數學家們是怎麼右手“畫彩虹”的？_風聞

原創：中科院物理所

作者：Marianne Freiberger

翻譯：lwk

審校：Dannis

當偉大的數學家艾薩克牛頓用折射來解釋彩虹的顏色的時候，詩人約翰濟慈嚇壞了。濟慈（當然，是以詩歌的方式）抱怨數學解釋奪走了魔法般的自然界中的奇蹟，“用準確的規則征服了一切神秘”。但是我們將看到，這個數學解釋正如彩虹本身一樣優雅，而且僅僅需要基本的直線和圓的幾何概念。

折射

彩虹的顏色是折射的結果。就像自然光透過三稜鏡那樣，折射會將自然光分成不同的組分。從太陽發出的白光是多種不同頻率電磁波的組合。當頻率混合的電磁波同時射到眼睛上時，你看到的是白色，但是當你的眼睛捕捉到獨立頻率的波時，你感受到的會是某個特定的顏色。

從紫色（左）到紅色（右）的可見光光譜

頻率在670至780 THz之間的波呈現紫色。頻譜的另一端是頻率在400至480 THz之間的波，這些波被看作紅色系。其他所有顏色均來自這兩個頻段之間的頻率。人眼無法看到這個範圍以外的其他頻率的電磁波。

圖1：一束被折射的光，再次被反射和折射

當一束陽光照入射到球形水滴上時，其中的一部分會被水滴的表面反射，但另一些會進入水滴內部。當光線射入水滴時，光線會產生彎曲或者説“被折射”——這與把吸管插入水杯中吸管出現彎折的現象是一樣的。 之後光線繼續前進，一直到達液滴的背面。一部分光將射出水滴，而另一部分會被反射回去，從另一側離開液滴，並且在此過程中再次被折射。如圖1所示。

光線從一種介質進入另一種介質時速度會變慢，由此就產生了折射。打一個很粗略的比方，想象你把購物車以一定角度從道路上推到草地上：因為先撞到草地上的那一側的速度會先被減慢，購物車將改變方向。

圖2：不同頻率的光被折射的程度是不同的

當來自太陽的光在真空（和在空氣中傳播非常接近）傳播時，所有頻率的光都以相同的速度c傳播，大約每秒300,000公里。當光線進入水中時，頻率（相應的顏色）將保持不變。然而，光的速度會發生變化，而變化的多少取決於它的頻率。這是因為水的原子結構與不同頻率的波產生了不同的相互作用。我們採用折射率作為速度隨頻率變慢的量度。折射率不僅僅取決於頻率，還與光進入的介質有關（在本例中是水，如下標所示）。折射率定義為：

折射率隨頻率的改變微乎其微：光譜的紫光一端的約為1.34，紅光一端則約為1.33。但是這種微小的變化足以將陽光分解成我們在彩虹中看到的美麗的光譜。（折射率也隨温度而略有變化，但是在這裏可以忽略。）

圖3：示意圖顯示了包含入射光線，折射光線和法線的水滴的橫截面。α角和β角之間通過斯涅爾定律聯繫起來。

斯涅爾定律描述了不同頻率的光進入液滴時的彎曲程度。 根據斯涅爾定律，折射光線位於由入射光線和入射點處的法線構成的平面內——法線是通過入射線和液滴表面交點且垂直於液滴表面的直線。由於我們假設了液滴為球形，本例中的法線就是連接液滴球心和入射點的半徑的延長線。 

斯涅爾定律還告訴我們光線折射角滿足下列關係：

這裏α和β是圖三中標註的角，和分別為空氣和水對頻率為f的光的折射率。由於空氣和真空非常類似，對所有頻率都非常接近於1。所以，假如光線以45°入射進入液滴，對於折射率為1.33的紅光有（結果精確到小數點後兩位小數）

折射率為1.34的紫光有

正是這些對應於不同的頻率的不同折射角使得彩虹有了色彩。

捕捉彩虹中的光線

然而為什麼我們看到的彩虹中的每種顏色都呈現完美的圓弧狀呢？要搞清這個問題，設想來自太陽的平行光線入射在空氣中的某個水滴上。利用斯涅爾定律和反射定律（入射角等於反射角），我們可以計算出第一次以α角入射液滴的光線偏轉了多少度（）。換句話説，入射光線經過折射、反射然後再次折射後旋轉了多少角度（見圖4）。 當然，對於不同頻率或顏色的光，該角度會有所不同。

仔細觀察圖4，你可以發現角度偏轉滿足下式：

 

圖4：計算光線偏轉角度

由斯涅爾定律，我們可以將

 

代入上式。此處我們取空氣的折射率為1.

圖5是—α滿足的曲線圖，取特定的紅色波段的折射率。注意到它的最小值取在60°左右。

圖5：Df(α)滿足的曲線圖

這個最小的角度就是導致彩虹是弧形的原因。圖6顯示了液滴的二維橫截面，液滴中有一束在水中折射率為的光線。在這個橫截面中，我們用紅色標記以最小角度入射的光線，並稱之為彩虹射線。在彩虹線附近射進液滴的光線（入射角接近）在通過液滴和出射時都聚集在彩虹線附近。因此，假如你的眼睛恰好在這個液滴的彩虹線射出時捕捉到了它，那麼你還將看到一整束其他的射線，這使得來自液滴的光線非常強烈。由於所有這些聚集在一起的光線有相同的顏色——對應於折射率為1.33的紅色系，液滴在空中會呈現紅色。

圖6：用紅色顯示的彩虹光線.一簇光線聚集在彩虹射線附近從液滴中射出，而從其他地方射出的射線則會更加分散。

紅色光線在彩虹光線附近聚集的現象是函數有最小值是的結果。在圖7中我們可以清楚的看到這一點。取一段以最小值為中心的間隔和一段以其他位置為中心的同寬度的間隔。中的入射角值對應的偏轉角度（用J1表示），比中的入射角值對應的偏轉角度（用J2表示）的取值範圍要窄得多。因此，以中的角度入射的光線，要比以中的角度入射的光線更加密集（證明）。

圖7:間隔J1比間隔J2小

色錐

你的眼睛能夠捕捉到來自每個液滴的出射的紅色彩虹線，所以你會看到空中的每一個液滴上都有一個紅點。而在天空中什麼位置看到這些液滴取決於你。

我們首先計算出的準確值。求解以得到最小值，有

將代入（給定紅色光線），得到，。

現在，假如來自某液滴的出射彩虹線被你看到了，那麼這意味着該出射光線與如圖8中所示的L線呈夾角——如果你的腦袋沒有擋着光路的話（我們假定來自太陽的光線是平行光），會有一道太陽光的路徑通過你的眼睛，把這束光線延長，得到的就是L線。我們把rf命名為彩虹角。當然，它取決於頻率f，也就是説，取決於顏色。

圖8：偏轉的彩虹光線和L線呈42.52°夾角

取所有以你的眼睛為端點的線，然後關於L線做42.52°夾角，你會得到一個圓錐（如圖9）。你看到的所有呈紅色的水滴都在這個圓錐內；反之，如果一個液滴沒在這個圓錐內，你將不會看到來自這個液滴的紅色彩虹線。而當你從圓錐頂點沿着圓錐表面看時，你看到的會是一個圓圈。

你可以試着將一張紙捲成圓錐形然後從尖端的小孔看去。彩虹就來自這個圓錐中的液滴。這些液滴距離你的眼睛有着不同的距離，其中一些可能在附近，而另一些可能在遠處。但是眼睛無法分辨這種距離上的差別，只能看到紅光混合在一起，構成一個似乎在遠處的圓弧。之所以看不到完整的圓是因為地球擋住了它。除非你在水滴上方，比如從飛機上俯視，才能看到美麗的彩虹圓圈。 

圖9：你看到的懸在空中的液滴分佈在一個圓錐的表面

同樣的推斷對光譜中其它所有顏色都適用：它們都會呈現出圓弧形狀。但是，對每種顏色，不同的折射率會給出不同的彩虹角。例如，對於折射率為的紫光，有 和 。因此，彩虹會以一系列按折射率的順序套在一起的顏色圈呈現出來，或者，等價地來看，按照頻率的順序：紅色在頂端，紫色在底端。

這個解釋還説明了為什麼你只在背對太陽的時候看見過彩虹：只有這種情況下你才能看到來自液滴的彩虹光線。這同樣解釋了為什麼天空在彩虹下方比在上方看起來更明亮。由於絕大多數離開液滴的光線都比彩虹射線高（請參見圖6），因此你將看不到彩虹“上方”（即，各種顏色的圓錐體之外）的液滴中的任何光線。從而，你將看不到任何來自這些液滴的反射光。然而，你的眼睛的確能捕捉到彩虹“下方”的水滴（位於圓錐體內的水滴）中的反射光，正是這種光使彩虹下面的天空顯得更明亮。彩虹下方的光線之所以看起來是白色的，是因為來自不同液滴並進入你的眼睛的這些不同顏色的非彩虹線混合在了一起。

彩虹的幾何形狀還表明，你看到的任何彩虹都是獨屬於你自己的彩虹：無論站在你旁邊的人看到了什麼，它們都來自一羣不同的水滴，因此你們看到的不是同一個彩虹。

有時候，如果夠幸運的話，你可能會在主彩虹上方看到第二條略淡的彩虹。這種次生彩虹是光線在水滴中反射兩次的結果。在這種情況下，各種顏色的彩虹角都在51°左右，這就是為什麼在天空中次生彩虹看起來位置更高。兩次反射還意味着次生彩虹的顏色以相反的順序出現，紫色在底部，紅色在頂部。這裏給出RenéDescartes對彩虹的原始描述，他首先解釋了彩虹的形狀，描述了主彩虹和次生彩虹。圖中對應於次生彩虹的兩次反射用紅色軌跡標出。

Descartes的主彩虹和次彩虹草圖

儘管現實當中很難出現，從理論上講也是有可能看到液滴內的三、四次或更多次反射產生的彩虹的。這裏我把它留給讀者自己去計算。

原文鏈接：https://plus.maths.org/content/rainbows?from=singlemessage