質數的最小間隔有上限，人的奮鬥沒有上限 | 袁嵐峯_風聞

導讀

張益唐不但留下了一個“始不垂翅，終能奮翼”的傳奇，而且他的寵辱不驚也耐人尋味。各界人士對他的熱情幫助，以及他成名後對社會的熱情反饋，都充滿了人性的光輝。正如《論語》裏的名言：“一簞食，一瓢飲，在陋巷，人不堪其憂，回也不改其樂。賢哉，回也！”

雙十一剛過，許多人是不是正處在剁手後的吃土時間？今天，我們就來介紹一位吃土界的宗師級人物。他倒不是買了太多東西，而是在很長時間內根本沒錢買東西。但與眾不同的是，他在各種艱難困苦的條件下，都一直在研究世界難題，最後終於石破天驚。他就是傳奇數學家張益唐。      

張益唐

張益唐做了什麼呢？回答非常有意思。

數學家的成果往往很難向大眾介紹，因為僅僅聽懂他們在研究什麼問題都需要很多背景知識。而且張益唐是當代人，一般而言，越往後的就離普通人越遠。然而，張益唐卻是個大大的反例，他的研究成果是很容易解釋的。容易到什麼程度呢？小學水平就夠了！

首先，大家都知道什麼是質數（prime number），對吧？質數就是隻能被1和自己整除的自然數，也被稱為素數。能被1和自己之外的數整除的自然數，叫做合數（composite number）。

最小的質數是2，下一個是3，然後是5，然後是7。顯然，2以外的質數都只能是奇數。我們沿着奇數一路看下去。

下一個奇數9不是質數，因為它等於3 × 3。下面兩個奇數11和13，又是質數。下一個奇數15不是質數，它等於3 × 5。再下面兩個奇數17和19，又是質數。下一個奇數21不是質數，它等於3 × 7。下一個奇數23，又是質數。再下面兩個奇數25和27不是質數，它們等於5 × 5和3 × 3 × 3。再下面兩個奇數29和31，又是質數。如此等等。

100以內的質數和合數表

我們可以觀察到什麼現象呢？

一開始，質數十分密集，但後面變得越來越稀疏。這是因為數越大，可能的分解方式就越多，它成為質數的幾率就越低。

這就引出了一個基本問題：質數的數目是有限還是無限呢？也就是説，會不會到了某個數以上，就全都是合數，再也沒有質數了？

對此我們有明確的答案：質數有無窮多個。這是歐幾里得在《幾何原本》中證明的。這個證明非常經典，而且一點都不難，你能想到嗎？我們會單獨錄一個視頻，來證明質數有無窮多個。

然後，另一個觀察是，有些質數之間只相差2，例如3和5、5和7、11和13、17和19、29和31。我們把這樣的一對質數稱為“孿生質數”（twin primes）。顯然，隨着質數變得越來越稀疏，孿生質數也會變得越來越稀疏。

例如23周圍就沒有孿生質數，因為21和25都不是質數。23是第一個單獨出現的質數，而在後面的質數中，單獨出現的幾率會越來越高，孿生出現的幾率會越來越低。

所以，一個自然的問題就是：孿生質數對的數目是有限還是無限呢？也就是説，會不會到了某個數以上，就全都是合數或者單獨出現的質數，再也沒有孿生質數了？

這個問題小學生都能理解，但答案我們還不知道。數論的一大特點，就是一個普通人提出的問題，無數聰明人奮鬥幾千年都不一定能解答。

目前，我們已知的最大的孿生質數對是：

3756801695685× 2666669 - 1和3756801695685 × 2666669+ 1。

這兩個數用十進制表示，長度有20多萬位！

一個合理的感覺是：隨着數的增大，孿生質數出現得越來越稀疏，但永遠不會消失，它們總會倔強地在某個地方再次出現。絕大多數數學家都相信這個命題，但誰也不能證明或證偽它。

這個命題叫做“孿生質數猜想”（twin prime conjecture），是整個數學中最著名的未解之謎之一。1900年，德國數學大師希爾伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了指導二十世紀數學發展的23個問題，其中孿生質數猜想、哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）和黎曼猜想（Riemann hypothesis）被打包作為第八個問題，統稱為關於質數分佈的問題。

希爾伯特

從1900年到現在，119年過去了，這三個猜想仍然沒有解決。不過在孿生質數猜想方面，我們取得了重大的進展。這個進展就來自張益唐。

2013年，他證明了：存在無窮多對質數，它們的間隔小於7千萬。

這意味着什麼呢？

在此之前，我們不但無法證明有無窮多對只相差2的質數，而且把這裏的2替換成任何一個有限數值，我們也無法證明。也就是説，我們不能排除這種可能：任給一個自然數N，間隔小於N的質數對都只有有限個。而現在，我們就可以排除這種可能了。

所以，張益唐把對質數間隔的估計，從無限一下子拉到了7千萬！如果拉到2，就是證明了孿生質數猜想。雖然我們還沒有做到這一點，但很容易理解，從無限到有限是質的區別，而從7千萬到2只是量的區別。因此，張益唐的定理是人類在孿生質數猜想上第一個真正重大的突破。

張益唐的人生，跟他的成果一樣富有戲劇性。他是我所知的大器晚成的最驚人的例子。

1955年，張益唐出生於上海。他的父親是中國最早研究移動通信的專家之一，母親在郵電部工作。張益唐從小就對數學顯露出超常的興趣和天賦，但由於時代的捉弄，不能上大學，只能在北京制鎖廠當工人。

恢復高考後，1978年，23歲的張益唐考上了北京大學數學系。雖然年齡偏大，但是金子總會發光的。張益唐的數學才能，在同學中大放異彩。

我的前輩朋友、著名作家王小東，跟張益唐就是北大數學系的同班同學，而且是鐵哥們。王小東告訴我，他原本對自己的數學天賦很有自信，見到張益唐之後就明白了，純數學還是讓張益唐這樣的人去搞吧。他們系還有人後來成為了成功的企業家，他也感謝張益唐。感謝什麼呢？感謝讓他早早打消了作數學家的想法，找到了適合自己的道路。

1982年，張益唐本科畢業後，跟隨著名數學家潘承彪讀碩士。1985年，在北京大學校長、著名數學家丁石孫的推薦下，到美國普渡大學讀博士，導師是來自台灣的莫宗堅。這一段經歷看起來一帆風順，但出人意料的轉折馬上來到。

潘承洞和潘承彪（右）兄弟，展濤攝於1995年

丁石孫

1991年，張益唐博士畢業。他的博士工作研究了一個著名的猜想，叫做“雅可比猜想”（Jacobian conjecture）。但他的證明以導師莫宗堅的一個結果為基礎，而在審稿時發現莫宗堅的那個結果有問題，所以他的證明也就不成立了。

莫宗堅

這倒也罷了，論文出錯也是常有的事。真正令人吐血的是，莫宗堅覺得張益唐讓自己在學術界丟了臉，於是不給他寫推薦信。喂喂喂，這是什麼邏輯？是你犯了錯誤，為什麼遷怒於學生？

沒有導師的推薦信，張益唐就無法在學術界找到工作。不要説正式職位，連博士後都找不到。畢業即失業，真是太慘了。

在這段歲月裏，張益唐送過外賣，賣過炸雞，還在漢堡店當過會計，作過收銀員。有時他沒地方住，只能在車裏過夜。

但驚人的是，他在這種吃土的情況下都沒有放棄數學。有空的時候，他就去附近的圖書館讀代數幾何和數論方面的期刊文章。

有一位北大化學系的校友開了幾家賽百味的連鎖店，很想資助張益唐，但又怕被拒絕。於是他想了一個點子，每個季度請張益唐來幫忙給連鎖店報税，讓張益唐比較輕鬆地得到報酬，同時有比較多的時間去研究數學。

當時IT產業正在蓬勃發展，所以張益唐如果想賺錢，應該很容易。我的許多化學專業的同學朋友都轉行去搞IT了，數學專業的就更不在話下。

1999年初，張益唐一位在英特爾工作的北大數學系師弟唐樸祁在紐約找到他，請他幫忙解決一個網絡設計中技巧性很強的數學問題。張益唐花了一個星期就解決了，他倆一塊申請了一項專利。但此後，張益唐就再也沒有做過IT，還是潛心做數學。

唐樸祁（左）與張益唐

唐樸祁希望幫助張益唐重返學術界。張益唐有一位北大數學系師弟葛力明，在新罕布什爾大學擔任教授。唐樸祁找到葛力明，然後葛力明向系主任推薦張益唐來講微積分。系主任請張益唐來面試，這時唐樸祁和葛力明發現找不到張益唐，不知道他又到哪裏打工去了。

葛力明

經過一番周折，葛力明在美國南方的一個賽百味快餐店聯繫上了張益唐。兩三天後，張益唐就開車來到了東北部的新罕布什爾大學，他把自己的全部家當都在車上帶來了。

就這樣，44歲的張益唐開始在新罕布什爾大學擔任臨時講師。這是博士畢業之後，張益唐第一次接近學術工作——儘管只是每學期上4門課，按日結薪，收入比教授低得多，沒有研究經費。但這些都不重要，至少那裏有辦公室，甚至有紙和筆就足矣。

2001年，張益唐在《杜克數學期刊》（Duke Mathematical Journal）上發表了一篇論文，研究的是黎曼猜想，它是數學中最著名、最困難、最重要的未解之謎之一。原來這些年裏，無論在送外賣還是在打地鋪，張益唐一直在思考這個大問題。

系主任阿佩爾（Kenneth Ira Appel，1932 - 2013）想以這篇文章提拔張益唐為固定職位。順便説一句，阿佩爾是一位世界著名的數學家，他證明了四色定理。但他這個提議被其他人否定了，理由是：張益唐發的文章太少。

阿佩爾和一幅表現四色定理的地圖（https://www.telegraph.co.uk/news/obituaries/10158040/Kenneth-Appel.html）

事實上，到現在為止，張益唐總共只發過三篇論文。第一篇是1985年出國前在《數學學報》發的，第二篇是2001年在《杜克數學期刊》發的，這兩篇研究的都是黎曼猜想。第三篇就是孿生質數猜想的突破。你看，他從來都沒有研究過小問題！

愛因斯坦有一句名言：“我不能忍受這樣的科學家，他們在一塊木板上找到最薄的地方，然後在那裏鑽很多洞。”話雖如此，但絕大多數科學家為了職位和生計，還是難免做些妥協。

例如證明費馬大定理的英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew

Wiles），在1986年全力以赴投入這場冒險之前，就事先準備好了一些論文，每隔一段時間發一篇，以免學校因為他長期不發論文把他開掉。直到1993年他公開了費馬大定理的證明，大家才知道原來他在攻這個大問題。

懷爾斯和費馬大定理

但張益唐就更加決絕，他從來沒有做過任何妥協。即使在數學家當中，他對大問題的專注也是令人歎為觀止的。

2005年，張益唐50歲時，終於從臨時講師成為正式講師，因為他的微積分講得很好。按照正常的軌跡，他似乎會在這個位置上平穩地退休。

英國數學大師哈代（Godfrey Harold Hardy，1877 - 1947）有一句名言：“比起其他任何藝術和科學，數學更是年輕人的遊戲。”這是大家公認的，例如數學界的最高獎之一菲爾茲獎，就只頒發給40歲以下的數學家。哈代還有一句名言：“我從沒見過哪個年過半百的數學家開創重大的數學進展。”

哈代

但顯然，這是因為他沒有見到張益唐。

2008年，一羣世界頂尖的數論專家在美國國家數學科學研究所開了一個會，研討如何攻克一個重要問題：質數的最小間隔是否有限。美國數學家Daniel Goldston、匈牙利數學家János Pintz和土耳其數學家Cem Yildirim等人在這個問題上已經鑽研多年，看起來只差最後一步了。

但討論了一週之後，會議以失敗告終，這最後一步始終跨不過去。Goldston絕望地認為，自己在有生之年都不會得到答案了。

不過，張益唐並不知道這個會議。2010年，他在瀏覽這些數學家的工作時發現，離得出最終結論似乎只剩一根頭髮絲的距離了。這個問題他已斷斷續續想了多年。他後來對媒體説：“我有一種直覺，我沒法去論證這種直覺。但直覺告訴我，我應該可以做出來。”於是他暫停了其他研究，把所有的精力投入到這個問題中。

2012年7月3日，一個陽光明媚的下午，張益唐在他的朋友、邁阿密大學音樂教授齊雅格的家裏訪問。在等待出發去看齊雅格指揮的音樂會時，張益唐到他家的後院，想看看那裏不時出沒的梅花鹿。鹿沒有看到，張益唐卻突然看到了靈感。各種線索結合在一起，指出了一條跨越頭髮絲距離的道路。

2013年4月17日，張益唐把論文提交給最著名的數學雜誌《數學年刊》（Annuals of Mathematics）。那位欣賞他的系主任阿佩爾在兩天後去世，值得欣慰的是他已經知道了張益唐的成果。這篇論文的標題十分簡潔，叫做《質數間的有界距離》（Bounded gaps between primes）。摘要也十分簡潔，我翻譯如下：

“本文證明了

其中pn是第n個質數。

我們的方法是對Goldston、Pintz和Yildirim最近關於相鄰質數間小間隔的工作的改進。這個證明的一個主要成分是Bombieri-Vinogradov定理的一個更強版本，它只在模不包括大的質因子時適用（參見下面的定理2），不過對我們的目的足夠了。”

《質數間的有界距離》摘要

這時，張益唐已經58歲了，依然默默無聞。我從來沒見過科學家在這麼大的年齡成名的，更不用説數學家了。但從這時開始，與他相關的節奏驟然加快。

審稿人之一伊萬尼克（Henryk Iwaniec）最初拿到這篇論文時，看了一眼就扔到一邊，認為不可能是對的。然後，他又把論文拿出來，看了引言部分，覺得不像是在胡説八道。

伊萬尼克

接着的一個星期，伊萬尼克不斷地給主編髮郵件。第一次説，這文章有很好的想法。第二次説，這文章有非常非常好的想法。第三次説，這文章有非常非常非常好的想法。第四次説，這文章有可能是對的。再後來説，這文章很可能是對的。

第二個星期，伊萬尼克把自己關了起來，按照張益唐的方法重新證明了一遍，覺得應該是對的。第三個星期，他開始給論文逐字逐句地挑毛病，但最後的結論是：我徹底地研究了這篇文章，我發現，挑出一個最小的差錯也非常困難。

《數學年刊》的審稿週期一般都很長，動輒以年計。但這篇文章3個星期就接收了，創造了《數學年刊》創刊130年來接收論文最快的紀錄！

質數的最小間隔有上限，而人的奮鬥沒有上限。正如《三國演義》中，諸葛亮給周瑜寫的祭文中的一句話：

“始不垂翅，終能奮翼！”

張益唐在知道文章被接收後，告訴他太太留心最近的媒體報道，“你可能會在上面看到我的名字”。他太太回覆説：“你是不是喝醉了？”然後，她果然看到了張益唐的名字。

2013年5月14日，《自然》雜誌在“突破性新聞”欄目裏，宣佈一個重要的數學猜想被敲開了大門。5月20日，《紐約時報》大篇幅報道了張益唐，引起了世界轟動。

各種榮譽和職位蜂擁而來。除了菲爾茲獎因為年齡限制他拿不到，其他能拿的獎幾乎拿了個遍。他在新罕布什爾大學直接升級為正教授，2016年又轉到了加州大學聖塔芭芭拉分校（University ofCalifornia, Santa Barbara，簡稱UCSB）。

然而張益唐還是那個張益唐。

成名前，他經常給新罕布什爾大學數學系的飲水機換水，所以秘書老太太對他的印象不錯。他成名後，老太太問葛力明，張益唐還會繼續給系裏換水嗎？葛力明説會的。葛力明果然很瞭解張益唐。事實上，直到轉去UCSB的前兩天，他還給系裏換了水。

轉到UCSB三年來，他似乎連學校的啓動經費都沒有申請完，因為他只需要紙和筆，沒地方花錢。他的研究風格也依然如故，只關注大問題，對小問題不屑一顧。

其實，7千萬只是一個粗略的估計。張益唐並沒有挖掘出他的方法的全部潛力，因為最重要的是存在這樣一個有限的數，而不是這個數的大小。一旦知道存在上限，人們就會尋找各種各樣的辦法來改進這個估計。著名的華人數學家、菲爾茲獎獲得者陶哲軒倡議建立了一個羣策羣力的項目“PolyMath8”，就是讓大家來做這件事。

陶哲軒

在張益唐的論文發表兩個星期後的2013年5月28日，這個數就下降到了6000萬。5月31日，下降到了4200萬。6月2日，1300萬。6月3日，500萬。6月5日，40萬。到2014年2月，這個數被降低到了246，現在暫時定格在這上面。

PolyMath8項目的當前紀錄（http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes）

以目前的方法，這大概就是極限了。再往下，應該還需要新的思想。所以對於孿生質數猜想，我們現在的最佳結果就是：存在無窮多對質數，它們的間隔不超過246。

但張益唐完全沒有參與這方面的工作。在做出7千萬的突破後，他就從這個領域離開了。顯然，這種改進性質的工作在他看來品位和吸引力不夠高。菲爾茲獎獲得者樂於乾的工作，他都看不上！

張益唐在幹什麼呢？他又回到了自己絕大部分時間都在思考的大問題：黎曼猜想。其實孿生質數猜想對他來説只是一個插曲，他真正最關心的還是黎曼猜想。具體地説，他在研究與廣義黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis）有關的朗道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel Zeros conjecture）。

這個問題的重要性何在呢？

張益唐説：“對於數論學家來講，有兩個宇宙。在第一個宇宙裏，不存在朗道-西格爾零點。但在第二個宇宙裏，存在此零點。我們的困惑是，不知道我們到底生活在哪個宇宙裏面。”

他的同事、數論學家Stopple解釋説，如果張益唐能證明朗道-西格爾零點猜想，“就像是同一個人被閃電劈中兩次”，“如果他從未成名，那麼做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目”。

張益唐對自己能解決朗道-西格爾零點猜想充滿信心，認為沒有大的障礙，剩下的都只是技術性問題。有人問他如何看待哈代對數學家年齡的觀點，他的回答是：

“這個説法可能對我並不適用。我仍然相信我的直覺，我仍然對自己有信心。我仍然有不少願景。”

這讓我想起今年以97歲高齡獲得諾貝爾化學獎的John B. Goodenough。這位老爺子每次接受採訪的時候，都説自己還想實現某個科學目標，“我才90幾歲，我還有時間！”然後哈哈大笑。

諾貝爾獎網站上Goodenough的圖片（https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2019/goodenough/facts/）

在歷史上，有很多科學家終生投身於大問題，但一無所獲。例如匈牙利數學家F. 鮑耶（Farkas Bolyai，1775- 1856），他一生都在嘗試證明歐幾里得幾何的第五公設，沒有成功。不過他的兒子J. 鮑耶（János Bolyai，1802 - 1860）從中受到了啓發，乾脆推翻這條公理，開創了非歐幾何。能在歷史上留下名字的人都是幸運的，更多這樣的勇士我們不知道姓名，但無論如何，他們的精神值得崇敬。

J. 鮑耶

張益唐不但給我們留下了一個“始不垂翅，終能奮翼”的傳奇，而且他的寵辱不驚也耐人尋味。無論是窮到吃土，還是接受校友師弟的幫助，他都坦然處之。而無論是盛名還是大獎，也沒有改變他的謙和淡泊。各界人士對他的熱情幫助，以及他成名後對社會的熱情反饋，都充滿了人性的光輝。正如《論語》裏孔子稱讚顏回的名言：

“賢哉，回也！一簞食，一瓢飲，在陋巷，人不堪其憂，回也不改其樂。賢哉，回也！”

附錄：對質數無窮多的證明

質數有無窮多個，這是《幾何原本》第九篇的第20個命題。為什麼是這樣呢？歐幾里得用反證法給出了一個經典的證明：

假如質數的個數是有限的，那麼把這個個數記為n，把所有的n個質數記為p1、p­2等等，直到pn。

現在考慮一個數q，它等於p1乘以p­2等等，一直乘到pn，最後再加上1。請問，q是不是質數？

如果q是質數，那麼它就是一個新的質數。這就跟前提的假設“質數只有n個”矛盾。

而如果q不是質數，那麼它可以分解質因數。但它的質因數顯然不是p1到pn中的任何一個，所以我們還是獲得了新的質數，仍然跟前提的假設“質數只有n個”矛盾。

由此可見，前提的假設是錯誤的。質數不可能只有有限個，也就是説有無限個。證畢。

你看，這是多麼精妙的思想！任何能夠理解的人，都會被這種思維的魅力深深吸引，體會到一種不可代替的美感。