度▽·(▽×E) 的結果恆等於0。

這一點你看方程（3） 的右邊會更清楚，方程（3）的右邊是磁場的變化率，如果對方程左邊取散度，那麼右邊也得取散度，而右邊磁場的散度是恆為0的（▽·B=0就是方程（2）的內容）。這樣就得不出什麼有意義的結果，算出 0=0 能得到什麼呢？

所以，我們現在的問題變成了：如何求電場 E的旋度的旋度（▽×(▽×E)）？因為旋度畢竟和叉乘密切相關，所以我們還是先來看看叉乘的叉乘。

2 叉乘的叉乘

在積分篇和微分篇裏，我已經跟大家詳細介紹了矢量的點乘和叉乘，而且我們還知道點乘的結果 A·B是一個標量，而叉乘的結果 A×B是一個矢量（方向可以用右手定則來判斷，右手從 A指向 B，大拇指的方向就是 A×B的方向）。

而點乘和叉乘都是矢量之間的運算，那麼 A·B 的結果是一個標量，它就不能再和其它的矢量進行點乘或者叉乘了。但是，A×B 的結果仍然是一個矢量啊，那麼按照道理，它還可以繼續跟新的矢量進行點乘或者叉乘運算，這樣我們的運算就可以有三個矢量參與，這種結果我們就稱為三重積。

A·( B×C ) 的結果是一個標量，所以這叫標量三重積；A×( B×C )的結果還是一個矢量，它叫矢量三重積。

標量三重積 A·(B×C**)其實很簡單，我在微分篇説過，兩個矢量的叉乘的大小等於它們組成的平行四邊形的面積，那麼這個面積再和一個矢量點乘一把，你會發現這剛好就是三個矢量A**、B、C組成的平行六面體的體積。

這個大家對着上面的圖稍微一想就會明白。而且，既然是體積，那麼你隨意更換它們的順序肯定都不會影響最終的結果。我們真正要重點考慮的，還是矢量三重積。

矢量三重積 A×（B×C），跟我們上面説電場E 旋度的旋度▽×（▽×E）形式相近，密切相關。它沒有上面標量三重積那樣簡單直觀的幾何意義，我們好像只能從數學上去推導，這個推導過程，哎，我還是直接寫結果吧：A× (B×C)=B (A·C) - C(A·B)。

結果是這麼個東西，是不是很難看？嗯，確實有點醜。不過記這個公式有個簡單的口訣：遠交近攻。什麼叫遠交近攻呢？當年秦相范雎，啊不，A×(B×C) 裏的A距離B近一些，距離C遠一些，所以A要聯合C（A·C前面的符合是正號）攻打B（A·B前面的符號是負號），這樣這個公式就好記了，感興趣的可以自己去完成推導的過程。

3 旋度的旋度

有了矢量三重積的公式，我們就來依樣畫葫蘆，來套一套電場 E的旋度的旋度▽×(▽×E) 。我們對比一下這兩個式子 A×(B×C) 和▽×(▽×E)，好像只要把A和B都換成▽，把 C 換成 E 就行了。那麼，矢量三重積的公式 A×(B×C) =B(A·C)-C(A·B) 就變成了：▽×(▽×E) =▽(▽·E)-E(▽·▽)。

嗯，▽(▽·E)表示電場 E的散度的梯度，散度 ▽·E 的結果是一個標量，標量的梯度的有意義的，但是後面那個 E(▽·▽) 是什麼鬼？兩個▽算子擠在一起，中間還是一個點乘的符號，看起來好像是在求▽的散度（▽·），可是▽是一個算子，又不是一個矢量函數，你怎麼求它的散度？而且兩個▽前面有一個電場 E，怎麼 E 還跑到▽算子的前面去了？

我們再看一下矢量三重積的公式的後面一項 C(A·B) 。這個式子的意思是矢量 A 和 B 先進行點乘，點乘的結果 A·B 是一個標量，然後這個標量再跟矢量 C相乘。很顯然的，如果是一個標量和一個矢量相乘，那麼這個標量放在矢量的前面後面都無所謂（3C=C3），也就是説 C(A·B) =(A·B) C。

那麼，同樣的，E(▽·▽) 就可以換成 (▽·▽) E，而它還可以寫成 ▽²E，這樣就牽扯出了另一個大名鼎鼎的東西：拉普拉斯算子▽²。

4 拉普拉斯算子

▽²拉普拉斯算子▽²在物理學界可謂大名鼎鼎，它看起來好像是哈密頓算子▽的平方，其實它的定義是梯度的散度。

我們假設空間上一點（x,y,z）的温度由 T(x,y,z) 來表示，那麼這個温度函數 T(x,y,z)  就是一個標量函數，我們可以對它取梯度▽T，因為梯度是一個矢量（梯度有方向，指向變化最快的那個方向），所以我們可以再對它取散度▽·。

我們利用我們在微分篇學的▽算子的展開式和矢量座標乘法的規則，我們就可以把温度函數 T(x,y,z)  的梯度的散度（也就是▽²T）表示出來：

再對比一下三維的▽算子：

所以，我們把上面的結果（梯度的散度）寫成▽²也是非常容易理解的，它跟▽算子的差別也就是每項多了一個平方。於是，拉普拉斯算子▽²就自然可以寫成這樣：

從拉普拉斯算子▽²的定義我們可以看到，似乎它只能作用於標量函數（因為要先取梯度），但是我們把▽²稍微擴展一下，就能讓它也作用於矢量函數 V(x,y,z)。我們只要讓矢量函數的每個分量分別去取▽²，就可以定義矢量函數的▽²：

定義了矢量函數的拉普拉斯算子，我們稍微注意一下下面的這個結論（課下自己去證明）：

然後再看看中間的那個東西，是不是有點眼熟？

我們在求電場旋度的旋度的時候，不就剛好出現了（▽·▽）E這個東西麼？現在我們就可以理直氣壯地把它替換成 ▽²E了，於是，電場旋度的旋度就可以寫成這樣：▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E =▽（▽·E）-▽²E。

至此，我們利用矢量的三重積公式推電場 E 的旋度的旋度的過程就結束了，然後我們就得到了這個極其重要的結論：

它告訴我們：電場的旋度的旋度等於電場散度的梯度減去電場的拉普拉斯。有了它，電磁波的方程立馬就可以推出來了。

5 見證奇蹟的時刻

我們再來看看真空中的麥克斯韋方程組：

它的第三個方程，也就是法拉第定律是這樣表示的：

我們對這個公式兩邊都取旋度，左邊就是上面的結論，右邊無非就是對磁感應強度 B取個旋度，即：

你看看這幾項，再看看真空中的麥克斯韋方程組：方程（1）告訴我們▽·E=0，方程（4）告訴我們▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），我們把這兩項代入到上面的式子中去，那結果自然就變成了：

μ0、ε0都是常數，那右邊自然就變成了對電場 E 求兩次偏導。再把負號整理一下，最後的式子就是這樣：

嗯，於是我們就神奇般的把磁感應強度 B 消掉了，讓這個方程只包含電場 E。我們再對比一下我們之前嘮叨了那麼多得出的經典波動方程（參看《見證奇蹟的時刻：從牛頓定律到波的運動》）：

我們在推導經典波動方程的時候只考慮了一維的情況，因為我們只考慮波沿着繩子這一個維度傳播的情況，所以我們的結果裏只有∂²f/ ∂x²這一項。如果我們考慮三維的情況，那麼不難想象波動方程的左邊應該寫成三項，這三項剛好就是f的三維拉普拉斯：

所以我們的經典波動方程其實可以用拉普拉斯算子寫成如下更普適的形式：

再看看我們剛剛從麥克斯韋方程組中得到的電場方程：

嗯，我們推出的電場的方程跟經典波動方程的形式是一模一樣的，現在我們説電場 E 是一個波，你還有任何異議麼？

我們把電場 E 變成了一個獨立的方程，代價是這個方程變成了二階（方程出現了平方項）的。對於磁場，一樣的操作，我們對真空中麥克斯韋方程組的方程（4）▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t）兩邊取旋度，再重複一次上面的過程，就會得到獨立的磁感應強度 B 的方程：

這樣，我們就發現 E 和 B 都滿足波動方程，也就是説電場、磁場都以波動的形式在空間中傳播，這自然就是電磁波了。

電磁波只有兩個橫波模式（即振動方向和傳播方向相垂直）。上圖描寫的是一個沿 y 方向傳播的電磁波，其電場 E 的振動方向是 z 方向，磁場 B 的振動方向是 x 方向。如果電場振動方向是 x 方向，這將對應於另外一種橫波模式。

6 電磁波的速度

對比一下電場和磁場的波動方程，你會發現它們是形式是一模一樣的（就是把 E 和 B 互換了一下），這樣，它們的波速也應該是一樣的。對比一下經典波動方程的速度項，電磁波的速度 v 自然就是這樣：

我們去查一下μ0、ε0的數值，μ0=4π×10-7 N/A²，ε0=8.854187818×10-12 F/m，代入進去算一算：

再查一下真空中的光速 c = 299 792 458 m/s。

前者是我們從麥克斯韋方程組算出來的電磁波的速度，後者是從實驗裏測出來的光速。有這樣的數據做支撐，麥克斯韋當年才敢大膽的預測：光就是一種電磁波。

當然，“光是一種電磁波”在我們現在看來並不稀奇，但是回顧一下歷史：科學家們是在研究各種電現象的時候引入了真空介電常數 ε0，在研究磁鐵的時候引入了真空磁導率 μ0，它們壓根就跟光無關。麥克斯韋基於理論的美學和他驚人的數學才能，提出了位移電流假説（從推導裏我們也可以看到：如果沒有麥克斯韋加入的位移電流這一項，是不會有電磁波的），預言了電磁波，然後發現電磁波的速度只跟μ0、ε0相關，還剛好就等於人們測量的光速，這如何能不讓人震驚？

麥克斯韋一直以為自己在研究電磁理論，但是當他的電磁大廈落成時，他卻意外地發現光的問題也被順手解決了，原來他一直在蓋的是電磁光大廈。搞理論研究還可以買二送一，打折促銷力度如此之大，驚不驚喜，意不意外？

總之，麥克斯韋相信自己的方程，相信光是一種電磁波，當赫茲最終在實驗室裏發現了電磁波，並證實它的速度確實等於光速之後，麥克斯韋和他的理論獲得了無上的榮耀。愛因斯坦後來卻因為不太相信自己的方程（認為宇宙不可能在膨脹）轉而去修改了它，於是他就錯失了預言宇宙膨脹的機會。當後來哈勃用望遠鏡觀測到宇宙確實在膨脹時，愛因斯坦為此懊惱不已。

7 結 語

回顧一下電磁波的推導過程，我們就是在真空麥克斯韋方程組的方程（3）和方程（4）的兩邊取旋度，然後就很自然地得出了電磁波的方程，然後得到了電磁波的速度等於光速 c。這裏有一個很關鍵的問題：這個電磁波的速度是相對誰的？相對哪個參考系而言的？

在牛頓力學裏，我們説一個物體的速度，肯定是相對某個參考系而言的。我們説高鐵的速度是 300km/h，這是相對地面的，相對太陽那速度就大了。這個道理在我們前面討論的波那裏也一樣，我們説波的速度一般都是這個波相對於它所在介質的速度：比如繩子上的波通過繩子傳播，這個速度就是相對於繩子而言的；水波是波在水裏傳播，那麼這個速度就是相對於水而言的；聲波是波在空氣裏傳播（真空中聽不到聲音），聲波的速度就自然是相對於空氣的速度。

那麼，電磁波呢，從麥克斯韋方程組推導出的電磁波的速度是相對誰的？水？空氣？顯然都不是，因為電磁波並不需要水或者空氣這種實體介質才能傳播，它在真空中也能傳播，不然你是怎麼看到太陽光和宇宙深處的星光的？而且我們在推導電磁波的過程中也根本沒有預設任何參考系。

於是當時的物理學家們就假設，電磁波的介質是一種遍佈空間的叫作“以太”的東西，於是大家開始去尋找以太，但是怎麼找都找不到。另一方面，電磁波的發現極大地支持了麥克斯韋的電磁理論，但是它跟牛頓力學之間卻存在着根本矛盾，這種情況像極了現在廣義相對論和量子力學之間的矛盾。怎麼辦呢？

1879年，麥克斯韋去世，同年，愛因斯坦降生，這彷彿是兩代偉人的一個交接儀式。麥克斯韋電磁理論與牛頓力學之間的矛盾，以及“以太”這個大坑都被年輕的愛因斯坦搞定了，愛因斯坦搞定它們的方法就是大名鼎鼎的狹義相對論。其實，當麥克斯韋把他的電磁理論提出來之後，狹義相對論的問世就幾乎是必然的了，因為麥克斯韋的電磁理論其實就是狹義相對論框架下的理論，這也是它跟牛頓力學衝突的核心。所以，愛因斯坦才會把他狹義相對論的論文取名為《論動體的電動力學》。

麥克斯韋的電磁理論結束了一個時代，卻又開啓了一個新時代（相對論時代），它跟牛頓力學到底有什麼矛盾？為什麼非得狹義相對論才能解決這種矛盾？這些將是我後面要討論的重點。我會盡力讓大家看到科學的發展有它清晰的內在邏輯和原因，並不是誰拍拍腦袋就提出一個石破天驚的新理論出來的。

此外，電磁理論和牛頓力學的融合是人類解決兩個非常成功卻又直接衝突理論的一次非常寶貴的經驗，這跟我們現在面臨的問題（廣義相對論和量子力學的衝突）非常類似。我希望能夠通過這種敍述給喜歡科學的少年們一些啓示，讓他們以後面對廣義相對論和量子力學衝突的時候，能夠有一些靈感。

嗯，沒錯，我在期待未來的愛因斯坦～

後記

文小剛

由麥克斯韋方程所描寫的電磁波是一種很奇怪的波。電磁波有兩種橫向模式（其波的振動方向和傳播方向垂直），對應於電磁波（光波）的兩種偏振方向，但電磁波沒有縱向模式（其波的振動方向和傳播方向平行）。自從150年前麥克斯韋提出他的方程之後，物理學家一直在尋找一個媒介，它的形變會導致滿足麥克斯韋方程的波，也就是一種只有兩個橫向模式而沒有縱向模式的波。大家堅信這種媒介一定存在，並給它起了名字叫“以太”。麥克斯韋本人甚至提出了一種由機械轉輪所構成的媒介，希望這些轉輪的旋轉所給出的波正是麥克斯韋方程所描寫的波。

麥克斯韋轉輪模型，由大的六角形轉輪和可以遊走的小圓轉輪所形成。

遺憾的是麥克斯韋的轉輪是六角形的，轉不動（玩笑），也給不出麥克斯韋方程所描寫的波。150年來，物理學家研究了各種各樣的材料，其形變會給出由各種各樣的波動方程所描寫的波，可是沒有一種材料會給出由麥克斯韋方程所描寫的電磁波。再加上對邁克耳孫-莫雷光速不變實驗的錯誤解釋，物理學家提出電磁波（光波）是一種基本的波，它不是某種媒介的形變，以太不存在。這相當於投降，把理解不了的東西説成是基本的，這樣就不用去理解了。

最近二三十年來，對拓撲序的研究打開了新思路。我們發現一種由量子轉輪所構成的媒介，其中的形變就對應於由麥克斯韋方程所描寫的電磁波。所以麥克斯韋150年前的提議幾乎是正確的，只要把麥克斯韋轉輪量子化就可以了。在量子轉輪模型中，我們把不轉的轉輪認為是背景。旋轉的轉輪也不是隨機排列的。左轉的轉輪生成一根根弦，右轉的轉輪也形成一根根弦。我們認為左轉轉輪所形成的弦和右轉轉輪所形成的弦，其方向正好相反。這樣我們就得到由有方向的弦所形成的弦液體。這種弦液體中的密度波正好對應於由麥克斯韋方程所描寫的電磁波，它有兩個橫向模式，而沒有縱向模式。（詳情請見《返樸》文章“光的奧秘和空間的本源”。）

由左轉或右轉的轉輪所形成的弦液體（其弦的方向沒有標記），以及弦的密度波。不轉的轉輪是黑色的背景。END

本文主幹經授權轉載自微信公眾號“長尾科技”。

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