1 + 1 ＝ 2 ？| 眾妙之門_風聞

撰文 | 孔良（深圳量子科學與工程研究院，南方科技大學）

創造⼒的來源是天真。你還記得自己在幼兒園時，將一個蘋果和數字“1”聯繫起來，然後數着蘋果計算“1+1=2”時遭遇的困惑嗎？這種困惑或許並非偶然，我們接受的數學教育常常是抽象出概念而忽略具體差異的過程，但我們的思考方式卻天⽣是範疇學的，它關注一個蘋果和另一個蘋果的不同，關注事物之間的相互關係。

在還原論和演⽣論角逐的今天，範疇學正變得越來越重要。可以説，微積分對還原論的物理有多重要，範疇學對演⽣論的物理就有多重要。範疇學帶來了超乎數學家想象的波瀾壯闊，它在概念上統⼀了分析和代數，統⼀了離散和連續。今天我們就帶着曾經對 1+1=2 抱有的好奇⼼，進入範疇學的奇妙世界吧！

引 言

這篇⽂章真的是講你在幼⼉園學的1+1=2，不需要任何數學背景也可以讀，只需要你有對1+1=2的好奇⼼。但是我們的動機卻是要介紹數學⾥⾯的範疇學的基本精神，所以有必要先簡單提⼀下範疇學，不關⼼的讀者可以直接跳過引⾔。

範疇學起源於代數拓撲，由Samuel Eilenberg（1913-1998）和Saunders Mac Lane（1909-2005）於上個世紀40年代提出。⾃從六⼗年代Alexander Grothendieck （1928-2014）⽤範疇學的語⾔重建了代數⼏何基礎以來，數學中就出現了⽤範疇學替代集合論作為數學的新基礎的潮流。這個潮流不但在數學⾥⾯愈演愈烈，還在90年代被注⼊了新的強⼤動⼒：物理。⼈們發現描述二維有理共形量⼦場論和任意維拓撲序的數學語⾔也是範疇學。當然這也沒有什麼奇怪的，瞭解範疇學的⼈都不會驚訝。因為範疇學帶來的變⾰是如此底層，它從根本上改變了我們看待數學（甚⾄是其他學科）的基本範式。⽽不瞭解範疇學的⼈可能會對這句話有很⼤的牴觸。這個也是正常的，沒有真正瞭解範疇學，會很難想象範疇學是可能的，也許看完此⽂，你的牴觸會稍稍減少⼀些。我認為範疇學是繼⽜頓的微積分⾰命之後，⼜⼀次語⾔的⾰命，其實範疇學本身就是⼀個新的微積分。她的⼒量體現在許多⽅⾯，⽐如：⼀個簡單的範疇學的公式就可以完成⼀個複雜的量⼦場論的構造，或同時計算⽆窮多量⼦場論的融合 (fusion) ；很多複雜的物理和數學結構⾃然⽽然就是範疇學的；更重要的是，很多超越集合論的數學或物理事實只能在範疇學的意義下陳述和理解。僅僅是最後⼀條就告訴我們，有⼀個集合論之外的數學新⼤陸等我們去發現、去探索。現在還有更瘋狂的猜測，那就是範疇學是多體量⼦糾纏和量⼦引⼒的基礎。

範疇學的變⾰是如此底層，它會毫⽆疑問地在⼏乎所有科學領域發揮作⽤，包括邏輯學、數學、物理、計算機科學、語⾔學、社會學、經濟學等等。所以讓更多數學以外的⼈瞭解它是有意義的。本⽂就拋磚引⽟地講講，這個變⾰是如何的底層，底層到需要我們不斷地迴歸，直到每⼀個⼈開始數學啓蒙的那⼀刻。

一 1 + 1 = 2 ？

我相信我們每⼀個⼈的數學教育都是從1+1=2開始的，從那⼀刻開始，我們就開啓了⼀場“去範疇化”的抽象數學之旅，⽽範疇學則是⼀場迴歸。

創造⼒的來源是天真。

－－ Alexander Grothendieck

我希望⼤家和我⼀起回到學齡前⼉童的狀態。只有這樣你才能看清問題的本質。

1+1=2 是很難理解的。我們真正理解了嗎？也許你覺得沒有什麼困難，但是隻有當你給⼀個從來沒有聽過 1+1=2 的學齡前⼉童解釋的時候，你才能明⽩這個問題有多麼困難。

第⼀個難點是：什麼是“1”？

第⼆個難點是：什麼是“＋”？

第三個難點是：什麼是“＝”？

第四個難點是：什麼是“2”？

什麼是“1”？你確定自己知道什麼是“1”嗎？你⻅過1嗎？⼩朋友不知道什麼是“1” 。為了讓小朋友理解數字，通常情況下，⽼師的教法是⽤實物，⽐如⽤帶磁鐵的⼩豬、⼩鴨、蘋果、⾹蕉等等，把它們吸到帶⾦屬的⿊板上。真實可⻅的東⻄才是我們對存在的基本體驗，其他都不太可靠。

讓我⽤符號 O 來表示蘋果，J 來表示⾹蕉。我們再把⼏個蘋果放到⼀起，於是⿊板上出現瞭如下公式：

O+O=OO,   （1）

好吧。我們⻅過蘋果，所以O沒什麼問題。但什麼是“＋”？什麼是“＝”呢？

其實⼩朋友⼀般還可以接受（1），接受的辦法就是忽略“＋”。（1）不就是 “OO=OO”嗎？理解“＋”是很難的。我先跳過，先來談談“＝”，其實這個更難！

“＝”（等於）是⼀個很難理解的東⻄。在現實世界⾥我們基本沒有⻅過兩個完全⼀樣的東⻄。“OO=OO” 兩邊的蘋果其實是不⼀樣的。真實情況往往是，也許它們的顏⾊有些區別，或者磁鐵的吸⼒有些差別，等等。那麼“＝” 就很難理解了。在⽣活⾥説中⽂時，我們不説等於，我們説“⼀樣”。那麼左邊的“OO” 和右邊的“OO”在什麼意義下是“⼀樣”的呢？

請讓講⼀個讓我震驚的故事。我第⼀次在深圳中學做報告的時候，我説我不知道什麼是“⼀樣”，請中學⽣為我這樣⼀個“學齡前⼉童”解釋。然後有⼀位勇敢的同學上來，他分別從左邊的OO和右邊的OO ⾥⾯各拿出⼀個蘋果，然後把這兩個蘋果放在⼀起，再把剩下的兩個蘋果放在⼀起，他説這個就是“⼀樣”。事實上他給出了左邊OO和右邊OO的⼀個⼀⼀對應，可以⽤⼀個圖來代表他的這個⼀⼀對應：

這個已經⾜夠精彩了吧，但是精彩的還在後⾯。問題是你為什麼要這麼做？我們在學習⽣涯中就遇到很多的困惑，常常不清楚有些選擇到底是有背後原理指導的，還是偶然的、隨機的。其實孩⼦們是敏鋭的。⼀定有看上去很“笨”的孩⼦會納悶，為什麼要這樣？當時，這個同學解釋完，我就問⼤家對這個“⼀樣”的定義有何意⻅？然後就有很多學⽣對此發出質疑。⾸先，這樣定義是不是⾃然的，合理的？其次，這樣定義也不是唯⼀的，⽐如你還可以選擇下⾯這個來定義“⼀樣”：

説句⽼實話，我當時震驚了，我藏在後⾯的東⻄全被中學⽣⾃⼰發現了。⼤家看出來問題是什麼了嗎？

真實世界裏可能沒有兩個東⻄是完全⼀樣的（請讓我忽略量⼦⼒學⾥的全同粒⼦，我們現在在幼⼉園，沒聽説過量⼦⼒學）。⼀般⼤家要看兩個東⻄⼀樣不⼀樣，就把這兩個東⻄⽐較⼀下。但是這兩個東⻄不可能完全⼀樣，所以⽐較的時候要忽略⼀些屬性，一個極端的情況是，我們忽略一個蘋果的所有內部結構和屬性，把它看成一個既沒有內部結構也沒有附加屬性的東西（就是集合論裏面的元素）。這種情況下，一一對應就是一個很好的“一樣”的定義。如果我們接受了這樣定義“⼀樣”是可⾏的, 即⽤“⼀⼀對應”來定義“⼀樣”。那麼問題來了：

有兩種不⼀樣的“⼀樣”還是⼀樣嗎？

現代數學或範疇學就是對這樣⼀個基礎的問題做了深刻的思考。現代數學或範疇學的觀點是：有兩種不⼀樣的“⼀樣”就是不⼀樣，除⾮有⼀個⽐另⼀個更⾃然。⽐如：左邊的蘋果⼀個是紅的，⼀個是綠的；右邊也是⼀個紅的，⼀個綠的。⼀個**⾃然**的“⼀樣”是保持顏⾊的“⼀樣”。但是在沒有顏⾊這個附加“結構”之前，我們有兩種不⼀樣的“⼀樣”，其實就是不⼀樣。

為那些有線性代數基礎的讀者加⼀段：

這個問題看似簡單，但是卻是⼀個核⼼問題，在數學⾥⾯⼴泛出現，造成很多初學者的困惑。⽐如中國的不少教科書把線性代數教成了矩陣代數。很多學⽣⼀想到⼀個線性空間，就⾃動給它裝上⼀個向量基。事實上，（線性空間＋給定的基）是和線性空間完全不⼀樣的數學結構！不明⽩這個就⽆法明⽩⼀個線性空間和它的對偶空間的區別，到了微分⼏何，也會困惑切空間和餘切空間的區別。⼀個有限維線性空間和它的對偶空間有⽆數線性同構，但是沒有⼀個是⾃然的！但是⼀個有限維線性空間到它的對偶空間的對偶空間有⼀個⾃然的同構。

我們注意到上⽂反覆出現了“⾃然”這個詞。⽽範疇學的起源，就是Ellenberg-Mac Lane試圖定義什麼是“⾃然”，由此引發了“⾃然變換” (natural transformation) 這個概念，為了定義“⾃然變換”，需要引⼊“函⼦“（functor）的概念，為了定義函⼦，⼜需要引⼊“範疇”（category）這個概念。

本⽂不想⾛進這些概念細節，但是我們希望能夠展示⼀下範疇學的基本精神。粗略地説：所有蘋果可以看成⼀個“範疇”，⽽所有⾹蕉是另⼀個“範疇”，它們都可以放到⼀個更⼤的叫“⽔果”的範疇⾥⾯。

我們想説，從OO抽象出來⼀個“2”的概念其實是⾮常困難的，⽽且往往需要很暴⼒的做法。⽼師在引⼊“2”之前，為了加深理解，還會再放兩個⾹蕉。我們姑且⽤J來代表⾹蕉。於是⿊板上⼜出現瞭如下公式：

J + J = JJ，   (2)

但是同樣的問題仍然會令我們煩惱。更加令⼈困惑的是⽼師有的時候還要在⾛向“2”的路上做更多讓我們困惑的事情，⽐如為了硬説這些都是“2”，還可能有這樣的公式出現：

OO=JJ.

這樣不在⼀個“範疇”能“⼀樣”嗎？甚⾄⼀不留神，⽐如蘋果不夠⽤了，可能臨時還會出現下⾯的公式：

O + J = J + J.

瘋掉了，蘋果和⾹蕉能加嗎？蘋果和⾹蕉不在⼀個“範疇”怎麼能加呢？事實上，我們可以説⼀個蘋果是“1”，⼀個⾹蕉也是“1”，它們都是“1”的代表，但是從這些可以作為“1”的代表中抽象出來“1”這樣的概念是⾮常困難的。也許那些連1+1=2都聽不懂的孩⼦不是笨，⽽是把握住了⼀些深刻和本源的東⻄。

我們來看看範疇學怎麼解讀1+1。

二 範疇學的觀點：萬有性質

範疇學的觀點就和我們最天真的看法⼀樣，⼀個蘋果是“1”，⼀個⾹蕉也是“1”。它們都是“1”的代表。既然只是代表，是不是説它們都還不是“1”？那麼到底什麼是“1”呢？

“1”應該反映出來所有這些“1”的不同代表所具有的“共有性質”。數學家給這個“共有性質”起了⼀個正式的名字叫“萬有性質” (universal property) 。如何寫下這些“1”的不同代表的共有性質呢？

範疇學提供了⼀種全新的視⻆。不要⽤“⼀個研究對象”⾥⾯“有什麼東⻄”這樣⾮常集合論或還原論的⽅式去看問題，⽽要以對象和其他對象的相互關係的⽅式來了解⼀個對象。這個⽅式其實是我們理解世界更根本的⽅法，⽐如你想了解⼀個未知的“存在”（如粒⼦、材料等），你怎麼辦？你會⽤你熟悉的東⻄打進去去看看會測量出來什麼。物理學家會測⼀個新材料的發光譜和吸收譜，打X光進去看看X射線衍射；數學家會把球⾯扔進⼀個未知空間來測量，或看看能不能讓⼀個羣作⽤上去，等等。⾼能加速器的雲室⾥⾯測的不是粒⼦的軌跡，⽽是粒⼦和其他東⻄相互作⽤的軌跡。沒有相互作⽤，測量也⽆從談起。可以⼗分安全地説：

這個世界上沒有⽐相互關係或相互作⽤更基本的存在。

既然如此，我們可以嘗試⽤相互關係來定義什麼是“1”。

我們先回顧⼀個概念：集合之間的映射 (a map) 。集合就是⼀堆元素的“集合”，呵呵。不過值得指出的是，空集也是⼀個集合，就是⼀個沒有元素的集合。那麼什麼是兩個集合A和B之間的映射呢？⽐如考慮兩個集合X＝{a,b}, Y={1,2,3}, ⼀個從X到Y的映射，記成

或

這其實就是⼀個分配規則：給X中的每⼀個元素分配唯⼀⼀個Y中的元素。⽐如，f(a)=1, f(b)=1 就是⼀個合理的映射, g(a)=2, g(b)=3 也是⼀個映射。但是不能給a分配兩個Y中的元素！如果集合X⾥⾯沒有元素（空集），等於分配規則⾃動定義好了，這個什麼都不需要分配的分配規則就叫空映射。

有了這些準備，我們可以給出⼀下定義。

定義：1 就是這樣⼀個集合，任何⼀個集合到它都存在且有唯⼀⼀個映射[1]。我們有⼀個簡潔的圖來記錄這個定義：對任意集合X，我們有

這⾥“

”是指“存在”，“！”是指“唯⼀”[1****]。另外要注意，定義中“對任意集合X”也⾮常重要！不是對⼀個特別的集合，⽽是所有集合！

⼤家看到沒有，這個定義⾥⾯⽤到了“1”和所有集合的關係，這件事相當重要。不過第⼀次看到這個讀者可能更關⼼的是，為什麼這是“1”的⼀個合理的定義呢？我們來看看，⼀個蘋果的集合滿不滿⾜這個定義？⼀個⾹蕉的集合呢？或者，零個或三個⾹蕉呢，⼜或者所有中國⼈的集合？

如果你願意嘗試，你很快會發現，零個⾹蕉是不⾏的，因為它破壞了定義中映射“存在性”條件。“三個⾹蕉”也是不⾏的，因為它破壞了映射的“唯⼀性”。什麼集合可以呢？就是那些只有⼀個元素的集合，⽐如⼀個蘋果的集合、⼀個⾹蕉的集合、⼀個雞蛋的集合、⼀個⼈的集合，等等，它們可以同時保證存在性和唯⼀性。

所以這樣定義的“1”不唯⼀，這個好像是⼀個缺陷，但是妙的地⽅是，所有可能的“1”都有且僅有⼀種⽅式互相對應起來，這是由“存在性”和“唯⼀性”決定的，和“1”的具體內容⽆關。就像教⼩朋友時，可以⽤⼀個蘋果代表1，也可以⽤⼀個⾹蕉代表1，⽽且我們知道如何把它們等同起來! 你能相信嗎，幼⼉園雖然很努⼒地教“去範疇化”的數學，但教的⽅法是⽆法迴避的範疇學！因為這就是它的本來⾯⽬。

⽽這個定義也被稱為“1”的“萬有性質”。也就是説，我們⽤“1”的性質來定義“1”，⽽不是⽤“1”⾥⾯有什麼東⻄來定義“1”。所有的數學概念都可以⽤它的“萬有性質”來定義，我説的是“所有”，是的，你沒有聽錯！

好極了，如果你還能跟上我，我們就再來⼀個。

**定義：**0就是這樣⼀個集合，它到任何⼀個集合都存在且有唯⼀⼀個映射。即對任意集合X，我們有：

這個留給⼤家做練習吧。——科普還要留作業？沒聽説過，呵呵。不過想明⽩了這個習題，⻢上就福利了，可以⽴⻢去摧殘⼩朋友和她們的⽗⺟啊。哈哈。

三 範疇學怎麼解讀 1+1 ？

好了，真正的挑戰或摧殘來了，我們終於可以看看什麼是1+1了。和“1”⼀樣，“1+1”也會有很多不同的代表，⽐如，2個蘋果或2個⾹蕉，等等。那麼“1+1”應該是什麼呢？應該是所有這些代表所擁有的共性，即萬有性質。下⾯我們就來揭示“1+1”的萬有性質。我先擦擦汗。

開動腦筋的時候到了

**定義：**1+1 就是這樣⼀個集合，它⾃動附帶兩個指定的從1來的映射：

從⽽對任何附帶兩個從1來的映射的集合X：

這就是“1+1”的萬有性質，也同時是它的定義。如果我們⽤圖來記錄上⾯1+1的定義或萬有性質，那麼就是下⾯這個被稱為“交換圖”的東⻄。

所謂圖是交換的意思就是： 

這個定義為什麼就是我們熟知的1+1呢？這還真是不好解釋。主要是需要解釋的有點⼉多，能留做習題嗎？我們不是還有很多強⼤的讀者嗎？就看你們的了。我已經被摧殘得不⾏了，需要休息，休息⼀會⼉。

休息，休息⼀下

我想指出的是：

（1）雖然我們沒有規定a和b必須是什麼，但是萬有性質導致了a和b不能任意選。不同的a 和 b且滿⾜萬有性質的選擇將被視為不同的1+1的代表！也就是説定義1+1需要有三個東⻄：(1+1, a, b)。

（2）滿⾜1+1的定義的集合是不唯⼀的（都是代表），但是存在性和唯⼀性使得，它們任意兩個代表之間都有唯⼀的⼀種⽅式⼀⼀對應起來。這⼀點相當的重要，但是我不是很想展開來説，可能也需要讀者中的達⼈來解讀。

（3）萬有性質的另⼀奇妙的地⽅是，它不但定義了概念，還告訴你它是怎麼⽤的，就是⽤來構造那個存在唯一的箭頭！⽽且這是唯⼀的⽤法！這⼀點⼤概沒有⽤過的⼈是很難體會的。這個集定義與應⽤於⼀身的特點也強烈證明了這是⼀個好的定義。

作業1:  我們到底是定義了2還是定義了“+”？

作業2：1 + 1 + 1 咋定義？

作業3：1 x 1咋定義？（提示：把定義1+1的那個圖的箭頭都反過來）。

作業3相當有意思，箭頭都反過來就可以了？其實這也就是在説，乘法是加法的對偶概念。範疇學⽜逼的地⽅是説，數學⾥的所有概念都是這樣的！數學⾥的所有概念只有兩種：⼀種叫做“極限”（⽐如1 x 1），⼀種叫“餘極限”（⽐如1+1）。其他沒了。呵呵。所以範疇學把數學中的所有概念都放在了⼀個統⼀的框架⾥⾯來看。

眾位看官可能要納悶，這個怎麼能叫“極限”呢？極限不是⼀個⽆限的（逼近）過程嗎？事實上，⼤家熟悉的所謂“極限”不過是⽤⼀個有⽆限節點的交換圖，並以和1+1 或1 x 1同樣的⽅式來定義的概念⽽已。⽐如，對任意構成如下圖的實數X，我們有：

其中“1”是通常意義下的⼀個實數（不要理解成集合），箭頭的意思就是“≤ ” (⼩於等於）（不是集合之間的映射！）。這個圖説的是，⼀個序列：0.9, 0.99, 0.999, … 的極限是1。⽤範疇學的語⾔説就是1是圖表 0.9→0.99→0.999→… 的餘極限。

怎麼看呢？X是這樣的⼀個實數，序列 0.9, 0.99, 0.999, …中的每⼀個數到X都有⼀個箭頭，意思是説，序列 0.9, 0.99, 0.999, …中的每⼀個都 ≤ X 。⽽1就是這樣的⼀個數，⽽且是最⼩的那⼀個，對吧？

所以範疇學是⾃動包含你熟悉的微積分的，但是她能做更多！事實上範疇學在概念上統⼀了分析和代數，統⼀了離散和連續，1+1和傳統意義上的極限沒有本質的區別，不過是涉及的交換圖有⼤有⼩⽽已。

***作業4:*如果箭頭的意思改成“ ≥ ”，相當於上圖的箭頭都反過來。則在範疇學的意義下，我們得到“1”是⼀個圖表的極限。

另外你應該還注意到，範疇學中的箭頭可以不是映射，可以是任意可能的關係。⽐如“≤ ”，再⽐如，在所有中國⼈構成的範疇⾥⾯，我和你本沒有關係，但是如果我們都追同⼀個⼥孩⼦，這樣我們就有了情敵的關係，這也可以是範疇學中所研究的相互關係。這個例⼦還可以想象，可很多時候，在範疇學中出現的所謂“相互關係”是千奇百怪的，甚⾄是超越想象⼒的。

四 範疇學、物理和計算

我想⼀定有⼈覺得快發瘋了，1+1搞的這麼複雜。我想強調的是，這個故事並不是“複雜”，⽽是1+1的本來⾯⽬。不過讀者也可以反對説，“去範疇化”才是真的有⽤，1+1搞的這麼複雜的話，沒法⼦⽅便地計算了。所以這樣理解1+1，就算是本來⾯⽬，怎麼可能有⽤呢？

這樣定義的1+1確實有些複雜，並不實⽤，但這是⽤⽜⼑去殺雞，當然就看不到它的⼒量了，⽜⼑⽜在可以通殺⼀切眾⽣。其實範疇學是研究⽆窮維數學結構的強⼤⼯具，在那⾥她的⼒量就能夠真正地顯露出來。⽐如在研究量⼦多體系統的時候，有能隙的量⼦多體系統的邊界和內部的關係可以由下⾯這個萬有性質來定義**[2****]**。

這圖啥意思？啥意思不重要。重要的是，你發現沒有，⼀個具有⽆窮⾃由度的複雜物理系統，邊界和內部的關係竟然沒有⽐1+1和1的關係更復雜！這是因為範疇學有能⼒把有限維的數學和⽆限維的數學統⼀在同⼀個框架下處理。值得⼀提的是，上⾯圖表揭示的關係也同時刻畫了弦論⾥⾯開弦和閉弦的對偶！這些都是⽆窮維數學結構之間的對偶。如果真的把對偶兩邊的數學結構⽤⽣成元和它們的關係寫下來，會複雜得嚇死⼈的。呵呵。

在演⽣論 PK 還原論的今天，範疇學越來越重要。這是因為範疇學就是為演⽣論準備的。你看看“1+1”難道不是從所有集合中演⽣的概念嗎？同理，所有數學概念都是在包含⼀定意義下的“所有”對象的圖表中演⽣的對象。甚⾄範疇學強調要放棄還原論的觀點，不要問⼀個集合⾥⾯的元素，⽽要去看映射，後者更加豐富。⽐如，⼀個集合X ⾥⾯的⼀個元素其實就是1到X的⼀個映射！

這樣的觀點難道不就是加速器的原理嗎？想知道粒⼦⾥⾯有什麼東⻄，就拿其他東⻄，甚⾄是“它”⾃⼰，去轟“它”。我想微積分對還原論的物理有多重要，範疇學對演⽣論的物理就有多重要。範疇學和物理學家理解⼤⾃然的基本⽅法和原理是完全相合的，她們都強調：

沒有⽐相互關係或相互作⽤更基本的存在，其他都是演⽣的。

範疇學和物理的關係當然值得⼤書特書，很多最前沿的論⽂都在不斷地講述這個關係。這⾥我們點到為⽌，雖意猶未盡，只盼能拋磚引⽟，誘發⼤家的興趣。

如果説範疇學在數學⾥很基本，那麼在物理或其他學科⾥⾯是不是也應該很基本？現實是，在物理中⽤的上範疇學的可能只是很少的⼏個⾮常小眾的課題。這是為什麼呢？這是暫時的還是⻓久的？範疇學會帶來描述物理學的新的微積分嗎？範疇學對未來的計算機科學會有何影響？希望將來我們有機會來解讀這些問題。

你們喜歡範疇學嗎？歡迎⼤家來到範疇學的奇妙世界。

附錄

⽂章結尾我們來談談學習範疇學的過程中常⻅的困惑和誤解。

很多⼈（包括部分數學家）都抱怨範疇學抽象。我希望前⾯的討論能夠幫助⼤家意識到，我們的思考天⽣就是範疇學的，⽽引⼊“1”和“2”這樣的抽象概念反⽽是“去範疇化”了。我們的數學教育從⼀開始就是“去範疇化”，⽽通常的微積分可以看作是“去範疇化”的經典之作。最終的結果是，我們⼤多數⼈第⼀次學“範疇學”都會覺得好“抽象”，呵呵。有可能是因為 “去範疇化”的數學教育讓我們變得失去童真了。我記得有⼀次在做數學報告，有聽眾抱怨範疇學太抽象了。我説，抽象是⼀個沒有意義的概念，不過你所謂的不抽象的東⻄是啥？他回答説⽐如上同調。我的天，上同調不抽象？好吧，我耐⼼地問，為什麼你覺得上同調不抽象？他説，因為可以算啊。我説，原來可以算就是不抽象啊，這樣的話，範疇學也不抽象，因為它也可以算。但是這也不重要，因為這個説法本身很荒唐，如果上同調是可以算的話，總沒有1+1=2更好算吧？那麼請問什麼是“1”？平時我們嘴上説的所謂“不抽象”或“抽象”，其實就是“熟悉”或“不熟悉”。範疇學之所以顯得“抽象”，就是因為我們在“去範疇化”的路上⾛了很遠了，想要回歸也沒有那麼容易，放下包袱是很難的。

我記得有⼀次和物理學家Michael Levin吃午飯，他説他花不少時間看範疇學，但是總覺得範疇學空泛的好像什麼都沒有。他的感覺沒錯，當然也不只他⼀個⼈這樣抱怨。事實上，範疇學是和集合論⼀樣底層的東⻄。就象你去看集合論⼀樣，除了⼀些形式的定義，彷彿什麼都沒有。對物理學家來講，看集合論⼏乎沒有任何⽤處，真正有⽤的是微積分和線性代數。所以也只有當你看到了範疇學⾃⼰的“微積分”和“線性代數”的時候，你才能理解它的強⼤。我認為，Grothendieck的代數⼏何就可以粗略地看成是⼀個新的“微積分”，⽽張量範疇理論 (tensor category theory) 可以看成是⼀個新的“線性代數”。範疇學⾥⾯的“微積分”（或“線性代數”）都不是唯⼀的，⽽是千變萬化的。對物理學最有⽤的“微積分”和“線性代數”可能還沒有誕⽣。與集合論不同的是，對物理學家來説，集合論可以完全地忽略，直接跳到微積分和線性代數上，因為集合論的語⾔和基礎被函數論的語⾔覆蓋了。但是對範疇學來講，想要跳過她的基礎語⾔：範疇、函⼦、⾃然變換、Yoneda引理，直接學習她的“微積分”和“線性代數”是不可能的。遺憾的是，到⽬前為⽌，還沒有⼀個適合物理學家讀的範疇學的書。

還有⼀種誤解是，範疇學已經建⽴好了，學好了⼀本範疇學的數學書，在物理上的應⽤可能就夠了。如果你抱着這樣的⼼態，那你註定要失望了。⾸先，把任何（不論她有多麼優美）數學套⽤到物理上的想法都是緣⽊求⻥的做法。只有從物理實驗或物理圖像出發⽽發現的數學才是對物理有意義的，如果碰巧這個數學已經被數學家發現，那也只是偶然情況⽽已。通向未知之⻔⼤多是沒有現成的鑰匙的。物理學真正需要的範疇學絕⼤多數還不存在，需要我們去⼀邊發展物理，⼀邊發展數學。在這種情況⾥⾯，新的物理和新的數學沒有區別，它們都是⼤⾃然的隱藏結構。現在的範疇學還在發展的初級階段，微積分可以發展⼏百年的話，範疇學⼤概也需要⼏百年。⽽我這些年的實踐告訴我，物理能給我們帶來的新的、超越數學家想象⼒的範疇學才是真的波瀾壯闊。

致謝

感謝德國哥廷根⼤學的朱晨暢⽼師、清華⼤學⾼等研究院的汪忠⽼師和丘成桐數學中⼼的⽥垠⽼師、南科⼤量⼦科學與⼯程研究院的吳詠時⽼師和鄭浩⽼師、麻省理⼯學院的⽂⼩剛⽼師、中科院物理所的曹則賢⽼師和斯坦福⼤學的祁曉亮⽼師提出的很多寶貴意⻅。感謝《返樸》編輯費心修改了作者的很多語法錯誤，感謝他們為本文配上了精美的插圖。

註釋

[1] 這⾥⾯我們還是⽤到了“唯⼀”這個概念，好像是循環定義“1”的意思。其實我們可以從技術上回避它，⽐如：我們可以説萬有性質中的（讓圖表交換的）映射構成的集合存在到集合{O}的雙射。我們這⾥並不是想探討數學的基礎，⽽是展現⼀種對1和1+1的全新解讀。不過從萬有性質⾥⾯不斷地⽤“存在”和“唯⼀”可以看出，在⾃然哲學的意義下，“唯⼀”有可能是和“存在”同等基本的概念。[2] Boundary-bulk relation in topological orders, Liang Kong, Xiao-Gang Wen, Hao Zheng, Nucl. Phys. B 922 (2017), 62-76 [arXiv:1702.00673]

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