大師的數學啓蒙書 | 展卷_風聞

**撰文 |**林開亮

來源 | 《數學文化》第4卷第4期，pp. 93-100

最近，有位高人給筆者推薦了台灣大學物理系教授高湧泉先生的文章《啓蒙書》4，該文講述了英國物理學家金斯（James Jeans）的科普書《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）對楊振寧的啓蒙作用，讓筆者聯想到其他科學大師曾經遇到的數學啓蒙書。茲就筆者所瞭解的情況與讀者分享這些已成為歷史的小秘密。

楊振寧（1922-）

我們仍然從楊振寧先生説起，他是當代最有成就的理論物理學家之一，從某方面來説，他的物理成就與他深厚的數學功底密不可分，這也許是大家並不太瞭解的。楊振寧先生的數學才能一方面是受之於他的數學家父親楊武之，另一方面則是得益於他所接受到的很好的數學啓蒙。例如，英國數學家哈代的《純數學教程》（A Course of Pure Mathematics）就曾給年少的楊振寧以很深的印象。2004 年 5 月 12 日，楊先生在清華大學中文系的無題漫談5中講到 ：

同學們要我舉出對我影響最深的書，一本英文的，一本中文的。這個問題很難回答， 因為世界上書太多了。不過我想可以換一個説法， 推薦幾本有意思的書。先講數學。我在大學一年級的時候，我父親從圖書館借來一本《純數學教程》，這是英國的一個大數學家在二十世紀初寫的。我看了這本《純數學教程》之後大開眼界， 什麼緣故呢？因為世界上所有的數學在開始的時候都是教小孩子像 1，2，3，4、小數點、分數這樣出來的，但是，對整個邏輯系統沒有注意。這本書整個方法是從邏輯的系統開始的， 這使得當時十六歲的我忽然瞭解到，數學的結構原來還可以有另外一種看法，這對我是一個很大的啓發。這本書很有名， 相當於大學一二年級數學的程度，可是它吸取了近代數學的精神，對任何一個對數學有興趣的同學我都推薦。

哈代的《純數學教程》，有中譯本

《純數學教程》自 1908 年問世以來，在 1914-1952年不到四十年的時間裏重版九次，僅第九版就三次重印，而 1952 年的第十版先後重印七次。2008 年，劍橋大學出版社推出了該書的一百週年紀念版，特別邀請劍橋大學的數學教授柯勒（T. W. Körner）寫了前言。值得一提的是，自 1937 年第七版開始，哈代在書中收入了劍橋大學學士榮譽學位考試（Mathematical Tripos）的考題作為練習，對正文提供了極豐富的補充。我們借用柯勒的話來向讀者推薦《純數學教程》：

瞭解哈代 6 就是了解一位對於自身能力有充分認識的數學家，同時他把你作為一個自然的平等對象。希望這本書能帶給你它曾經帶給我那般多的愉悦。

《純數學教程》第一章講的是實數的基本理論，這大概就是令楊振寧年少時最為震驚的一章，對一個習慣了輕鬆閲讀的現代高中生來説，也許會感到枯燥無聊，我們用另一箇中學生的小故事來鼓勵讀者。他就是後來成為了一代數學大師的挪威數學家塞爾伯格，剛好這裏有一張塞爾伯格與楊振寧的合照。

塞爾伯格和楊振寧

塞爾伯格（Atle Selberg, 1917-2007）

1987 年， 印 度 天 才 數 學 家 拉 馬 努 金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）誕辰一百週年，數論專家塞爾伯格應邀在紀念活動上做了講話7，回憶起拉馬努金的著作對他的影響 ：

拉馬努金的著作對於我成為一個數學家起了十分重要的作用。我第一次見到他的名字是在 1934 年。那時，我見到刊登在《挪威數學會期刊》上的一篇文章。我父親訂閲這種期刊。文章的名字（從挪威文翻譯過來）是“印度人斯里尼瓦薩 • 拉馬努金——一個非凡的數學天才”。但是我要補充説明一句，在挪威語與英語之間是不存在一一對應的。此處被我譯成“非凡的”那個挪威詞的原意是“不尋常而且有點奇怪的”。文章是奧斯陸大學的一位數學教授寫的，他的名字叫斯托摩（Carl Störmer）。他年輕時就對數論開始感興趣，後來轉而研究北極光的數學領域，而且在該領域頗有聲望，但仍然保持了對（純）數學的愛好。

那篇文章主要選材於 1927 年劍橋大學出版社出 版 的《 拉 馬 努 金 論 文 集 》（Collected Papers of Srinivasa Ramanujan）中的一篇傳記 8。文中概述了拉馬努金的一生，並且引證了他相當多的結果和例子。在我看來，那都是極為神奇、美妙而驚人的公式。如果我沒記錯的話，那篇文章大約有十五頁到二十頁的光景。然而，它卻在我腦海中留下了深刻而持久的印象，對我有極大的魔力。

當時，我還是一箇中學生，已經自修了幾年數學，不過毫無系統性，也沒什麼計劃。所讀的書是從我父親的圖書館中找到的。以私人藏書而言，這個圖書館是夠大的。

這裏我要説幾句題外話，因為這反映出機遇在人的一生中起着何等重要——是難以估量——的作用。我大約在十三歲開始讀數學。當時，我偶然打開一本書，就看見了關於 π/4 的萊布尼茲公式（Leibniz’s formula）：

它由奇數的倒數加正負號交錯變化構成。在此之前，學校課堂上的數學一直令我乏味，但是這個式子看起來不僅奇怪而且漂亮，因此我下決心要讀一讀這本書，以便知道這個式子是怎樣得到的。

現在回想起來，很令人吃驚的是，我居然讀完了這本書 ；考慮到這本書的開篇是討論實數的概念以及戴德金分割（Dedekind cuts）的很長的一章，這實在不是一個吸引人的開頭。

無論如何，在我讀到關於拉馬努金的文章之前，我就已經決定投身於數學，但究竟是搞哪一類數學還不清楚。我覺得那時我想得最多的是搞解析函數的一般理論，是像奈望林奈理論（Nevanlinna’s theory）那樣的東西。這在當時是非常前沿的課題，而且我的大哥已經開始做這方面的研究了。他是大學裏的研究員。我的另一個哥哥，已經在數學系讀了幾年書，他也讀了關於拉馬努金的這篇文章，所以從大學圖書館借了《拉馬努金論文集》，假期時他把這本書帶回家。

於是，我就有了一個機會，用幾周的時間瀏覽了全書。這簡直像是在發現新大陸 ；一個新的世界展現在我面前。我要説，與我此前所讀的書完全不同，這本書極大地喚起了我的想象力。而且，坦率地説，直到現在我仍然感到非常激動，那時感受到的神秘氣氛至今猶存。正是這本書給予我自發研究數學的動力。我開始獨自在通常稱之為 q-  級數和與之相關的恆等式方面進行探究。

華羅庚（1910-1985）

華羅庚是自學成才的大數學家，據他的傳記作者王元與楊德莊講，他初中畢業後在家自學，“所能見到的數學書籍只有一本《大代數》，一本《解析幾何》，以及一本約 50 頁的《微積分》。此外還有兩本與數學有點關係的雜誌《科學》與《學藝》。”這些書也許就是華先生的啓蒙讀物吧，但這些書對華先生的影響應該僅僅停留在起步階段，其水準也許都不及目前高中數學教學大綱的要求。對於職業數學家的成長而言，更重要的一類啓蒙書是那些激發了其研究而不僅僅是學習興趣的著作。由於品味與風格各異，每個數學家遇到的研究啓蒙讀物也各不相同。塞爾伯格告訴我們，開啓了他的數學研究之路的是拉馬努金的數學論文集，那麼，真正啓迪了華先生刻苦鑽研數學的又是哪些書呢？對此，他的弟子徐利治9曾有記載 ：

華先生很重視做學問需要有“看家本領”。所謂看家本領指的是做科研時必不可少的最基本而有用的本事。據他所説，他的紮實的看家本領主要來源於三部經典著作。一是克里斯托爾（G. Chrystal）的兩卷《代數學》，二是朗道的三大卷《數論教程》，三是特恩波爾（W. H. Turnbull）與艾德肯（A. C. Aitken）合著的《矩陣標準型引論》他説，《代數學》使他學會了計算技巧，《數論教程》使他獲得了從事數學研究的分析功底，而《矩陣標準型引論》雖是一本薄薄的書，卻是幫助他後來完成矩陣幾何和複分析豐碩研究成果的基本工具。

也許可以説，華先生進入近代數學之門主要是靠這三本書的引導。對於這三本書的作者，我們簡單瞭解一下。克里斯托爾是英國人，是十九世紀的大物理學家麥克斯韋（J. C. Maxwell）的學生，而他本人的一個得意門生則是二十世紀抽象代數的先驅之一韋德布恩（J. H. M. Wedderburn）。朗道是德國數學家，他的書寫得非常濃縮，幾乎全是歐幾里得風格的“定義—定理—證明”的模式。特恩波爾與艾德肯都是英國人，特恩波爾有一個名叫威廉森（J. Williamson）的學生，對矩陣論貢獻很大；艾德肯是統計學家，《矩陣標準型引論》也曾被許寶騄用作矩陣論教材。

此外，還有一本書對華羅庚影響深遠，這就是外爾的《典型羣》（The Classical Groups），這一點是他的學生馮克勤10透露的 ：

華羅庚在討論班和日常談話中有許多觀點是大家熟知的，例如他把“班門弄斧”反其道而行之，主張“弄斧一定到班門”，即研究工作一定要與大師交手，才會有所提高。他主張讀書要“從薄變厚，再從厚變薄”，並舉例説他花了兩年的功夫念外爾的《典型羣》，終於懂了其中的精髓。我們在他的著作《多復變數函數論中的典型域的調和分析》中看到他是如何把羣表示加以消化，用自己獨特的矩陣技巧表達出來。

陳省身（1911-2004）

比起華羅庚來，陳省身所接受的教育要正規得多。據他在《數學陶冶我一生》11中講，他 1923-1926 年在天津扶輪中學的四年高中的數學課程有 ：第一年，算術，使用中文課本；第二年，代數，使用霍爾（Hall）與奈特（Knight）的課本 ；第三年，幾何，使用文特沃思（Wentworth）與史密斯（Smith）的課本；第四年，三角學和高等代數，分別使用文特沃思與史密斯及霍爾與奈特的課本。陳先生特別提到了霍爾與奈特的《高等代數》（Higher Algebra）12：

我的老師都很有能力，又極富有奉獻精神，我做了大量習題。到第四年，我已能做霍爾與奈特《高等代數》書中引用的劍橋大學榮譽學位考試的許多題目。

在其他場合，陳先生提到了該書對他的影響 9 ：

陳省身先生跟人講過，他搞幾何之所以會比美國的幾何學家高明一點，就是與他年輕時學過霍爾與奈特合著的《高等代數》有關係。而美國的不少幾何學家青少年時代都沒有受過計算技巧方面很好的訓練。

在 南 開 大 學 時 代（1926-1930）， 陳 省 身 在 姜立夫教授的指引下讀了一些幾何著作，例如庫裏奇（Coolidge）的《非歐幾何學》與《圓與球的幾何學》，薩蒙（Salmon）的《圓錐曲線》與《立體解析幾何》，以及卡斯泰爾諾沃（Castelnuovo）的《解析幾何與射影幾何》等。尤其使他着迷的是奧托 • 施陶德（Otto Staude）的二卷本著作《線構造》。

此外，陳省身還讀了（至少是瀏覽了）一些大數學家的論文集，他在為英國數學家阿蒂亞（M. F. Atiyah）的論文集的中國影印版所作的序言中寫道 ：

我將建議我的中國同行和學生將這部論文集視為一套高級的“課本”。不論一個新的論述如何細化或改進，關於某個課題的原始文章通常更直接而切中要害。我年少時，曾從閲讀龐加萊、希爾伯特、克萊因、胡爾維茲（Adolf Hurwitz）等名家的作品的建議中受益，後來我更加深入地閲讀了布拉施克（Wilhelm Blaschke）、埃利 • 嘉當（Élie Cartan）和霍普夫（Heinz Hopf）的論文。這也與中國的傳統相通 ：古人被要求熟讀孔門經典、韓愈的散文與杜甫的詩。我真誠地希望，這些論文集不是被束之高閣，而是在年輕的數學家手中被翻爛。

龐加萊、希爾伯特、克萊因自不必説了，這是十九世紀下半葉數學界的領袖。至於胡爾維茲，聲名也許不及前三位那麼顯赫，但他的工作是極其優美的，就連被譽為“數學界的莫扎特”的塞爾（J. P. Serre）都為之擊節。特別要提到的是後三位 ：布拉施克、埃利 • 嘉當和霍普夫。1931 年，陳省身成為清華大學的研究生，師從孫光遠先生。1932 年，德國幾何學家布拉施克應邀來北大開設“微分幾何中的拓撲問題”的系列講座，這使陳省身眼界大開，他在《數學陶冶我一生》一文中曾寫道 ：

在我的研究生學業臨近結束時，即 1934 年左右，我開始認識到整體微分幾何（當時稱為大範圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來自布拉施克的關於微分幾何的那些著作。 

布拉施克關於微分幾何的那些著作為什麼特別吸引陳省身，以至於他後來竟去了德國漢堡（既不是英國或美國，也不是作為數學麥加的哥廷根）追隨布拉施克念博士呢？2004 年 9 月 3 日，陳先生在事隔 70 年之後回到清華母校所作的公開演講《我的數學經歷》13中透漏了原因 ：

……高斯 - 博內公式（Gauss-Bonnet formula），我發現這是曲面論最要緊的一個公式，可是一般的微分幾何書都不講。原因很簡單，因為對這個公式的真正討論需要一點拓撲的觀點。大概大家覺得微分幾何這個程度的人在拓撲方面會有困難，所以所有的書都不講這個高斯 - 博內公式。我也看了許多別的書，唯一的一本講到高斯 - 博內公式的，就是布拉施克的一本書，雖然是德文（當時我已經能看一點德文），它有一整章討論這個公式。

1934 年陳省身赴漢堡師從布拉施克，1936 年博士畢業之後去法國巴黎追隨埃利 • 嘉當做博士後。至於嘉當對陳省身的影響（只要想一想，埃利 • 嘉當的論文陳省身讀了十之七八）則幾乎是眾人皆知的了，恰如韋伊（A. Weil）所説 ：“在微分幾何領域，我相信將來的史學家一定會將陳省身看作是埃利·嘉噹噹之無愧的繼承人。”根據筆者瞭解的情況，霍普夫對陳省身的影響至少有兩點 ：第一，他從霍普夫那裏瞭解到，將二維的高斯 - 博內公式推廣到高維是“微分幾何最重要和最困難的問題”；第二，據比利時數學家呂埃爾（D. Ruelle）14透露，陳省身曾跟他提起，當他早年唸到霍普夫關於球叢的工作時，他感覺到置身於當時數學的前沿 ；他也能夠開展原創性工作了。

周煒良（1911-1995）

周煒良1911年出生於前清一個貴族家庭，受家庭條件影響，他在中國從沒有進過學校。五歲時由一個老先生教他標準的中國典籍，十一歲時開始學習讀寫英文。他發現能讀懂英文的一個好處是，可以接觸到幾乎任何想學習的知識，他找來美國一些課程的常用課本，在十三歲到十五歲之間，自學了數學、物理、化學、歷史、經濟等各門課程。周煒良最終説服父親送他到美國唸書。周煒良 1929 年進入芝加哥大學，最初攻讀經濟學，後來改唸物理。1930 年當他大學畢業（一年就畢業了！）時，偶然讀到了哈代的《純數學教程》一書，這本書為他敞開了通向數學的大門。1932年暑假，周煒良在芝加哥大學修過一門近世代數，用的是範德瓦爾登當時新出的教材《近世代數》，那本書的優雅簡明風格給他留下來深刻的印象。1932年10月，周煒良來到數學聖地哥廷根，原本打算追隨外爾學習數學，結果 1933 年初納粹掌控了哥廷根，外爾和其他猶太裔教授如柯朗（R. Courant）與諾特（E. Noether）紛紛離開了哥廷根，這個令他嚮往的數學中心頃刻變得徒有虛名。當週煒良得知範德瓦爾登在萊比錫大學時，他就慕名去了那裏。結果，範德瓦爾登將他引到了代數幾何領域，周煒良最終也成為了範德瓦爾登最得意的門生。周煒良曾這樣回憶恩師15：

範德瓦爾登具有用相當簡單的言語解釋很複雜的數學理論的非凡能力，這使我感到只要願意學習，在數學上缺乏某些重要學科的知識並不重要。這是我人生中第一次開始感到，我學習數學的選擇是正確的。

《近世代數》，有中譯本《代數學》

範 德 瓦 爾 登 的《 近 世 代 數 》 是 基 於 阿 廷（E. Artin）和諾特的講義，其影響是眾所周知的，例如法國的布爾巴基學派出版的著作就以之為典範。在西南聯大時，華羅庚曾參考此書講授抽象代數。後來被國人翻譯為中文。當代數論大家泰特（John Tate）在為相冊《數學家》寫的自述中也特別提到了範德瓦爾登的《近世代數》對他的影響16。

懷爾斯（Andrew Wiles，1953-）

現居普林斯頓的英國數學家懷爾斯以證明懸疑358年之久的費馬大定理而名噪一時。引領他入數論之門的書中有一本是哈代與賴特（E. M. Wright）合著的《數論導引》。與《純數學教程》一樣，該書自1938 年出版以後也多次重版。2008年，牛津大學出版社出版了經希斯 - 布朗（D. R. Heath-Brown）與希爾弗曼（J. H. Silverman）修訂的第六版（添加了一章橢圓曲線的內容）。懷爾斯應邀作序，回憶起該書當年對他的啓蒙17：

我非常幸運地受教於一位研究過數論的中學數學老師。在他的建議下，我搞到一本絕妙的書——哈代與賴特合著的第四版《數論導引》。這本書與達文波特（Harold Davenport）的《高等算術》一起，成為引導我進入這一領域的至愛書籍。通過搜索這部《數論導引》來尋找有關費馬大定理的線索，我第一次領略到數論真正的廣博無限。

柯勒在哈代的《純數學教程》的百週年紀念版前言中曾特別提到了《數論導引》：

哈代還寫出了其它一些經典著作，有的是與他人合作完成的。其中最著名的大概就是他與李特爾伍德（J. E. Littlewood）和波利亞（G. Pólya）合著的《不等式》（Inequalities）18  。在這部書裏，三位作者如同魔術師一般，對不等式這一處於分析的中心地位但似乎無法組織的主題提供了一種有條理的見解。

哈代的《一個數學家的辯白》既是一本優秀的數學著作，也是一本出色的文學作品，作為一位純粹數學家對其一生的反思，它至今仍是無與倫比的。它也是知識分子在遭受嚴重威脅的那個時代對於理性和自由生活的辯護書。

然而，依我之見，他最引人入勝的著作還是（與賴特合作的）《數論導引》。如果我只能選擇一本書帶到一個荒島上去，要是我還有獲救返回的希望，我會選擇濟格蒙德（A. Zygmund）的《三角級數》（Trigonometric Series）；要是我知道餘生只能在孤島上度過，我會選擇哈代和賴特的《數論導引》。

柯勒的話讓我們想起《數論導引》的中文版譯者張明堯教授的一段譯者序言 ： 

希望這本書中文版的出版能夠對中國未來年輕的數論愛好者有相當的幫助和教益。譯者中的一位長者——一個在差不多四十年前黑暗的“wenhua大革命”時期生活在充滿階級鬥爭氛圍中、看不到前途和光明、由於無法實現自己的人生價值而痛苦掙扎的青年，正是靠着這本著作和其它數學著作的指引，才找到了思想的樂趣，擺脱了人生的苦惱，最終走上了學習和研究數論的人生旅程。

戴森（Freeman Dyson, 1923-）

現居普林斯頓的數學物理學家戴森在年少時也下功夫讀了哈代和賴特的《數論導引》，他嘗試證明書上的每一個定理。要知道全書共 400 多個定理，而戴森當時還只有 14 歲！這本書激發了戴森對數論的興趣，並將他引向拉馬努金關於劃分的工作。戴森後來雖然從英國移民到美國，從數學轉向了物理，併成為了普林斯頓高等研究院的終身教授，但他一直保持着對數論的興趣，例如，2012 年，將近九十歲高齡的戴森還發表了一篇題為“劃分與巨正則系綜”的論文。這不禁讓我們想起兩千多年以前的大詩人屈原在《涉江》裏的一句話 ：“餘幼好此奇服兮，年既老而不衰。”

不過，正如最初引發了十歲的懷爾斯攻克費馬大定理夢想的是貝爾的《最後的問題》，最初激發了年少的戴森的數學家抱負的也是貝爾的一本科普書 ：《數學精英》（Men of Mathematics）19。戴森曾回憶道 20 ：

十四歲時我讀了貝爾的《數學精英》。該書收錄了許多偉大數學家的傳奇故事。貝爾是加州理工學院的教授，同時也是一位很有天賦的作家。他富有權威地向讀者介紹了數學界的精英。他懂得如何去打動情感敏鋭的青少年的心絃。貝爾的書造就了整整一代年輕的數學家。儘管書中許多細節與事實不符，但主要情節是真實的。他筆下的數學家是有血有肉的人，他們也會做錯事，也有缺點。數學儼然成了各種各樣的人都可涉足的魔法王國。該書傳遞給年輕讀者的信息是 ：“如果他們能做到，為什麼你不能呢？”

但應該指出（見20），引導戴森走上科學研究與寫作之路的首要作品是哈代的《數論導引》和《一個數學家的辯白》。戴森本人亦有一本優美的自傳問世 ：《宇宙波瀾》（Disturbing the Universe）。21

插話 ：貝爾與《數學精英》

《數學精英》，有中譯本《數學大師：從芝諾到龐加萊》

貝爾的《數學精英》值得各位讀者特別關注，打一個不恰當的比喻，它在數學史上的地位，有似於司馬遷的《史記》在中國歷史中的地位。《數學精英》以人物為主線，描寫了古往今來的三四十位大數學家，例如阿基米德、牛頓、高斯、黎曼、龐加萊等。回想起司馬遷寫《史記》，編排十二本紀、三十世家、七十列傳，也是以人物為靈魂。倘若貝爾當年能夠通過他在加州理工學院的博士生周培源瞭解到《史記》，他一定會將太史公奉為鼻祖。雖然貝爾並沒有按等級將數學家按“本紀”、“世家”、“列傳”明確分級，但他在書中表達了對三位數學家的最高評價 ：

在後期希臘人和中世紀的阿拉伯人中，阿基米德似乎贏得了如同十七、十八世紀牛頓和十九、二十世紀高斯在他們的同代人和追隨者中所贏得的同樣的敬畏和尊崇。

阿基米德、牛頓、高斯這三個人，在古往今來的所有大數學家中自成一個等級。也許這就是數學史中可以載入“本紀”的三個人吧！從這本書你可以瞭解到，有各種各樣的數學家，例如作為“幾何學中的哥白尼”的羅巴切夫斯基、“天才與貧窮”的阿貝爾、“天才與愚蠢”的伽羅瓦、具有“真誠的心靈”的黎曼。還有些篇目則是用對照的寫法同時寫兩個數學家，例如享有“不變量的孿生兄弟”之稱的凱萊（Cayley）與西爾維斯特（Sylvester）；“大師與弟子”則用以敍説歷史上最傳奇的一對師徒 ：德國數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）和他的俄國女弟子科瓦列夫斯卡婭（Kovalevskaya）22。注意到在《史記》中也有許多篇目（如“廉頗藺相如列傳”）採用了這種對照的寫法。此外，也有人説《史記》的文學價值（“無韻之離騷”蓋過了其史學價值（“史家之絕唱”），這個評論對《數學精英》也許亦然。在《數學精英》的諸多讀者中，最浪漫的一位要屬貝爾在加州理工學院的數學家同事博嫩布魯斯特（H. F. Bohnenblust），他與愛妻（非數學家）度蜜月時曾為她朗讀其中的篇章。

貝爾的《數學精英》開創了數學史寫作的新方式，很多人開始仿效貝爾的風格寫數學史，其中卓有成就的是瑞德（Constance Reid），她是朱莉婭 • 羅賓遜的胞妹（恰如楊振寧年少時曾給弟弟妹妹讀《數學精英》一樣，朱莉婭也曾給妹妹瑞德讀同一本書），以四本數學家傳記著作（前三本皆有中譯本）而聞名 ：《希爾伯特》、《庫朗 ：一位數學家的雙城記》、《奈曼》、《朱莉婭——遨遊數學的一生》。瑞德還追蹤攝影訪問貝爾的後人和同事，寫了一本《追尋貝爾》，對身兼數學家與詩人雙重身份的貝爾感興趣的讀者可參考此書。考慮到貝爾的詩人身份（John Taine 是他的筆名），可以猜出，他也許對魏爾斯特拉斯情有獨鍾，因為他在“大師與弟子”的結尾特別引用了魏爾斯特拉斯的話來為追求完美的數學家作辯解 ：

那麼，與我們同為人類的數學家為什麼要一味學究式地苛求精確，不近人情地追求完美呢？正如魏爾斯特拉斯所言 ：“的確，一個沒有幾分詩人才氣的數學家決不會成為一個完整的數學家”。這就是答案 ：恰恰是因為數學家追求詩一樣的完美，所以他才永遠不能臻至絕對完美。

結語

本文主要是介紹一些大數學家、科學家的數學啓蒙讀物，它山之石可以攻玉，也許年輕人可以借鑑。當然，每個作者有他獨有的風格，每個讀者也自有他天生的品味，唯有當這兩者“性相近”時才能引起讀者的共鳴，讓讀者吸收相當的能量從基態（也可以稱為惰性態）躍遷到激發態。當筆者念大一時，老師提起過的唯一印象深刻的課外書是吉米多維奇（B. P. Demidovich）的《數學分析習題集》，翻開那本書，我只想閉上眼睛。幸而圖書館裏收藏有許多其它風格的書——這裏要特別推薦的是柯朗與羅賓（H. Robbins）合著的《數學是什麼》23、拉德梅徹（Hans Rademacher）與託普利茲（Otto Topelitz）合著的《數學欣賞》以及波利亞的《怎樣解題》、《數學與猜想》、《數學的發現》等中譯本——是願意去讀的，不然今天我不至於還在繼續學習數學。也許，我們在中學的圖書館就有必要展示給學生各種各樣的有趣的數學書，正如塞爾伯格在印度科學院院刊《共鳴》（Resonance）發表的文章中所熱切呼籲的7：

還有一件事情我想也很重要，即中學數學的狀況如何。我曾經跟很多已經成名的數學家談論起他們在中學所學的數學。他們中的大多數並未從中得到特別的鼓舞，而是自學自己偶然碰到的、或者以某種方式得到的課外讀物。我本人就是一例。我認為，對中學數學的內容一定要重新斟酌，應該增加一些涉及如何發現並且激動人心的內容。我發現，在中學裏，數學教學趕不上其它科學的教學，後者通常能很好地完成教學任務並給學生以從事發現的興奮之感。除了中學的教學之外，我認為要培養出未來的拉馬努金，**很重要的一件事情是，公共圖書館應當藏有相當數量的數學書籍，以便鼓舞那些希望在學校課程之外發現一些新東西的人，使他們產生興趣。**這是為了更容易地培養未來的拉馬努金所能做的一件重要的事情。

拉馬努金的傳奇固然不可複製，但我們應該儘可能地提供一些機會，讓青少年接觸到各種風格的有趣的數學書，讓他們在較早的階段獲得啓蒙。唸書時如果能有幸經歷像哈代讀若當的《分析教程》那樣的感受，也許就算是上路了吧！

致謝 

感謝楊振寧先生為作者提供了他與塞爾伯格2006 年於普林斯頓高等研究所公共休息室的合影。感謝德國比勒費爾德大學數學系的歐陽順湘老師，與他的交流讓我獲益匪淺，事實上，他的文章啓發了作者籌劃本文。重慶大學數學院邵紅亮老師、中央民族大學數學系王兢老師、清華大學數學科學中心的張超博士後、首都師範大學數學院趙潔博士對初稿提出了諸多建議，特表感謝！

腳註

1 有兩個中譯本：王希勇譯，商務印書館，2007 年；也被收入李文林、戴宗鐸、高嶸編譯的哈代的非專業論文集《一個數學家的辯白》，大連理工大學出版社，2009 年。

2 有英譯本，Lectures on the Theory of Algebraic Numbers, GTM叢書第 77 號；有根據英譯本的中譯本，《代數數理論講義》王元譯，科學出版社，2005 年。王元先生在譯後記中也對該書讚譽有加。

3 N. A. Baas, C. F. Skau, The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics. Bull. Amer. Math. Soc., 45(2008), No.   4: 617-649. 中譯文，數的主人 Atle Selberg 的生活與數學，馮緒寧譯，《數學譯林》，第 28 卷（2009 年）第 4 期和第 29 卷（2010年）第 1 期。

4 高湧泉，啓蒙書，《科學人》，2013 年 4 月，第 26 頁。

5 楊振寧，無題漫談——2004 年 5 月 12 日在清華大學中文系的講演，《清華大學學報》，第 19 卷（2004 年）第 4 期。

6 關於哈代，斯諾（C. P. Snow）曾寫過一篇極好的文章，有中譯文，見哈代《一個數學家的辯白》前言；此外也可從卡尼格爾（Robert Kanigel）所著《知無涯者：拉馬努金傳》（有中譯本，胡樂士、齊民友譯，上海世紀出版集團，2008 年）第四章得一瞭解。

7 A. Selberg, Reflections around the Ramanujan centenary. Resonance, 1996,1(12): 81-91. 有中譯文，Ramanujan 百週年誕辰之際的反思，馮緒寧譯，《數學譯林》第 9 卷（1990 年）。

8 當指哈代為拉馬努金寫的訃告，有中譯文，《印度數學家拉馬努金》，收入李文林、戴宗鐸、高嶸編譯的哈代的非專業論文集《一個數學家的辯白》，大連理工大學出版社，2009 年。

9 徐利治，回憶我的老師華羅庚先生——紀念華老誕辰90週年，《數學通報》，2000。

10 馮克勤，我怎樣走向學習代數數論之路，收入張繼平主編《新世紀代數學》，北京大學出版社，2002 年。

11 陳省身，My Mathematical Education. 有中譯文，數學陶冶我一生，《數學譯林》1993 年第 2 期。

12 有中譯本，《 Hall-Knight 大代數》，席小云譯，北京：科學普及出版社，1983-1985 年。

13 陳省身，我的數學經歷，《數學譯林》2004 年第 4 期。

14 D. Ruelle, The Mathematician’s Brain, Princeton University Press, 2007. 中譯本《數學家的大腦》將由上海世紀出版集團出版。

15 周煒良，Shiing-Shen Chern as Friend and Mathematician.  有中譯文，一份永久的感激之情，胡濱譯，收入《紀念陳省身先生文集》，浙江大學出版社，2005 年。

16 M. Cook, Mathematicians——An outer view of the innerworld, Princeton University Press, 2009. 中譯本將由上海世紀出版集團出版，關於該書的一個介紹見《數學文化》第 4 卷（2013 年）第 4 期，87-99。

17 也許我們還應該提及懷爾斯早年所讀到的一本數學科普書，即貝爾（E. T. Bell）的《最後的問題》（The Last Problem），他從那本書裏第一次知道了費馬大定理，多年以後他曾回憶起那一刻他的感受：它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數學家都未能解決它。這裏正擺着我——一個十歲的孩子——就能理解的問題，從那個時刻起，我就知道我永遠不會放棄它。我必須解決它。

18 有中譯本，越民義譯，人民郵電出版社，2008 年。

19 有兩個中譯本：《數學精英》（在 2004 年上海科技教育出版社的再版中更名為《數學大師》），徐源譯，北京，商務印書館，1991 年；井竹君等譯，台北，九章出版社，1998 年。貝爾的《數學精英》頗具影響，在眾多受益的讀者當中，不乏一些卓有成就者，如楊振寧、黃昆、《美麗心靈》的主人公原型納什（J. Nash）、與人合作解決了希爾伯特第十問題的女數學家朱莉婭 • 羅賓遜（Julia Robinson）、泰特等等。

20 林開亮，弗里曼 • 戴森：科學家與作家的一生，《科學文化評論》，第 10 卷（2013 年）第 3 期 , 82-101。

21 有兩個中譯本：陳式蘇等譯，上海科學技術文獻出版社，1982 年；邱顯正譯，北京，三聯書店，1998 年。數學家芒福德（David Mumford）在一次訪談中提到，他所讀過的最好的三本書依次是：弗洛伊德（S. Freud）的 《夢的解析》、戴森的《宇宙波瀾》、哈代與賴特的《數論導引》。

22 據阿諾德（V. I. Arnold）的説法：科瓦列夫斯卡婭雖然是魏爾斯特拉斯的嫡傳弟子，但她的主要成就不是證明、而是推翻老師的觀點。魏爾斯特拉斯希望她證明，固體圍繞一固定點旋轉的問題中不存在新的首次積分，而科瓦列夫斯卡婭嘗試證明這一假定未果，在對其原因進行分析後，她找到了這些積分。

23 關於該書的一個介紹，見歐陽順湘，最美的數學就如文學──普及經典《數學是什麼》的故事與推介，《數學文化》第 3 卷（2012 年）第 3 期，49-65。

本文經授權轉載自微信公眾號“好玩的數學”。

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