等周定理：一個愛情悲劇裏的數學問題_風聞

**撰文 |**楊帆（重慶大學數學與統計學院）

平面上的等周問題是非常古老的問題，在維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》中就出現了等周問題的影子。等周定理簡單概括就是，在平面上給定長度的簡單閉曲線中，圓周所圍的面積最大。圓這一答案看似自然而合理，但要嚴格地證明卻並不容易，歷史上研究該問題的數學家層出不窮，今天我們就開啓一趟數學探索之旅，體會這些不同風格的證明方法。

一 著名歌劇裏的數學問題

平面上的等周問題是微分幾何的基本問題之一，研究歷史悠久，若要完整的講述其中的故事，我們不妨從亨利·普賽爾（Henry Purcell, 1659-1695）最著名的歌劇《狄朵與埃涅阿斯》（Dido and Aeneas）聊起。這部歌劇取材於維吉爾（Virgil）的史詩《埃涅阿斯紀》（Aeneid），演繹了迦太基（Carthagia）女王狄朵和特洛伊英雄埃涅阿斯的愛情悲劇，歌劇中女巫姐妹為了破壞他們的愛情，欺騙埃涅阿斯離開迦太基去完成一項使命，狄朵誤以為他背叛了自己，於是自焚身死。

最終，他們出現在你眼前，

可以看到新迦太基建起的塔樓；

在那裏買下一塊土地，名叫比爾薩。

——《埃涅阿斯紀》

歌劇《狄朵與埃涅阿斯》宣傳圖

狄朵與埃涅阿斯的相遇其實並不浪漫，她一生命途坎坷，在此之前因丈夫被暗殺而被迫逃離故土，她一路逃亡來到北非海岸，並設法在此定居，為購買土地與當地人經歷了一番討價還價，最終得到的承諾是她只能佔有一塊牛皮包住的土地，於是聰慧的狄朵將牛皮切成儘可能多的細條，將細條相連成線從而圍住了大片土地。在這裏我們看到了等周問題的影子——在給定的周長內圍住儘可能多的土地面積，遺憾的是這位潛在的女數學家選擇將生命獻給愛情，最終這個數學問題還是由古希臘數學家給大致解決了。

何為等周定理？即平面上定長的簡單閉曲線中圓周所圍的面積最大，其對偶定理與之等價，即平面上面積相等的幾何圖形中圓的周長最小。設D是長度為L的平面簡單閉曲線，由若爾當曲線定理（即在歐式平面上，任意一條簡單閉曲線D可把平面分成兩個部分，使得同一部分的任意兩點可用不與D相交的弧相連），曲線D可圍成面積為A的有限區域，用不等式表示為

，當且僅當D為圓周時等號成立。

等周問題的肥皂泡實驗，點擊“閲讀原文”觀看視頻。

答案看似有理，畢竟圓是一個如此神奇的形狀，但嚴格地證明並不容易，歷史上先後有許多數學家都研究過該問題，但直到19世紀，才由德國數學家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）首次給出了一個嚴謹的數學證明（參見參考文獻4）。接下來，我們就來了解幾個不同時期有代表性的證明方法。

二 斯坦納的證明

在正式證明之前，我們要明確等周定理的解一定是凸幾何。所謂凸幾何，即在某一圖形內取任意兩點連成線段，若線段上所有的點都在圖形內，則該圖形為凸幾何，反之為非凸幾何。

假設曲線D圍成了一個面積最大的圖形（如下圖所示），用一條直線平分曲線D的周長，這樣就得到了兩段等長的曲線D1與D2；之後將D1與D2分別關於直線作對稱，圍成新圖形A1、A2，此時A1與A2的周長與面積均相等。誒，等等，你確定面積也一定被平分嗎？當然啦！如果平分周長時面積並未被平分，那麼將原圖形中面積更大的一半關於直線作對稱，就能得到周長相等而總面積更大的圖形，從而與假設矛盾。

等周問題的解一定是凸幾何

不妨假設A1為非凸幾何，可以作一條與曲線凹處相交的直線，從而得到兩個交點A與B，此時線段AB中存在A1以外的點，將兩交點間的曲線段關於交線作對稱，這樣A1的周長不變，而面積卻增大了，這意味着曲線D可以圍成面積更大的圖形，與假設矛盾。因此，簡單閉凸曲線方可圍成面積最大的圖形，明確這一點可以大大簡化證明的過程。

17世紀以來，一批數學家們致力於在解決幾何問題時儘量少的運用代數運算，而追求更具普適性的方法，雅各布·斯坦納（Jakob Steiner，1769-1863）就是其中一位代表性人物。他在合成幾何方面的研究較為權威，他認為計算妨礙了思考，而純粹的幾何學則刺激了創造性思維，在他所給出的五種對等周定理的證明中，這一態度也有所體現，我們先來領略其中兩種方法的精彩之處。

Jakob Steiner，1769-1863

01 四鉸鏈證明法（Four-hinge Proof）

與之前的做法類似，首先用一條直線將定長條件下面積最大的圖形分為周長相等的兩部分，此時面積也被平分，要證明等周定理，只要證明圖形平分後的兩部分為半圓。

考慮上半部分曲線 D1 圍成的圖形A1，運用反證法，假設A1不是半圓。將D1與分割線的交點記為B與C，由直角三角形的斜邊中線定理可知，半圓的內接三角形為直角三角形，而A1不是半圓，則D1上存在一點A，與點B、C相連使得∠A不是直角。接着，移動三角形底邊的端點 B、C，並保持BA、CA的長度不變，使∠A變為直角，這時，保持陰影部分面積不變，而三角形△ABC面積增加，從而A1的面積也增加，而曲線 D1 的長度未變，因此在周長不變的情況下得到了面積更大的圖形，與假設矛盾，因此上半部分為半圓，從而圓就是面積最大的圖形。

02 平均邊界證明法（Mean-boundray Proof）

首先來介紹一下平均邊界的概念，可以將它理解為兩條給定曲線的中線，從垂直方向看，作一直線與三條曲線分別交於A、B、C，則線段AB與線段BC等長。並且稍作計算可以發現，平均邊界的長度不大於兩條給定曲線長度的平均值，只有當兩條曲線一樣時才能取等號**。**

平均邊界

與前一種證法類似，假設曲線D所圍圖形面積最大，將其按周長平分為曲線D1、D2（如下圖所示），不妨將曲線D2關於分割線作對稱，使兩段曲線處於同一側，D1 與 D2 所圍區域分別為A1、A2。接着作出它們的平均邊界，此時，平均邊界所圍的面積可以表示為

其中，S(·) 表示面積，

表示兩段曲線所圍的重疊區域，因此平均邊界所圍面積為原面積的一半。但曲線D1、D2並不能對稱重合，所以平均邊界的長度小於周長的一半，按照等周定理的對偶定理，顯然矛盾。因此原圖形平分後的兩段曲線必須在對稱後重合，從而曲線所圍成面積最大的圖形是圓。

斯坦納等一眾數學家的努力讓大眾相信，脱離了代數與分析的數學仍舊是強大的武器，但我們同時又會如此真切地感受到幾何與方程碰撞產生的奇妙結果。因為下文會用到面積公式，不妨先用幾何的方法來推導一下。

三角形的面積誰都會算，但換一種思路，運用幾何直觀便可得到另一種表達方式。首先引入三角形的外接矩形，之後按照填補色塊的思路簡單推導就得到的另一種形式的面積公式。若將三角形頂點置於平面座標系的第一象限中，逆時針方向賦予頂點座標，則三角形面積為 A=(x1y2-x2y1)/2。

對多邊形可以進行類似的推廣，若將n邊形置於第一象限，以逆時針方向看各頂點座標為 (0, 0)，(x1, y1), …, (xn-1, yn-1)，則該 n 邊形的面積為

將其轉化為積分的形式就是：

每每提到計算平面圖形的面積，總會條件反射似的想到格林公式（Green Formula，即

），而幾何的方式又給我們提供了另一種理解方式。值得一提的是，斯坦納的證明皆是基於解的存在性假設，這一點使他的證明並不嚴謹，甚至有同行用歌劇中狄朵的最後一句話來調侃他：“銘記我，但啊，忘了我的命運吧。”（Remember me, but ah! Forget my fate.）如此看來，幾何方法還需要與其他數學知識相結合才能更好地發揮其效用，因此在十九世紀與其他數學學派的競爭中，以斯坦納為首的堅持純幾何方法的學派明顯處於了劣勢。

三 後斯坦納時代

此後，存在性的問題一直無人能解，直到1879年魏爾斯特拉斯在一次講座中證明了解的存在性，從而使等周問題擁有了第一個嚴謹的證明。完整地證明解的存在性是非常困難的，連魏爾斯特拉斯自己都感慨：“這個問題實在是太難了，以至於它被認為幾乎不能被完成。”因此本文對此就不進行深入的介紹了。

在證明了解的存在性的後斯坦納時代，數學家們對等周問題的研究似乎多了些底氣，下面介紹了兩種不同的證明方法，我們不妨體會一下不同風格的證明之美。

01 變分法證明

Jakob Bernoulli (1654-1705) 和 Johann Bernoulli (1667-1748)

變分法最先由約翰·伯努利（Johann Bernoulli）於1696年提出，起初是為了解決物理中的最速降線問題，雅克布·伯努利（Jakob Bernoulli）知道後也開始潛心研究，這個問題同時也吸引了歐拉、牛頓等數學家的注意，在一眾數學家的共同努力下，變分法的研究不斷取得突破。值得一提的是這伯努利兩兄弟的關係，哥哥雅各布一生匆匆五十載，而其中的三十年都用在了和弟弟進行學術爭論上，在我們後人看來，正是他們對科學不斷的探討爭執，才促進了科學的發展與進步。

等周問題非常簡潔，所給的條件只有定長這一個，若把面積最大理解為求極值，那麼用變分法處理就顯得非常自然。變分法的核心思想是找到一個函數y(t)，求得與之相關的泛函

的極值。

在解決等周問題時，我們就需要找到曲線t→(x(t), y(t))，在給定周長

的條件下，使面積

最大化，運用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）構造函數：

並求出

的極值。

變分法的關鍵是歐拉方程（Euler Equation），即通過使一階導為零求得極值點，分別化簡 x 與 x’ 的歐拉方程求得最終解，這顯然是圓參數方程的一種形式。

02 投影法證明

施密特（ Erhard Schmidt）的投影法證明方法的獨特之處在於，運用投影的方法將不規則圖形與圓周相聯繫，具體做法是將簡單閉曲線α所圍成的區域夾在兩平行直線之間，在兩直線間作一半徑為r的圓周β，以圓心為原點，y軸與直線平行建立平面直角座標系，令

，

，這樣就可以計算它們各自的面積。其中，s為曲線α的弧長參數，A為曲線α圍成的面積。

將原曲線投影到圓周上

將兩者面積相加，運用柯西不等式進行放縮，在計算過程中需要注意一個隱含條件，因為對原曲線作了弧長參數化處理，則有弧長參數x'2+y'2=1，計算時可進行化簡，最終求得等周不等式，當等號成立時 A= πr2，L=2πr，因此原曲線圍成的就是一個圓。 

説了這麼多，等周定理到底有什麼用呢？利用最短的線圍出最大的面積是其在日常生活中最為常見的應用。等周定理不像莫比烏斯環、哥尼斯堡七橋問題、四色問題等這麼為人熟知，但它在推動學術研究上具有重要價值，例如該定理可用來進行特徵值估計，解決流體機械中的流化作用相關的問題等。感興趣的小夥伴可以進行更深入的研究。（參見《2018年菲爾茲獎得主：在自然裏尋找穩定性的旅行者》）

回顧等周定理的各種證明，數學家和文學家的思維一樣敏鋭而自由，同樣的事物在他們眼中會變成不同的風景，不同的方法讓我們可以從不同的角度去理解同一個事實，這往往引導出數學上不同的發展。

王國維在《人間詞話》中將詞分為有我之境與無我之境，借用丘成桐先生的觀點，數學研究當然也有境界的概念，在某種程度上也可談有我之境、無我之境。等周問題生髮於現實中的買地問題，由生活引導，可謂無我之境；但隨後數學家們不懈的證明推動理論的發展，可謂有我之境矣。

參考文獻

[1] https://math.berkeley.edu/~hutching/pub/bubbles.html.

[2] https://v.qq.com/x/page/j0915p3fxyh.html.

[3] Viktor Blasjo. The Evolution of The Isoperimetric Problem. The Mathematical Association of  America. 2005.

[4] K. Weierstrass. Mathematische Werke. Mayer and Muller. Berlin. Vol.7. 1927.

[5] 沈一兵. 整體微分幾何初步. 高等教育出版社. 2009.

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