朗蘭茲綱領在一步一步成為數學的大統一理論？_風聞

原文作者：Kevin Hartnett，量子雜誌資深記者。

翻譯作者，e^iπ+1=0，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：風無名

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一代代研究者努力實現他提出的朗蘭茲綱領，以期創造一個大一統的數學理論。

羅伯特·朗蘭茲，作為20世紀提出最富有原創性數學觀點的數學家之一，在2018年的某個早晨，在挪威的慶典上，被授予年阿貝爾獎。這個獎項好比是科學界的諾貝爾獎，是數學界最高榮譽之一。

時年81歲高齡的朗蘭茲，普林斯頓大學高等研究院的退休教授，也是“朗蘭茲綱領”的創造者。這個綱領發掘了現代數學的兩根支柱之間深刻的聯繫：一是數論，主要研究數中的算術關係；另一則是分析，是微積分的高等形式。這兩者間建立起的關係有着廣泛而深遠的意義，幫助數學家回答關於素數性質的世紀難題。

在1967年，朗蘭茲30歲的時候，在一封寄給著名數學家安德烈·韋伊的一封信中，第一次清楚提出他關於綱領的想法。安德烈打開了一封17頁的長信，讀到朗蘭茲謙虛的説辭：“如果你願意將其當作一份純粹的推測，我將非常感激。如果不是的話，我相信你會直接將它丟入手邊的垃圾桶。”

自此，一代代的數學家採取了他的想法並將其拓展。朗蘭茲綱領橫跨了眾多數學領域，以致於常它被人看作是尋求大一統數學理論的工作。

 “我認為從現有的數學歷史發展來看，這無疑是革命性的事件”，多倫多大學的數學家、朗蘭茲曾經的學生詹姆斯·亞瑟説道。

數學家一直對在素數中尋找模式很感興趣，素數即那些只能被1和自身所整除的數。素數就像是數論的原子，並以此為基本單元建立了算術體系。他們有無數多個，並且它們在所有整數中好像是隨機地分佈。為了發現素數的分佈規律（這是著名的黎曼猜想的主題），將其與其他的數學分支聯繫在一起是必要的。這樣看來，素數就像是密碼，只有使用了合適的鑰匙才能讀懂其中吸引人的內容。

“他們看上去像是隨機的偶然事件，當他們和別的數學分支聯繫起來的時候，則顯示出一種極其複雜的結構。”亞瑟説道。

其中一個有關素數結構的問題是，什麼素數可以被表示為兩個完全平方數的和，初始的幾個例子包括：

5等於2²+1²，

13等於3²+2²，以及，

29等於5²+2²。

在17世紀，數論學家發現所有可以被表示為兩個平方數之和的素數都有如下性質：當他們除以4則餘數為1。這個結論開始揭示素數隱藏的規律。而在18世紀晚期，高斯推廣了這一令人驚訝的關係，闡述了將特定的素數（那些可以表示為兩平方數和的素數）與特定的性質（當他們除以4則餘數為1）聯繫起來的互反律。

在朗蘭茲的信件中，他極大地拓展了高斯所發現的互反律。高斯的工作應用於二次方程（二次互反律），就是最高次數不高於2次的方程。朗蘭茲認為素數被編碼在更高維的方程中（比如三次方程和四次方程），而這則與調和分析這個遙遠的數學領域有着千絲萬縷的關係，這是一個誕生於微積分的數學分支，並經常用來解決物理問題。

舉個例子，十九世紀的科學家驚訝地發現當他們通過稜鏡觀察星光，他們沒有得到連續的光譜。相對應的，光譜在不同的地方被黑色譜帶打斷，而這些現在被稱作吸收帶，也就是光在那裏消失的意思。最終科學家認識到消失的光已經被星球中的元素所吸收了。而這個發現成為其他星球與我們星球是由相同物質組成的堅實證據。

同時，光譜帶成為數學家感興趣的對象。那些消失的波長提供了一個序列——消失的光的頻率。數學家可以通過分析來研究這些數，或者可以選擇攻克全新的方程——這些問題在物理學上被提出，靈感卻來自分析和幾何。基於那些新的方程，他們可以研究一個平行於吸收光譜的觀念。

朗蘭茲綱領將多項式方程的素數解與在分析與幾何中研究的微分方程的譜聯繫起來。它斷言這兩者之間存在互反律。而應用這個結論得到的結果是，我們可以獲知哪些數會出現在相應的譜中。

這兩個集合的數不能直接比較，他們都需要從不同的數學對象翻譯過來。具體來説，伽羅華表示（一個基於素數的工具）可以通過自守形式將這些數學對象配對。這些自守形式就包括了相關的譜。

在朗蘭茲綱領上工作的當代數學家們，正在試圖證明這個關係以及相關的猜想。同時，他們利用朗蘭茲式建立聯繫的方法去解決那些其它方法看起來無法解決的問題。最值得慶賀的結果應該是安德魯懷爾斯在1995年的關於費馬大定理的證明。懷爾斯的證明部分地依賴於朗蘭茲數十年前預測的在數論和分析上的關係的類型。

朗蘭茲綱領這些年已經被相當廣泛地推廣了。而當你把所有創造出來的複雜原理（它們被創造出來是為了實現朗蘭茲的遠見）都推開去，你發現，這整個的宏大的事業，仍舊是由一些最基本的數學的關切所驅動的。

“理解那些出現在方程中的素數的性質，等同於在算術世界中完成一個基本分類”，亞瑟説道。

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