構建數學和物理基礎的範疇論：用「等價」取代「相等」丨眾妙之門_風聞

撰文 | Kevin Hartnett

翻譯 | 唐璐

等號是數學的基石，數學中的相等（equality）似乎是最沒爭議的概念。但越來越多的數學家開始認為，等號是數學的原初錯誤，他們想要用等價（equivalence）的語言重新表述數學，不是關注描述對象的具體方式，而是將對象相互關聯的各種不同方式考慮在內。這種關注等價性的數學理論就是所謂的範疇論（category theory）。

數學家 Jacob Lurie 先後寫作了944頁的《高階範疇論》和1553頁的《高階代數》來闡述範疇論的思想，這兩本程碑式著作的影響被認為堪與格羅滕迪克的代數幾何革命相提並論。但新思想的提出也帶來了巨大的挑戰：數學界要如何吸收這些新知識？當數學被重新書寫時，數學家羣體要如何應對？知識的真正目的到底是什麼？

事實上，範疇論除了作為一種極端抽象的數學理論之外，也已經應用到了物理學領域來描寫多體量子糾纏（也就是拓撲序）這種全新的自然現象。在後記中，「返樸」總編文小剛教授、深圳量子科學與工程研究院孔良研究員介紹了數學和物理之間這種深刻的關聯，他們認為，這個時代是數學和物理融合的黃金時代。

等號是數學的基石。它似乎構成了一個完全基本和無可爭議的命題：這些東西是完全一樣的。

但越來越多的數學家認為等號是數學的原初錯誤。他們將其視為一種虛飾，它掩蓋了量的相關方式中重要的複雜性——這些複雜性可以揭示大量問題的答案。他們想用等價這種更寬鬆的語言來重新表述數學。

杜克大學的喬納森·坎貝爾（Jonathan Campbell）表示：“我們一直用的是相等（equality）的概念，其實應當是等價（equivalence）。”

這些數學家中最傑出的是雅各布·盧裏（Jacob Lurie）。今年7月，41歲的盧裏離開了他在哈佛大學的終身職位，前往新澤西州普林斯頓高等研究院任教，那裏雲集了世界上許多最有聲望的數學家。

盧裏的思想在任何領域都是空前絕後的。他用厚達千頁的專業著作，通過超越等號，構建了一個明顯不同的方式來理解一些最重要的數學概念。盧裏的導師、哈佛大學數學家邁克爾·霍普金斯（Michael Hopkins）説：“我想他認為這才是思考數學的正確方式。”

盧裏在2009年出版了他的第一本書《高階範疇論》（Higher Topos Theory）。這本944頁的書就像一本手冊，教你如何用新的“無窮範疇（infinity categories）”的語言來解釋已經建立起來的數學領域。在那之後的幾年裏，盧裏的思想影響到越來越廣泛的數學領域。許多數學家認為它們對數學的未來是不可或缺的。西北大學的約翰·弗朗西斯（John Francis）説：“一旦學會了無窮範疇，就沒有人會回頭。”

IAS數學家雅各布·盧裏在2014年獲得了300萬美元的數學突破獎。| 圖片來源：麥克阿瑟基金會

然而，無窮範疇的擴展也揭示出，像數學這樣的古老領域一旦試圖吸收某個重大的新思想，尤其是當這種思想會挑戰其最重要概念的意義時，它將不得不經歷成長的痛苦。愛丁堡大學的克拉克·巴維克（Clark Barwick）説：“數學界的保守力量很強。如果不能給出令人信服的理由，就不要指望任何一羣數學家會毫不遲疑地迅速接受任何新工具。”

儘管許多數學家已經接受了無窮範疇，但是很少有人完整閲讀過盧裏高度抽象的長篇專著。因此，一些基於他的思想的工作並不像數學中通常那樣嚴謹。

康奈爾大學數學家茵娜·扎哈里維奇（Inna Zakharevich）説：“我聽到人説，‘在盧裏的書裏講過。’我説，‘真的嗎？你引用的是8000頁的文獻。這不是引用，這是抱大腿。’”

數學家們仍然在努力理解盧裏的思想的重要性和介紹它們的獨特方式。他們還在提煉和重新包裝他對無窮範疇的表現方式，以便讓更多的數學家能理解它們。在某種意義上，他們正在從事任何革命之後必須進行的治理工作，將變革性文本轉化為日常法律。通過這樣做，他們將數學的未來建立在等價的基礎上，而不再是在相等的基礎上。

1 等價關係的無窮之塔

數學中的相等似乎是最沒爭議的概念。兩粒珠子加一粒珠子等於三粒珠子。這有什麼好討論的？但最簡單的想法也可能是最具欺騙性的。

自19世紀後期以來，數學的基礎一直建立在集合上。集合論規定了構造和操作集合的規則或公理。例如，其中有一個公理説的是，你可以將一個包含兩個元素的集合添加到一個包含一個元素的集合中，從而產生一個包含三個元素的新集合：2+1=3。

證明兩個量相等的形式化做法是將它們配對：將等號右邊的一粒珠子與左邊的一粒珠子配對。當所有的配對完成後，沒有剩餘的珠子。

集合論能讓人認識到，各有三個元素的兩個集合正好能兩兩配對，但是並不容易察覺到各種不同的配對方式。你可以將右邊的第一顆珠子與左邊的第一顆珠子配對，或者將右邊的第一顆珠子與左邊的第二顆珠子配對，以此類推（總共有六種可能的配對方式）。説二加一等於三就忽略了它們相等的所有不同方式。坎貝爾説，“問題是，配對的方式有很多，當我們説相等的時候，我們已經忘了它們。”

相等和等價

相等的概念意味着兩個對象是完全一樣的。

等價考慮了兩個對象相互關聯的各種不同方式。下面的圖表示了兩個珠子的集合可以相互配對的6種可能方式。| 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

這就是等價出現的地方。相等是一種嚴格的關係——要麼兩者相等要麼兩者不等——而等價則有不同的形式。

當你可以將一個集合中的每個元素與另一個集合中的某個元素完全匹配時，這是一種強等價形式。但比如説，在一個叫做同倫論（homotopy theory）的數學領域，兩個形狀（或幾何空間），如果你在不切割或撕裂它的前提下，可以將一個拉伸或壓縮成另一個，則兩者是等價的。

從同倫論的角度來看，圓盤和空間中的單點是等價的——你可以把圓盤壓縮到單點。然而，將圓盤上的點與單點配對是不可能的。畢竟，圓盤上有無數個點，而單點只是一個點。

點和圓盤。空間中的圓盤和單點是同倫等價的——不用撕裂就可以將圓盤變換成點。| 圖片來源：Quanta Magazine

自20世紀中期以來，數學家們一直試圖發展一種替代集合論的理論，在這種理論中，從等價性的角度來研究數學更為自然。1945年，數學家塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麥克萊恩（Saunders Mac Lane）引入了一個新的基本對象，這個對象內嵌了等價性。他們稱之為範疇。

範疇中可以放入任何東西。你可以有哺乳動物範疇，其中包含世界上所有的有毛髮的温血哺乳動物。你也可以構造數學對象範疇：集合、幾何空間或者數系。

範疇是有額外元數據的集合，這些額外元數據描述兩個對象相互關聯的所有方式，包括描述兩個對象等價的所有方式。你還可以將範疇視為幾何對象，其中每個元素都由一個點表示。

例如，想象一個球面。球面上每個點代表一個不同的三角形。這些點之間的路徑表示這些對象之間的等價關係。從範疇論的角度來看，我們不關心描述對象的具體方式，而是關心對象在同類型對象中所處的位置。

三角形的球面。球面上每個點對應一個不同形狀的三角形。| 圖片來源：Quanta Magazine

扎哈里維奇説：“有很多我們認為是事物的，實際上是事物之間的關係。‘我的丈夫’這個詞，我們把它當作一個對象，但你也可以把它當作我的一種關係。他的某部分是由他和我的關係定義的。”

艾倫伯格和麥克萊恩版本的範疇很適合用於研究強等價形式。但是在20世紀下半葉，數學家們開始越來越多地使用同倫等較弱的等價概念來研究數學。約翰·霍普金斯大學數學家艾米麗·里爾（Emily Riehl）説：“隨着數學變得越來越精巧，我們不可避免地會朝這些更精巧的等同概念發展。”在這些更精巧的等價概念中，關於兩個對象如何相互關聯的信息量急劇增加。艾倫伯格和麥克萊恩的初等範疇無法處理這些。

要了解信息量是如何增加的，先回到表示了許多三角形的球面。如果你可以將一個三角形拉伸或變形成另一個三角形，則兩個三角形是同倫等價的。如果有一條路徑連接曲面上兩點，則兩點是同倫等價的。通過研究曲面上點之間的同倫路徑，你實際上是在研究這些點所代表的三角形之間的各種關聯方式。

點等價。如果兩點之間至少有一條路徑相連，則兩點同倫等價。| 圖片來源：Quanta Magazine

但僅僅説兩點是由許多等同的路徑連接到一起還不夠。你還需要考慮所有這些路徑之間的等價性。因此，除了要問兩點是否等價之外，你還要問，在同一對點上開始和結束的兩條路徑是否等價——是否有一條路徑關聯這兩條路徑。兩條路徑之間的這條路徑的形狀為一個盤，盤的邊界就是這兩條路徑。

路徑等價。如果至少有一個盤連接兩條路徑，則兩條路徑同倫等價。| 圖片來源：Quanta Magazine

你可以繼續推進。如果兩個盤之間有一條路徑，那麼這兩個盤就是等價的，而這條路徑的形狀將是三維對象。這些三維對象又可能通過四維路徑相互關聯（兩個對象之間的路徑總是比對象本身多一個維度）。

最終，你將建立一個等價關係的無窮塔。如果通盤考慮整個塔，你就可以對你所選擇的用球面上的點表示的任何對象形成全面的認識。

德州大學奧斯汀分校的大衞·本-茲維（David Ben-Zvi）説：“它只是一個球，但事實證明，要理解球的形狀，從某種意義上説，你需要到無窮遠處去。”

在20世紀的最後幾十年裏，許多數學家致力於一個“無窮範疇”理論——這個理論可以研究等價關係的無窮塔。有幾個人取得了實質性進展。但只有一個人成功了。

2 重寫數學

雅各布·盧裏關於無窮範疇理論的第一篇論文並不成功。2003年6月5日，這位25歲的年輕人在科學預印本網站 arxiv.org 上發佈了一份60頁的論文，題為《論無窮範疇》（On Infinity Topoi）。在文中他開始勾勒一些規則，數學家們可以用這些規則研究無窮範疇。

第一篇論文沒有得到普遍好評。讀完文章後不久，芝加哥大學數學家彼得·梅（Peter May）給盧裏的導師邁克爾·霍普金斯發了封電子郵件，説盧裏的論文有一些有趣的想法，但感覺很不完善，需要更嚴格。梅説：“我向邁克爾表達了我們的保留意見，邁克爾轉達給了雅各布。”

不清楚盧裏是否曾把梅的郵件視為一種挑戰，或者他早就計劃好了下一步的行動。（盧裏多次拒絕了就此事接受採訪的請求。）我們只知道，在受到批評後，盧裏進入了一個旺盛的多產期，這段時期已經成為傳奇。

梅説：“我無法進入雅各布的腦子裏，我不能確切地説出他當時在想什麼。但毫無疑問，我們批評的文稿與最終版本之間存在巨大差異，後者完全是在更高的數學層面上。”

2006年，盧裏在 arxiv.org上 發佈了《高階範疇論》的書稿。在這項里程碑式的成就中，他用一種新的數學基礎，基於無窮範疇的基礎，建立了取代集合論的機制。伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校數學家查爾斯·瑞澤克（Charles Rezk）做了關於無窮範疇論重要的早期工作，他説：“他用上千頁篇幅創造了我們現在都在使用的基礎機制。我想我用一輩子都寫不出《高階範疇論》，他用兩三年就完成了。”

然後在2011年，盧裏又寫了一本篇幅更長的專著。在書中，他重新發明了代數。

代數為處理方程式提供了一套優雅的形式規則。數學家們一直使用這些規則來證明新定理。但是代數是在固定不動的等號平衡木上表演體操。如果你去掉這些平衡木，用更精巧的等價概念來代替它們，有些操作就會變得困難得多。

以小學教授的第一條代數規則結合律為例：3個或3個以上數字的和或乘積並不取決於這些數字是如何分組的，比如 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4。

如果用相等概念，要證明結合律對任何包含3個或3個以上數字的列表都適用是很容易的。但如果使用強等價概念，就會很複雜。如果使用更精巧的等價概念時，即使是像結合律這樣的簡單規則也會變得非常棘手。

結合律圖。在代數中，結合律告訴我們 (a × b) × c = a × (b × c)。而一旦引入等價，僅靠結合律無法保證所有組合都有相同的乘積。這個構圖稱為（5元素）結合多面體，表示了組合之間的等價關係。圖中每個頂點表示一種組合。共邊和共面的組合根據結合律相互等價。| 圖片來源：Quanta Magazine

蒙大拿州立大學數學家戴維·阿亞拉（David Ayala）説：“這使問題變得非常複雜，某種程度上使得我們理想的新版本的數學似乎不現實。”

在最新版長達1553頁的《高階代數》（Higher Algebra）中，盧裏發展了無窮範疇版本的結合律——以及其他許多代數定理，它們共同奠定了等價數學的基礎。

總而言之，他的兩本書非常震撼，是引發科學革命的那種著作。里爾説：“規模非常龐大。這個成就可以與格羅滕迪克（Grothendieck）的代數幾何革命相提並論。”

然而革命需要時間，正如盧裏的書出版後數學家們發現的那樣，可能會有很長時間的混亂。

3 消化一頭牛

數學家以思維清晰著稱：證明是否正確，想法是否有效。但是數學家也是人類，他們對新想法的反應同人類一樣：主觀、感性、利害取捨。

坎貝爾説：“許多數學讀物的基調是，數學家們是在尋找閃閃發光的完美真理。其實不是這樣的。他們有自己的品味和覺得舒適的領域，他們會因為審美或個人原因摒棄自己不喜歡的東西。”

從這個角度來説，盧裏的工作帶來了一個大挑戰。甚至可以説是一種挑釁：這裏有一種更好的研究數學的方法。對於那些職業生涯中一直致力於研究被盧裏的工作超越的方法的數學家們來説，尤其如此。

弗朗西斯説：“這個過程中存在一種緊張，人們並不總是樂於看到下一代重寫他們的作品。這一點對無窮範疇論有影響，以前的許多工作都被重寫了。”

除此之外，其他一些因素也導致盧裏的作品很難消化。長篇大作意味着數學家們需要花費大量時間來閲讀。對於處於職業生涯中期的忙碌數學家來説，這幾乎是不可能完成的任務，而對於研究生來説，他們只有幾年時間來做出能讓自己找到工作的成果，因而這也是一個高風險要求。

另外盧裏的工作是高度抽象的，即使與高等數學中其他高度抽象的內容相比也是如此。就可接納程度而言，它並不適合所有人。坎貝爾説：“一些人認為盧裏的書是抽象的廢話，一些人則甘之如飴，一些人的反應介於兩者之間，一些人則是完全不理解。”

科學界一直在吸收新思想，但通常很緩慢，感覺就像一大羣人在一起行進。當大的新想法出現時，會對科學界的知識吸收機制構成挑戰。坎貝爾説：“一次性導入了太多東西，有點像蟒蛇試圖吞下一頭牛。有一大團東西正在通過科學界。”

如果你是數學家，認為盧裏的方法是解決數學問題的更好方法，那麼前進的道路將很孤獨。很少有人讀過盧裏的著作，沒有教科書對它進行提煉，也沒有研討會讓你明確方向。麻省理工學院的研究生彼得·海恩（Peter Haine）花了一年時間閲讀盧裏的著作，他説：“讓你能真正學會這些東西的方式，就是坐下來自己動手。我認為這是最困難的。不僅僅是坐下來自己動手，而是通過坐下來讀800多頁的《高階範疇論》來自己做。”

同許多新發明一樣，《高階範疇論》要求數學家們與驅動理論的機制進行大量互動。這就像要求16歲的孩子先得學會改裝引擎才能拿到駕照。與盧裏合作的哈佛數學家丹尼斯·蓋特格里（Dennis Gaitsgory）説，“如果有一個對駕駛員更友好的版本，就更容易被更廣泛的數學觀眾理解。”

隨着人們開始閲讀盧裏的著作，並在自己的研究中使用無窮範疇，其他問題也出現了。數學家們會用無窮範疇來寫論文。期刊審稿人收到這些文章後會説：這是什麼？

巴維克説：“在這種情況下，期刊要麼反饋荒謬的審稿意見，表現出很深的誤解，要麼花了幾年時間才發表。它會讓人不舒服，因為一篇未發表的論文在你的網站上掛了很多年，顯得有點滑稽。”

然而，最大的問題不是那些沒有發表的論文，而是那些使用了無窮範疇並且確實發表了但是有錯誤的論文。

盧裏的書是關於無窮範疇的唯一權威文獻。它們是完全嚴格的，但是很難完全掌握。尤其不適合作為參考手冊——很難查找具體的定理，或者檢查在其他論文中可能遇到的無窮範疇的具體應用是否成立。

加拿大蒙特利爾魁北克大學數學家安德烈·喬亞爾（André Joyal）的早期工作在盧裏的書中起到了重要作用，他説：“大多數在這個領域工作的人都沒有系統閲讀過盧裏的書。這需要花費大量時間和精力，所以我們只能認為他書中的內容是正確的，因為幾乎每次我們檢查某些內容時，它都是正確的。事實上，一直如此。”

盧裏的書難讀也導致後來一些基於這些書的研究不夠準確。盧裏的書很難讀，很難引用，也很難用來核對別人的結果。扎哈里維奇説：“一般的無窮範疇文獻給人一種馬虎的感覺。”

儘管數學很形式化，**但數學並不是只需要只有牧師才能閲讀的神聖經文。**這個領域既需要小冊子，也需要大部頭的書籍，除了原初的啓示，還需要解釋性作品。現在，《無窮範疇論》仍然主要以書架上的大部頭的形式存在。

瑞澤克説：“你可以採取‘雅各佈告訴了你該做什麼，這就夠了’的態度。你也可以説，‘我們不知道如何適當地表述這個主題，以便人們可以拿起它並運用它。’”

然而，一些數學家決定迎接挑戰，讓更多的人在他們的領域裏可以把無窮範疇作為一種技術加以應用。

4 對用户友好的理論

為了將無窮範疇轉化為可以做真正數學研究的對象，盧裏必須證明有關它們的定理。為了做到這一點，他必須選擇一個背景來建立這些證明，就像研究幾何的人必須選擇一個座標系一樣。數學家們稱之為選擇模型。

盧裏在擬範疇（quasi-categories）模型中發展了無窮範疇。其他數學家以前曾經在不同的模型中發展了無窮範疇。儘管這些嘗試遠沒有盧裏那麼全面，但在某些情況下，它們更容易處理。“雅各布選擇了一個模型，並檢查了在這個模型中是否一切都成立，但這往往不是最容易的模型，”扎哈里維奇説。

在幾何學中，數學家們精確地知道如何在座標系之間切換。他們還證明了如果定理在一個座標系中被證明，則它在另一個座標系中也成立。

對於無窮範疇，沒有這樣的保證。然而，當數學家們使用無窮範疇撰寫論文時，他們往往輕率地在模型之間切換，假設（但不證明）他們的結果可以保持成立。海恩説：“人們不會詳細説明他們在做什麼，他們會在這些不同的模型之間切換，然後説，‘哦，都是一樣的’。但這不是證明。”

在過去六年裏，兩位數學家一直在努力做出這樣的保證。里爾和來自澳大利亞麥覺理大學（Macquarie University）的多米尼克·維裏蒂（Dominic Verity）一直在研究一種描述無窮範疇的方法，這種方法超越了以前限定於模型的框架所造成的困難。他們的工作建立在巴維克等人之前的工作的基礎上，已經證明了高階範疇論中的許多定理都是成立的****，無論你將它們應用於哪個模型中。他們用一種恰當的方式證明了這種兼容性，里爾解釋説：“我們正在研究的無窮範疇，其對象本身就是無窮範疇。範疇論在這裏就像在吞食自己。”

約翰·霍普金斯大學數學家艾米麗·里爾（Emily Riehl）正在幫助引導高階範疇理論的發展。| 圖片來源：Will Kirk /約翰·霍普金斯大學

里爾和維裏蒂還希望以另一種方式推動無窮範疇論的發展。他們闡明瞭無窮範疇論無論在哪個模型中都成立的那些特性。這種“與模型無關”的表示具有即插即用的特性，他們希望，這種特性能夠讓那些最初只能通過《高階範疇論》進入這個領域因而離開的數學家能回到這個領域。

“要進入這個世界，你必須穿過一條護城河，而他們正在放下吊橋。”霍普金斯説道。

里爾和維裏蒂希望能在明年完成他們的工作。與此同時，盧裏最近開始了一個名為巖豚鼠（Kerodon）的項目，他打算把這個項目作為維基百科式的高階範疇論教科書。在《高階範疇論》使等價的數學形式化13年之後，這些倡議是提煉和推廣這個思想的新嘗試——使等價的數學更加普及。

巖豚鼠（Kerodon）項目。| 圖片來源：kerodon.net

喬亞爾説：“天才在數學發展中扮演了重要的角色，但實際上知識本身是學術界活動的結果。知識的真正目的是成為社區的知識，而不是一兩個人的知識。”

 後  記 

數學和物理融合的黃金時代

撰文 | 文小剛（麻省理工學院終身教授、格林講席教授）

物理學的目的是準確地理解和描述各種各樣的自然現象。但我們的物理世界是如此豐富多彩，使我們無法用日常生活所發展出來的語言來準確描寫這些自然現象。特別是當我們發現一類全新的自然現象時，物理學家常常發現他們需要引入新數學、發明新語言來描寫這些自然現象。

像牛頓需要發明微積分來描寫他的力學理論所描寫的曲線運動。為了描寫電磁現象，我們需要用到數學中的纖維叢理論，而為了描寫引力現象，我們需要黎曼幾何理論。當我們發現微觀世界的量子現象後，我們意識到描寫我們世界的數學理論並不是微積分、纖維叢和黎曼幾何，而是帶張量乘法的線性代數。

在凝聚態物理和材料科學中，我們需要理解和描寫千千萬萬、各種各樣的物質態。朗道以他深刻的洞察指出，各種各樣的物質態其實來源於它們內部各種各樣不同的對稱性破缺。於是，描寫對稱性的羣論就成為我們描寫各種各樣物質態的數學語言。

可是過去30年來凝聚態物理的進展揭示了一大類全新物質態的存在。這一類物質態不是起源於對稱性，而是起源於材料中的多體量子糾纏。多體量子糾纏（也就是拓撲序）是一種全新的自然現象。我們到底應該用什麼樣的數學語言才能描寫這種全新的自然現象呢？

為了理解和描述多體量子糾纏的內部結構，也就是拓撲序，我們可以考慮這一結構所允許的各種各樣的點缺陷，並通過這些缺陷的性質來理解和描述這一結構。但一個拓撲序可以有無窮多個不同的缺陷。為了解決這個無窮大問題，我們可以重新定義什麼叫做“相等”：當兩個缺陷可以通過局部形變而相互轉換時，我們稱它們是等價的，或者是“相等”的。我們發現拓撲序中的缺陷只有有限多個等價類。這些不同類型缺陷的等價關係可以是非常複雜的，因為它們包括缺陷之間的融合、編織等等局部操作。描寫這些缺陷等價的類的數學理論正是本文所描述的範疇論。範疇論這一極端抽象的數學就這樣走進了凝聚態物理。

其實拓撲序中的缺陷不僅可以是點狀的，還可以是線狀的、面狀的等等。描寫這些更復雜缺陷的等價類的數學語言就是本文所介紹的高階範疇學，或無窮範疇學。這些抽象數學理論是描寫多體量子糾纏這一全新物理現象的自然語言。新的數學進入物理意味着物理的新革命。現在正是數學和物理高速發展的黃金時期。

撰文 | 孔良（深圳量子科學與工程研究院，南方科技大學）

毫無疑問 Jacob Lurie 的工作值得單獨撰文來討論，但是借這篇文章的東風，加一些簡潔的評論也可能是有益的。

Jacob Lurie的兩部長篇鉅著 Higher Topos Theory 和 Higher Algebra是近過去20年數學裏面最激動人心的進展之一。我們知道微積分和線性代數是現代物理和其他科學的基礎語言。粗略地講，Higher Topos Theory可以看作是一種新的微積分，而 Higher Algebra 是一種新的線性代數。它們不僅在一個很高的視角上統一了過去的很多數學，而且還提供了一張宏偉的數學新藍圖。而過去已知的數學似乎只是這張新藍圖的一角，可以毫不誇張地説，數學才剛剛開始。 

有趣的是，Jacob Lurie 的長文並沒有被數學界廣泛地接受，除非可以用新語言、新工具來征服傳統數學家都攻克不了的老問題 。不過在數學物理學家的圈子裏，Jacob Lurie 的貢獻不但被廣泛而快速地接受，而且已經啓發了大量後續和平行的工作。當然這並不奇怪，因為 Lurie 的工作本來就受到了過去30年由弦論和量子場論引發的數學物理新潮流的深刻影響，特別是拓撲場論、mirror symmetry、derived algebraic geometry、En 代數、chiral homology 等等。Lurie 里程碑式的工作一下子在一個很高的高度上，把以前很多零碎的思想統一在一起，並啓發了很多全新的問題。 

我還想強調的是，即使在 Lurie 的工作之後，量子場論帶來的物理直覺仍然是激發想象力的源泉。很多 Lurie 沒有問出來的重要問題仍然被不斷地挖掘出來。也就是説， Lurie 幾千頁的浩瀚工程仍然不足以（哪怕是粗略地）描繪數學新藍圖的全貌。大自然給我們的啓迪是超越想象力的。

不論如何，我們都會同意，這個時代是數學和物理融合的黃金時代。

對於文中提到的無窮範疇以及 Lurie 工作的意義，哥廷根大學數學教授朱晨暢給出瞭如下注釋：文中的無窮範疇，也稱為（∞, 1）範疇，因為它的高於等於 2 的 morphisms 都是可逆的。在此之前，其他數學家也曾有過不同的模型。不同的很多模型的確是等價的，它們之間的互相比較也有一些早期的工作（例如 Julia E. Bergner 的一篇綜述：https://arxiv.org/abs/math/0610239 ）。但 Lurie 工作的意義不僅僅是給了無窮範疇一個更完整的定義體系，而是一種將無窮範疇的思想作為基礎，融入當代數學、拓撲、幾何（代數幾何，這方面也有很多來自歐洲的 Toen 團隊的工作），以及代數（ Operad 理論）之中的嘗試。以志於全面地給數學一個新的，或者説更全面的基礎體系。

本文翻譯自Quanta Magazine，原文標題為“With Category Theory, Mathematics Escapes From Equality”。點擊“閲讀原文”可查閲原文。

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