從四大發明説起（四）只要做好事，永遠都不算晚 | 袁嵐峯_風聞

上次我們説到（從四大發明説起（三）點金術的手指 | 袁嵐峯），科學的力量歸根結底在於兩個方法論，邏輯體系和實驗試錯。前者源自歐幾里得幾何學，後者源自文藝復興時的科學家。

這就引出了一個問題，中國古代的科學怎麼樣呢？例如有網友問（https://www.bilibili.com/video/av73381815）：

“很難想象西方古代科學自覺了幾千年和自發幾千年的中國古代科學能旗鼓相當，直到近現代才全面領先！”

基本的回答是：這種想法的前提就錯了。整體上，西方古代的科學比中國高明得多！

這個判斷可能讓許多人非常吃驚。中國古代的科技成就不是有很多領先世界幾百年嗎？

這裏的關鍵在於，分清“科學”和“技術”。中國古代確實有很多領先的科技成就，但其中絕大部分是技術，如四大發明。而在科學方面，整體上遠不如西方。

許多人的第一反應，可能是列舉出許多中國古代的科學成就。其實我一直都在説，這些都很好，都是對人類的重要貢獻。但是你千萬不要覺得説一個東西好，就等於其他東西差。如果你認真瞭解過西方古代的科學，你就會發現他們的成就更高。

最典型的就是數學的公理體系，即數學的基礎。在這方面，歐幾里得的《幾何原本》是一騎絕塵。其他文明都沒有類似的東西，大家都沒思考到這個層次。

 《幾何原本》

公理體系是什麼？學過平面幾何就知道，公理體系是這樣一套思維方法：首先給出若干個定義和公理，這些定義和公理要儘可能的簡單和自明，然後基於這些定義和公理進行推理，推理的結果叫做定理。

真正驚人的是，推理的結果可以完全不是顯而易見的，但它們的可靠程度跟最初的公理相同。回想一下上次講解的“五點共圓”！只要你承認平面幾何的公理，如“兩點確定一條直線”，你就會承認五點共圓，雖然這個結論遠不是直覺可以看出來的。

五點共圓

這是人類歷史上最大的震撼之一：從常識性質的公理出發，可以推出完全超越常識的定理。

事實上，現在所有的數學著作都是這麼寫的：先給出若干個定義和公理，然後進行一步步的推理，證明一個個定理。簡而言之，數學的關鍵在於證明。這是數學著作的標準框架，這個框架是《幾何原本》發明的。中國現代有很多傑出的數學家，如陳省身、華羅庚、陳景潤、張益唐，他們都是在這樣的框架下工作的，他們的成果都是在這樣的框架中證明了新的定理。

現代人對這個框架已經習以為常，好像空氣和水一樣。但是別忘了，這個框架也是需要發明的哦。如果在框架中增加內容是了不起的成就，那麼發明框架是什麼級別呢？

有人可能會問：中國古代的數學成果是怎麼來的？難道中國古代的數學家不會做證明嗎？

答案很有意思。中國古代的數學家做過證明，例如祖沖之和祖𣈶父子推出了球體積公式V = (4π/3)r3。這當然是重要的成就，但問題在於，中國古代數學家沒有從來列出過明確的公理。他們只是從他們認為顯然正確的一些命題，推出另一些命題。

祖沖之

這無論對思維的深度，還是對討論交流，還是對教育傳承，都十分不利。因為，你怎麼知道對這個人顯然的命題，對那個人是不是也顯然呢？數學著作中最令人吐血的説法，莫過於“顯然可得”啊！

在歐幾里得之前，古希臘的數學也是處於這種水平。歐幾里得的偉大貢獻在於，第一次把定義和公理寫得清清楚楚。從此，人類的思維深度就跟以前不可同日而語了，人類文明在宇宙中升級了！而且，任何讀者都可以看懂了，因為道理是完全公開的，不需要任何神秘的領悟或者死記硬背。

另一個重要的後果是，列出公理以後，人們就可以考慮相反的公理。例如對歐幾里得的第五公設“過一條直線外一點有且僅有一條平行線”，就一直有推翻它的種種努力，最後導致了非歐幾何。非歐幾何並不是説歐幾里得幾何是錯的，而是説如果修改一條公理，會得到另外一個自洽的體系。

具體而言，非歐幾何分為兩種。一種説的是：過一條直線外一點可以做兩條平行線。另一種説的是：任何兩條直線都必然相交，不存在平行線。乍看起來它們好像跟現實世界毫無關係，但實際上，把它們看作曲面的幾何就可以方便地理解。兩條平行線的好比馬鞍面上的幾何，沒有平行線的好比球面上的幾何。後來，非歐幾何成了廣義相對論的數學基礎，一個似乎是思維遊戲的東西支撐了描繪物質世界的基本理論。

歐幾里得幾何與非歐幾何

這種研究，對古代的中國人是不可想象的。按照原來的路子走下去，再過一千年中國人也不會去考慮非歐幾何，因為我們一直沒達到歐幾里得幾何的水平。

瞭解了這些背景，再去看中國古代的數學，你就會發現絕大多數都是計算，很少有對關係的證明。

例如，三角形的內角和等於180度。

三角形內角和等於180度

等腰三角形的兩個底角相等。

等腰三角形底角相等

三角形的兩邊之和大於第三邊。

三角形的兩邊之和大於第三邊

兩條直線相交，形成的對頂角相等。

對頂角相等

你覺得這些是常識嗎？但這些命題，中國古人都沒考慮過。你之所以覺得它們是常識，是因為你在初中學過。而它們都出自《幾何原本》，分別是第一篇的第32、第5、第20和第15個命題。所以，“數學的關鍵在於證明”，這件在現代人看來天經地義的事，中國古人是不知道的！

《幾何原本》中還有一些遠遠不是常識的定理，例如第九篇的第20個命題：質數有無窮多個。又如全書的最後一個命題：正多面體有且只有五種。你知道如何證明它們嗎？以後有機會我們再詳細介紹。

五種正多面體

説回中國古代數學中的計算，一個重要的成果是數論中的“中國剩餘定理”。我們會在附錄中解釋這個定理。

中國剩餘定理很了不起，但請仔細想想這個名字：我們聽説過英國某某定理、法國某某定理或者意大利某某定理嗎？沒有。為什麼呢？因為來自這些國家的定理太多了，根本數不過來。所以，中國剩餘定理一方面説明了中國數學有成果，另一方面也説明了中國數學的成果之少。

再舉一個例子，祖沖之把圓周率算到3.1415926是中國古代最著名的數學成果之一。那麼，祖沖之是如何計算的呢？

奇妙的回答來了：不知道！

為什麼會不知道呢？基本的脈絡是：在祖沖之之前，三國時代的劉徽把圓周率計算到3.14，我們知道他用的是“割圓術”。祖沖之是在劉徽的基礎上改進的。但問題在於，如果直接用割圓術，那麼算到第七位的計算量非常巨大，不應該是祖沖之的時代能實現的。所以我們現在只能説，祖沖之用的大概是某種推廣的割圓術，更具體的就不知道了。

劉徽

你也許會問，祖沖之自己難道沒説嗎？

誒，故事的重點來了。祖沖之把自己的做法寫在了一本著作中，這本書叫做《綴術》，曾經被作為官方的數學教材。在所有的官方數學教材中，《綴術》的難度是最高的，學習時間也是最長的。其他的教材只要學兩年，它要學四年。即使這樣，還是大多數學生學不會，結果學着學着就失傳了。

失……傳……了……所以我們現在不知道，祖沖之是如何計算圓周率的。學渣真是誤事啊！（大霧）

這是開個玩笑。真正的問題在於，中國古代數學沒有明確的證明體系，所以很不容易看懂，給教育傳承造成了巨大的困難。

失傳的遠不只是《綴術》，還有很多其他著作。由此造成的一個後果是，中國古代數學的高峯出現在宋元時期，而明朝的數學水平就急轉直下，前人高深的著作幾乎全都沒人能看懂了。這就是我為什麼説，古人的科學發展往往是進一步退兩步。

開玩笑地説，就像看武俠小説的感覺，隨着時代的發展，中國的武功好像越來越退步了。早年用的是降龍十八掌、六脈神劍這種神功，後來卻連點穴都成了高深武功，甚至連扔石灰都出來了！

再説回中國古代的數學計算。你在算一個數量之前，首先要知道它的存在，對不對？如果你壓根沒有某個概念，那麼你當然不可能去計算它。現在，我們就來指出一些中國古人沒想到過的概念。

例如，三角函數。大家回顧一下中學數學課本，講到正弦、餘弦、正切、餘切等三角函數的時候，有沒有提到中國數學家？回答是沒有。中國古代數學家從來沒有想到過三角函數，三角函數是古希臘數學家發明的，因為他們在研究球面幾何。

又如，圓錐曲線。大家回顧一下中學數學課本，講到橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的時候，有沒有提到中國數學家？回答也是沒有。中國古代數學家從來沒有想到過圓錐曲線，事實上他們研究過的唯一的曲線就是圓。而古希臘數學家對圓錐曲線就有很深入的研究，例如歐幾里得和他之後不久的阿波羅尼斯都有專門的圓錐曲線論著。

圓錐曲線

不知道這些概念，會造成什麼後果呢？

例如科學革命的開端之一，是開普勒提出行星運動三定律。第一條定律是：行星沿着橢圓軌道繞太陽運動，太陽在橢圓的一個焦點上。如果你不知道橢圓，那麼你當然不可能發現這條定律。

開普勒第一定律

這又把我們帶到了天文學的比較。限於篇幅，我只在這裏指出一點：中國古代的主流理論都認為大地是平的，從來沒發現大地是個球。

渾天説

而古希臘人從畢達哥拉斯學派開始就意識到了地球是個球，這是他們的主流理論。例如亞里士多德指出，月食是由於地球運行到太陽和月亮之間，而月食時地球在月亮上的投影總是圓的，這説明地球是個球。如果是其他形狀，就不會總是得到圓形的影子。

月食示意圖

是否認識到地球是個球，對於中國和西方後來的命運有重大的影響。哥倫布和麥哲倫的航行，前提就是他們知道地球是個球。而鄭和的航行，並沒有讓中國得到特別大的好處，原因就在於我們不知道自己要幹什麼。

麥哲倫環球航行路線圖

以上，我們簡略地介紹了中國和西方古代數學和天文學的比較。其他領域我瞭解得不是很多，而且在科學發展史上它們都是在數學和天文學之後成熟的，在古代大家都不怎麼樣，所以沒有太多好比的。

有人可能會問：在做這些比較的時候，是不是把世界分為了“中國”和“其他”呢？

其實在這裏可分的，毋寧説是“西方”和“其他”。在古代科學方面，真正特別的是西方，不是中國。是西方出了若干位科學偉人，而不是中國人太愚笨。其實中國的表現已經算是不錯了，比大多數其他文明要強，但沒有本質區別。所以一個形象的比喻是：不是你是學渣，而是班上出了一個學神。

出了個學神是好事還是壞事呢？從全人類的角度看，其實是好事。如果沒有歐幾里得，也許人類到現在都沒發現公理體系。想想看，這樣會有多少科技無法解鎖？人類會被困在什麼樣的水平？所以，我們應該感謝別人的創造力迸發，同時自己努力做出更大的貢獻，這是做人和做事的正道。

關於古代科學的故事還有非常多，我們可以講一個系列。感興趣的朋友們歡迎參加12月7日的觀視頻“答案”年終秀，我在第一個出場，到時歡迎現場提問。

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在這裏我們要説明的只是：就科學而言，西方古代整體上比中國古代高明得多。中國並不是原本領先後來落後了，而是本來就不領先。這種落後並不是無足輕重的，而是造成了嚴重後果，例如錯失大航海的機會。

在我看來，這些都是明顯的事實。但有些人出於各種理由，拼命想否認這些事實。

例如，一位網友的問題就很有代表性

（https://weibo.com/3710258141/Idj8B6lQw?from=page_1005053710258141_profile&wvr=6&mod=weibotime&type=comment）：

“看了袁老師關於科學和技術的視頻，中國古代到底有沒有科技不是最關鍵的，關鍵的是一批文人藉着中國沒有科技而對國民性和民族性進行激烈的批判，這是很可怕的。”

我對此的回答是：國民性原本就是偽問題，你本來不知道科學，學了不就知道了？哪有“你以前不行以後就一定不行”這種國民性？

我必須強調一下，科學最大的好處就是，它是完全普適的，是真正意義的“天行有常，不為堯存，不為桀亡”。科學的道理任何人都可以理解，只要你認真去學。這是科學跟宗教、玄學、巫術等等根本的區別。

科學的方法論是西方首先發現的，但絕不是隻有西方人才能用的。正確的思維是：“這東西太好了，我要趕快用。”而有些人的思維卻是：“用了它我就失去自信了，我一定要説它不好。”

他們認為，講西方的科學成就，就會導致西方中心論。這是非常荒誕的誤解。魯迅的“拿來主義”，才是正確的態度。

真正的自信，應該來自努力向前，而不是諱疾忌醫。我從不忌諱説中國科技的缺點，因為我對它充滿信心。

我們以前自己沒有發現科學的方法論，但這絲毫不妨礙我們現在努力學習科學，發展科學。種一棵樹最好的時間是十年前，其次是現在。只要做好事，永遠都不算晚。科學，就是人類最大的好事。

附錄：中國剩餘定理

數論中的“中國剩餘定理”是求解一次同餘方程組的方法。什麼叫一次同餘方程組呢？典型的問題類似這樣：

“有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

這個問題出自中國南北朝時期的著作《孫子算經》，意思是有個整數x除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，問x最小等於多少。

在金庸的《射鵰英雄傳》裏，黃蓉就考了瑛姑這個問題，並且告訴讀者，計算方法是這樣一首歌訣：

“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。

七子團圓正半月，餘百零五便得知。”

這首歌訣的意思是，除3的餘數乘以70，加上除5的餘數乘以21，加上除7的餘數乘以15，三者加起來之後如果大於105，再減去105的倍數。

在上面的題目中，計算過程就是

2×70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 140 + 63 + 30 = 233，

然後

233- 2 × 105 = 23。

驗算一下，23除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，這個答案是對的。

請大家仔細想想，70、21和15這三個數的道理是什麼？105這個數又是怎麼來的？

簡短的回答是，105是3、5、7這三個數的最小公倍數。70能被5和7整除，而除以3餘1。21能被3和7整除，而除以5餘1。15能被3和5整除，而除以7餘1。

為什麼有了這些性質，就能構造出歌訣中的算法？請大家自己思考，作為一個課後練習。

需要注意的是，這還不是中國剩餘定理，它只是一個例子，不是普適的算法。普適的算法是在《孫子算經》之後大約800年，由南宋數學家秦九韶在《數書九章》中給出的。這個算法相當複雜，他稱為“大衍總數術”，這才是中國剩餘定理。

事實上，上面那首歌訣出現得更晚，是明朝數學家程大位編寫的。所以《射鵰英雄傳》裏提到這首歌訣，其實屬於穿越。《中國古代重要科技發明創造》中就收錄了中國剩餘定理，稱為一次同餘方程組解法，屬於上篇的“科學發現與創造”中的第25條。