張壽武：數學中的無解之解_風聞

演講 | 張壽武（普林斯頓大學數學系教授，美國藝術與科學學院院士）

整理 | 木槐、Helen

人類對數的抽象思考古已有之。約2500年前，畢達哥拉斯就提出了“萬物皆數”。隨後，無理數的發現開啓了數學家對二次方程的求解。在追求三次方程及更高次方程的路途上，一代代天才數學家艱苦求索，付出了各式代價。費馬大定理的求解花費了數學家數百年時間；四次方程被求解後兩百多年，阿貝爾才證明了五次方程不可解。11月16日，普林斯頓大學數學系教授張壽武在未來論壇上以《數學中的無解之解》為題，報告了方程無解給數學帶去的思想激盪。（點擊“閲讀原文”觀看視頻）

很高興能夠參加未來科學大獎周，我接到組委會邀請來做一個30分鐘的報告，這對我來説是不太容易的事情，我之前都是給數學系大學生、研究生或者對數學有興趣的中學生做報告，所以第一次做公眾報告講解關於未來科學的題目，對我來講有點沉重，我講點輕鬆的東西。

今天聽眾裏大人比昨天多些，昨天碰到很多中學生來聽報告。中學生通常考慮的問題是念什麼專業最有前途。在這個年代恐怕有兩個主題是最好的專業，一個是計算機，一個是金融，這兩個專業都可以給你帶來豐厚的工資。在我們的年代也一樣，我們那時叫做“學好數理化，走遍天下都不怕”。我覺得數理化中最有用的大概是化學，因為像家裏面所有的東西基本都是化學制品。信不信由你，當年我也考上中山大學化學系，進入化學之後發現化學不好學，然後就去看物理書，發現物理也不好學，學物理要把數學學好，所以我轉到數學系去了。

數學家有兩類，一類是應用數學家，他們能解決問題，還有一類是純粹數學家，他們解決不了問題。我發現我沒辦法跟應用數學家在一起拼，因為他們的解題水平太高了，所以我就變成了一個純粹數學家。純粹數學家關注那些不能解的問題，所以就瞎掰，我今天的報告主要就是瞎掰，基本上沒有什麼用。但是如果你仔細聽，你會發現這些瞎掰的數學也不容易做。

從萬物皆數到求解三次方程

我講的第一部分是萬物皆數。萬物皆數這個道理是古希臘的大哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras）提出來的，他通過研究樂律和星座，發現萬事萬物都與數字有關係，所以在研究世界之前，應當把數字研究清楚。他辦了一個學校，是一個秘密學校，這個學校主要教授哲學、音樂、天文和數學。他把許多事都標上數，比如説1代表推理，2代表意見，3代表和諧，4代表公正，5代表婚姻和愛情，奇數代表陽，偶數代表陰。這就是他的觀點。

古希臘哲學家畢達哥拉斯

畢達哥拉斯説的數是指有理數；先有整數，整數之後再有分數。有了整數之後我們就可以解所謂的線性方程。比如説3X= 5，那麼X等於幾？等於5/3。這就是畢達哥拉斯當年的研究。但畢達哥拉斯很快發現光有有理數是不夠的。

大家知道勾股定理，但你如果到美國唸書，它就不叫勾股定理，而叫畢達哥拉斯定理。我們現在雖然把它叫做畢達哥拉斯定理，但其實並不是畢達哥拉斯最先得出的，歷史記載都比這早得多。但是這個定理的名字把功勞歸於了畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯有一個學生在研究單位正方形的對角線時發現了問題，他發現對角線的長根號2不是有理數。這個問題就非常嚴重了，因為畢達哥拉斯認為所有的數都應當是有理數。他學生髮現了這一問題，發現之後他還告訴別人，對畢達哥拉斯來説這可是不得了的事，後來他就把這個學生沉到海里去了。這位學生為發現無理數付出了生命的代價。有了無理數，我們現在就知道二次方程可以求解，並且我們的中學生可以得出這個解，這是很了不得的事情。若沒有根號，我們的求解將會很困難。

現在又到了三次方程。求解三次方程也是一段很長的歷史。在1500年以前，中國人已經知道數值解，這在數值解領域中是做得比較早的。但是在精確解方面，中國人沒有研究過。我們知道中國人不會研究沒用的東西，而數值解有用。關於三次方程的數學解，也有一個很長的故事。這些故事都是發生在幾百年前的意大利。

起先有一個數學家叫費羅（Scipione del Ferro），他發現瞭解一些三次方程的方法，但是他還沒有負數的概念，所以解方程比較被動，把正的挪到一邊，負的挪到另一邊，正的等於正的，所以他解方程很困難。我們現在叫配方，那個年代連減都不能減，所以更沒法配方。他發現了一類方程的解，但是這個哥們兒寫在小本上，他死了之後，交給他的女婿，他女婿也是個數學家，他女婿繼承了他的位置並把這個方法保存起來。他的另外一個學生菲奧利（Antonio Maria Fiore）到處吹噓自己知道怎麼解三次方程。後來他碰到另外一個數學家，叫做塔塔里亞（Niccolò Fontana Tartaglia），塔塔里亞也知道怎麼解三次方程，但是他們兩個解的三次方程不一樣。後來他們決定要打一次賭，要比一比，你出30道題，我出30道題，咱們就拼一拼。結果塔塔里亞在比賽的前一天整整算了一天，就把解菲奧利那些三次方程的方法弄出來了。這樣，菲奧利忙活了一天都沒有解出塔塔里亞的方程， 而塔塔里亞很輕鬆就贏了。那時候不像現在，那時如果你知道怎麼解方程，就會把這個證明寫出來，放在兜裏，作為秘密保存下來。

當時，另外一個意大利數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano）在寫一本書，他想知道塔塔里亞怎麼解方程，他問：“你能不能把這個秘密告訴我，我堅決不會告訴別人，等到多少年之後我再來發表。”卡爾達諾後來從別的途徑知道很早之前菲奧利已經知道這個證明了，他把塔塔里亞的證明書寫出來發表了。後來塔塔里亞就很生氣：“你跟我發誓説不要發表這個證明，現在怎麼給寫出來發表了？”於是卡爾達諾就要跟塔塔里亞打賭，又要去比賽。卡爾達諾派了一個學生叫費拉里（Lodovico Ferrari），費拉里跟塔塔里亞比賽。費拉里這哥們兒更高明，他不只知道負數，他還知道複數，結果費拉里就贏了，贏了之後塔塔里亞不只是把錢都輸光了，職位也丟了。那時候做數學的危險係數很高，前面丟了命，後面工作都沒有了，這就是解三次方程的例子。其實到今天我們有正數和負數的概念之後，這個解並不複雜。

五次方程裏的兩位天才悲劇數學家

現在我講五次方程。五次方程困擾數學家許久。這個問題被250年後的阿貝爾（Niels Henrik Abel）解決了。阿貝爾這個人是一個傳奇式的人物。舉一個最簡單的例子，大家知道科學裏有諾貝爾獎，數學裏面有菲爾茲獎，大家通常把菲爾茲獎和諾貝爾獎做比較，但這是錯的。在1899年的時候，數學家們就提出來要用阿貝爾的名字做一個獎來代替諾貝爾獎，由於瑞典和挪威當時分裂了，這個事就耽擱了，耽擱了差不多一百年，所以阿貝爾獎第一次頒獎是2003年。你就知道阿貝爾這個人不是簡單的人。

挪威數學家阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829）

阿貝爾是個才情極高的數學家，但是他只活了26歲，是一個非常不容易的人。他早年在做數學的時候就已經發表過很多文章，但是不知道什麼原因，他的很多工作都被拒絕。他第一次證明了五次方程不可解的時候，用六頁紙寫下來，他把講稿寄給高斯（Carl Friedrich Gauss），高斯沒理他。他後來在雜誌發表了這個證明，當時很多人不相信，原因是證明太簡略。他為什麼不寫長一點？ 他沒錢。現在發表文章，把文章往雜誌一投，審一下稿就發了。但是那時你如果發表文章要根據頁數交錢，可他那時候沒有錢，所以這個文章很短。你不要笑話他，前蘇聯也是這樣，前蘇聯有很多數學家寫的文章很短，我們現在認為蘇聯數學家寫得很精煉，法國數學家寫得很囉嗦，其實不是，蘇聯數學家沒錢，所以他只能寫那麼短。所以阿貝爾這個五次方程不可解的結論，在過了很多年之後別人又重新給出證明。他為了證明五次方程不可解，引入了羣論，所以阿貝爾是羣論的創始人之一。阿貝爾幾次到哥廷根、到巴黎去跟大數學家切磋，都以失敗告終，因為他寫東西寫得不清楚，太精煉。他所有的榮譽都是在他死後得到的，他是得肺結核死的。最悲慘是，他死了幾天之後，他在柏林的教職才批下來，寄到他家裏面，所以是很悲慘的例子。今天的阿貝爾獎就是為了紀念他。

五次方程不可解還涉及另外一個數學家——伽羅瓦（Évariste Galois）。伽羅瓦是一個法國數學家，你看看他的歲數，他大概活了20歲。這個數學家小時候就有很高的數學天賦，他當時想考巴黎綜合理工學院（École Polytechnique），當時是法國數學最好的大學，相當於我們早期的清華大學，清華大學三、四十年代數學系是最好的。但他只考了巴黎高等師範學院（École normale supérieure），相當於早期的北京大學。不過今天的巴黎高師很厲害， 我們的北京大學也很厲害。

法國數學家伽羅瓦（Évariste Galois，1811-1832）

伽羅瓦有很強的數學天賦，但他是一個政治熱衷者，常常捲入政治鬥爭。他是共和派，以前分保皇派和共和派，他為了共和派上街遊行、坐牢。坐牢時候，在牢房裏面碰見一個姑娘，他喜歡這個姑娘，出獄後就為了那個姑娘去決鬥。他知道他的對手比他強太多了，也知道他肯定必死無疑。在臨死前五天，他把他所有知道的都寫了下來，寫在小本本里面。他之前曾經把論文寄給柯西（Augustin-Louis Cauchy）和傅里葉（Joseph Fourier），這兩個數學家也不認為他的東西怎麼樣，一放放了幾十年。所以幾十年後，伽羅瓦的東西才發表。他所有的東西都是對的，而且他也獨立發明了羣論。

我講了兩個天才，伽羅瓦比阿貝爾的高明之處在於，阿貝爾説一般的五次方程不可解，伽羅瓦説隨便你給我五次方程，我在幾步之內就知道它可解不可解。你看有些數學家真是瘋子，為了政治、為了愛情，把命都丟掉了，但是他丟了命確實跟數學沒有關係，如果他好好做數學應該沒有問題。

所以到這個地方我要打一個成語，過一會兒到我的演講結束之後會把謎底揭示出來。“方程無解”打一成語，你如果知道先別説。

二次和與費馬最後定理

第三部分要講的，用現代化一點的語言，叫做“等冪和問題”，這是個很古老的問題。這個古老的問題是什麼呢？我給一個整數，什麼時候整數可以寫成兩個有理數的k次冪的和？這是一個很經典的問題。比如説1等於3/5的平方加4/5的平方，這跟前面有什麼關係？如果前面所有解的東西都是一元多次方程，一個方程只有一個變元，這些東西可不可解的問題相對來講簡單一點。但是現在一個方程裏面有兩個變量在裏面，要求在整數或有理數範圍內求解，這問題就複雜得多了，因為多了一個維度。

這個問題也有很早的歷史，應該最早是在歐幾里得的《幾何原本》裏面就遇到了。歐幾里得這本書也有兩千多年的歷史，它的印刷次數僅次於《聖經》。不過專門研究這些整數方程其實是在另外一本書裏，是公元后兩百年，有一個叫丟番圖（Diophantus）的人，他寫了一本叫《算術》的書。書裏面大概有幾百道數學問題，他的書跟中國《九章算術》差不多同時代，《九章算術》也列了幾百道問題，也提到哪些數可以寫成兩個數的平方。丟番圖通過一些演算之後，他猜測一個素數能夠寫成兩個數的平方，當且僅當這個數除以4餘1。 比如5，5是1的平方加2的平方，11就不能寫成兩個數的平方和，因為你把11除以4之後餘3，對吧？17沒問題，4的平方加1的平方。他的猜想差不多花了1000多年之後才被費馬（Pierre de Fermat）證明。

法國數學家費馬（ Pierre de Ferma，1601-1665）

費馬是一個傳奇式的人物，首先他不是一個數學家，他是一個法官，作為法官不能跟老百姓隨意聊天，因為怕影響判決的公正性。他平時沒什麼事兒就喜歡做數學。做完數學之後，他就寫信把結論告訴朋友，但是不把證明寄給朋友，所以這就變成一個非常有趣的事情。他證明了很多定理，都叫做費馬定理，但是都沒有證明。其中最出名的一個例子，大家知道剛才前面提到的丟番圖的《算術》那本書裏關於平方和的問題，被費馬推廣成高次和問題，然後他上面寫“我已經找到一個絕妙的證明”，但是他説“那書頁邊太小，我寫不下”。

費馬一輩子列出了很多定理，許多年之後出現了另外一個大數學家歐拉（Leonhard Euler）。歐拉年輕的時候名氣也不大，他企圖證明費馬的全部定理，除了其中一條他證不出來以外，其他的全部定理他都給出了證明，這個證不出來的定理就被他稱為“費馬最後定理”（Fermat’s Last Theorem，即費馬大定理）。但是這個定理在300年之後，被普林斯頓的教授證明了。

我今天講的是費馬第一個出乎意料的定理，他證明了一個沒有平方因子的有理數是兩個有理數的平方和。這個數分解之後，每個素因子要麼是2，要麼是4n+1。2是很好辦的事情，但是他把4n+1的情況證出來了。

他在某一年的聖誕節，給一個朋友寫了一封信，説我已經證出來一個有理數是兩個平方數的和，並稱其解絕對妙。一個數能夠寫成兩個數平方和的話，費馬説他還可以找一個更小的數，也是滿足同樣的條件。一直推，推到最後也推不下去了，肯定就做出來了。然後費馬給他這個辦法起個名字叫“無限下降法”。無限下降法是數學領域一個分支——數論裏面一個最經典的方法。同樣，他的證明從來沒有細節，這個證明的細節是歐拉多年之後證出來的。

費馬還有很多有趣的事情，大家知道微積分通常説是牛頓（Isaac Newton）發明的。如果你把牛頓的《數學原理》打開，牛頓説自己的工作都是受費馬工作的影響，因為費馬在當年沒有微積分的情況下已經知道怎麼求解極值和麪積，費馬甚至知道什麼叫變分法，這是很了不起的。

未來的數學

我最後要講的是關於未來數學，前面都是古典的數學。我前面説二次和問題解決了，那麼三次四次怎麼解決？剩下的問題我們所知甚少。

我們第一個猜想是，一個整數能夠寫成兩個有理數的立方和的概率只有1/2。這是很邪門的，你有時候能做，有時候不能做，只有1/2的機會。要證明這個猜想首先要解決另外一個大猜想，就是2000年克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）提出的千禧問題之一——BSD猜想，解決問題就能拿100萬美金，不需要像我們未來科學大獎，連評都不評，只要文章拿出來就給你錢。

關於四次以上的等冪和問題，我們知道得更少。1983年，法爾廷斯（Gerd Faltings）證明這個方程如果有有理解，最多隻有有限多個解。但是你要知道這個問題的難處在於是求有理數解，如果是整數還好辦一點。由於他證明了這麼一個結果，1986年他拿到了菲爾茲獎。

另外一個數學家叫懷爾斯（Andrew Wiles）。1994年，懷爾斯解決了 n>2 的情況，就是費馬當年沒有空餘地方寫的那個定理的證明。不過這項偉大的結果並沒有讓懷爾斯（Andrew Wiles）拿到菲爾茲獎，他只拿到了一個銀牌，因為他當時超過了40歲。今天人們認為350年前的費馬並沒有證明他的定理，他只是開個玩笑。

另外一個關於高次等冪和問題的猜想叫做ABC猜想。我沒有時間講，如果ABC猜想被證實的話，這個方程不只是知道有有限多個有理解，應該有具體的程序來求解，就是把方程輸入計算機之後，計算機程序能幫我把數解出來。法爾廷斯用了反證法，所以他的方法不能用來求具體解。未來的數學有兩大猜想，一個是BSD猜想，一個是ABC猜想。我想今天張益唐會講另外一個猜想——黎曼猜想，數論裏面差不多有這三大猜想。

最後，就當今天大家聽聽笑話，你要真的做數學，大家想想看，代價很大，要麼付出生命代價，要麼飢寒交迫。不過，今天社會還是好很多，我們國家對數學的重視程度在如今跟以往沒法比。

現在我介紹一些人們對數學家的描述。達爾文（Charles Robert Darwin）説，一位數學家就是一個黑屋子裏的瞎子，在找一個本不存在的黑帽子。這是數學的無解之解。畢達哥拉斯是最早的哲學家之一，他提出有兩種宇宙：感性宇宙和理性宇宙。物理化學是感性宇宙，理性宇宙是人們想象的世界，數學就是。另外一個叫埃爾德什（Paul Erdős）的數學家説，數學家就是把咖啡轉化成定理的機器。數學家沒事就去喝咖啡，邊喝咖啡邊做數學，如果喝完也做不出來，那就繼續喝，直到把問題做出來。

那麼我要揭開前面謎語的謎底了，方程無解——求之不得。對數學家來説，方程無解是一件既無奈又有趣的事情。無奈往往標誌着舊體系的結束，有趣標誌着新時代的開始。通過解這些無解方程，人們將自己的智慧和開拓精神發揮到極致，給數學世界注入了新的活力。

注：本文根據演講錄音整理。感謝朝陽區教育研究中心張浩博士對本文修訂給予的寶貴意見。小標題為編者所加，已經張壽武教授本人審閲。

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