高數學天賦的孩子應該獲得怎樣的教育？_風聞

撰文 | 丁玖（南密西西比大學教授）、葉寧軍（伊曼紐爾學院副教授）

科學技術領域的重大問題大都離不開數學，尤其是現代數學的支持。但怎樣的數學教育才能讓一流的數學家和工程師不斷湧現？在這篇文章中，作者認為，對於那些具有極高天賦的中學生，在他們求知慾和精力旺盛的中學時代，應該創造條件讓他們學習現代數學，進入更廣闊的數學世界，而非被應試教育束縛。

我們所處的時代是科技發展日新月異的時代。機器學習、大數據、人工智能等術語充斥報刊雜誌，令普通百姓看得眼花繚亂。其實這股熱流中的一切，都與“數學”二字密切相關。可以説，沒有數學的威力，一切科技進步無從談起。這個道理早在十三世紀就被實驗科學之祖羅吉爾·培根（Roger Bacon，1220-1292）所知，他精闢地指出：“所有科學都需要數學。”

比方説當今最熱的技術短語“人工智能”，事實上這個領域最根本的問題還懸而未決，需要數學的幫忙。今年5月20日，筆者之一在第二屆江蘇發展大會的“紫金山論壇”上，聆聽了大數學家丘成桐教授的演講“數學和人工智能”。運用當代數學的微分流形理論，他提出了一個解決人工智能基本問題的方案，所用的工具中有菲爾茲獎獲得者維拉尼（Cédric Villani，1973-）所發展的“最優傳輸理論”。

由此可見，為科學技術解決重大問題，非有數學家的參與不可。華為的創始人和掌舵者任正非已經自豪地宣告，這個中國最了不起的科技公司僱傭了700多位數學家。今年第三期的《數學文化》雜誌，刊登了其主編湯濤教授撰寫的文章《華為5G與數學》，作者熱情謳歌了幫助華為崛起而貢獻輝煌的應用數學。

鄧小平早就提出“科學技術是第一生產力”的著名論斷。如上所説，科技的突飛猛進需要數學的傾力支持，但這裏的“數學”還應加上一個形容詞“現代的”。這就是：現代數學在國家的科技發展中起着無可替代的領頭羊作用。因此，通過先進的教育理念，讓一流的數學家以及用現代數學武裝到牙齒的一流工程師不斷湧現，是中國的科學家、工程師和教育家們必須重視的問題和任務。

現代化的教育，是實現科技強國目標的必由之路。但是，怎樣使十二年的初等教育、四年的大學本科教育，及更高層次的研究生教育最大限度地發揮其功能，怎樣讓芸芸眾生中一小部分的資優青少年在知識營養的積極獲取和創新能力的不斷錘鍊下“先富起來”，依然是擺在我們面前的重大課題。

在這篇文章裏，我們想討論這樣一個問題：如何在我們的高中課程裏，引入現代數學的點滴思想和基本觀念，讓部分天賦異稟的中學生儘早地瞭解當代數學的一些前沿領域，為早日成為國家科技發展的棟樑之才邁出通向成才之路的第一步？

現代數學的“下放”

從小學到高中畢業，一個正常的學生在進大學前，要學十二年的初等數學，這在某種意義上講是夠長的了。假如一個人進大學後一直讀到博士學位，即便唸的是數學系，他在大學裏得到的近、現代數學的訓練也不會超過十年。幾千年前開始逐步完善的初等數學，與四百年前由於微積分的創立而開始飛速發展的高等數學相比，僅僅是基本和基礎的知識，也幾乎是微不足道到“可以忽略不計”的皮毛東西。許多用初等數學的“笨方法”繁瑣求解的題目，如小學算術中的“雞兔同籠”或中學代數里的極值尋求，放到高一等的數學課裏簡直是“小菜一碟”。因此，花太多的時間在初等數學的菜園裏忙個不休，累得半死，對於天賦極高的部分少年，實在是無用而且無趣的重複勞動。

筆者之一的少年經歷頗能説明問題。他的中學時代是在特殊的歲月中度過的，幾乎沒有正規地學過數理化，1973年初高中畢業後回到家，感到自己的頭腦空空如也，求知慾終於噴薄而出，便向父母的早期學生高允翔借來他1963年考上大學前用過的高中三年數理化全套教材猛啃，只花了三個月的時間，便啃完了這十八本書，頭腦裏終於裝進了有用的數理化初等知識。當時他確實認為，這三年的教材完全可以在一年半內學完，而且可以學得很透徹。後來他在工廠幹了五年活，沒有再讀數學書，但1977年恢復高考時考上南京大學數學系，這主要靠的就是那三個月自學而來的數理化知識。

這個故事説明，一部分高中生，完全可以在中學提前學完必修的初等科目，然後藉助自己旺盛的求知慾和充沛的精力，進而學習大學的有關課程甚至更高檔次的現代科學、人文知識，不浪費自己天生的好資質，不耽擱自己強烈的上進心。事實上，目前在我們大多數的學校裏，高天賦的學生被無休止的初等數學習題埋沒，他們可能非常厭惡應試教育反覆訓練的題海戰術。然而，很多中學為了提升高考的名校錄取率而束縛這些學生的自主創造性學習，導致他們的天賦之才難有機會脱穎而出，只好和大多數普通腦袋像《水滸》中的連環馬一樣被栓在一起，慢慢地同步朝前走。楊振寧先生早就觀察到：中國的教育對一般學生有幫助，但美國的教育卻極利於天才學生的成長。固然，一般的學校是為普通的學生開辦的，這一點中美兩國都一樣。但是美國的中小學很早就開始挖掘人才，分層教育，區別對待，因材施教。到了高中，更是想方設法地餵飽、喂好那些既是絕頂聰明又有鴻鵠之志的“人中鳳凰”。

比如説，當我國的高三年級不開任何新的課程而全力以赴複習一年迎接高考時，美國的高四兩學期馬不停蹄地為好學生提供新課、難課、高檔課。在筆者之一生活的州，有個直屬州管的“數學與科學學校”，全校只有高三和高四兩個年級，每年在全州招收75名優秀少年，通過面試錄取，封閉式住校進入高三。學校位於一所美麗大學的校園內，教師普遍都有博士學位，州府提供的教育經費是其他高中的三倍。請看該校十年前一位高四華人學生的兩學期課程表。

第一學期：《大學英語I》、《遺傳學》、《大學統計I》、《有機化學》、《美國政府》、《高等力學》、《經濟學》；

第二學期：《大學英語II》、《C++》、《大學統計II》、《微分方程》、《波與電》、《微積分III》、《現代物理》。

這些智商較高的學子高中畢業後，大都進入很好的大學繼續深造，許多人日後成長為各行各業的飽學之士。

即便在美國各地的普通高中，也從不吝嗇地給好學生提供眾多大學基礎課程。這些簡稱為AP（Advanced Placement）的課程從《微積分》到《大學英文寫作》，應有盡有；需要什麼，學校就開什麼，除非師資不夠。頂尖大學的新生錄取非常看重的是修了多少AP課程。一些能力非凡的學子高中四年期間，可以修完十門以上的這類課程，所以在高三、高四時就成了“半個大學生”。這樣的實踐，讓聰明好學的孩子的讀書潛能被充分挖掘，名牌大學也更容易據此而發現那些可塑之才。

美國波士頓大學的數學教授 Robert Devaney（1948-），一直強調將現代數學的思想裝進高中、學院和大學本科的課程設計中，與初等數學和初等微積分的課程相結合，這是一個眼光深遠的卓越想法。他專門為此而撰文，動員有條件的學校“不時地將現代數學的思想下放到大學生甚至高中生的課程中”。他是菲爾茲獎獲得者 Stephen Smale（1930-）教授的博士，在 Smale 的眾多弟子中，他的數學教材寫得最多。同時，他身體力行地到處演講許多高中生也能聽得懂的現代數學——混沌與分形，極受歡迎，獲得過美國數學協會頒發的傑出大學教學獎。他去年70週歲時退休，但“退而不休”。迄今為止，他在世界各地已做了超過1600場的數學演講。

Robert Devaney

Devaney 在文章《離散動力系統：讓學生對數學着迷的途徑》的摘要中這樣説道：“離散動力系統與分形幾何是當代數學最有趣的研究領域中的兩個。一個理由是這些領域裏經常出現的絕對漂亮的圖形。第二個理由是這些領域裏的許多論題所有人都能接受，包括高中生。本文目的之一是描述這樣一個論題，即混沌遊戲。當學生第一次碰到這個玩意時不僅相當激動，而且看到用來理解混沌遊戲的分形幾何怎樣和他們目前正在幾何課中所學的東西直接相關。”

如果我們的初等教育理念還是停留在“一切為了高考”的獨木橋上，那麼我們的一部分資質優異的中學生，雖然也能考上大學甚至名校，但大學前為了高考死記硬背的痛苦經歷，以及不可避免受到的落後教育方式的不良影響，可能對他們的心靈甚至求知的態度留下永久性的傷害和打擊，以至於可能會阻撓他們日後的發展。因此，在他們的求知慾接近一生頂峯的高中時代，我們應當創造條件，將他們引入現代數學思想的涓涓溪流中去，給他們打開通往“數學天空”的門户。讓魚兒早日隨溪流匯入浩瀚的大海，讓鳥兒早日從籠子飛到廣闊的天空。

現代數學如何“下放”？

然而，現代數學的學科森林密佈，樹大枝多，選什麼為這些孩子開小灶？現代數學的語言艱深難懂，概念抽象，能選出適合先進高中生口味的食材嗎？比如説，學完初等代數後是否馬上就可以進入近世代數？誠然，有會把高深的數學講得像揚州評話大師王少堂的《武松打虎》那樣精彩的人人都聽得懂的老師，如“國家名師”顧沛和李尚志兩位教授。極會教書的美籍華人數學家李天巖教授對“怎樣講現代數學”也曾經誇下這樣的海口：“如果真懂數學，可以講得連高中生也能聽得懂！”然而，我們不能説隨機地選取現代數學林立分支中的任一專題，就能胸有成竹地踏進高中生的數學課堂；我們不僅要顧及高中生對深奧知識的接受能力，也要考慮高中數學教師頭腦中的現代知識結構。

實際上，相當部分的近、現代數學論題可以下放到部分高中同學的課堂，或許可以在課程的名稱上加上“初等”二字，譬如《初等數論》、《初等抽象代數》及《初等線性代數》，就像已經下放到一些高中的《初等微積分》那樣，以免嚇跑那些對所謂“高等的數學”望而生畏的中學生。

上海師範大學的一位數學教授這些年來一口氣寫了三本書，分別為《從一元一次方程到伽羅瓦理論》、《從求解多項式方程到阿貝爾不可能性定理》以及《從代數基本定理到超越數》（由華東師範大學出版），它們取材於近世代數，但內容可以作為高中生讀本。

某些精心製作的課程，優秀的高中生完全可以領會，甚至可以學得比大學生還好。筆者之一的師兄弟王筱沈教授的女兒讀高中時，在她爸爸的系修了許多高等數學課，其中一門拓撲學的老師對她的評價是：“她對數學概念的理解速度，可能比我拿過菲爾茲獎的博士導師還要快！”他的一位同事的兒子，高中時和數學系的研究生共修《近世代數》，班上很少人拿到成績A，他卻拿到了。正因為他很早就通曉了許多數學，高中畢業前做了一項研究，發現了函數 y = ln |x| 的迭代週期軌道的模式，發表在美國數學協會的期刊《高校數學雜誌》上。他水到渠成地進了麻省理工學院數學系讀書，現在加州大學伯克利校區念拓撲學的博士研究生。

筆者分別為《數學文化》雜誌寫過科普文章，介紹過初等函數的迭代和初等幾何圖形的迭代。我們認為這些研究論題背後的現代數學思想與中學生學到的代數和平面幾何聯繫密切，完全可以向喜歡探索的高中生推薦，起到連接近代與當代數學概念的橋樑作用。

“動力系統”是一個疆場廣闊的現代數學分支。任何與時間有關的學問都可以稱為動力系統。“時間”有連續推進或取定一個時間單位後依次選擇與自然數相對應的離散時刻。前者稱之為“連續動力系統”，它常和微分方程聯繫在一起，於是和初等數學之間隔了一條微積分的大河。然而，後者所對應的“離散動力系統”在數學上等價於無窮次迭代一個抽象函數，它把定義域映到自身內。函數的迭代儘管可以構成一門精深的學問，它的基本思想和方法卻與高中代數密切相關。本質上，它研究函數無窮迭代過程的最終行為，而函數則是初等代數課本里多次出現的概念。

如果把注意力從代數移到幾何，“動力幾何”就是關於幾何圖形隨時間而變化的動力系統。如果考慮的是像三角形或多邊形這樣的簡單平面圖形，則它自然又與歐幾里得幾何有關。初等幾何是中學數學中最重要的一門課程，它教會了學生怎樣邏輯推理，怎樣訓練思維。但是中學所學的幾何可被看成是“靜態幾何”。現代數學的思想落實到初等幾何上就催生了動力幾何這一學科，五十年前剛剛開始興起的“分形幾何”這門當代數學分支與動力幾何有引人入勝的關係。因此，通過初等幾何向動力幾何的進化，能力高強的高中生可以領略分形幾何中出現的現代概念。

“迭代”某物是現代數學的基本做法：它出現在計算數學裏解非線性方程組的牛頓法中；它出現在泛函分析內巴拿赫壓縮映像定理的證明中；它出現在應用數學之學科數學規劃的算法中；它出現在被普林斯頓高等研究院戴森教授稱為“數學文獻中不朽的珍品”的李-約克混沌定理的敍述中。總之，現代數學幾乎每一個分支中都會出現“迭代”的身影。下面，我們通過引進兩個“樣本”現代數學論題，看看怎樣將它們結合到高中的課程中。

文靜與活潑的函數

中學代數處理的主要對象之一是函數，比如多項式函數、有理函數、指數函數、對數函數等所謂的“初等函數”。在“三角函數”課程中大家也學了六個三角函數以及它們所對應的反三角函數。學完後學生對這些初等函數的定義域、值域、單調性、極值等性質，可以説達到了如指掌的程度。比如説，底大於1的指數函數是嚴格遞增的，底小於1的指數函數是嚴格遞減的，如此等等，不一而足。如果學了初等微積分，我們就會對初等函數的微分和積分的公式及其眾多應用知道得更多了。

但是在中學的課本里，這些函數一旦出場，就像一個被封建倫理道德薰陶出的文靜姑娘一樣，在公開場合羞羞答答，不敢以多姿多態的現代形象吸引他人。舊時代司空見慣的坐在牀邊羞答答姑娘的一舉一動，只有那些辜鴻銘（1857-1928）式的老派人物喜歡。現代人追求的是活潑可愛的青春氣息。讓函數動起來，就有了函數迭代以及迭代與函數表達式中帶有的參數之依賴關係的研究。

如果一個驕傲的高中生號稱他學會了指數函數的所有性質，那麼試試問他這個問題：

取一個正數a，請問a,  a的a次方,  a的a的a次方,  a的a的a的a次方, …… 這個所謂的“迭代指數列”最終會走向哪裏？

這個問題有趣嗎？我們通常使用的高中代數課本、各地大量印刷的教輔書、鋪天蓋地出現的課外輔導班、不斷深入千家萬户的的家庭教師等，問過這個問題沒有？

兩百多年前的大數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）問過！1778年，他第一次研究了該數列的收斂性問題，而與此問題相關的方程 xy = yx 求解問題則早其50年前，由比他大7歲的親密戰友丹尼爾·伯努利（Daniel  Bernoulli，1700-1782）提出。伯努利給哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）的信中説：

我解決了一個有趣的問題：找到不相等的數 x  和 y 使得 xy = yx 。該方程僅有一組整數解 x = 2 及 y = 4，但卻有無窮多個有理數解。

上述歐拉的“迭代指數列”只不過是以a為初始點，迭代以a為底的指數函數

f(x) = ax

而得到的迭代點數列。這裏的底a，可被看成是指數函數簇 {ax} 中的參數。

對於學完了高中代數並且有初等微積分基礎的的高中生，可以考慮更一般的問題：從任意的初始點x0出發，無窮次迭代指數函數 f(x) = ax，得到一個無窮數列 {xn}。試問這個數列最終會走向哪裏？

更進一步，對哪些初始點 x0，迭代點的數列收斂或發散？如果收斂，收斂到何處？如果發散，又怎樣地發散？你的結論對底大於1或小於1的不同情形，是一樣的嗎？

我們不擬給出現成的答案，僅僅畫上幾張富有啓發性的圖。下面是指數函數當底為 e1/e 時的圖像，這根曲線在點 (e, e) 處恰恰與x-y軸的對角線 y = x 相切。這時候，x* = e 是函數 f(x) = ex/e 的惟一不動點。但當初始點取任一其他數值時，由此起步的迭代點的軌道則怎麼走呢？

圖中曲線表示函數 f(x) = ex/e，x-y軸的對角線表示函數 y = x。x* = e 是函數 f(x) = ex/e 的惟一不動點。

如果將指數函數的底a從 e1/e 變小一點，但還是大於1，這時它的圖像就會連續變形到如下所示：

對於 1< a< e1/e，函數 f(x) = ax 有兩個不動點：左邊的不動點x* 和右邊的不動點y*。

原先底為 e1/e 時圖像中的切點一下子分成兩個點來，它們是新的函數圖像與對角線的交點。也就是説，函數 f(x) = ax 現在有兩個不動點了：左邊的不動點x* 和右邊的不動點y*。我們由圖發現，曲線在靠近左邊交點處看上去像膠東平原那樣比較平坦，而在靠近右邊那個交點附近卻像泰山那麼陡峭了。這些幾何上的觀察會指導我們得出關於從任何非不動點出發的迭代點軌道最終行為的結論嗎？

反過來，如果將指數函數的底 a 從 e1/e 變大，幾何上就是把上面的第一個圖像向上提升一點，再加點變形，結果是切點消失了，整條曲線與對角線老死不相往來，導致沒有了不動點。但是從任一數作為起點，迭代還是可以繼續做的。問題是這時迭代點的軌道何去何從？

上面只對底大於1的指數函數的迭代分析給出了提示。當底a大於零但小於1時，指數函數 y = ax 的圖像和對角線總是隻有一個交點，即函數有且僅有一個不動點。從任一其他點出發的迭代點軌道會趨向於它嗎？如果我們仔細地研究這個問題，就會發現初等微分學更加神奇的作用，它將把我們引入週期軌道的範疇，並再次領略“分支圖”的風光。這時光研究指數函數本身可能就不夠了，還要研究它和自身的複合函數，其當底a等於0.1時，圖像為

時，該條曲線連續變形到下面的形狀：在曲線與對角線的交點 (1/e，1/e) 處，對角線也是曲線在該點的切線。此外，曲線在切點的左側是“向上彎”的，而在右側是“向下彎”的，所以這個切點是一個我們駕車在高速公路上常常遇到的“拐點”。它的存在決定了當底 a 變得比

 更小時，比如説 a = 0.03，函數 f(x) = ax 和它自己的複合函數 g(x) = f(f(x)) 的圖像就像蛇扭動身體一樣地扭曲成如下有點像“S”的形狀，於是與對角線的交點增加到3個。

圖中遞減的曲線表示函數 f(x) = ax，其中a=0.03。扭曲的S形狀曲線表示複合函數 g(x) = f(f(x))。

這樣指數函數 f(x) = ax 除了不動點 x* 外，產生了一個週期為2的軌道

。如此這般，我們就能想象和猜測其他點出發的軌道最終的走法如何。

解決了上述問題，對之前“歐拉迭代指數列”收斂與否問題的解答，只是一個推論而已。研究這類具體帶參數函數迭代問題的過程，需要代數知識的融會貫通和精巧的微積分技術，以及一顆善於思考的頭顱。對其他有啓發性的類似問題，其幾何直觀性與分析嚴密性相輔相成，可以引導學生吸收“離散動力系統”這門現代數學分支的基本思想。如果會高屋建瓴地應用初等代數與初等微分學的基本概念和精巧知識，就能進行深入而卓有成效的探討，而這對於出類拔萃的高中生，並非是可望而不可即的難事。須知，離散動力系統裏的最有名定理之一——“李-約克混沌定理”，其證明中所用到的主要工具僅僅是初等微積分中的“介值定理”。我們對於天才學生的教育理念，一定要跳出“循規蹈矩”的鎖鏈，不拘一格地設計出別具一格的“提高班教材”。

可見，與“活潑”的函數“約會”要比與“文靜”的函數“廝守”好玩有趣多了！這就是現代數學“下放”後的一枚碩果。

靜態與動態的幾何

平面幾何可以説是中學階段最重要的一門數學課程。我們從中學會了怎樣由公理、公設、定義等數學概念出發，演繹出一大批關於三角形和圓等幾何對象的命題。平面幾何是中學生訓練思維的大腦體操。如果沒有學會推理的本領，進了大學大概難以學通《數學分析》這一每個定理都需要嚴格證明的數學系難課，更不要説更難的《實變函數論》了。

改變美國曆史進程的偉大總統林肯當律師時，為了訓練自己分析案件邏輯推理的能力，精讀了歐幾里得的《幾何原本》。這個美國曆史上最後一個沒有大學文憑的總統，他數學推理的本事很可能比後來那些有博士學位的總統更強。

但是在我們中學所學的初等幾何中，給定的幾何圖形是固定的，故平面幾何也可被稱為“靜態幾何”。

世界是隨時間的變化而處在不斷的運動之中，因此數學園地中的一大塊地盤就是要研究隨時間而變化的模式、結構或數量。一切數學對象的變化都可被視為時間的函數。如果限制在幾何對象的變化，那麼根據某種法則將一個幾何圖形變成另一個同類圖形，而讓時間演進直至無窮，探究這些圖形某些性質的最終性態，是動力系統的一門子學科動力幾何的任務。有能力的高中生學習了平面幾何後，可以進一步研究迭代三角形或多邊形，檢視它們的最終形狀或其他方面的走向，幫助建立起現代數學中的新觀念、新思維。

我們考察下面這個三角形迭代的問題：取一個任意的三角形A0B0C0，作它的內切圓，則三個切點確定一個新的三角形A1B1C1。然後對這個三角形做同樣的事，即作它的內切圓，得到的三個切點確定下一個三角形A2B2C2。這個過程週而復始，可以一次次不停頓地迭代下去，就得到一個迭代三角形的序列 { AnBnCn }。很顯然，它們的尺寸越來越小，最後將趨向於一個點。但是我們問下面這個問題：這些三角形的形狀最終會是怎樣呢？假如最終形狀是可確定的，它會依賴於第一個三角形的形狀嗎？

我們再舉一個例子。任取一個三角形A0B0C0，作它的內切圓，連接圓心與三頂點A0、B0、C0的三條線段與圓依次相交於A1、B1、C1，它們形成一個新的三角形A1B1C1。然後對後者做同樣的事，並一次次地迭代下去。試問這些三角形最終的形狀走向是什麼？和前一個例子有何共同或相異之處？

對上述兩個離散動力幾何的例子，平面幾何的四點共圓定理和初等代數里的等比數列等內容，加上極限的概念，就能求出問題的解。但是這也給出一個契機，讓優秀學生接觸到非負矩陣的 Perron-Frobenius 理論。這個以一百餘年前的兩位德國數學家的名字命名的理論，一般卻不出現在大學本科的《線性代數》教材中。在一些矩陣理論的大書裏，如 Roger Horn 和 Charles Johnson 的名著 Matrix Analysis（《矩陣分析》），往往也只放在最後的一章。非負矩陣是一類特殊的矩陣，但用途要説多大就有多大。比如説谷歌的創始人Larry Page和Sergey Brin在二十年前引進了“谷歌矩陣”這個全世界最大的矩陣，它就是非負矩陣，即矩陣的每個元素都是非負數。他們運用Perron-Frobenius定理，計算了“網頁排序”這個關鍵的非負向量。今天全世界的網民都是這個向量的受益者。

非負矩陣的初等理論就能毫不費力地回答上述兩個關於三角形迭代序列的終結形狀問題。但是這個理論對下一個更有趣、導向現代數學分支“分形理論”的“垂足三角形”迭代問題，卻“束手無策”。

任取一個三角形A0B0C0，由各頂點作其對邊的垂線，其對應的三個垂足A1、B1、C1形成一個新的三角形A1B1C1，稱之為原三角形所對應的垂足三角形。然後週而復始一次次地迭代下去。所產生的垂足三角形序列具有怎樣的最終形狀呢？問題的解答會和前面的類似嗎？

自然，歐幾里得幾何的知識依然有用，由此可以找到一個三角形和它對應的垂足三角形的三個內角和三條邊之間的關係。這些關係引出了垂足三角形迭代的許多有趣現象，包括所對應的“垂足三角形映射”的週期性、混沌性和遍歷性。“靜態幾何 + 迭代”思想真的可以導致許多令人銷魂的新發現！

動力幾何的這些看似簡單的問題，許多大數學家都探討過，包括一百年前劍橋大學數學教授Ernest Hobson（1856-1933；他研究了垂足三角形）、愛爾蘭數學家John Synge （1897-1995；他是郭永懷、林家翹、錢偉長的碩士論文導師和後者的博士論文導師；他研究了垂足三角形映射的週期點問題）、美國哥倫比亞大學數學教授Edward Kasner（1878-1955；谷歌的取名靈感來自他和侄子的聊天曆史）、第一屆菲爾茲獎獲得者Jesse Douglas （1897-1965）、樣條函數之父I. Schoenberg（1903-1990）、美國布朗大學應用數學教授Phillip Davis（1923-2018）、柯朗數學科學研究所的阿貝爾獎得主Peter Lax（1926-；他研究了垂足三角形映射的遍歷性質），以及中國科學技術大學的常庚哲教授（1936-2018）。它們和現代數學的分支動力系統及遍歷理論融為一體， 並導向混沌與分形的新發現。例如，下面的基於垂足三角形迭代序列的漂亮圖形被它的構造者張新民教授稱為“Sierpiński垂足三角形”，這是經典的分形“Sierpiński三角形”的自然推廣。

Sierpiński垂足三角形的“分數維數”取決於其外表三角形的內角。當外表三角形為等邊三角形時，對應的分形就是100年前的波蘭數學學派領袖Wacław Sierpiński (1882-1969) 構造的、現以他名字命名的“Sierpiński三角形”。Sierpiński三角形的分數維數是 ln 3/ln 2。那麼，內角為x, y, π-x-y的外表三角形所對應的Sierpiński垂足三角形的分數維數又是什麼呢？以初等微積分為兵器，好奇心極強且又訓練有素的高中生可以披甲上陣了。

總而言之，“怎樣把現代數學的一些思想和理論下放到高中作為初等數學教學的補充和提高”，是十分有現實意義的一項挑戰。對高中生中那些真正具有數學頭腦的學習尖子，怎樣儘早地用現代數學的思想武裝他們的大腦，讓他們儘快走向當代數學的前沿陣地，以及怎樣讓部分優秀的數學教師有能力幫助他們成長，非常值得探索。今夏國家四部委專門發出的通知以及近日李克強總理在國家傑出青年基金會議上的講話，都異口同聲地説出了要把數學事業提升到國家科技發展戰略地位的意向。要實現科技強國的宏偉藍圖，當務之急是要給青少年中的一批好腦袋優渥的教育資源、強大的師資隊伍、先進的教育手段、現代的數學思維，努力讓他們迅速起步，繼而騰飛，翱翔在廣闊無垠的數學蒼穹中。

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