欲學相對論需要哪些物理數學的預備知識？| 賢説八道_風聞
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2019-10-28 10:12
**撰文 |**曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
一個作者最不道德的地方是，抄錄許多自己也不懂的（其實不懂不丟人）東西卻予讀者以他很懂的樣子，這讓讀者產生很強的挫折感——讀者會覺得連那個作者都不如，真的是沒臉活了。各種量子力學教科書中對氫原子薛定諤方程解的介紹，就反映作者的道德水平。
相對性首先是一個原則，一句話就可以説清楚。恰恰因為相對性是個原則，相對論涵蓋的物理對象是籠統的、廣泛的，進而它對數學的需求也是廣泛的。雖然相對論和量子力學並稱現代物理兩大支柱，其實相對論的層面要高於量子力學，故有相對論量子力學而沒有量子相對論。相對論的（relativistic）作為前綴可加於諸多特定物理主題上，比如相對論動力學，相對論量子場論，相對論熱力學，等等。至於它所需要的數學，那更是種類繁多，廣義相對論甚至會是數學的生長點。本節開列的相對論預備知識僅是筆者所知的一點淺薄，聊供參考。至於多少預備知識夠用，這取決於欲學相對論者對自己的要求。當然，知識不是單連通的結構，我們永遠不能指望擁有學習一個具體領域的全部預備知識。反覆地、交叉地學，可能是我們智力一般的人所不得不採取的策略，而你需要的是學會樂在其中。
相對論的物理基礎
愛因斯坦的狹義相對論始於1905年，廣義相對論初成於1915年。那個時候，牛頓的引力理論、哈密立頓的動力學理論、光學、電磁學和電-動力學已趨成熟，而這些可看作是理解狹義相對論的物理基礎。運動物體的電-動力學（包括光發射和光吸收）研究是狹義相對論的起源，也是愛因斯坦對奠立量子力學有貢獻的地方。光（子）和電子一直是狹義相對論和量子力學的主角，到了廣義相對論，引力也成為了主角。當外爾將電子和引力當成一對主角時，規範場論就孕育了。廣延物體的動力學，包括（電磁）流體力學和固體力學，是相對論尤其是廣義相對論的基礎，質能關係、能量-動量張量、引力場方程在廣延體系的動力學基礎上才能充分理解。
相對論的數學基礎
多種座標系表示，座標變換，線性代數，矢量分析，微分二次型，微分，變分法，洛倫茲變換，電磁場的張量表示等等，是狹義相對論常用到的數學內容。廣義相對論相對要求高一些，建議讀者熟悉如下一些數學分支或者概念：曲線座標系，非歐幾何，微分幾何（關注曲線、曲面、度規張量、裏奇張量、聯絡、測地線和平行位移等概念），方向導數，微分方程，羣論 （洛倫茲羣，龐加萊羣，李羣與李代數），張量分析 （關注度規張量、曲率張量與能量-動量張量；張量的仿射微分、協變微分與李微分），等等。
值得着重強調的是力學之與變分原理有關的拉格朗日表述（Lagrangian formulation）。由拉格朗日量（密度）出發構造作用量，由最小作用量原理通過變分法獲得系統的動力學方程，即歐拉-拉格朗日方程。這是一個普適性的物理學研究方法。
數理從來是一家。學習相對論為數學-物理一起參詳提供了絕佳的機會，值得我們珍惜。從物理背景出發，牢記其中的物理圖像和物理思想，估計對學習數學和物理非常有用。筆者當年學數學物理方程，老師和教科書都只會簡單地羅列方程的解，絲毫不談問題的來處和解法的來處。等到有一天明白那些著名的微分方程大多不過是在不同座標系下的不同維度的二階微分算符的本徵值問題時，筆者是欲哭無淚。早有人點撥一句，該少讓我受多少年的難為啊。一個作者最不道德的地方是，抄錄許多自己也不懂的（其實不懂不丟人）東西卻予讀者以他很懂的樣子，這讓讀者產生很強的挫折感——讀者會覺得連那個作者都不如，真的是沒臉活了。各種量子力學教科書中對氫原子薛定諤方程解的介紹，就反映作者的道德水平。當我有一天知道其實薛定諤本人，科學家中為數不多的知識分子，維也納大學的數學物理教授，也不會解時，我心裏感到好受多了。薛定諤方程用於氫原子，那解應該是外爾幫忙才得到的。
參考文獻
[1] Arthur S. Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press （1930）.
[2] Anadijiban Das, The Special Theory of Relativity: a Mathematical Exposition, Springer （1993）.
[3] R. K. Sachs, H. Wu, General Relativity for Mathematicians, Springer （2012）.
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